1、數(shù)與式數(shù)與式知識結構知識結構模塊一：模塊一：實數(shù)與運算知識精講知識精講數(shù)的整除整數(shù)的意義和分類：自然數(shù)：零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)；整數(shù)：正整數(shù)、零、負整數(shù)，統(tǒng)稱為整數(shù)整除：(1)整數(shù)a除以整數(shù)b，如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說a能被b整除；或者說b能整除a(2)整除的條件(兩個必須同時滿足)：eq oac(,1)除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù)；eq oac(,2)被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)且余數(shù)為零除盡與整除的異同點：相同點：除盡與整除，都沒有余數(shù)，即余數(shù)都為0；除盡中包含整除；不同點：整除中被除數(shù)、除數(shù)和商都為整數(shù)，余數(shù)為零；除盡中被除數(shù)、除數(shù)和商不一定為整數(shù)，余數(shù)為零因數(shù)和倍數(shù)：整數(shù)a能被整數(shù)b

2、整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)(也稱為約數(shù))注意：(1)在整除的條件下，才有因數(shù)和倍數(shù)的概念；(2)倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的，不能單獨存在求一個數(shù)的因數(shù)的方法：(1)列乘法算式：根據(jù)因數(shù)的意義，有序地寫出某數(shù)的所有兩個數(shù)乘積的乘法算式，乘法算式中的因數(shù)就是該數(shù)的因數(shù)(2)列除法算式：用此數(shù)除以任意整數(shù)，所得商是整數(shù)而無余數(shù)，這些除數(shù)和商就是該數(shù)的因數(shù)求一個數(shù)的倍數(shù)的方法：求一個數(shù)的倍數(shù)，就是用這個數(shù)，依次與非零自然數(shù)相乘，所得之數(shù)就是這個數(shù)的倍數(shù)因數(shù)和倍數(shù)的性質(規(guī)律總結)：1是任何一個整數(shù)的因數(shù)，任何整數(shù)都是1的倍數(shù)；0是任何一個不等于0的整數(shù)的倍數(shù)，任何一個不等于0的整數(shù)都是0的因

3、數(shù)；一個正整數(shù)既是它本身的最大因數(shù)，也是它本身的最小倍數(shù)2的倍數(shù)的特征：個位數(shù)字是0，2，4，6，8的數(shù)偶數(shù)、奇數(shù)的意義以及它們的運算性質：在自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)是偶數(shù)(即個位是0，2，4，6，8的數(shù))；在自然數(shù)中，不是2的倍數(shù)的數(shù)是奇數(shù)(即個位是1，3，5，7，9的數(shù))注：最小的偶數(shù)是0，沒有最大的偶數(shù)；最小的奇數(shù)是1，沒有最大的奇數(shù)；一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，奇數(shù)的個位上的數(shù)是奇數(shù)5的倍數(shù)的特征：個位數(shù)字是0或5的整數(shù)，都是5的倍數(shù)3的倍數(shù)的特征：一個整數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字相加的和是3的倍數(shù)的數(shù)是3的倍數(shù)注：(1)既能被2整除又能被5整除的整數(shù)的特征：個位上數(shù)字是0的數(shù)(或者說是10的倍

4、數(shù)的整數(shù))；(2)既能被3整除又能被5整除的整數(shù)的特征：個位上數(shù)字是0或5，且各個位上數(shù)字相加之和是3的倍數(shù)(或者說是15的倍數(shù)的整數(shù))；(3)既能被2整除又能被3整除的整數(shù)的特征：個位上數(shù)字是0，2，4，6，8且各個位上數(shù)字相加之和是3的倍數(shù)(或者說是6的倍數(shù)的整數(shù))；(4)既能被2整除又能被3和5整除的整數(shù)的特征：個位上數(shù)字是0，且各個位上數(shù)字相加之和是3的倍數(shù)(或者說是30的倍數(shù)的整數(shù))素數(shù)與合數(shù)：素數(shù)：一個正整數(shù)，如果只有1個和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做素數(shù)合數(shù)：一個正整數(shù)，如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)正整數(shù)按照含因數(shù)的個數(shù)分類，可以分為1、素數(shù)與合數(shù)素因數(shù)和

5、分解素因數(shù)：素因數(shù)：每個合數(shù)都可以寫成幾個素數(shù)相乘的形式，其中每個素數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的素因數(shù)分解素因數(shù)：把一個合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解素因數(shù)注：素因數(shù)相對于合數(shù)而言，不能單獨存在；一個數(shù)分解素因數(shù)的形式是唯一的；書寫時，一般寫成“合數(shù)=素因數(shù)相乘”的形式分解素因數(shù)的方法：分解素因數(shù)的方法通常有以下兩種：樹枝分解法：利用樹形圖逐步把合數(shù)分解成素因數(shù)相乘的形式短除法：先用一個能整除這個合數(shù)的素數(shù)(通常從最小的開始)去除；得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)下去，直到得出的商是素數(shù)為止；然后把各個除數(shù)和最后的商按從小到大的順序寫成連乘的形式分數(shù)分數(shù)的意義：把一個

6、總體平均分成若干份之后，其中的1份或若干份可以用分數(shù)表示分數(shù)和除法的關系：兩個正整數(shù)相除，他們的商可以用分數(shù)表示，具體關系如下：，即：，其中p為分子，q為分母讀法：讀作q分之p特別地，當q = 1時，用數(shù)軸上的點表示分數(shù)：任何一個分數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示分數(shù)的基本性質： 分數(shù)的分子和分母都乘以或除以同一個不為零的數(shù)，所得的分數(shù)與原分數(shù)的大小相等即：(，)最簡分數(shù)：分子和分母互素的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)約分：把一個分數(shù)的分子與分母的公因數(shù)約去的過程，稱為約分通分：將異分母的分數(shù)分別化為與原分數(shù)大小相等的同分母的分數(shù)，這個過程叫做通分(1)兩個分數(shù)的公分母：兩個分數(shù)的分母的公倍數(shù)叫做這兩個分數(shù)的公分

7、母，通常取最小公倍數(shù)作公分母(2)通分的依據(jù)：分數(shù)的基本性質，所以通分后分數(shù)值保持不變(3)通分的方法：一般先求出幾個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)，把這個最小公倍數(shù)做分母，分子擴大相應的倍數(shù)分數(shù)的大小比較：(1)同分母的分數(shù)，分子大的那個分數(shù)較大(2)同分子分數(shù)，分母大的那個分數(shù)反而小(3)異分母的分數(shù)，先通分，化成同分母后再按照同分母分數(shù)的大小比較的方法確定分數(shù)的大小關系比和比例比的定義：a、b是兩個數(shù)或兩個同類的量，為了把b和a相比較，將a與b相除，叫做a與b的比記做a:b，或寫成，其中，讀作：a比b，或a與b的比“:”叫做比號，讀作“比”；比號前的數(shù)a叫做比的前項；比號后面的數(shù)b叫做比的后項前

8、項a除以后項b所得的商叫做比值比與分數(shù)、除法之間的關系：比的前項相當于分數(shù)的分子和除式中的被除數(shù)；比的后項相當于分數(shù)的分母和除式中的除數(shù)；比號相當于分數(shù)線和除號；比值相當于分數(shù)值和除式的商求兩個同類量的比值時，如果單位不同，必須把這兩個量化成相同的單位比的基本性質：(1)比的基本性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變即 ()運用比的性質可以把比化成最簡整數(shù)比(2)三項連比的性質：若，則，若，則比例：(1)表示兩個比相等的式子，叫做比例式子表示為：；(2)內項、外項：b、c叫做比例的內項；a、b叫做比例的外項；(3)比例中項：當b = c時，b叫做比例中項比例的基本性質：

9、若或，則反之若a，b，c，d都不為零，且，則或即：內項之積等于外項之積比例尺：(1)圖上距離與實際距離的比叫做比例尺；(2)圖上距離：實際距離=比例尺；(3)比例尺是一個比，是一個圖上距離與實際距離的比實數(shù)有理數(shù)、無理數(shù)及數(shù)軸表示：有理數(shù)：整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)無理數(shù)：無限，不循環(huán)小數(shù)數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的一條直線叫做數(shù)軸數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度有理數(shù)在數(shù)軸上的表示：eq oac(,1)任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示；反之不然，數(shù)軸上的點不一定都用來表示有理數(shù)；eq oac(,2)在數(shù)軸上，原點左邊是負有理數(shù)，原點右邊是正有理數(shù)，原點為0；eq oac(,3)

10、數(shù)軸上右邊的點所表示的數(shù)大于左邊的點所表示的數(shù)相反數(shù)：(1)相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)，我們稱其中的一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)(2)正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，零的相反數(shù)是零(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0；反之，如果兩數(shù)和為0，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)即如果a、b互為相反數(shù)，那么a + b = 0反之，如果a + b = 0，那么a、b互為相反數(shù)(4)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個點位于原點兩側且到原點的距離相等倒數(shù)：乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)倒數(shù)是本身的數(shù)是1和，而0沒有倒數(shù)絕對值：(1)絕對值：一個數(shù)在數(shù)軸上所對應的點與原點的距離

11、，叫做這個數(shù)的絕對值一般用符號表示a的絕對值(2)任何一個數(shù)的絕對值都大于或等于零，即(3)一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零反過來：絕對值是它本身的數(shù)是正數(shù)和零，即非負數(shù)；絕對值是它相反數(shù)的數(shù)是負數(shù)和零，即非正數(shù)；即(互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的絕對值相等)平方根、立方根、n次方根：平方根：若一個數(shù)x的平方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，就是它本身；負數(shù)沒有平方根立方根：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫a的立方根，也稱為三次方根；也就是說，如果，那么x叫做a的立方根任何實數(shù)有唯一確定的立方根

12、正數(shù)立方根是一個正數(shù)；負數(shù)立方根是一個負數(shù)；0的立方根是0n次方根：如果一個數(shù)的n次方(n是大于1的整數(shù))等于a，那么這個數(shù)叫做a的n次方根；奇次方根性質：實數(shù)a的奇次方根有且只有一個，用“”表示偶次方根性質：正數(shù)a的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，用“”表示；0的偶次方根是0，負數(shù)沒有偶次方根實數(shù)及運算：運算：加、減、乘、除、乘方、冪運算近似數(shù)、有效數(shù)字及科學記數(shù)法：近似數(shù)：一個數(shù)與準確數(shù)相近(比這個準確數(shù)略多或略少)，這個數(shù)稱為近似數(shù)有效數(shù)字：是指從左邊第一個不是零的數(shù)字起往右到末位數(shù)字為止的的所有數(shù)字科學計數(shù)法：(，n為正整數(shù))例題解析例題解析(2015學年奉賢區(qū)二模第1題)如果兩個實數(shù)

13、a，b滿足a+ b = 0，那么a、b一定是( )A都等于0B一正一負C互為相反數(shù)D互為倒數(shù)(2015學年浦東新區(qū)二模第1題)2016的相反數(shù)是( )ABCD2016(2015學年寶山區(qū)、嘉定區(qū)二模第1題)的倒數(shù)是( )AB2CD(2014學年黃浦區(qū)二模第1題)下列分數(shù)中，可以化為有限小數(shù)的是( )ABCD(2015學年松江區(qū)二模第1題)下列各數(shù)是無理數(shù)的是( )ABCD16(2015學年黃浦區(qū)二模第1題)的整數(shù)部分是( )A0B1C2D3(1)(2015學年浦東新區(qū)二模第7題)計算：_(2)(2015學年黃浦區(qū)二模第7題)計算：_(3)(2015學年虹口區(qū)二模第7題)當時，的值為_(1)(2

14、015學年長寧區(qū)、金山區(qū)二模第7題)計算：_(2)(2015學年靜安區(qū)二模第7題)計算：_(3)(2015學年閔行區(qū)二模第7題)計算：_(2015學年閘北區(qū)二模第2題)的值為( )A2BCD不存在(2015學年楊浦區(qū)二模第1題)下列等式成立的是( )ABCD(2014學年閘北區(qū)二模第1題)的立方根是( )A2BCD(2014學年普陀區(qū)二模第9題)計算：=_(2015學年徐匯區(qū)二模第2題)實數(shù)n、m是連續(xù)整數(shù)，如果，那么的值是( )A7B9C11D13(2015學年靜安區(qū)二模第1題)下列各數(shù)中，與相等的是( )ABCD3(1)(2015學年普陀區(qū)二模第1題)據(jù)統(tǒng)計，2015年上海市全年接待國際旅

15、游入境者共80016000人次，80016000用科學記數(shù)法表示是( )ABCD(2)(2015學年寶山區(qū)、嘉定區(qū)二模第7題)據(jù)統(tǒng)計，今年上海“櫻花節(jié)”活動期間顧村公園入園賞櫻人數(shù)約312萬人次，用科學記數(shù)法可表示為_人次(1)(2015學年松江區(qū)二模第19題)計算：(2)(2015學年崇明縣二模第19題)計算：(1)(2015學年長寧區(qū)、金山區(qū)二模第19題)計算：(2)(2015學年閘北區(qū)二模第19題)計算：(3)(2015學年楊浦區(qū)二模第19題)計算：模塊模塊二：式與運算知識精講知識精講一、代數(shù)式用運算符號和括號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式單獨一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式如：、

16、0、等整式整式概念：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式單項式：由數(shù)與字母的積或字母與字母的積所組成的代數(shù)式叫做單項式(單獨的一個數(shù)字或者字母也叫做單項式)如：代數(shù)式、2、，它們都是單項式單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)多項式：由幾個單項式的和組成的代數(shù)式叫做多項式多項式的次數(shù)：多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)整式加減，乘除，乘方運算：(1)加減運算：合并同類項同類項：所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項式叫做同類項幾個常數(shù)項也叫同類項(所含字母相同；相同字母的次數(shù)也相同)(2)乘法，除法，冪的乘方

17、，積的乘方，乘法公式：平方差公式：完全平方公式：因式分解：把一個多項式化為幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式常用方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法分式分式有關概念及基本性質：(1)概念：一般地，如果兩個整式A、B相除，即時，可以表示為如果B中含有字母，那么叫做分式A叫做分式的分子，B叫做分式的分母(2)分式有意義、無意義的條件：分式有意義的條件是：；分式無意義的條件是：(3)分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變用式子表示是：，其中M、N為整式，且，分式加減，乘除，乘除運算分數(shù)指數(shù)冪，負指數(shù)冪及有關運

18、算：分數(shù)指數(shù)冪：(，m、n為正整數(shù)，)(，m、n為正整數(shù)，)負指數(shù)冪：(，m為正整數(shù))二次根式二次根式有關概念：形如()的式子叫做二次根式(1)滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式eq oac(,1)被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1；eq oac(,2)被開方數(shù)不含分母(2)同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式叫做同類二次根式二次根式的性質及運算：(1)()；(2)；(3)(，)；(4)(，)例題解析例題解析(2015學年閔行區(qū)二模第1題)如果單項式是六次單項式，那么n的值取( )A6B5C4D3(2014學年金山區(qū)二模第2題)下列代數(shù)式中是二次二

19、項式的是( )ABCD(2015學年崇明縣二模第7題)購買單價為a元的筆記本3本和單價為b元的鉛筆5支應付款_元(2014學年靜安區(qū)、青浦區(qū)二模第2題)某公司三月份的產(chǎn)值為a萬元，比二月份增長了m%，那么二月份的產(chǎn)值(單位：萬元)為( )ABCD(2015學年奉賢區(qū)二模第2題)若x= 2，y=，那么代數(shù)式的值是( )A0B1C2D4(2015學年靜安區(qū)二模第8題)下列計算結果正確的是( )ABCD1)(2015學年閘北區(qū)二模第7題)計算：=_(2)(2015學年徐匯區(qū)二模第7題)計算：_(3)(2015學年徐匯區(qū)二模第8題)計算：_(4)(2014學年長寧區(qū)、金山區(qū)二模第8題)計算：=_ (1

20、)(2015學年閘北區(qū)二模第8題)分解因式：=_(2)(2015學年長寧區(qū)、金山區(qū)二模第8題)分解因式：_(3)(2015學年普陀區(qū)二模第7題)分解因式：_(4)(2015學年奉賢區(qū)二模第8題)分解因式：=_(2015學年閘北區(qū)二模第1題)下列代數(shù)式中，屬于分式的是( )ABCD(2015學年靜安區(qū)二模第8題)如果分式的值為零，那么的值為_(1)(2015學年楊浦區(qū)二模第7題)計算：_(2)(2015學年閘北區(qū)二模第9題)化簡分式：=_(2015學年松江區(qū)二模第2題)下列式子中，屬于最簡二次根式的是( )ABCD(2015學年奉賢區(qū)二模第7題)化簡：=_(2015學年長寧區(qū)、金山區(qū)二模第1題)

21、在下列二次根式中，與是同類二次根式的是( )ABCD(1)(2015學年楊浦區(qū)二模第7題)寫出的一個有理化因式：_(2)(2015學年閔行區(qū)二模第2題)在下列各式中，二次根式的有理化因式是()ABCD(2015學年浦東新區(qū)二模第2題)如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么x的值是( )AB0C1D2(2015學年閔行區(qū)二模第1題)在實數(shù)范圍內分解因式：_(2015學年黃浦區(qū)二模第19題)化簡求值：，其中 (2015學年靜安區(qū)二模第19題)先化簡，再求值：，其中，(2015學年寶山區(qū)、嘉定區(qū)二模第19題)化簡，再求值：，其中隨堂檢測隨堂檢測下列分數(shù)中，能化為有限小數(shù)的是( )ABCD(2014學

22、年閔行區(qū)二模第1題)下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是( )ABCD(2015學年虹口區(qū)二模第1題)計算的結果是( )A6 BC8D(1)(2014學年長寧區(qū)、金山區(qū)二模第7題)計算： =_(2)(2014學年閘北區(qū)二模第7題)計算：_(3)(2014學年閔行區(qū)二模第7題)計算：_(4)(2014學年浦東新區(qū)二模第7題)計算：=_(2014學年閘北區(qū)二模第8題)用科學記數(shù)法表示：3402000 = _(2014學年浦東新區(qū)二模第1題)下列等式成立的是( )ABCD(2015學年浦東新區(qū)二模第2題)下列各整式中，次數(shù)為5次的單項式是( )ABCD(2015學年黃浦區(qū)二模第2題)下列計算中，正確的是( )A

23、BCD(2014學年奉賢區(qū)二模第7題)用代數(shù)式表示：a的5倍與b的的差：_(1)(2015學年寶山區(qū)、嘉定區(qū)二模第8題)計算：_(2)(2015學年黃浦區(qū)二模第9題)計算：_(1)(2015學年奉賢區(qū)二模第8題)因式分解：=_(2)(2014學年黃浦區(qū)二模第8題)因式分解：_(3)(2014學年金山區(qū)二模第9題)因式分解：_(4)(2014學年靜安區(qū)、青浦區(qū)二模第8題)分解因式：_(2015學年黃浦區(qū)二模第3題)下列根式中，與互為同類二次根式的是( )ABCD(2014學年閔行區(qū)二模第2題)二次根式的有理化因式是( )ABCD(1)(2014學年黃浦區(qū)二模第19題)計算：(2)(2015學年徐匯區(qū)二模第19題)計算：(3)(2015學年普陀區(qū)二模第19題)計算：(2014學年金山區(qū)二