1、3.1 連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換3.2 抽樣定理3.3 離散信號(hào)的傅里葉變換（DTFT）3.4 離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）3.5 離散傅里葉變換（DFT）3.6 用DFT計(jì)算線性卷積3.7 與DFT有關(guān)的幾個(gè)問題傅立葉變換是信號(hào)分析與處理的基本工具第3章 離散傅里葉變換 法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年生于歐塞爾， 1830年5卒于巴黎。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會(huì)主席。主要貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。1807年向巴黎科學(xué)院呈交熱的傳播論文，推導(dǎo)出著名

2、的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。1822 年在代表作熱的分析理論中解決了熱在非均勻加熱的 固體中分布傳播問題，對19世紀(jì)數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響 。傅立葉級(jí)數(shù)、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。 傅立葉（Fourier, 1768-1830）1. 連續(xù)周期信號(hào)(周期為T0)2. 連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)3. 離散非周期信號(hào)4. 離散周期信號(hào)(周期為N)兩門課共整體介紹四種信號(hào)的頻譜優(yōu)點(diǎn)：從信號(hào)表示的角度引入四種信號(hào)的Fourier變換，建立信號(hào)Fourier分析的整體概念，有利于比較相互之間的異同點(diǎn)。缺點(diǎn)：難

3、以同時(shí)接受四種信號(hào)頻譜？容易造成混淆？連續(xù)周期信號(hào)連續(xù)非周期信號(hào)離散非周期信號(hào)離散周期信號(hào)離散非周期頻譜連續(xù)非周期頻譜連續(xù)周期頻譜離散周期頻譜兩門課共整體介紹四種信號(hào)的頻譜用DFT對模擬信號(hào)作頻譜分析過程信號(hào)的頻譜分析：計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換1. 傅立葉級(jí)數(shù)3.1 連續(xù)信號(hào)的傅立葉變換FS傅立葉系數(shù) 是第 次諧波的系數(shù),所以 在頻率坐標(biāo)軸上是離散的，間隔是 。由有頻譜密度1. 連續(xù) 離散2. 密度 強(qiáng)度FTFS 請深刻理解FS和FT的定義，及它們的區(qū)別與聯(lián)系！因?yàn)樗?，如?是絕對可積的，那么它一定是平方可積的，但是反之不一定成立。例如，是平方可積的，但不是絕對可積的。所以，取 更穩(wěn)妥（即更嚴(yán)格

4、）。周期信號(hào)： 可以實(shí)現(xiàn)傅里葉級(jí)數(shù)的分解， 屬于功率信號(hào)；非周期信號(hào)：可以實(shí)現(xiàn)傅里葉變換， 屬于能量信號(hào)；？那么，周期信號(hào)可否實(shí)現(xiàn)傅里葉變換 在經(jīng)典數(shù)學(xué)的意義上是不可實(shí)現(xiàn)的，但在引入了奇異函數(shù)后可以實(shí)現(xiàn)。例：令 求其傅立葉變換。因?yàn)椋?所以，嚴(yán)格意義上的傅立葉變換不存在，可將其展開為傅立葉級(jí)數(shù)：現(xiàn)利用 函數(shù) 將 作傅立葉變換：FSFT線譜3.3 抽樣定理現(xiàn)研究信號(hào)抽樣的數(shù)學(xué)模型：請掌握公式的推導(dǎo)！FTDTFT的性質(zhì)周期延拓，無窮迭加迭加后可能產(chǎn)生的影響離散序列x(n)頻譜與抽樣間隔Ts之間的關(guān)系離散序列x(n)頻譜與抽樣間隔T之間的關(guān)系 混疊(aliasing)或要求：若保證相等則要 保 留全

5、部信息即：抽樣頻率 至少要等于信號(hào)最高頻率 的兩倍。此即抽樣定理。Nyquist 抽樣定理，或 Shannon 抽樣定理 抽樣定理的工程應(yīng)用許多實(shí)際工程信號(hào)不滿足帶限條件 抗 混低通濾波器 混疊誤差與截?cái)嗾`差比較抽樣定理的工程應(yīng)用不同抽樣頻率的語音信號(hào)效果比較抽樣頻率fs=44,100 Hz抽樣頻率fs=5,512 Hz抽樣頻率fs=5,512 Hz抽樣前對信號(hào)進(jìn)行了抗混疊濾波如何由 重建出 工程上： 使用 D/A 轉(zhuǎn)換器；在滿足抽樣定理的情況下， 的一個(gè)周期即等于 ，因此，可截取之。?理論上： 導(dǎo)出如下：其余為零插值函數(shù)插值公式權(quán)重 Discrete Time Fourier Transfo

6、rm, DTFTDTFT3.2 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換DTFT和Z變換的關(guān)系?。ㄒ唬┒x1. 是離散的，所以變換需要求和；2. 是 的連續(xù)函數(shù)；3. 是 的周期函數(shù)，周期為 ；4. 存在的條件是 空間（二）特點(diǎn)可以看作是將 在頻域展開為傅立葉級(jí)數(shù)，傅立葉系數(shù)即是 ；5. DTFT7. 由 可以得到 的幅度譜、相位譜及能量譜，從而實(shí)現(xiàn)離散信號(hào)的頻頻分析；6. 是 在單位圓上取值時(shí)的 變換： 8. 反變換四種傅立葉變換:時(shí)域頻域1. 連續(xù)非周期 連續(xù)非周期() FT2. 連續(xù)周期 離散非周期 () FS3. 離散非周期 連續(xù)周期（ ） DTFT4. 離散周期 離散周期 DFS ？切實(shí)理解四種FT

7、之間的對應(yīng)關(guān)系四種傅立葉變換1. 線性2. 移位3. 奇偶、虛實(shí)性質(zhì)（三）性質(zhì)如果 是實(shí)信號(hào)，即如果 是實(shí)偶信號(hào)，即則 是 的實(shí)函數(shù)！4. 時(shí)域卷積定理則：5. 如果則：時(shí)域卷積定理 頻域卷積定理！如果6. 時(shí)域相關(guān)定理互相關(guān)：自相關(guān)：自相關(guān)函數(shù)的 DTFT 始終是 的實(shí)函數(shù)！DTFT7. Parsevals 定理 注意：Parsevals 定理有著不同的表示形式；上述關(guān)系只對能量信號(hào)成立；：能量譜8. WienerKhinchin 定理對功率信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)定義為：定義：功率譜說明：1. 在 內(nèi)的積分等于信號(hào)的功率，所以稱 為功率譜，同理， 為能量譜；2. 始終是 的實(shí)函數(shù)；3. 相關(guān)函數(shù)

8、和功率譜是隨機(jī)信號(hào)分析與處理的主要工具，它們都需要靠“估計(jì)”得到，這就形成了豐富的“估值理論”。4.典型信號(hào)的DTFT例1:低通 高通？（四）應(yīng)用分析其幅頻響應(yīng)。極零分析法：46例2. 信號(hào)截短對DTFT的影響注意：所有有限長的信號(hào)都應(yīng)看作一 無限長的信號(hào)和一矩形窗相乘的結(jié)果。關(guān)鍵是對頻域的影響。 越大，主瓣越窄函數(shù)過零點(diǎn)令：則：是周期的線譜，與卷積后，頻譜將發(fā)生失真，影響其分辨率(Resolution)卷積的結(jié)果是 的主瓣對 起到了平滑的作用，降低了 中譜峰的分辨能力。兩個(gè)線譜和 函數(shù)的卷積：窗函數(shù)頻譜： 峰值左、右第一個(gè)過零點(diǎn)之間的距離稱為主瓣，主瓣外第一個(gè)峰值稱為邊瓣。我們希望主瓣的寬度

9、越小越好，邊瓣的幅度越小越好。若想分辨出 兩個(gè)譜峰，數(shù)據(jù)的長度：是矩形窗主瓣的寬度如何對 作頻譜分析顯然：因?yàn)?是離散的，故頻譜是周期的；因?yàn)?是周期的，故頻譜是離散的； 即： 的頻譜應(yīng)是離散的、且是周期的。但： 是功率信號(hào)，不能直接作DTFT；3.4 離散傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）周期序列?52離散、非周期FS:離散化離散、周期周期：離散、周期?即： 是周期的，周期是 ，間隔是 是周期的，周期是 ，間隔是所以，各取一個(gè)周期，有：此即DFS!DFS 中， 仍取無窮長，實(shí)際上沒必要！改為：此即 DFT !從實(shí)際上，當(dāng)我們在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析時(shí)，要求：時(shí)域、頻域都是離散的；時(shí)域、頻域都是有限長；

10、FT、FS、 DTFT、 DFS 都不符合要求 但利用DFS的時(shí)域、頻域的周期性，各 取一個(gè)周期，就形成新的變換對：DFT從原理上， 和 的各自一個(gè)周期即可表示完整的序列；但DFT并不是“第五種”傅立葉變換！為什么要由DFS過渡到DFT？ 這一對式子，左、右兩邊都是離散的，有限長，因此可方便地用來實(shí)現(xiàn)頻譜分析。但使用時(shí)，一定要想到，它們均來自DFS, 即 和 都是周期的！3.5 離散傅立葉變換（DFT）DFT 的圖形解釋3.5.3 Z變換、 DTFT、DFT 之間的關(guān)系關(guān)系： 3.5.4 DFT的性質(zhì)1. 線性 這里，序列長度及DFT點(diǎn)數(shù)均為N若不等，分別為N1，N2，則需補(bǔ)零使兩序列長度相等

11、，均為N，且2. 的性質(zhì)a) 周期性b) 可約性c) 共軛對稱性d) 正交性3. 循環(huán)移位有限長序列的圓周移位導(dǎo)致頻譜線性相移，而對頻譜幅度無影響。 為實(shí)序列：4. 奇、偶、虛、實(shí)對稱性質(zhì)復(fù)序列純虛序列？5. Parsevals 定理6. 時(shí)域循環(huán)卷積線性卷積都是 點(diǎn)序列當(dāng)和DFT聯(lián)系起來時(shí)，注意到 、 都是以 為周期的周期序列。移位時(shí)有移進(jìn)也有移出。 循環(huán)卷積定義為：點(diǎn)序列循環(huán)卷積定理循環(huán)卷積過程：1）補(bǔ)零、換元2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）循環(huán)移位5）相乘相加NN-3 -2 -10 1 2 3 4 56 75 4 3 2 1 01 1 1 1 0 0 1 0 01 1 1 1 0 0

12、1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 01 0 0 1 1 11 1 0 0 1 11 1 1 0 0 11 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 1 1 18 10 12 14 10 6 7、共軛對稱性序列的Fourier變換的對稱性質(zhì)中提到：其中：任意序列可表示成 和 之和:其中：共軛反對稱分量：共軛對稱分量：任意周期序列：定義：則任意有限長序列：圓周共軛反對稱序列：圓周共軛對稱序列：圓周共軛對稱序列滿足：圓周共軛反對稱序列滿足：同理：其中： 序列 DFT共軛對稱性 序列 DFT實(shí)數(shù)序列的共軛對稱性純虛序列的共軛對稱性 序列 DFT 例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)

13、的實(shí)數(shù)序列，試用一次N點(diǎn)DFT運(yùn)算來計(jì)算它們各自的DFT: 3.6 用 DFT 計(jì)算線性卷積都是非周期如何用DFT來實(shí)現(xiàn)？DFT有快速算法存在什么矛盾補(bǔ)零補(bǔ)零DFTDFT相乘IDFT當(dāng) 時(shí)，循環(huán)卷積可完全代表線性卷積。小結(jié)：線性卷積求解方法時(shí)域直接求解 補(bǔ)N-N1個(gè)零x(n)N點(diǎn)DFT補(bǔ)N-N2個(gè)零h(n)N點(diǎn)DFTN點(diǎn)IDFTy(n)= x(n)*h(n)z變換法DFT法 沒有全部進(jìn)入，如何實(shí)現(xiàn)卷積全部進(jìn)入再卷積，又如何保證實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)長序列卷積的計(jì)算：數(shù)字信號(hào)處理的優(yōu)勢是“實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)”，即信號(hào)進(jìn)來后，經(jīng)處理后馬上輸出出去。然而：？1）疊接相加法 N 2）疊接舍去法 舍棄yi(n)的前M-1個(gè)點(diǎn)，

14、再將yi(n)順次連接，即得y(n)。分段右移序列卷積N 關(guān)鍵是將 分段和 卷積將 分成 段，每段長?Overlap add method 疊接相加法Overlap save method 疊接舍去法另外： 較短（FIR：長度在2050之間，IIR: 盡管無限長，但有限長度要小于50）， 可能很長，也不適宜直接卷積。一、分辨率 分辨率問題是信號(hào)處理中的基本問題，包括頻率分辨率和時(shí)間分辨率。 頻率分辨率：通過頻域窗觀察到的頻率寬度； 時(shí)間分辨率：通過時(shí)域窗觀察到的時(shí)間寬度；3.7 與DFT有關(guān)的幾個(gè)問題 窗函數(shù)的“寬度”越小越好！ 窗函數(shù)的“寬度”能隨信號(hào)的 變化自適應(yīng)當(dāng)調(diào)整！希望 頻率分辨率又

15、可定義為：將信號(hào)中兩個(gè)靠的很近的譜峰區(qū)分開的能力。 頻率分辨率：一是取決于信號(hào)的長度，二是取決于頻譜分析的算法。 時(shí)間和頻率是描述信號(hào)的兩個(gè)主要物理量，它們通過傅里葉變換相聯(lián)系。FT (DFT) DTFT對 FT: 設(shè) 長度為 ，則 的分辨率？主瓣寬度反比于時(shí)間長度對 DTFT: 設(shè)抽樣間隔為 ， 則 主瓣寬度反比于時(shí)間長度 用計(jì)算機(jī)分析和處理信號(hào)時(shí)，信號(hào)總是有限長，其長度即是矩形窗的寬度，要想分辨出 處的兩個(gè)頻譜，數(shù)據(jù)長度必須滿足：對矩形窗， ，其他類型的窗函數(shù)，這為數(shù)據(jù)長度的選擇提供了依據(jù)?！拔锢矸直媛省保喝Q于信號(hào)的有效長度。例：試確定將三個(gè)譜峰分開所需要的數(shù)據(jù)的長度。在本例中，最小的頻

16、率差由 有即要想分辨出這三個(gè)譜峰，數(shù)據(jù)的長度至少要大于1000，從DFT的角度看若令則下圖， 分別等于256和1024，可見， 時(shí)無法分辨三個(gè)譜峰。對DFT:此為 相鄰兩點(diǎn)的頻率間隔，也是最大分辨“細(xì)胞”。若要分辨出 處的兩個(gè)譜峰， 必須大于 。由信號(hào)的最高頻率 確定抽樣頻率 ；使用DFT的步驟： 根據(jù)分辨率的需要，確定 數(shù)據(jù)長 ； 根據(jù) DFT 的結(jié)果，再適當(dāng)調(diào)整參數(shù)。 要根據(jù)分辨率的要求確定模擬信號(hào)的長度 , 若 可以無限長，則DFT和線性卷積是信號(hào)處理中兩個(gè)最重要的基本運(yùn)算，有快速算法，且二者是“相通”的。 不變，若增加 ,“計(jì)算分辨率”如何增加數(shù)據(jù)的點(diǎn)數(shù)？提高抽樣率；在數(shù)據(jù)后面補(bǔ)零。能

17、提高分辨率嗎！不能提高分辨率 不能提高分辨率，沒有增加數(shù)據(jù)有效長度！ 數(shù)據(jù)后補(bǔ)零的影響：為什么要補(bǔ)零？ 使數(shù)據(jù)長度為 2 的整次冪，有利于FFT。數(shù)據(jù)過短，會(huì)引起頻譜泄露（頻譜的“擴(kuò)散”拖尾、變寬P109），補(bǔ)零后可起到一定的插值作用；能夠改善柵欄效應(yīng)定義：用DFT計(jì)算頻譜，頻譜只分布在基頻的整數(shù)倍處，是離散譜，就像通過“柵欄”觀看景象，而只能在離散點(diǎn)看到真實(shí)景像 。例：令在正頻率處應(yīng)該有三根譜線。減小柵欄效應(yīng)的方法：使頻域抽樣更密，即增加頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N，在不改變時(shí)域數(shù)據(jù)的情況下，必然是在時(shí)域數(shù)據(jù)末端添加一些零值點(diǎn)，使一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)增加，但并不改變原有的記錄數(shù)據(jù)。頻域抽樣為 ，N增加，必然使

18、抽樣點(diǎn)間距離更近（單位圓上樣點(diǎn)更多），譜線更密，譜線變密后原來看不到的譜分量就有可能看到了。（幾根譜線？）補(bǔ) 個(gè)零（？）補(bǔ)7 個(gè)零補(bǔ)29 個(gè)零三個(gè)正弦二、DFT 對 FT 的近似問題的提出：原：頻譜： 抽樣： 頻譜： 截短： 頻譜： 是否是 的準(zhǔn)確抽樣？ 只要滿足抽樣定理； 做 DFT 時(shí)數(shù)據(jù)的長度保證所需的頻率分辨 率；則 是 的極好近似。為什么 不是 的準(zhǔn)確抽樣關(guān)鍵取決于信號(hào)時(shí)寬帶寬的不定原理： 信號(hào)的時(shí)寬信號(hào)的帶寬信號(hào)時(shí)寬帶寬積(Uncertainty Principle)或：？ 所以，若信號(hào)是有限時(shí)寬的，那么在頻域必然是無限帶寬的，反之亦然。這一現(xiàn)象也可從加窗的角度來理解，即矩形窗的頻譜是無限寬的。這一現(xiàn)象，來自傅立葉變換的性質(zhì)：FTFT做 DFT 時(shí)，總不可避免的取有限長，“有限長”帶來了 對 的近似。各作15點(diǎn)的DFT，然后將兩個(gè)DFT相乘，再求乘積的IDFT，設(shè)所得結(jié)果為習(xí)題一 設(shè)有兩個(gè)序列，問的哪些點(diǎn)（用序號(hào)n表示）對應(yīng)于應(yīng)該得到的點(diǎn)。Ans:（514點(diǎn)）設(shè)有一譜分析用的信號(hào)處理器，抽樣點(diǎn)數(shù)必須為2的整數(shù)