1、輸油管的優(yōu)化布置 2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 C題問題背景 某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。問題背景1. 針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計(jì)方案。在方案設(shè)計(jì)時(shí)，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形。2. 設(shè)計(jì)院目前需對(duì)更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)(I 區(qū)域)，B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的

2、距離（單位：千米）分別為 a=5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬元。 在城區(qū)鋪設(shè)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請(qǐng)三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)）進(jìn)行了估算。結(jié)果如下表所示：工程咨詢公司公司一公司二公司三附加費(fèi)用(萬元/千米)212420請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)最佳管線布置方案并給出相應(yīng)的費(fèi)用。問題背景3. 在該實(shí)際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費(fèi)

3、用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費(fèi)用同上。請(qǐng)給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。1.問題分析在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，并在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來運(yùn)送成品油，根據(jù)各種不同的情況，輸油管線設(shè)計(jì)方案不同。共用管線費(fèi)用一般比非共用管線費(fèi)用貴，但不會(huì)超過2倍，否則不用共用管線。本問題涉及煉油廠及車站位置等，可以借助幾何方法來描述。2.模型假設(shè)（1）兩煉油廠分別為A、B，位于鐵道線的同側(cè)；（2）鐵路是一條直線，E點(diǎn)為車站；（3） P點(diǎn)為共用管線與非共用管線的交點(diǎn)； 共用管線費(fèi)用是非共用管線費(fèi)用 k 倍 （4）不考慮施工工藝對(duì)管道鋪設(shè)的影響。假設(shè)共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同定理： 設(shè)ab，假設(shè)共用管

4、線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同。如果交匯點(diǎn)為Q(x,y)，則Q點(diǎn)應(yīng)位于矩形ACDE內(nèi)：PQ圖1：有共用管線的布置xyE問題一 假設(shè)共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同設(shè)ab，交匯點(diǎn)Q(x,y)，管路單價(jià)r(萬元/千米)，則模型如下：PQ目標(biāo)函數(shù)有唯一駐點(diǎn)：情形1：駐點(diǎn)坐標(biāo)滿足約束條件（2），即：圖1：有共用管線的布置xyQ圖2：無共用管線的布置xy情形3：如果y*0,即：則無需共用管線，令y*=0。此時(shí)圖形轉(zhuǎn)為圖2.利用對(duì)稱性，可得：A情形2：如果x*a,即：則令x*=0或y*=a，代入(1)可得：此時(shí)，Q點(diǎn)與A點(diǎn)重合。問題一 假設(shè)共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同此時(shí)，Q點(diǎn)為AB與鐵路的交點(diǎn)。問題一

5、假設(shè)共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用不同假設(shè)共用管線和非共用管線單價(jià)分別為kr(萬元/千米)和r (萬元/千米)，通常2k1，則模型為類似于前面三種情形的討論，可得如下結(jié)果：目標(biāo)函數(shù)有唯一駐點(diǎn)：情形4：駐點(diǎn)坐標(biāo)滿足約束條件（4），即下面的不等式(5)成立時(shí)：極小值點(diǎn)不變！Q圖2：無共用管線的布置xy情形6：如果y*0，即：則無需共用管線，令y*=0。此時(shí)與情形3相同，可得：A情形5：如果x*a,即：則令x*=0或y*=a，代入(3)可得：此時(shí)，Q點(diǎn)為A點(diǎn)。問題一 假設(shè)共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用不同此時(shí)，Q點(diǎn)為AB與鐵路的交點(diǎn)。問題二附加費(fèi)用m(萬元/千米)的確定m的大小可以按照三家工程咨詢公司的

6、估算值做加權(quán)平均，設(shè)甲級(jí)資質(zhì)權(quán)重為k，乙級(jí)資質(zhì)權(quán)重為1(k1)，則問題二設(shè)所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均相同PQ目標(biāo)函數(shù)有唯一駐點(diǎn)：如果駐點(diǎn)坐標(biāo)滿足約束條件（10），則：圖3：有附加費(fèi)用和共用管線的布置xyT設(shè)管線與I、II區(qū)交界處交點(diǎn)為T(c,t)，所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用單價(jià)為r(萬元/千米)，則模型如下：問題二設(shè)所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均相同題目給出參數(shù)：a=5,b=8,c=15,l=20,r=7.2通過數(shù)值計(jì)算討論k的影響（敏感性分析）權(quán)重km(萬元/千米)x*(千米)y*(千米)t*(千米)Zmin(萬元)EZk1.221.635.4471.8557.371283.3525-0.00421.621.565

7、.4481.8547.369282.9997-0.00442.021.505.4491.8547.368282.6973-0.00453.021.405.4511.8537.366282.1934-0.00434.021.335.4531.8527.364281.8405-0.00405.021.295.4541.8517.363281.6389-0.00376.021.255.4541.8517.362281.4373-0.0034不同權(quán)值下的最優(yōu)解數(shù)值結(jié)果問題二設(shè)所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均相同直接求解目標(biāo)函數(shù)駐點(diǎn)坐標(biāo)較為困難,怎么辦？有沒有簡單的方法？設(shè)各類管線鋪設(shè)費(fèi)用單價(jià) (萬元/千米)分別為

8、：公用段p, A廠r1，B廠r2,則模型如下：問題三設(shè)所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用都不相同PQxyTC從平面的三角關(guān)系入手：匯合點(diǎn)Q,T可以由三個(gè)角度確定，P點(diǎn)由Q點(diǎn)確定圖4：有附加費(fèi)用和共用管線的布置解得：根據(jù)幾何關(guān)系：駐點(diǎn)條件等價(jià)于問題三設(shè)所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用不相同PQxyTC圖4：有附加費(fèi)用和共用管線的布置可見：直角坐標(biāo)變量 x, y, t 之間為線性方程組關(guān)系，系數(shù)由三角函數(shù)決定。解得：代入目標(biāo)函數(shù)解得：PQxyTC圖4：有附加費(fèi)用和共用管線的布置設(shè)所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用不相同問題三有沒有更簡單的方法？設(shè)所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用不相同類比法 ！光的折射定律光程：光在媒質(zhì)中通過的路程和該媒質(zhì)折射率的乘積 費(fèi)馬

9、原理:光在傳播過程中遵循“光程最短”的原則光程最短如果將光線看成是管道，折射率看成是管道單價(jià)，則光程可以視為管道總造價(jià)！光程最短等價(jià)于兩段管道總造價(jià)最??！確定入射光與折射光在介質(zhì)界面的最佳交匯點(diǎn)推廣：n條管道確定最佳匯合點(diǎn)題目給出參數(shù)：a=5,b=8,c=15,l=20,p=7.2,r1=5.6,r2=6通過數(shù)值計(jì)算討論k的影響（敏感性分析）權(quán)重km(萬元/千米)x*(千米)y*(千米)t*(千米)Zmin(萬元)1.221.636.7320.1407.283252.62521.621.566.7330.1407.281252.27162.021.506.7340.1397.280251.96853.021.406.7350.1387.277251.46334