精品文檔精品文檔\E\E各類(lèi)等腰三角形難題例1.在ZABC中,AB二AC,且ZA=20°,在為AB上一點(diǎn),AD=BC,連接CD.試求:ZBDC的度數(shù).分析:題中出現(xiàn)相等的線段，以此為突破口，構(gòu)造全等三角形.解:作ZDAE=ZB=80°,使AE=BA,(點(diǎn)D,E在AC兩側(cè))連接DE,CE.VAE=BA;AD=BC;ZDAE=ZB.???ZDAE空/CBA(SAS),DE二AE;ZDEA=ZBAC=20°ZCAE=ZBAE-ZBAC=60°,又AE=AB=AC????ZAEC為等邊三角形,DE=CE;ZDEC=ZAEC-ZDEA=40°.則:ZCDE=70°;又ZADE=80°?故ZADC=150°,ZBDC=30°.例2■已知，如圖:ZABC中,AB=AC,ZBAC=20°.點(diǎn)D和E分別在AB,AC上，且ZBCD=50°,ZCBE=60°.試求ZDEB的度數(shù).

本題貌似簡(jiǎn)單，其實(shí)不然.解:過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線，交AB于F,連接CF交BE于點(diǎn)G,連接DG.易知ZGEF,/GBC均為等邊三角形.AZFEG=ZEFG=60°;NAFG=140°,ZDFG=40°;???ZBCG=50°;NCBD=60°???ZBDC=50°=ZBCD,則BD=BC=BG;又ZABE=20°?故ZBGD=80°,ZDGF=180°-ZBGD-ZFGE=40°.即ZDGF=ZDFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.???ZDGE空Z(yǔ)DFE(SSS),得：ZDEG二NDEF=30°?所以,NDEB=30°?例3■已知，等腰ZABC中,AB=AC,ZBAC=20°,D和E分別為AB和AC上的點(diǎn)，且ZABE=10°,ZACD=20°.試求:ZDEB的度數(shù).本題相對(duì)于上面兩道來(lái)說(shuō)，難度又增加了許多?且看我下面的解答.

解:在ca上截取cm=cb,連接bm,dm,則ZCMB=ZCBM=50°.作DG〃BC,交AC于G,連接BG,交CD于F,連接FM.易知/BCF和ZDGF為等邊三角形,CM=CB=CF.AZCMF=ZCFM=80°,ZGMF=100°.ZGFM=ZGFC-ZCFM=40°;ZFGM=ZA+ZABG=40°.即ZGFM=ZFGM;FM=GM;又ZDF=DG,DM=DM?則ZDMF^ZDMG,ZDMG=ZDMF=50°.故ZDMC=130°=ZEMB;又ZDCM=ZEBM=20°.???ZDMCsZEMB,DM/MC=EM/MB;又ZDME=ZBMC=50°.???ZDMEsZCMB,ZDEM=ZCBM=50°.又ZBEC=ZABE+ZA=30°.所以,ZDEB=ZDEG-ZBEC=50°-30°=20°.例4?如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CD,DM丄BC,垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。思路點(diǎn)撥：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DM丄BC,所以想到連結(jié)BD,證BD=ED。因?yàn)锳ABC是等邊三角形，NDBE=ZABC,而由CE=CD，又可證ZE=ZACB，所以Z1=ZE,從而問(wèn)題得證。證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)所以N1=ZABC又因?yàn)镃E=CD，所以ZCDE=ZE所以ZACB=2ZE即Z1=ZE所以BD=BE,又DM丄BC,垂足為M所以M是BE的中點(diǎn)（等腰三角形三線合一定理）例5?如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,ZABC的平分線交AC于D,過(guò)C作BD垂線交BD的延長(zhǎng)線于E,交BA的延長(zhǎng)線于F,求證：BD=2CE?思路點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件，易證ABFE今ABCE，所以BF=BC，所以ZF=ZBCE,根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，CE=FE,再證明△ABD^AACF,證得BD=CF,從而證得BD=2CE?證明:VZABC的平分線交AC于D,???ZFBE二ZCBE,又BE二BE,???BE丄CF,/.ZBEF=ZBEC,???△BFE$ABCE(ASA),???CE二EF,???CF=2CE,???ZBAC=90°，且AB二AC,/.ZFAC=ZBAC=90°,ZABC=ZACB=45°,/.ZFBE=ZCBE=22.5°,/.ZF=ZADB=67.5°,又AB=AC,△ABD^^ACF(AAS),BD=CF,???BD=2CE?例6.如圖，在AABC中，BO平分ZABC,CO平分ZACB,DE過(guò)O且平行于BC,已知AADE的周長(zhǎng)為10cm,BC的長(zhǎng)為5cm,求AABC的周長(zhǎng)C思路點(diǎn)撥根據(jù)題意先證明ABDO和ACEO是等腰三角形，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得BD=OD,CE=EO,根據(jù)已知AADE的周長(zhǎng)為10cm,△ABC的周長(zhǎng).再加上BC的長(zhǎng)即可得解：TBO平分ZABC,CO平分ZACB,/.ZDB0=Z0BC,ZEC0=Z0CB,???DE〃BC,/.ZD0B=Z0BC,ZE0C=Z0CB,/.ZDB0=ZD0B,ZEC0=ZE0C,???BD=0D,CE=EO（等角對(duì)等邊）???AD+DE+AE=10cm,.??AD+BD+CE+EA=10cm,又BC的長(zhǎng)為5cm，所以AABC的周長(zhǎng)是：AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm?例7■三角形ABC,AB=AC,邊BC的中點(diǎn)為D（1）畫(huà)圖：作一個(gè)等邊三角形DEF,使頂點(diǎn)E,F分別在邊AB和AC上（2）你所作的等邊三角形DEF的邊EF與BC平行嗎？理由是什么？（3）是否可能作一個(gè)等邊三角形DEF,使它的邊EF與BC不平行？如有可能，指出角A的度數(shù)；如不可能，說(shuō)出理由解：⑴見(jiàn)圖作法：在三角形ABC內(nèi)部作ZBDE=NCDF=60度，角的兩邊分別交AB、AC于E、F,連接EF則三角形DEF就是所要求作的等邊三角形⑵平行。理由：因?yàn)锳B=AC所以ZB=ZC因?yàn)镈是BC中點(diǎn)所以BD=CD因?yàn)閆BDE=ZCDF=60度所以△BDE^ACDF(ASA),ZEDF=60度所以DE=DF所以三角形DEF是等邊三角形所以ZBDE=ZDEF=60度所以EF//BC⑶可能°ZA=120度證明要點(diǎn)：因?yàn)镋F與BC不平行，所以AE#AF，不妨設(shè)AE>AF過(guò)F作FG//BC,交AB于G,連接DG容易證明ABDG今ACDF所以DG=DF=DE,ZBGD=ZCFD由DE=DG得ZDEG=ZDGE所以NDEG=ZCFD所以A、E、D、F四點(diǎn)共圓所以ZA+ZEDF=180度所以ZA=120度例8■三角形ABC中，AB=AC,D在AC上,E在AB上，連結(jié)DE,已知頂角等于20°ZCBD=60°NECB=50°求ZADE的度數(shù)解：以B為圓心，BC為半徑畫(huà)弧，交AC于G,連接DG,則：BG=BC,ZBGC=ZACB；已知：AB=AC,ZA=20°,則:ZABC=ZACB=80°,ZBGC=ZACB=80°,ZGBC=20°,ZABG=60°；已知:ZCBD=60°,貝y：ZABD=20°,ZDBG=40°,ZBDG=ZBGC-ZDBG=40°,BG=DG；已知:ZECB=50°,則:ZBRC=180°-ZABC-ZECB=50°；已知：圓孤，ZABG=60°,則：BE=BC=BG=DG,ABGE為正三角形，EG=BE=BC=BG=DG,ZEGB=60°,ZDGE=180°-ZBGC-ZEGB=40°；已知：EG=DG,則:ZGED=ZEDG=(180°-ZDGE)/2=70°,NADE=180°-NEDG=110°。例9.如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CD,DM丄BC,垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。分析:欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DM丄BC,所以想到連結(jié)BD,證BD=ED。因?yàn)锳ABC是等邊三角形，NDBE=1ZABC,而由CE=CD,又可證ZE=1ZACB，所以Z1=ZE,從而問(wèn)題得證。證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)所以Z1=1ZABC又因?yàn)镃E=CD，所以ZCDE=ZE所以ZACB=2ZE即Z1=ZE所以BD=BE,又DM丄BC,垂足為M所以M是BE的中點(diǎn)(等腰三角形三線合一定理)例10?如圖，已知：AABC中，AB二AC，D是BC上一點(diǎn)，且AD二DB,DC二CA，求ZBAC的度數(shù)。A分析：題中所要求的ZBAC在AABC中，但僅靠AB二AC是無(wú)法求出來(lái)的。因此需要考慮AD=DB和DC二CA在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來(lái)求。解：因?yàn)锳B二AC，所以ZB二ZC因?yàn)锳D=DBZB二ZDAB二ZC因?yàn)镃A二CD，所以ZCAD二ZCDA（等邊對(duì)等角）而ZADC二ZB+ZDAB所以ZADC二2ZB,ZDAC二2ZB所以ZBAC二3ZB又因?yàn)閆B+ZC+ZBAC=180。即ZB+ZC+3ZB=180。所以ZB=36。即求得ZBAC=108。說(shuō)明1.等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點(diǎn)在后邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。注意“等邊對(duì)等角”是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，而邊證邊算又是解決這類(lèi)

題目的常用方法。例11?已知：如圖，AABC中，AB二AC,CD丄AB于D。求證:ZBAC二2ZDCB。—2——2—IIBCBC分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，ZBAC是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與ZDCB的關(guān)系。證明：過(guò)點(diǎn)A作AE丄BC于E,AB二AC所以—2=*ZBAC（等腰三角形的三線合一性質(zhì)）因?yàn)閆1+ZB=90。又CD丄AB，所以ZCDB=90。所以Z3+ZB=90。（直角三角形兩銳角互余）所以4=Z3（同角的余角相等）即ZBAC二2ZDCB說(shuō)明：1.作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線;2.對(duì)線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”或“倍長(zhǎng)中線”等輔助線的添加方法，對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構(gòu)造出ZDCB的等角等。

例12?已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，DE丄AB,DF丄AC,E、F分別是垂足。求證：AE=AF。C證明：因?yàn)锳B二AC，所以ZB=ZC又因?yàn)镈E丄AB,DF丄AC所以ZBED=ZCFD=90。又D是BC的中點(diǎn)，所以DB二DC所以aDEB仝aCFD(AAS)所以BE二CFAE=AF說(shuō)明：證法二：連結(jié)AD,通過(guò)AAED二AAFD證明即可例13.如圖，AABC中，AB=AC,ZA=100?！瓸D平分ZABC。求證：AD+BD二BC。分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取BF=BD，只需證明CF二AD，考慮到Z1=Z2，想到在BC上截取BE=BA，連結(jié)DE,易得，則有AD=FD，只需證明DE二CF，這就要從條件出發(fā)，通過(guò)角度計(jì)算可以得出CF二DF二DE證明一：在BC上截取BE二BA,BF二BD，連結(jié)DE、DF在AABD和AEBD中，BA二BE，Z1=Z2,BD二BDAABD仝AEBD（SAS）AD二DE，ZBED二ZA二100。.ZDEF二80。又AB=AC,ZA=100。???ZABC=ZC=2（180。-100。）=40。.Z1=Z2=x40。=20。2而B(niǎo)D=BF???ZBFD=ZBDF=丄（180。-Z2）=丄（180。-20。）=80。22???ZDEF=ZDFE=80。?DE=DF.??ZDFE=80。，ZC=40。ZFDC=ZDFE-ZC=80。-40。=40。ZFDC=ZC?DF=FC?AD=DE=DF=FCBC=BF+FC=BD+AD即AD+BD二BC例題14：如圖，可以考慮延長(zhǎng)BD到E,使DE=AD,這樣BD+AD=BD+DE=BE，只需證明BE=BC，由于Z2=20。，只需證明ZE=ZBCE=80。易證ZEDC=ZADB=180。-100。-20。=60。，ZBDC=120。，故作ZBDC的角平分線，貝惰AABD蘭AFBD，進(jìn)而證明ADEC二ADFC，從而可證出ZE=80。證明二：延長(zhǎng)BD到E,使DE=AD,連結(jié)CE,作DF平分zbdc交BC于F。由證明一知：Zl=Z2=20。，ZA=100。貝y有Z3=180。-100。-20。=60。，Z6=Z3=60。，ZBDC=180。-60。=120。?,DF平分ZBDC???Z4=Z5=60。Z3=Z4=Z5=Z6=60。，在AABD和AFBD中?/Z1二Z2,BD二BD,Z3二Z4AABD仝AFBD(ASA)AD=FD,ZBFD=ZA=100。，而AD二DE,?DF二DE在ADEC和ADFC中，DE二DF,Z5二Z6,DC二DCADEC仝ADFC(SAS)ZE=ZDFC=180。-ZBFD=180。-100。=80。在ABCE中，Z2=20。,Z3=80。ZBCE二80。，?ZE二ZBCEBC二BE,?AD+BD二BC說(shuō)明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑,讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會(huì)，進(jìn)一步提高自身的解題能力。例15.如圖，AABC是等邊三角形，ZCBD=90。,BD=BC，則Z1的度數(shù)是。CB分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。解：因?yàn)锳ABC是等邊三角形所以AB=BC，ZABC=60。因?yàn)锽D二BC，所以AB=BD所以Z3=Z2在AABD中，因?yàn)閆CBD=90。，ZABC=60。所以ZABD=150。，所以Z2=15。所以Z1=Z2+ZABC=75。例16.求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上.已知：如圖，在AABC中，AB二AC，D、E分別為AC、AB邊中點(diǎn)，BD、CE交于O點(diǎn)。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。分析：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就是證明OB二OC。而OB、OC在AABC中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證含有4、Z2的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵贏ABC中，AB二AC所以ZABC二ZACB（等邊對(duì)等角）又因?yàn)镈、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，所以DC二EB（中線定義）在ABCD和ACBE中，'DC=EB（已證）<ZDCB=ZEBC（已證）BC=CB（公共邊）所以ABCD仝ACBE（SAS）所以4=Z2（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。所以O(shè)B二OC（等角對(duì)等邊）。即點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。說(shuō)明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號(hào)語(yǔ)言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“OB=OC”是關(guān)鍵的一點(diǎn)。（2）實(shí)際上，本題也可改成開(kāi)放題：“AABC中，AB=AC,D、E分別為AC、AB上的中點(diǎn)，BD、CE交于O。連結(jié)AO后，試判斷AO與BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論”其解決方法是和此題解法差不多的。例17.AABC中，AB=AC，ZA=120，AB的中垂線交AB于D,交CA延長(zhǎng)線于E,求證：DE=!bc。2分析：此題沒(méi)有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫(huà)出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取BC的中點(diǎn)。證明：過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線AF，垂足為F。在AABC中，AB=AC，ZBAC=120。所以ZB=ZC=30。31所以Z1=Z2=60。，BF=-IbC（等腰三角形三線合一性質(zhì)）。2所以Z3=60。（鄰補(bǔ)角定義）。所以Z1二Z3又因?yàn)镋D垂直平分AB,所以ZE=30（直角三角形兩銳角互余）。AD=!aB（線段垂直平分線定義）。2又因?yàn)锳F=1AB（直角三角形中緲角所對(duì)的邊等于斜邊的一2半）。所以AD=AF在RtAABF和RtAAED中,‘Z1二Z3（已證）<AF二AD（已證）ZAFB二ZADE二90。所以RtAABF仝RtAAED（ASA）所以ED=BF即ED=^BC2例18：如圖，在△ABC中，AB=AC,延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB,取AB的中點(diǎn)E,連接CD和CE.求證：CD=2CE分析：（i）折半法：取CD中點(diǎn)F,連接BF,再證ACEB^ACFB.這里注意利用BF是AACD中位線這個(gè)條件。證明：取CD中點(diǎn)F,連接BF???BF=jAC,且BF〃AC（三角形中位線定理）???ZACB=Z2（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）又???AB=AC???ZACB=Z3（等邊對(duì)等角）???Z3=Z2在ACEB與ACFB中，