3.4基本不等式:2022/10/193.4基本不等式:2022/10/15

2002年國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)（ICM-2002）在北京召開，此屆大會(huì)紀(jì)念封上的會(huì)標(biāo)圖案，其中央正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”。它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，又像一只轉(zhuǎn)動(dòng)著的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家。

一、問題引入2022/10/192002年國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)（I新課探究2022/10/19新課探究2022/10/15新課探究2022/10/19新課探究2022/10/15一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，我們有

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立思考：如何證明？2022/10/19一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，我們有當(dāng)且僅證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)2022/10/19證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，2.代數(shù)意義：幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)2.代數(shù)證明:3.幾何意義：半弦長(zhǎng)小于等于半徑（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）二、新課講解算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)3.幾何證明:從數(shù)列角度看:兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)小于等于它們的等差中項(xiàng)1.思考:如果當(dāng)用去替換中的,能得到什么結(jié)論?基本不等式探究32022/10/192.代數(shù)意義：幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)2.代數(shù)證明:3.2022/10/192022/10/15當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)能否用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明？小組合作：2022/10/19當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)能否用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明？小組在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，設(shè)AC=a,BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD?；静坏仁降膸缀我饬x是：“半徑不小于半弦。”EP98探究2022/10/19在右圖中，AB是圓的直徑，基本不等式的幾何意義是：“半徑不小oabABPQ1.如圖,AB是圓o的直徑，Q是AB上任一點(diǎn)，AQ=a,BQ=b,過點(diǎn)Q作垂直于AB的弦PQ，連AP,BP,則半弦PQ=____,半徑AO=_____幾何意義：圓的半徑不小于圓內(nèi)半弦長(zhǎng)探究4動(dòng)態(tài)演示你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?2.PQ與AO的大小關(guān)系怎樣?2022/10/19oabABPQ1.如圖,AB是圓o的直徑，Q是AB上任一點(diǎn)，證明:要證只要證

()①

②要證②，只要證

()③

要證③，只要證（－

)

④顯然:是成立的,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)④④中的等號(hào)成立.證明:當(dāng)時(shí),.探究３2022/10/19證明:要證只要證(平方2022/10/19平方2022/10/15基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.重要不等式：注意：（1）不同點(diǎn)：兩個(gè)不等式的適用范圍不同。（2）相同點(diǎn)：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。2022/10/19基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，2.基本不等式（均值定理）1.兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2.兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)。此定理又可敘述為：2022/10/192.基本不等式1.兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)1.重要不等式2.基本不等式（均值定理）注意：基本不等式成立的要素：（1）：看是否均為正數(shù)（2）：看不等號(hào)的方向（3）：看等號(hào)是否能取到簡(jiǎn)言之：一正二定三相等2022/10/191.重要不等式2.基本不等式（均值定理）注意：基本不等式成立1.基本不等式：a=b基本不等式的變形：知識(shí)要點(diǎn)：（當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)取“＝”號(hào)）．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“＝”號(hào)）．如果a≥0，b≥0，那么

≥2022/10/191.基本不等式：a=b基本不等式的變形：知識(shí)要點(diǎn)：（當(dāng)且僅

重要變形2（由小到大）2022/10/19重要變形2（由小到大）2022/10/15應(yīng)用基本不等式求最值的條件：

a與b為正實(shí)數(shù)若等號(hào)成立，a與b必須能夠相等一正二定三相等積定和最小和定積最大（a＞0，b＞0）2022/10/19應(yīng)用基本不等式求最值的條件：a與b為正實(shí)數(shù)若等號(hào)成立，a與b基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立結(jié)論1：兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值結(jié)論2：兩個(gè)正數(shù)和為定值，則積有最大值2022/10/19基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立結(jié)論1：兩個(gè)正例題：2022/10/19例題：2022/10/15練習(xí)：2022/10/19練習(xí)：2022/10/15例3．求函數(shù)的最大值，及此時(shí)x的值。解：，因?yàn)閤>0，所以得因此f(x)≤2022/10/19例3．求函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，式中等號(hào)成立。由于x>0，所以，式中等號(hào)成立，因此，此時(shí)。2022/10/19當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，式例４、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值錯(cuò)解:即的最小值為過程中兩次運(yùn)用了均值不等式中取“=”號(hào)過渡，而這兩次取“=”號(hào)的條件是不同的，故結(jié)果錯(cuò)。錯(cuò)因：2022/10/19例４、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值錯(cuò)解:即已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值解:當(dāng)且僅當(dāng)即:時(shí)取“=”號(hào)即此時(shí)正確解答是:2022/10/19已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值解:當(dāng)且僅當(dāng)即:時(shí)2、已知?jiǎng)txy的最大值是

。1、當(dāng)x>0時(shí)，的最小值為

，此時(shí)x=

。21

3、若實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（）

A、10B、C、D、D2022/10/192、已知1、當(dāng)x>0時(shí)，的最小值為4、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

A、B、C、D、C2022/10/194、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）C2022/10/

下面幾道題的解答可能有錯(cuò)，如果錯(cuò)了，那么錯(cuò)在哪里？１．已知函數(shù)，