1.探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其證明思路.2.理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系,會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

解決與等比數(shù)列有關(guān)的問題.3.理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征,應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的有關(guān)性質(zhì)

解題.4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式南方繞彎已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、末項(xiàng)與公比選用公式Sn=

Sn=

1|等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1.當(dāng)公比q≠1時(shí),設(shè)A=

,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).2.當(dāng)公比q=1時(shí),因?yàn)閍1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函數(shù).2|等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征南方繞彎已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,則利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其

前n項(xiàng)和公式可推得Sn有如下性質(zhì):1.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N*.2.當(dāng)q≠-1或q=-1且k為奇數(shù)時(shí),Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比數(shù)列.3.設(shè)S偶與S奇分別是偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和.若項(xiàng)數(shù)為2n,則

=q;若項(xiàng)數(shù)為2n+1,則

=q.4.當(dāng)q=1時(shí),

=

;當(dāng)q≠±1時(shí),

=

.3|等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)南方繞彎1.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Sn=3·2n-3,則該數(shù)列是等比數(shù)列.

(√)提示:等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可以寫成Sn=A-Aqn(q≠1)的形式,所以該數(shù)列是等比數(shù)

列.2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為Sn=

.

(

?)提示:當(dāng)a=1時(shí),Sn=n,結(jié)論不成立.3.已知等比數(shù)列{an}的公比為

,則該數(shù)列的前100項(xiàng)中,偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為25.

(

?)提示:當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n時(shí),

=q,所以

=

.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”。4.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,則S10,S20-S10,S30-S20,…仍構(gòu)成等比數(shù)列.

(

?)提示:當(dāng)公比為-1時(shí)不成立.5.已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,則{Sn}也是遞增數(shù)列.

(

?)提示:當(dāng)a1<0,0<q<1時(shí),等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,此時(shí)an<0,從而{Sn}是遞減數(shù)列,結(jié)

論錯(cuò)誤.南方繞彎1|等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要分公比q=1和q≠1兩種情況,因此,當(dāng)公比未知時(shí),要

先對(duì)公比進(jìn)行分類討論,再求和.(1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=an,則{an}的前n項(xiàng)和為Sn=

(2)若已知a1,q(q≠1)和n,則用Sn=

求Sn較簡(jiǎn)便;若已知a1,q(q≠1)和an,則用Sn=

求Sn較簡(jiǎn)便.2.在等比數(shù)列{an}中,對(duì)于a1,an,n,q,Sn這五個(gè)基本量,已知其中三個(gè)量就可利用通項(xiàng)

公式和前n項(xiàng)和公式求出另外兩個(gè)量.南方繞彎設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S4=1,S8=17,求Sn.思路點(diǎn)撥思路一:設(shè)Sn=Aqn-A

由S4=1,S8=17,求出A,q

求出Sn.思路二:將S4=1,S8=17代入Sn=

中,求出a1,q

求出Sn.南方繞彎解析解法一:由S4=1,S8=17,知q≠±1,故設(shè)Sn=Aqn-A(A≠0,q≠±1),∴

兩式相除,化簡(jiǎn)得q4=16,∴q=±2.當(dāng)q=2時(shí),A=

,Sn=

(2n-1);當(dāng)q=-2時(shí),A=

,Sn=

[(-2)n-1].解法二:設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,由S4=1,S8=17,知q≠±1,∴

南方繞彎兩式相除并化簡(jiǎn),得q4+1=17,即q4=16,∴q=±2.當(dāng)q=2時(shí),a1=

,Sn=

=

(2n-1);當(dāng)q=-2時(shí),a1=-

,Sn=

=

[(-2)n-1].在等比數(shù)列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和q.解析

由題意得,若q=1,則S3=3a1=6,符合題意.此時(shí),q=1,a3=a1=2.若q≠1,則由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,得S3=

=

=6,化簡(jiǎn)并整理,得(q+2)(q-1)2=0,解得q=-2.此時(shí),a3=a1q2=2×(-2)2=8.綜上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8.解題模板1.an=a1qn-1,Sn=

(q≠1)兩公式共有5個(gè)量.解題時(shí),已知3個(gè)量可求出另外2個(gè)未知量.2.當(dāng)q=1時(shí),等比數(shù)列是常數(shù)列,所以Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有兩個(gè)

公式.所以解題時(shí)要判斷q的值能不能等于1,若q不能等于1,直接應(yīng)用公式;若q可

以等于1,則要進(jìn)行分類討論.南方繞彎2|等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項(xiàng)和公式,可推導(dǎo)出等比數(shù)列前n項(xiàng)和的若干性質(zhì),在

等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)問題中,把握好等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的使用條件,恰當(dāng)

運(yùn)用性質(zhì)能幫助我們簡(jiǎn)化運(yùn)算,快速解題.南方繞彎已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2,S3n=14,則S4n等于

(

B)A.80B.30C.26D.16思路點(diǎn)撥思路一:由Sn,S3n的值,求出a1,q

求出S4n.思路二:令n=1,由S1=2,S3=14,求出q

求出S4n.思路三:由Sn=

,推出Sn,S3n與S4n的關(guān)系

求出S4n.思路四:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比數(shù)列

求出S4n.南方繞彎解析解法一:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1.由已知得,Sn=

=2①,S3n=

=14②,

,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0,由于數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q=

.∴a1=

=2(

-1),∴S4n=

=

=2×15=30.解法二:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,注意到四個(gè)選項(xiàng)都是具體的數(shù)值,∴S4n是一個(gè)與n無關(guān)的定值,不妨令n=1,由解法一知,q≠1,則a1=S1=2,S3=

=14,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.∵an>0,∴q=2,∴S4=

=2×15=30.解法三:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,由解法一知,q≠1,則S4n=

=

=

+qn·

=Sn+qnS3n.這個(gè)式子表示了S4n,Sn,S3n之間的關(guān)系,要求S4n,只需求出qn即可.由于S3n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+

q2n),∴

=1+qn+q2n=7,∴q2n+qn-6=0,解得qn=2或qn=-3.∵an>0,∴qn=2,∴S4n=Sn+qnS3n=2+2×14=30.解法四:由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比數(shù)列,且Sn=2,S3n=14,得(S2n-2)2=2×(14-S2n),

即

-2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4,∵an>0,∴S2n=6.又∵

=

=2,∴S4n-S3n=Sn·23=16,∴S4n=S3n+16=30.解題模板通過對(duì)比四種解題方法,可以發(fā)現(xiàn):解法一思路簡(jiǎn)便,但運(yùn)算量過大;解法二采

用特殊值法,使問題簡(jiǎn)單化;解法三思路略顯復(fù)雜;解法四應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的

性質(zhì),簡(jiǎn)化運(yùn)算,且思路清晰.3|與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和1.數(shù)列求和要先求數(shù)列的通項(xiàng)公式,通過觀察通項(xiàng)公式的特點(diǎn),選擇合適的求和方

法.注意各求和方法的使用條件及注意事項(xiàng).一般地,若{an},{bn}中一個(gè)是等差數(shù)

列,一個(gè)是等比數(shù)列,則常用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和,常用分組求和法

求數(shù)列{an±bn}的前n項(xiàng)和.2.錯(cuò)位相減法已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,由這兩個(gè)數(shù)列中項(xiàng)數(shù)相同的項(xiàng)的

乘積組成的新數(shù)列為{anbn},在求該數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),常常將{anbn}的各項(xiàng)乘{(lán)bn}

的公比q,并向后錯(cuò)位一項(xiàng),與{anbn}中q的同次項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減,即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的

求和,這種求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法稱為錯(cuò)位相減法.若公比不確定,則需對(duì)其進(jìn)行分

類討論.南方繞彎求和過程如下:設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和是Sn,等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公差是d,等

比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)是b1,公比是q,則當(dāng)q=1時(shí),Sn=b1(a1+a2+…+an)=b1·

;當(dāng)q≠1時(shí),Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1,qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an-1b1qn-1+anb1qn,∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn.由等差數(shù)列的定義知a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,∴(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+…+db1qn-1-anb1qn=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,∵q≠1,∴Sn=

+db1·

.南方繞彎設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=a2+4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn.解析

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),則由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).∴{an}的通項(xiàng)公式為an=2·2n-1=2n.(2)Sn=

+

=2n+1+n2-2.已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n-1(n∈N*,且n≥2),a4=81.(1)求數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1,a2,a3;(2)若數(shù)列

為等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)p的值;(3)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.思路點(diǎn)撥(1)由an=2an-1+2n-1及a4=81,遞推出a3,a2,a1的值.(2)利用等差數(shù)列