第二章恒磁場§1前言

一、本章的基本內(nèi)容及研究思路在靜止電荷的周圍存在著電場,如果電荷在運動,那么在它的周圍就不僅有電場,而且還有磁場.不隨時間變化的磁場稱為穩(wěn)恒磁場,有時也稱為“靜磁場”.穩(wěn)恒電流激發(fā)的磁場就是一種穩(wěn)恒磁場.運動的電荷（或電流）要產(chǎn)生磁場,磁場又會對其他的運動電荷（或電流）有作用力.本章就是從這兩個方面來研究磁場的.各種矢量場在研究方法上有類似之處,穩(wěn)恒磁場的許多基本規(guī)律也與靜電場對應,可采用與靜電場對比的方法研究穩(wěn)恒磁場.這樣就容易掌握本章的基本內(nèi)容,也有利于今后的學習.二、本章的基本要求1.深刻理解磁感應強度B的概念及物理意義；2.畢奧—薩伐爾定律是本章的基本定律,要掌握其內(nèi)容,并能熟練應用該定律計算磁感應強度B；3.理解穩(wěn)恒磁場的兩條基本定理,熟練應用安培環(huán)路定理計算具有對稱性分布的磁場；4.正確理解并掌握安培定律和洛侖茲力公式,了解安培力和洛侖茲力的關系.§2磁的基本現(xiàn)象和基本規(guī)律一、磁的基本現(xiàn)象

人類對磁現(xiàn)象的認識是很早的,最早發(fā)現(xiàn)的磁現(xiàn)象是天然磁石吸鐵的現(xiàn)象,我國遠在春秋戰(zhàn)國時期（公元前六、七世紀）的古書中已有記載,我國古代的“磁石”寫作“慈石”,意思是“石鐵之母也.以有慈石,故能引其子”.我國河北省的磁縣（古時稱磁州和慈州）,就是因為附近盛產(chǎn)天然磁石而得名.指南針是我國古代的偉大發(fā)明之一,對世界文明的發(fā)展有重大影響.

現(xiàn)在知道,人們最早發(fā)現(xiàn)的天然磁鐵礦礦石的化學成分是Fe3O4.近代制造人工磁鐵是把鐵磁物質(zhì)放在通有電流的線圈中去磁化,使之變成暫時的或永久的磁鐵.根據(jù)需要可以制成條形、針形、蹄形等各種形狀.一塊磁體上磁性特別強的區(qū)域,叫做磁極.任何磁體都有兩極：南極（S）和北極（N）,若將條形磁鐵切斷,無論切成幾段,每一段都具有一個北極和一個南極,其他的磁體也具有這個性質(zhì),這表明磁體不存在獨立的N極或S極,但是有獨立存在的正電荷或負電荷,這是磁極與電荷的基本區(qū)別.

[近代理論認為可能有獨立磁極存在,這種具有磁南極或磁北極的粒子,叫做磁單極子,但至今尚未觀察到這種粒子]實驗表明：同名磁極互相排斥；異名磁極互相吸引.在歷史上很長一段時期里,磁學和電學的研究一直彼此獨立地發(fā)展著,人們曾認為磁與電是兩類截然分開的現(xiàn)象.直至十九世紀初,一系列重要的發(fā)現(xiàn)才打破了這個界限,使人們開始認識到電與磁之間有著不可分割的聯(lián)系.下面介紹幾個這方面的實驗：1.奧斯特實驗：導線沿南北方向放置,下面有一可在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動的磁針.當導線中沒有電流通過時,磁針在地磁場的作用下沿南北取向.當導線中通有電流時,磁針就會發(fā)生偏轉(zhuǎn).上述實驗表明,電流可以對磁鐵施加作用力.2.磁鐵對電流（通電導線）也有作用力（水平直導線懸掛在馬蹄形磁鐵兩極間,通電后,導線就會運動）.3.安培實驗：通電導線之間有相互作用力,即電流和電流之間也有相互作用力.4.磁鐵對運動電荷有作用力.電子流從電子射線管的陰極發(fā)射,形成一條電子射線,在旁邊放置一塊磁鐵,就可以看到電子射線的路徑發(fā)生偏轉(zhuǎn).大量實驗證明,電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象存在相互聯(lián)系.我們知道,電的作用是“近距”的,磁極或電流之間的相互作用也是這樣的,不過它通過另外一種場—磁場來傳遞的.下面我們用磁場的觀點,可以把上述關于磁鐵和磁鐵,磁鐵和電流,以及電流和電流之間相互作用的各個實驗統(tǒng)一起來,概括成這樣一個圖示：磁場磁鐵磁鐵電流電流由于磁極與電荷之間有某些類似之處,最初曾認為磁極是“磁荷”集中的所在（稱N極有“正磁荷”,S即由“負磁荷”）,并認為磁性起源于“磁荷”,

磁鐵之間的相互作用起源于“磁荷”之間的相互作用,通過一系列實驗,才逐步認識到“磁荷是不存在的”.截流螺線管的行為很象一塊磁鐵,啟發(fā)物理學家們提出這樣的問題：磁鐵和電流是否本源上是一致的？法國科學家安培提出磁性起源的假說—安培分子電流假說：組成磁鐵的最小單元（磁分子）就是環(huán)形電流.二、物質(zhì)磁性的起源—安培分子電流假說安培認為,任何物質(zhì)的分子都存在環(huán)形電流,稱為分子電流,分子電流產(chǎn)生的磁場在軸線上的方向可以用右手定則來判斷,每一個分子電流相當于一個小磁體.當物質(zhì)中的分子電流排列得毫無規(guī)則時,他們的磁場互相抵消,整個物體不顯磁性,但是,在一定條件下,這些分子電流比較有規(guī)則的定向排列起來,他們的磁場互相加強,整個物體就會顯示出磁性.安培的分子電流的想法基本上是正確的,近代物理學證實,分子電流是由原子中的各個電子自旋和電子的軌道運動合成的結果.分子環(huán)流假說：

1822年,安培：一切磁現(xiàn)象的根源是電流,物質(zhì)的磁性來源于分子電流.圖2.1安培電流

電流磁場電流這樣看來,上面的圖示可簡化為：注意：無論電荷靜止還是運動,它們之間都存在著庫侖相互作用,但是只有運動著的電荷之間才存在著磁相互作用.4個實驗和一個假設四.安培定律電流元安培定律（參見圖2.2）故矢量式同理圖2.2安培定律

圖2.3矢積手勢SI制中——真空的磁導率【例1】：平行電流元之相互作用.【例2】：垂直電流元之相互作用.兩電流元之間相互作用不滿足牛頓第三運動定律；兩閉合電流之積分相互作用仍滿足牛頓第三運動定律.圖2.5垂直電流元圖2.4平行電流元§2.磁感應強度畢奧-薩伐爾定律電流磁場電流一、磁感應強度（磁鐵,電流,電流元）任何運動電荷或電流,在周圍空間產(chǎn)生磁場,磁場對外的重要表現(xiàn)是：（1）磁場對引入磁場中的其他運動電荷或載流導體有磁力的作用；（2）載流導體在磁場內(nèi)移動時,磁場的作用力將對載流導體作功.這些表現(xiàn)說明了磁場的物質(zhì)性.令即一般——磁感應強度方向：試驗電流元受力為零的方向；大?。簡挝辉囼炿娏髟茏畲罅?單位：N/Am,T,Gs1T=1N/Am=10^4Gs二、畢奧-薩伐爾定律矢量積分的磁場：回路L的磁場：大小,方向,右螺旋方向三.長直電流的磁場θ1θ2如圖2.6所示,取l

處dl,電流元,方向×各dB

同向由得I圖２.6長直電流a×θOldl【討論】：當a<<L,則無限長直電流的磁場當a<<L,場點位于一端,則半無限長直電流的磁場θ1θ2I圖２.6長直電流a×θOldl推廣

平面電流,平板電流,無限大平面電流,

無限大平板電流

圓弧面電流,圓弧體電流,圓柱面電流,圓柱體電流↑Ixy圖２.7平面電流Ixyz圖２.8圓弧電流四.圓電流軸線上的磁場θxaIx圖２.9圓電流的磁場圓電流I半徑為a,軸線沿x,如圖2.9所示.,方向如圖.由對稱性可知,總磁感應強度沿x方向.得方向沿軸線.故其中【討論】：定義線圈的磁矩,則圓心處x=0或當a<<x,則x≈r或擴展

亥姆霍茲線圈

平面線圈

螺線管圖２.10亥姆霍茲線圈單匝時：N匝時：亥姆霍茲線圈方向沿軸線.θxaIx圓電流的磁場五.載流螺線管內(nèi)的磁場

設螺線管半徑a,匝密度n,電流I,求軸線上O點處的磁感應強度.θ1θ2取圓電流nIdl,O圖２.11載流螺線管,沿軸向變換又由得,方向均沿軸向故dllθO點處【討論】：載流無限長直螺線管內(nèi)的磁感應強度載流半無限長直螺線管內(nèi)的磁感應強度實踐中,螺線管長L,直徑D,若L≥4D則螺線管內(nèi)部可視為均勻磁場.SdlI圖2.12電流元與電荷六.低速運動電荷的磁場設電流元Idl

的截面積為s,其載流子濃度n,電量q,平均速度,則電流元中載流子數(shù)激發(fā)之磁場(1)(2)或由式(1)和式(2)可得,平均每個載流子激發(fā)的磁場2End

低速運動電荷的電場和磁場——真空中的光速

如圖2.13所示,電荷q以速度υ

沿

x軸運動,則在空間P

點的電場圖2.13電荷的電場和磁場qxyzP顯然§3安培環(huán)路定理載流線圈與磁偶極層的等價性安培環(huán)路定理的表述和證明磁感應強度是軸矢量安培環(huán)路定理應用舉例

載流線圈與磁偶極層的等價性證明閉合載流線圈產(chǎn)生的磁場正比于線圈回路對場點所張的立體角的梯度設想P有一小位移dL2相當于P不動線圈作-dL2L1在P點產(chǎn)生的磁感應強度灰色面元所對立體角整個線圈在位移-dL2掃過的環(huán)帶對場點p所張的立體角也可理解為場點P作平移dL2引起立體角變化可看成是場點坐標r2的函數(shù):曲面S對P點所張立體角‘:曲面S’對P點所張立體角坐標r2的函數(shù)泰勒展開反映了載流線圈與磁偶極子是等價的兩個討論磁化的模型是等價的在下面證明安培環(huán)路定理時直接引用1.安培環(huán)路定理即：磁感應強度B沿任意閉合曲線L的線積分=

穿過這閉合曲線內(nèi)所有傳導電流強度的代數(shù)和I的正負規(guī)定：1)當I與L的環(huán)饒方向成右手關系時,I>0,反之I<0.2)若I不穿過L,則I=0I1I2L例如：I1I2I3LI3>0<0IL從畢奧—薩筏爾定律出發(fā)先考慮單回路再推廣L與載流回路套連L2穿過S時B是連續(xù)且有限的,——0一.證明

載流回路為邊界的曲面S曲面兩側兩點無限趨近曲面時,立體角趨近于4

如果,安培環(huán)路與載流回路不套連,則環(huán)繞它一周立體角回到原值,積分為0運用疊加原理,推廣到多個載流回路空間所有電流產(chǎn)生的磁感應強度矢量和穿過閉合環(huán)路的電流二證明：以無限長載流導線為例1）閉合曲線L圍繞電流,且曲線所在平面垂直載流導線LLIIdldl'dl''L'.dlBB由畢薩定理可求得：長直導線旁若L的方向不變,而電流反向則：2）若閉合曲線不在垂面上：dl分解所有dl'在垂面上形成L'即：dl'dl''3)閉合曲線L不包圍載流導線oLdldl'從o點引出夾角為d

的兩條射線,在L上截得dl、dl'電流I在dl、dl'處的磁場分別為：且有：=0每對線元的B·dl之和均為0整個閉合路徑積分注：不穿過閉合回路L的電流I對無貢獻,但對L上各點的B貢獻不為0I4）閉合曲線L包圍多根載流導線1),2)已證一長直導線I,當它穿過L時,由I的方向不同0I–0I3)已證,I不穿過L時,若同時有K根載流導線,并且I1…In穿過L,而In+1…IK不穿過L那么：而：矢量疊加：即：適用于穩(wěn)恒磁場的任何情況若穿過回路的電流是連續(xù)分布：磁感應強度是軸矢量鏡像反射的變化規(guī)律極矢量：與鏡面平行分量不變,垂直分量反向dl

、r、v、F、E、P軸矢量：與鏡面垂直分量不變,平行分量反向兩個極矢量叉乘＝軸矢量B推論：鏡面對稱的載流系統(tǒng)在鏡面處產(chǎn)生的磁感應強度垂直于鏡面例6.半徑為R的無限長圓柱載流直導線,電流I沿軸線方向流動,并且載面上電流是均勻分布.計算任意點P的B=？解：先分析P點的B方向P.I由電流對稱分布可知：取過P點半徑為

r=op的圓周L,L上各點B大小相等,方向沿切線r>R時由安培環(huán)路定理得：若r<R同理：BR與畢薩定理結果一致L例7.一無限大平面,有均勻分布的面電流,其橫截線的電流線密度為i,求平面外一點B=？i..........abcd解：由對稱可知并且離板等距離處的B大小相等.過P點取矩形回路abcdL其中ab、cd與板面等距離.00.P與P點到平板的距離無關.i?×i×00例9.求通電螺繞環(huán)的磁場分布.已知環(huán)管軸線的半徑為R,環(huán)上均勻密繞N匝線圈,設通有電流I.解：由于電流對稱分布,與環(huán)共軸的圓周上,各點B大小相等,方向沿圓周切線方向.取以o為中心,半徑為r的圓周為L當R1<r<R2若r<R1若r>R2IR當R管截面<<R即r

R...........................×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.orr三.安培環(huán)路定律的應用長直螺線管的磁場圖4.18長直螺線管的磁場設：匝數(shù)密度n,電流強度I,取環(huán)路L=ABCDA,如圖4.18.分析：的方向必沿軸向；的大小沿軸向不變.路徑AB//軸線,AB上為恒量；路徑BC和DA與垂直；路徑CD在螺線管外,

=0.所以則得ABCDL【討論】：可以證明螺線管內(nèi)：=恒矢量,螺線管外：=0,A’B’C”D”ABCDL比較圖中ABCDA

與A’B’CDA’環(huán)路；比較圖中ABCDA

與ABC”D”A環(huán)路；螺繞環(huán)（羅蘭環(huán)）的磁場

設匝數(shù)N,電流I,管半徑R,取環(huán)路為貫穿管內(nèi)的圓,其半徑為r

,見圖4.19.r圖2.19螺繞環(huán)的磁場由定律分析得所以【討論】：若R<<r,B=μ0nI,同無限長螺線管.均勻載流長直圓柱體的磁場

設：長直圓柱體半徑R,沿軸向通以電流I,且橫截面上均勻分布.圖2.20載流圓柱體的磁場柱外(r

≥R)：L1分析得按定律則I柱內(nèi)(r

≤

R)：分析得按定律則

均勻載流長直圓柱體的磁場分布見圖2.21.RBrO圖2.21載流圓柱體磁場分布曲線圖2.20載流圓柱體的磁場L2I【討論】：均勻載流長直圓柱體的磁場問題可擴展為載流圓柱面,載流圓柱管,多層載流圓柱管（體）；非均勻載流圓柱體,非均勻載流圓柱管,非均勻載流多層圓柱管（體）；(b)補償法補償法：（疊加原理）圖2.22補償法求磁場(a)偏心管I

沿偏心管軸線方向通以電流I,電流沿實體橫截面均勻分布,見圖2.22(a).補償法如圖4.22(b).

可以證明,方向與兩軸垂直連線垂直.2End

線：閉合,或伸向無窮遠；與電流方向成右螺旋關系；與回路互相套連；

線密度=B（大?。?約定比例,取整磁通量：§４磁場中的高斯定理一.高斯定理單位：韋伯(Wb),

1Wb=1T·m2高斯定理：或

高斯定理的證明θS

圖２.14高斯定理的證明

參見圖2.14,電流元的磁感應線兩處穿過閉面S的通量再根據(jù)疊加原理,即可得利用數(shù)學的高斯定理磁高斯定理的微分形式說明恒磁場的散度為零——無源場無源場有旋場非保守場一般不引入標勢磁矢勢然而磁場的主要特征：無源（無散）——磁高斯定理其更根本的意義：使我們可能引入磁矢勢

磁高斯定理表明：對任意閉合面

磁通量僅由S的共同邊界線所決定可能找到一個矢量A,它沿L作線積分等于通過S的通量數(shù)學上可以證明,這樣的矢量A的確存在,對于磁感應強度B,A叫做磁矢勢,A在空間的分布也構成矢量場,簡稱矢勢其實標勢也不唯一,零點可選描述同一個磁感應強度B根據(jù)矢量分析對任意矢量A有

矢勢的特點

如：對于任意標量場的梯度,有

類似于電勢零點可以任取,規(guī)范也可任意選取通常選庫侖規(guī)范:A=0電流元的磁矢勢

設磁矢勢a與電流元平行（因為對矢勢變換規(guī)范可以任選,選庫侖規(guī)范A=0

的結果）——a只有z分量以電流元為軸,取柱坐標（、、z)

只有這一段積分有貢獻場點P和回路L在＝0的平面內(nèi)通過L的磁感應通量為：

計算通過L的通量

消去dl電流回路假如電流在載流截面上不均勻分布上式為電流元所產(chǎn)生的磁場中矢勢的

一個表達式——矢勢表達式不唯一任意閉合載流回路L1

在空間某點的矢勢電流在導線截面上均勻分布找電流產(chǎn)生的磁場中磁矢勢的表達式兩種辦法普通物理的方法電流元的磁矢勢p113式（2.55)任意閉合回路的磁矢勢式（2.56)

例題9例題10矢勢公式的應用舉例取回路求磁通量例題9：一對平行無限長直導線,載有等量反向電流I,求磁矢勢.先求一根無限長直導線的磁矢勢（如圖）設矢勢A只有z分量無限長——Az與z無關軸對稱——Az與無關Az只是的函數(shù)：Az＝Az()一根無限長導線在空間任一兩點之間的矢勢差兩根無限長載流直導線的磁矢勢矢量疊加（如圖）疊加得P點總矢勢取Q零點例題10：無限長圓柱型導體,半徑為R,載有在界面上均勻分布的電流I,求磁矢勢r<R：導線內(nèi)部P點,取Q點在導體軸線上,取回路如圖,通過回路的磁通量r>R：導線外部同例題9,取Q點在導體表面,外部任意點P與Q點的矢勢差為引入新課：已學習兩方法：①（原則上）②（對稱時）§5磁場對載流導線的作用穩(wěn)恒磁場的基本問題包含兩方面的主要內(nèi)容：(1)已知I分布,求分布.綜合概括為：正問題逆問題I一、安培力安培定律分成兩個部分,寫出公式為：(2)已知分布,求對I的作用.此力稱為安培力,為試探電流元.1、力的方向和大小方向：由叉積確定大?。?、安培力的雙重功用①定義；②可用于計算磁力常用形式為：安培力疊加原理計算各種載流回路在外磁場作用下所受的力平行無限長直導線間的相互作用電流強度的單位“安培”的定義

一恒定電流,若保持在處于真空中相距1m的兩無限長、而圓截面可忽略的平行直導線內(nèi),則在此兩導線之間產(chǎn)生的力在每米長度上等于210－7N,則導線中的電流強度定義為1A（p135）與P108的定義等價,但注意兩個定義表述上的區(qū)別

磁力矩(一）在均勻磁場中剛性矩形線圈——不發(fā)生形變；合力=0,合力矩＝？

磁矩m磁力矩(二）在均勻磁場中任意形狀線圈將線圈分割成若干個小窄條小線圈所受力矩dL

若線圈平面與磁場成任意角度,則可將B分解成總力矩線圈的磁矩所受的力矩

結論：

磁矩的方向[結論]任意形狀平面載流回路在均勻場中受合力、合力矩為整體不發(fā)生平動,但轉(zhuǎn)動,使轉(zhuǎn)向的方向.3、直流電動機和電流計原理(1)直流電動機轉(zhuǎn)動原理

)θ

NS

電刷

（2）磁電式電流計原理NS永磁體

示值

線圈

游絲

（產(chǎn)生反力矩）NS

鐵芯圓柱體

N匝

a

b

軸

三、知識擴展1、非均勻磁場中的平面載流線圈由于線圈各部分所在處不同,一般地：線圈作復合運動（平動+轉(zhuǎn)動）轉(zhuǎn)動的結果：使轉(zhuǎn)向.

平動的結果：使線圈整體向強場區(qū)移動,使盡量取大；

例：載流直導線的磁場中放置矩形載流回路,研究回路的運動情況.

a

I2b

I1r

(a)共面（平動）

ω

I2

I1

(b)非共面（平動+轉(zhuǎn)動）一.洛侖茲力§6帶電粒子在磁場中的運動

按經(jīng)典理論,可從安培力推導出運動電荷所受磁力.設：電流元的截面積S,如圖２.33dls圖２.33推算洛侖茲力I帶電粒子數(shù)密度,電量,由則或(a)(b)圖2.33電子束受洛侖茲力而偏轉(zhuǎn)平均速度,二.帶電粒子在磁場中的運動帶電粒子電量,質(zhì)量,初速度,磁感應強度

勻速直線運動

勻速圓周運動

常量勻速直線運動勻速圓周運動螺旋運動圖２.35電子在磁場中作螺旋運動與無關

與夾角三.回旋加速器××××××××××××××××○＋圖２.36回旋加速器T~結構：逐步參見圖２.36

一對D型盒（電極）,半徑R；

交變電場（電源）,周期T;

磁場,磁感應強度B.原理：D型盒電極間加速電場周期=回旋共振周期粒子通過電極間隙時總被加速,最終速率受相對論效應約束,當不是常量時,其基本原理不再滿足.四.磁聚焦電子槍、電子透鏡電子的飛行速率周期螺距屏距θe圖２.37電子槍示意圖（圖２.38例,n=2）電聚焦與磁聚焦改變電場E,即改變υ圖２.38電子束的磁聚焦tL改變磁場B