18.2不等式的證明(一)典例精析題型一用綜合法證明不等式【例1】若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(a＋c,2)＞lga＋lgb＋lgc.【證明】由a，b，c為正數(shù)，得lgeq\f(a＋b,2)≥lgeq\r(ab)；lgeq\f(b＋c,2)≥lgeq\r(bc)；lgeq\f(a＋c,2)≥lgeq\r(ac).而a，b，c不全相等，所以lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(a＋c,2)＞lgeq\r(ab)＋lgeq\r(bc)＋lgeq\r(ac)＝lgeq\r(a2b2c2)＝lg(abc)＝lga＋lgb＋lgc.即lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f(a＋c,2)＞lga＋lgb＋lgc.【點(diǎn)撥】本題采用了綜合法證明，其中基本不等式是證明不等式的一個(gè)重要依據(jù)(是一個(gè)定理)，在證明不等式時(shí)要注意結(jié)合運(yùn)用.而在不等式的證明過(guò)程中，還要特別注意等號(hào)成立的條件是否滿足.【變式訓(xùn)練1】已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.求證：|ac＋bd|≤1.【證明】因?yàn)閍，b，c，d都是實(shí)數(shù)，所以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤eq\f(a2＋c2,2)＋eq\f(b2＋d2,2)＝eq\f(a2＋b2＋c2＋d2,2).又因?yàn)閍2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以|ac＋bd|≤1.題型二用作差法證明不等式【例2】設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca).【證明】a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2－a2－b2－c2 ＝[(a－b)2－c2]＋[(b－c)2－a2]＋[(c－a)2－b2].而在△ABC中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a))＜c，所以(a－b)2＜c2，即(a－b)2－c2＜0.同理(a－c)2－b2＜0，(b－c)2－a2＜0，所以a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＜0.故a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca).【點(diǎn)撥】不等式的證明中，比較法特別是作差比較法是最基本的證明方法，而在牽涉到三角形的三邊時(shí)，要注意運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.【變式訓(xùn)練2】設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求證：eq\f(a2,m)＋eq\f(b2,n)≥(a＋b)2.【證明】因?yàn)閑q\f(a2,m)＋eq\f(b2,n)－(a＋b)2＝eq\f(na2＋mb2,mn)－eq\f(nm(a2＋2ab＋b2),mn)＝eq\f(na2(1－m)＋mb2(1－n)－2mnab,mn)＝eq\f(n2a2＋m2b2－2mnab,mn)＝eq\f((na－mb)2,mn)≥0，所以不等式eq\f(a2,m)＋eq\f(b2,n)≥(a＋b)2成立.題型三用分析法證明不等式【例3】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求證：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).【證明】因?yàn)閍、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要證原不等式成立，即證[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，也就是證[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①因?yàn)?a＋b)＋(b＋c)≥2eq\r((a＋b)(b＋c))＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2eq\r((b＋c)(c＋a))＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2eq\r((c＋a)(a＋b))＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得證.【點(diǎn)撥】本題采用的是分析法.從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執(zhí)果索因”.分析法也可以作為尋找證題思路的方法，分析后再用綜合法書(shū)寫證題過(guò)程.【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)＝x－a(x＋1)ln(x＋1)(x＞－1，a≥0).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)m＞n＞0時(shí)，(1＋m)n＜(1＋n)m.【解析】(1)f′(x)＝1－aln(x＋1)－a，①a＝0時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)；②當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在(－1，－1]上單調(diào)遞增，在[－1，＋∞)單調(diào)遞減.(2)證明：要證(1＋m)n＜(1＋n)m，只需證nln(1＋m)＜mln(1＋n)，只需證eq\f(ln(1＋m),m)＜eq\f(ln(1＋n),n).設(shè)g(x)＝eq\f(ln(1＋x),x)(x＞0)，則g′(x)＝eq\f(\f(x,1＋x)－ln(1＋x),x2)＝eq\f(x－(1＋x)ln(1＋x),x2(1＋x)).由(1)知x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減，所以x－(1＋x)ln(1＋x)＜0，即g(x)是減函數(shù)，而m＞n，所以g(m)＜g(n)，故原不等式成立.總結(jié)提高1.一般在證明不等式的題目中，首先考慮用比較法，它是最基本的不等式的證明方法.比較法一般有“作差比較法”和“作商比較法”，用得較多的是“作差比較法”，其中在變形過(guò)程中往往要用到配方、因式分解、通分等計(jì)算方法.2.用綜合法證明不等式的過(guò)程中，所用到的依據(jù)一般是定義、公理、定理、性質(zhì)等，如基本不等式、絕對(duì)值三角不等式等.3.用分析法證明不等式的關(guān)鍵是對(duì)原不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)換，它是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等