12.3等腰三角形（第一課時）◆隨堂檢測1.等腰三角形ＡＢＣ中，AB=AC，∠Ａ＝700，∠Ｂ=，∠Ｃ=．2．在等腰三角形中，有一個角為80°，則此外兩個角的度數(shù)為．3.已知等腰三角形兩邊長分別為4和9，則第三邊的長為．4.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A＝30o，DE垂直均分AC，則∠BCD的度數(shù)為（）A．80°B．75°C．65°D．45°AEDBC◆典例剖析比如圖，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上一點．求證：∠ABP＝∠ACP．分析：本題假如用三角形全等來證明兩角相等，則起碼需要證明兩次三角形全等，若用線段垂直均分線的判斷和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)就會顯得較為簡單．證明：連結(jié)BC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵點A、D在線段BC的垂直均分線上，AD就是線段BC的垂直均分線．PB＝PC．∴∠

PBC

＝∠

PCB．∴∠

ABC

－∠

PBC＝∠

ACB－∠

PCB．即∠ABP＝∠

ACP．◆課下作業(yè)●拓展提升1．已知一個等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為7，則這個等腰三角形的周長為2．已知在等腰三角形中，有一個角的度數(shù)為120°,則此外兩個角的度數(shù)為3．等腰三角形底邊為5，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3，則腰長為（）或2D.以上都不對如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是頂角∠BAC的外角的均分線。證明：AD∥BC5．等腰三角形中，一邊與另一邊之比為３：２，該三角形周長為５６，求腰長是多少？6.如圖，等腰△

ABC中，AB＝AC，D是

AB邊上一點，

E是

AC延伸線上一點，且

BD＝CE，DE交

BC于F。說明：DF＝EF已知，如圖，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延伸線上，∠AEF＝∠AFE．求證：EF⊥BC．●體驗中考1．（2009

年浙江湖州）如圖：已知在

△ABC中，

AB

AC

，

D

為BC

邊的中點，過點

D

作DE⊥AB，DF

⊥AC，垂足分別為

E，F(xiàn).求證：

△BED≌△CFD；AEFBCD（2009年大興安嶺）在邊長為4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一條邊是矩形的長或?qū)?，第三個極點在矩形的邊上，求所作三角形的面積．參照答案：◆隨堂檢測1.分析：∵∠Ａ＝７０0AB=AC，∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝1(1800700)550．2分析：本題中只給了一個角的度數(shù)，這個角即能夠為等腰三角形的頂角，又能夠為等腰三角形的底角。當(dāng)此角為等腰三角形的頂角時，依據(jù)等腰三角形兩個底角相等的性質(zhì)可知兩個底角是（

180°-80°）÷2=50°；當(dāng)已知角為底角時，則另一個底角也是

80°，所以可知這個等腰三角形的頂角為（

180°-80°×2）=180°-160°=20°。經(jīng)過以上剖析可知本題的答案為

50°，50°或

80°，20°。3.分析：依據(jù)已知的條件可知此等腰三角形的腰長可能是

4也可能是

9，可是因為三角形的隨意兩邊之和大于第三邊，所以當(dāng)腰長是

4時，不切合要求，所以此等腰三角形的腰長只好是

9，所以第三邊的長為

9。分析：本題主要考察了線段垂直均分線和等腰三角形相關(guān)知識。因為DE是AC的垂直均分線，所以AD=DC，所以∠DCA=∠A＝30o。因為AB=AC，∠A＝30o，所以∠ACB=∠ABC=1（180o-30o）=75o。2所以∠BCD=∠ACB-∠DCA=75o-30o=45o。故應(yīng)選D．◆課下作業(yè)●拓展提升分析：本題用到的知識點是三角形三邊的關(guān)系與等腰三角形的性質(zhì)。依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知腰長可以是

5或

7，依據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系可知腰長是

5或

7都切合要求，所以當(dāng)腰長為

5時，等腰三角形的周長是

17；當(dāng)腰長為

7時，等腰三角形的周長為

19。所以本題的答案為

17或

19。2.分析：當(dāng)此角是頂角時，等腰三角形的兩個底角的度數(shù)分別為

30°，可是當(dāng)

120°為底角時，因為三角形的內(nèi)角和為

180°，所以

120°為底角不可以，所以本題答案為：

30°，30°。分析：本題應(yīng)當(dāng)分兩種狀況進行議論（如下圖），第一種狀況：依據(jù)題意可知AB+AD-（BC+CD）=3，得AB+AD-CD=8，又因為D為AC的中點，所以AD=CD，可得AB=8；第二種狀況：BC+CD（-AB+AD）=3，得CD-AB-AD=-2，所以AB=2，當(dāng)腰長為2時，依據(jù)三角形三邊的關(guān)系可知，AB=2不切合要求，所以此等腰三角形的腰長為8。選A分析：要證AD∥BC，只要說明同位角∠1＝∠B（或內(nèi)錯角∠2＝∠C）即可，竟有什么關(guān)要說明這些角相等，應(yīng)試慮已知條件AB＝AC，獲得∠B＝∠C。又因AD均分∠BAC的外角，得∠1＝∠2，又∠1＋∠2＝∠B＋∠C（三角形外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）,由這三個相等關(guān)系即可得：∠1＝∠B。故AD∥BC成立。解：因為AD是頂角∠BAC的外角的均分線所以∠1＝∠2因為AB＝AC所以∠B＝∠C又因為∠1＋∠2＝∠B＋∠C2∠1＝2∠B所以∠1＝∠B分析：本題有兩種狀況解：設(shè)腰長為３ｘ，則底為２ｘ，則３ｘ＋２ｘ＋３ｘ＝５６，∴ｘ＝７，∴腰長為２１，設(shè)當(dāng)腰為２ｘ時，底為３ｘ，則有２ｘ＋２ｘ＋３ｘ＝５６，∴ｘ＝８，∴腰長為１６．6.分析：要證DF＝EF，只要想法說明DF與EF所在的三角形全等，又因為△DFB與△EFC不是全等的三角形，所以應(yīng)試慮增添協(xié)助線。過點D作DG∥AC，即可獲得△DFG，而后經(jīng)過說明能獲得△DFG與△EFC全等，進而證得DF＝EF。解：過點D作DG∥AC，交BC于G，得∠DGB＝∠ACB所以∠DGF＝∠ECF（等角的補角相等）因為AB＝AC，所以∠B＝∠ACB所以∠DGB＝∠B所以DG＝BD又因為BD＝CE所以CE=DG在△DFG與△EFC中，因為∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC（對頂角相等）DG＝CE所以△DFG≌△EFC（AAS）所以DF＝EF7.分析：本題主要考察等腰三角形和平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用．解決問題的重點是經(jīng)過增添協(xié)助線，成立EF與BC的聯(lián)系．本題因為增添不一樣的協(xié)助線，能夠獲得以下四種不一樣的證法．證法一：如圖1，作BC邊上的高AD，D為垂足，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD．又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠AEF＝∠AFE．∴∠CAD＝∠E，∴AD∥EF．∵AD⊥BC，∴EF⊥BC．圖1證法二：如圖2，過點A作AG⊥EF于G．∵∠AEF＝∠AFE，AG＝AG，∠AGE＝∠AGF＝90°，∴△AGE≌△AGF．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠EAF＝∠B＋∠C，∴∠EAG＋∠GAF＝∠B＋∠C．圖2∴∠EAG＝∠C，∴AG∥BCAG⊥EF，∴EF⊥BC．證法三：如圖3．過點E作EH∥BC交BA的延伸線于H．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠H＝∠B＝∠C＝∠AEH，∵∠AEF＝∠AFE，∠H＋∠AFE＋∠FEH＝180°，∴∠H＋∠AEH＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∴∠AEF＋∠AEH＝90°，即∠FEH＝90°，∴EF⊥EH，又EH∥BC，EF⊥BC．證法四：如圖4．延伸EF交BC于K．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．1∴∠B＝2(180°－∠BAC)．∵∠AEF＝∠AFE，1∴∠AFE＝2(180°－∠EAF)．∵∠BFK＝∠AFE．

圖3圖41∴∠BFK＝2(180°－∠EAF)．11∴∠B＋∠BFK＝2(180°－∠BAC)＋2(180°－∠EAF)12[360°－(∠EAF＋∠BAC)]∵∠EAF＋∠BAC＝180°，∴∠B＋∠BFK＝90°，即∠FKB＝