第五章總體分布、樣本分布與參數(shù)估計(jì)

§5.1總體分布與樣本分布一、總體與總體分布

總體：反映總體特征的隨機(jī)變量的取值的全體。

總體分布：反映總體特征的隨機(jī)變量的概率分布。二、隨機(jī)樣本與樣本觀測值

1、隨機(jī)樣本表征n次抽取個體的隨機(jī)抽樣的一組隨機(jī)變量X1，X2，···，Xn

。2、樣本觀測值(樣本數(shù)據(jù))

n次隨機(jī)抽樣的結(jié)果：x1，x2，···，xn

(稱為隨機(jī)樣本X1，X2，···，Xn

的樣本觀測值)。n稱為隨機(jī)樣本向量(

X1，X2，···，Xn

)的維度，即自由度。樣本均值的抽樣分布

一個總體10，5，8，7，10Q：若有放回地抽取2次，請畫出兩次均值的分布圖。有放回(withreplacement)抽樣105871010{10,10} 10{10,5} 7.5{10,8} 9{10,7} 8.5{10,10} 105{5,10} 7.5{5,5} 5{5,8} 6.5{5,7} 6{5,10} 7.58{8,10} 9{8,5} 6.5{8,8} 8{8,7}7.5{8,10} 97{7,10} 8.5{7,5} 6{7,8} 7.5{7,7} 7{7,10} 8.510{10,10}10{10,5} 7.5{10,8} 9{10,7}8.5{10,10} 10一個樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布被稱為該統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布

樣本均值抽樣分布直方圖0510678910其他接收頻率0.00%50.00%100.00%150.00%頻率累積%3、樣本(累積)分布函數(shù)

設(shè)樣本觀測值x1x2,···,

xn，ki為小于xi+1的樣本值出現(xiàn)的累積頻次，n為樣本容量，則可得樣本累積頻率分布函數(shù)如下：樣本(累積)分布函數(shù)Fn(x)是對總體的累積分布函數(shù)F(x)的近似，n越大,Fn(x)對F(x)的近似越好。格利文科(Glivenko)定理

當(dāng)樣本容量n趨于無窮大時，F(xiàn)n(x)以概率1(關(guān)于x)均勻地收斂于F(x).思考：請舉出總體均值和總體方差的合適估計(jì)量?！?.2統(tǒng)計(jì)量與統(tǒng)計(jì)量的分布一、統(tǒng)計(jì)量的定義統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量是不含未知參數(shù)的，隨機(jī)樣本X1，X2，···,

Xn的函數(shù)。統(tǒng)計(jì)量的值:統(tǒng)計(jì)量的值是不含未知參數(shù)的,樣本觀測值x1，x2，···，xn的函數(shù).二、幾個重要統(tǒng)計(jì)量分布：2、t與F分布1、2(n)分布設(shè)隨機(jī)變量X~N(0，1)，X1，X2，···,

Xn為X樣本，則

2=

X2i=X21+X22+···

X2n~2(n)2(n)分布的均值E(2)=n，方差D(

2)=2n。n=1n=4n=102(n)分布圖2(n)密度函數(shù)：其中，n為自由度。(n/2)為珈瑪函數(shù)，是一個含參數(shù)n/2的積分，為：2、t分布其中，X~

N(0，1)，Y~2(n)分布，且X與Y相互獨(dú)立。密度函數(shù)為：t分布圖3、F分布其中，U~2(m)，V~2(n)，且U與V相互獨(dú)立。m=100，n=20m=15，n=20重要性質(zhì)：密度函數(shù)形式為：三、由一般正態(tài)分布的隨機(jī)樣本所構(gòu)成的若干重要統(tǒng)計(jì)量的分布定理：若X1，X2，···,

Xn

是正態(tài)總體N(，2)的一個隨機(jī)樣本，則：(1)X~N(，2/n)(2)X與S2相互獨(dú)立。(3)

~N(0，1)(4)

~2(n-1)(5)

~t(n

-1)(6)

~2(n)(1)

~N(0，1)定理：若X1，X2，···,

Xn1

和Y1，Y2，···,Yn2

分別是正態(tài)總體N(1，12)和N(2，22)的一個隨機(jī)樣本，且它們相互獨(dú)立，則滿足如下性質(zhì)：(3)

~F(n1-1，n2-1)其中，S12是容量為n1的X的樣本方差，S22是容量為n2的Y的樣本方差。(2)~t(n1+n2-2)，(

1=2)(4)

~F(n1，n2)四、任意分布的隨機(jī)樣本均值函數(shù)的均值與方差設(shè)：隨機(jī)變量X服從任何均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為的分布，X是隨機(jī)樣本X1，X2，···,

Xn的均值函數(shù)。則：X=;(2)X=/n或2X=2/nTips:某類個體數(shù)量占總體數(shù)量的比例問題：0-1分布若X~B(1,p)，則

E(X)=p,D(X)=p(1-p)X的均值也是總體中某類個體的比例p五、中心極限定理假設(shè)隨機(jī)變量X服從任何均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為的分布，X是隨機(jī)樣本X1，X2，···,

Xn的均值函數(shù)。當(dāng)n充分大時，有：思考：在實(shí)際問題中n多大？正態(tài)分布均勻分布總體分布樣本均值分布(n=2)樣本均值分布(n=10)樣本均值分布(n=30)指數(shù)分布Tips：當(dāng)n

30,無論總體分布形態(tài)如何，中心極限定理均適用；當(dāng)n

15,對于分布較為對稱的總體，中心極限定理適用；當(dāng)總體是正態(tài)分布時，無論樣本大小，中心極限定理均適用。Ex：某高校在研究生入學(xué)體檢后對所有結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出其中某一項(xiàng)指標(biāo)的均值是7，標(biāo)準(zhǔn)差2.2。從這個總體中隨機(jī)選取一個容量為31的樣本。(1)計(jì)算樣本均值大于7.5的概率；(2)計(jì)算樣本均值小于7.2的概率；(3)計(jì)算樣本均值在7.2和7.5之間的概率。解答1：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

φ(-x)=1–φ(x)

x00.010.020.030.040.050.060.070.080.0900.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.75490.70.75800.76110.76420.76730.77030.77340.77640.77940.78230.78520.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83550.83400.83650.838910.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.8621解答2：統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)推斷參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)§5.3點(diǎn)估計(jì)1、概念設(shè)是總體分布中一個需要估計(jì)的參數(shù)，現(xiàn)從總體中抽取一個隨機(jī)樣本X1，X2，···,

Xn

，記估計(jì)的統(tǒng)計(jì)量為

則稱為的估計(jì)量。若得到一組樣本觀測值x1，x2，···，xn

，就可得出的估計(jì)值，記：。注：在選取樣本統(tǒng)計(jì)量作為點(diǎn)估計(jì)時，必須考慮到“無偏性”，這一點(diǎn)很重要?？傮w分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，就是求出的估計(jì)值。點(diǎn)估計(jì)2、矩估計(jì)用樣本矩來估計(jì)總體矩。矩的一般形式：

E(Xk)表示k階原點(diǎn)矩(以原點(diǎn)為中心)；

E(X-)k表示k階中心矩(以為中心)；

Q：偏度、峰度、方差、均值分別是什么矩？2、矩估計(jì)Ex：設(shè)某批產(chǎn)品的壽命在上服從均勻分布，但是參數(shù)未知，隨機(jī)地抽取五個產(chǎn)品，測得壽命分別是1265小時，1257小時，1276小時，1269小時和1266小時，試求這批產(chǎn)品壽命均值和方差的矩估計(jì)值，并寫出相應(yīng)的分布函數(shù)。3、極大似然估計(jì)法若總體X

的(累積)概率分布函數(shù)為F(x,),概率密度函數(shù)f(x,),其中為未知參數(shù)。若X為離散型隨機(jī)變量,則由離散型與連續(xù)型的對應(yīng)關(guān)系,f(x,)對應(yīng)于離散情況下的概率P(X=x).X為連續(xù)型隨機(jī)變量時,X的隨機(jī)樣本X1，X2，···,

Xn的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

稱為的極大似然估計(jì)函數(shù).當(dāng)X為離散隨機(jī)變量時,L表示概率:L關(guān)于的極大值如果存在,極大值就是的極大似然估計(jì)值.其含義是:一組觀測值x1，x2，···，xn在一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)了,其聯(lián)合概率就應(yīng)當(dāng)是最大的,所以選擇使聯(lián)合密度L最大的那個.Ex:設(shè)x1，x2，···,

xn是正態(tài)總體N(，2)的樣本觀測值，求與2的極大似然估計(jì)值.解:極大似然函數(shù)為取對數(shù),分別對與2求偏導(dǎo),并令偏導(dǎo)為0,可求出與2的極大似然估計(jì)值如下:如果將上述xi

換成Xi,上式成為極大似然估計(jì)量?！?.3判別點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)1、無偏估計(jì)量2、最小方差性3、有效估計(jì)量(1)無偏性；(2)最小方差性。4、漸近無偏估計(jì)量5、一致估計(jì)量一致估計(jì)量的另一等價定義：(1)漸進(jìn)無偏的；(2)6、漸進(jìn)有效性：(1)一致估計(jì)量；(2)比其它的估計(jì)量更小的漸進(jìn)方差。漸進(jìn)方差定義：注：在實(shí)踐中廣泛應(yīng)用的準(zhǔn)則：(1)小樣本準(zhǔn)則

a、無偏性；

b、有效性。(2)大樣本準(zhǔn)則一致估計(jì)量。思考：為了估計(jì)目前北京市場二手房交易的平均價格，制定相應(yīng)的營銷策略，某房地產(chǎn)中介公司某年第四季度的二手房交易中，隨機(jī)抽取40個交易作為樣本，得到二手房交易價格如下表所示(單位：萬元)。

4852.436458019.94460.53339.52158.17236.6514973.516654810237.542.84836.52746.233.5415658.53940.535.422.54150.83834.243根據(jù)上述數(shù)據(jù)如何估計(jì)總體的平均價格？如果需要進(jìn)一步推斷房屋款項(xiàng)在43萬元以上的交易占全部交易的比例，應(yīng)當(dāng)如何分析呢？區(qū)間估計(jì)過程均值是未知的總體隨機(jī)樣本我有95%的把握認(rèn)為在40和50之間.均值=45.54

區(qū)間估計(jì)初步置信區(qū)間樣本統(tǒng)計(jì)量(點(diǎn)估計(jì))置信下界置信上界總體參數(shù)落在某區(qū)間內(nèi)的概率1. 未知總體參數(shù)所在的區(qū)間稱為置信區(qū)間；2. 未知總體參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率為(1－,稱為置信水平/置信度；3.未知總體參數(shù)不落在區(qū)間內(nèi)的概率%，稱為顯著性水平；4. 置信水平通常取值99%,95%,90%

即顯著性水平為=0.01,=0.05,=0.10Tips:置信區(qū)間90%樣本95%樣本99%樣本x_影響區(qū)間寬度的因素置信區(qū)間影響區(qū)間寬度的因素：1.數(shù)據(jù)離散度

2.樣本容量n3.置信水平

(1－)區(qū)間估計(jì)的步驟以總體均值的區(qū)間估計(jì)為例：1.確定置信水平2.根據(jù)置信水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表確定其

值；3.實(shí)際抽樣，并計(jì)算樣本的均值和抽樣誤差；4.確定置信區(qū)間：區(qū)間估計(jì)的內(nèi)容區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)兩個總體均值之差單一總體未知且小樣本單一總體均值的區(qū)間估計(jì)

(X已知或大樣本)1. 假設(shè)已知總體標(biāo)準(zhǔn)差總體正態(tài)分布如果不是正態(tài),可被正態(tài)分布逼近(樣本n

30)2. 置信區(qū)間例1沿用引例，假定房地產(chǎn)中介公司從上季度的二手房交易記錄中得到以下信息：交易價格的標(biāo)準(zhǔn)差為15萬元，于是我們假定總體標(biāo)準(zhǔn)差

=15。試在95%的置信水平下估計(jì)二手房平均價格的置信區(qū)間。4852.436458019.94460.53339.52158.17236.6514973.516654810237.542.84836.52746.233.5415658.53940.535.422.54150.83834.243解答已知n=40，

=15；計(jì)算得到樣本均值由1-=0.95，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表得：于是在95%的置信水平下的置信區(qū)間為：即(40.89，50.19)。結(jié)果表明：在95%的置信水平下，二手房交易價格的置信區(qū)間為40.89萬元~50.19萬元。單一總體均值的區(qū)間估計(jì)

(X未知且小樣本)1. 假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知總體服從正態(tài)分布2. 用t

分布3. 置信區(qū)間Ztt

分布

(Student’stDistribution)0t(df=5)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(自由度df=11)自由度

(Degreeoffreedom)1.當(dāng)樣本統(tǒng)計(jì)量被計(jì)算出以后可以自由改變的觀測值數(shù)目2.舉例：3個數(shù)之和是6X1

=1(或其他數(shù))X2=2(或其他數(shù))X3=3

(不能改變)Sum=6自由度df=n－1=2舉例2沿用引例，假定該房地產(chǎn)公司在某日隨機(jī)抽取16位二手房購買者，得到二手房交易價格如下表所示(萬元)。根據(jù)以往交易情況得知：二手房交易價格服從正態(tài)分布，但總體方差未知。試在95%的置信水平下估計(jì)二手房交易平均價格的置信區(qū)間。

63.422.6554879.437.542.84836.52745.233.54136.230.549解答已知n=16；計(jì)算得到樣本均值；樣本標(biāo)準(zhǔn)差

s=14.175；由1－=0.95，查表得：于是在95%的置信水平下的置信區(qū)間為：即(35.923，51.027)。結(jié)果表明：在95%的置信水平下，二手房價格的置信區(qū)間為35.923萬元~51.027萬元；即該公司可以有95%的把握認(rèn)為，二手房交易價格介于35.923萬元到51.027萬元之間。單一總體均值的區(qū)間估計(jì)總結(jié)

區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)兩個總體均值之差單一總體獨(dú)立樣本配對樣本區(qū)間估計(jì)的內(nèi)容兩個總體均值之差的區(qū)間估計(jì)

(總體方差為已知)獨(dú)立樣本(Independentsample)：兩個樣本是從兩個總體中獨(dú)立地抽取的，即一個樣本中的元素與另一個樣本中的元素相互獨(dú)立。1. 大樣本條件下(1)在兩個總體的方差12和22均已知的情況下，兩個總體均值之差的置信區(qū)間為：總體方差未知1. 大樣本條件下(2)在兩個總體的方差12和22均未知的情況下，可用兩個樣本的方差s12和s22代替。

這時，兩個總體均值之差的置信區(qū)間為：舉例3沿用引例。從次年初開始，北京二手房交易價格急劇攀升。為對比次年第一季度與當(dāng)年第四季度二手房平均價格的差異，該房地產(chǎn)中介公司從次年第一季度的交易中隨機(jī)抽取36個，得到二手房交易價格如下表所示(單位：萬元)。55.448.6524982.47267.542.84836.57745.233.54136.539.23948.64842.83645804541.253.51055245.53158.17276.2514996舉例3將以上數(shù)據(jù)和引例中當(dāng)年第四季度二手房交易價格進(jìn)行整理，得到根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試以95%置信水平估計(jì)次年第一季度與當(dāng)年第四季度的二手房交易平均價格差值的置信區(qū)間。

當(dāng)年第四季度次年第一季度樣本容量4036樣本均值(萬元)45.5453.93樣本標(biāo)準(zhǔn)差(萬元)16.8717.84解答由于兩個樣本相互獨(dú)立，且均為大樣本，因此兩個樣本的均值之差服從正態(tài)分布。在95%置信水平下做出區(qū)間估計(jì)如下：即(－16.22，－0.56)。結(jié)果表明：有95%的把握認(rèn)為，總體平均價格的差異介于－16.22萬元～－0.56萬元之間，即次年第一季度比當(dāng)年第四季度的二手房平均交易價格顯著上升。小樣本條件下區(qū)間估計(jì)2. 小樣本條件下(1)當(dāng)兩個總體的方差均已知時，可用上式建立兩個總體均值之差的置信區(qū)間。(2)當(dāng)兩個總體的方差12和22均未知，且12=22時，可用兩個樣本的方差s12和s22計(jì)算總體方差的合并估計(jì)量sp2

。這時，兩個樣本均值之差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后服從自由度為的t分布。兩個總體均值之差的置信區(qū)間為：舉例4沿用引例。為對比北京市不同地區(qū)二手房交易價格的差異，該房地產(chǎn)中介公司從中關(guān)村和望京地區(qū)兩個營業(yè)部某年第一季度的二手房交易中各抽取8個，得到二手房交易價格如下表所示：假定兩個地區(qū)的二手房交易價格服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%置信水平估計(jì)某年第一季度中關(guān)村和望京地區(qū)的二手房平均價格差值的置信區(qū)間。中關(guān)村75.2626486.87265.558103.5望京地區(qū)45.53158.17250.2514996解答已知n=16，總體方差未知；計(jì)算得由1-=0.95,8+8-2=14查表得于是在95%置信水平下的置信區(qū)間為解答即(－2.041，35.591)。結(jié)果表明：有95%的把握認(rèn)為，總體平均交易價格的差異介于－2.041萬元到35.591萬元之間。本例中，所求置信區(qū)間包含0，說明我們沒有足夠的理由認(rèn)為某年第一季度中關(guān)村地區(qū)和望京地區(qū)的二手房交易平均價格存在顯著差異。

2. 小樣本條件下(3)當(dāng)兩個總體的方差12和22均未知，且12≠22時，如果兩個總體都服從正態(tài)分布且兩個樣本的容量相等n1=n2，則可用下列公式建立兩個總體均值之差的置信區(qū)間：2. 小樣本條件下(3)當(dāng)兩個總體的方差12和22均未知，且12≠22時，如果兩個樣本的容量不相等n1≠n2，則兩個樣本均值之差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后近似服從自由度為d的t分布，兩個總體均值之差的置信區(qū)間為：其中，兩個總體均值之差的區(qū)間估計(jì)

配對樣本(Matchedsample)，即一個樣本中的數(shù)據(jù)與另一個樣本中的數(shù)據(jù)相對應(yīng)。1.大樣本條件下，兩個總體均值之差的置信區(qū)間為：2.小樣本條件下，兩個總體均值之差的置信區(qū)間為：其中，d-為各差值的均值；當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，可以用樣本差值的標(biāo)準(zhǔn)差替代。舉例5沿用引例。為比較分析北京市同一地區(qū)不同年份二手房價格的差異，該房地產(chǎn)中介公司從中關(guān)村地區(qū)當(dāng)年第四季度的二手房交易中，抽取了8個交易；并根據(jù)次年當(dāng)月市場行情，分別對這8個房源進(jìn)行重新估價，得到二手房價格如下表所示(單位：萬元)。假定二手房價格服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%置信水平估計(jì)中關(guān)村地區(qū)次年第一季度和當(dāng)年第四季度的二手房平均價格差值的置信區(qū)間。當(dāng)年交易價格55.2625466.84462.558103.5次年市場估價64.569.564.87850.272.165109差額-9.3-7.5-10.8-11.2-6.2-9.6-7-5.5解答已知n=8，總體方差未知；計(jì)算得。由1-=0.95,查表得于是按照上式，在95%置信水平下的置信區(qū)間為：即(－10.172，－6.604)。結(jié)果表明：有95%的把握認(rèn)為，總體平均價格的差異介于－10.17萬元～－6.60萬元之間。即認(rèn)為中關(guān)村地區(qū)次年第一季度比當(dāng)年第四季度的二手房平均價格有顯著提高。區(qū)間估計(jì)的內(nèi)容區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)兩個總體比例之差單一總體單一總體比例的區(qū)間估計(jì)1. 假設(shè)總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布近似估計(jì)np

5且n(1-p)52. 置信區(qū)間估計(jì)兩個總體比例之差的區(qū)間估計(jì)1. 假設(shè)總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布近似估計(jì)np1

5且n(1-p1

)5；np2

5且n(1–p2

)52. 置信區(qū)間估計(jì)舉例6根據(jù)引例以及例3的數(shù)據(jù)，整理得出次年第一季度與當(dāng)年第四季度交易價格在43萬元以上的二手房交易數(shù)量及所占比例，試在95%置信水平下估計(jì)這兩個時期，交易價格在43萬元以上的二手房交易所占比例的差值的置信區(qū)間。整理數(shù)據(jù)如下：當(dāng)年第四季度次年第一季度樣本容量n403643萬元以上的交易數(shù)量2025所占比例p50%69.44%解答已知在95%置信水平下的置信區(qū)間為：即(－41.04%，2.16%)。結(jié)果表明：有95%