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絕對值大全〔零點分段法、化簡、最值〕

一、去絕對值符號的幾種常用方法

解含絕對值不等式的基本思路是去掉絕對值符號，使不等式變?yōu)椴缓^對值符號的一般不等式，而后,其解法與一般不等式的解法一樣。因而把握去掉絕對值符號的方法和途徑是解題關鍵。

１利用定義法去掉絕對值符號

根據(jù)實數(shù)含絕對值的意義，即|x|＝(0)(0)xxxx≥??

-????≤?；｜

x｜>c(0)

0(0)(0)xcxccxcxRc>??

?≠=??∈c(c>０)來解,如｜axb+|>c(c>０〕可為axb+＞c或axb+

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號的不等式的常用解法,這種方法主要體現(xiàn)了化歸、分類討論等數(shù)學思想方法，它能夠把求解條理化、思路直觀化。

5利用數(shù)形結合去掉絕對值符號

解絕對值不等式有時要利用數(shù)形結合,利用絕對值的幾何意義畫出數(shù)軸，將絕對值轉化為數(shù)軸上兩點間的距離求解。數(shù)形結合法較為形象、直觀,能夠使復雜問題簡單化，此解法適用于||||xaxbm-+->或||||xaxbm-+-(或＜m)，當｜a｜≠|(zhì)c｜時一般不用。

二、怎樣化簡絕對值

絕對值的知識是初中代數(shù)的重要內(nèi)容,在中考和各類競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，含有絕對值符號的數(shù)學問題又是學生碰到的難點之一，解決這類問題的方法通常是利用絕對值的意義,將絕對值符號化去,將問題轉化為不含絕對值符號的問題,確定絕對值符號內(nèi)部分的正負,借以去掉絕對值符號的方法大致有三種類型。

(一)、根據(jù)題設條件例１：設化簡

的結果是〔〕。(A)

(B〕

〔Ｃ)(D〕

思路分析:由可知

可化去第一層絕對值符號,第二次絕對值符號待合

并整理后再用同樣方法化去.

解:

∴應選(Ｂ〕.

歸納點評只要知道絕對值將合內(nèi)的代數(shù)式是正是負或是零，就能根據(jù)絕對值意義順利去掉絕對值符號,這是解答這類問題的常規(guī)思路．

(二)、借助數(shù)軸

例２：實數(shù)ａ、b、ｃ在數(shù)軸上的位置如下圖，則代數(shù)式的

值等于〔)．

(Ａ)

(B〕

〔C)

(D)

思路分析由數(shù)軸上容易看出，這就為去掉絕

對值符號掃清了障礙．

解：原式

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∴應選〔C).

歸納點評這類題型是把已知條件標在數(shù)軸上,借助數(shù)軸提供的信息讓人去觀察，一定弄清：

１．零點的左邊都是負數(shù),右邊都是正數(shù).

2．右邊點表示的數(shù)總大于左邊點表示的數(shù).

3．離原點遠的點的絕對值較大,謹記這幾個要點就能沉著自若地解決問題了.

(三)、采用零點分段討論法

例3:化簡

思路分析本類型的題既沒有條件限制，又沒有數(shù)軸信息,要對各種情況分類討論,可采用零點分段討論法，本例的難點在于的正負不能確定,由于x是不斷變化的，所以它們?yōu)檎樨?、為零都有可?應當對各種情況—一討論.

解:令得零點:;令得零點：，把數(shù)軸上的數(shù)分為三個部分〔如圖〕

①當時，

∴原式

②當時,,

∴原式

③當時，，

∴原式

∴

歸納點評:固然的正負不能確定,但在某個詳細的區(qū)段內(nèi)都是確定的，這正是零點分段討論法的優(yōu)點，采用此法的一般步驟是：

1.求零點:分別令各絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為零,求出零點(不一定是兩個)．

２.分段:根據(jù)第一步求出的零點,將數(shù)軸上的點劃分為若干個區(qū)段,使在各區(qū)段內(nèi)每個絕對值符號內(nèi)的部分的正負能夠確定．

３．在各區(qū)段內(nèi)分別考察問題．

４.將各區(qū)段內(nèi)的情形綜合起來,得到問題的答案.

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誤區(qū)點撥千萬不要想當然地把等都當成正數(shù)或無根據(jù)地增加一些附加條件，以免得出錯誤的結果.

三、帶絕對值符號的運算

在初中數(shù)學教學中,怎樣去掉絕對值符號？由于這一問題看似簡單,所以往往容易被人們忽視。其實它既是初中數(shù)學教學的一個重點，也是初中數(shù)學教學的一個難點,還是學生容易搞錯的問題。那么，怎樣去掉絕對值符號呢?我以為應從下面幾個方面著手：

(一)、要理解數(shù)a的絕對值的定義。

在中學數(shù)學教科書中，數(shù)ａ的絕對值是這樣定義的，“在數(shù)軸上，表示數(shù)ａ的點到原點的距離叫做數(shù)ａ的絕對值。〞學習這個定義應讓學生理解,數(shù)a的絕對值所表示的是一段距離，那么，不管數(shù)ａ本身是正數(shù)還是負數(shù)，它的絕對值都應該是一個非負數(shù)。

?〔二)、要弄清楚如何去求數(shù)ａ的絕對值。

從數(shù)ａ的絕對值的定義可知，一個正數(shù)的絕對值肯定是它的本身，一個負數(shù)的絕對值必定是它的相反數(shù),零的絕對值就是零。在這里要讓學生重點理解的是,當a是一個負數(shù)時,如何去表示a的相反數(shù)(可表示為“-ａ〞),以及絕對值符號的雙重作用(一是非負的作用，二是括號的作用〕。

(三〕、把握初中數(shù)學常見去掉絕對值符號的幾種題型。?

１、對于形如︱a︱的一類問題

只要根據(jù)絕對值的3個性質(zhì),判定出a的3種情況，便能快速去掉絕對值符號。

當a＞0時,︱a︱=a(性質(zhì)1:正數(shù)的絕對值是它本身)；

當a＝0時，︱ａ︱=０〔性質(zhì)２:0的絕對值是０〕；?當ａ＜０時；︱ａ︱=–ａ(性質(zhì)3：負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)〕。

2、對于形如︱ａ+b︱的一類問題

首先要把a+b看作是一個整體,再判定a+b的3種情況，根據(jù)絕對值的3個性質(zhì)，便能快速去掉絕對值符號進行化簡。

當a+ｂ＞０時，︱a+ｂ︱=〔a+ｂ)=a+b(性質(zhì)1：正數(shù)的絕對值是它本身);?當a＋b＝0時，︱a＋b︱＝(ａ+ｂ)=0(性質(zhì)2:0的絕對值是0);?當ａ+b＜0時,︱ａ+ｂ︱＝–(a+b〕=–ａ-b(性質(zhì)3:負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù))。

3、對于形如︱a-ｂ︱的一類問題

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同樣,仍然要把a-b看作一個整體,判定出a-b的３種情況，根據(jù)絕對值的3個性質(zhì)，去掉絕對值符號進行化簡。

但在去括號時最容易出現(xiàn)錯誤。怎樣快速去掉絕對值符號，條件非常簡單,只要你能判定出a與b的大小即可〔不管正負)。由于︱大-小︱＝︱小-大︱=大-小,所以當ａ>b時,︱a-b︱=〔a-b〕＝a－b，︱ｂ－a︱=〔a-ｂ〕=a-ｂ。

口訣:無論是大減小,還是小減大,去掉絕對值,都是大減小。

4、對于數(shù)軸型的一類問題，

根據(jù)3的口訣來化簡，更快速有效。如︱ａ-b︱的一類問題，只要判定出a在ｂ的右邊(不管正負)，便可得到︱a-ｂ︱=〔a－b)=a-ｂ，︱b-ａ︱=(a-b)=a-ｂ。

５、對于絕對值符號前有正、負號的運算

非常簡單,去掉絕對值符號的同時,不要忘記打括號。前面是正號的無所謂,假如是負號，忘記打括號就慘了，差之毫厘失之千里也!

６、對于絕對值號里有三個數(shù)或者三個以上數(shù)的運算

萬變不離其宗,還是把絕對值號里的式子看成一個整體，把它與0比擬,大于０直接去絕對值號,小于0的整體前面加負號。

四、去絕對值化簡專題練習

〔1)設化簡的結果是(B)。

〔Ａ〕〔B〕〔C)〔Ｄ〕

(2)實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖,則代數(shù)式的值等于〔C〕。

〔A〕〔Ｂ)(C)〔D〕

〔3)已知,化簡的結果是x－8。

(4〕已知,化簡的結果是-x＋8。

(5〕已知,化簡的結果是－3x。

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(6〕已知a、b、c、ｄ知足

且,那么ａ

+b+c+d=0(提示:可借助數(shù)軸完成〕(7)若

，則有(A)。(A〕

〔B)

〔C)

〔Ｄ〕

(８)有理數(shù)a、b、ｃ在數(shù)軸上的位置如下圖,則式子化簡結果為

(C).

(A)

〔B〕

〔C〕

〔Ｄ〕

〔9〕有理數(shù)a、ｂ在數(shù)軸上的對應點如下圖，那么下列四個式子，

中負數(shù)的個數(shù)是(B).

〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3(10)化簡

=

〔1〕－3ｘ(x2)〔1１〕設x是實數(shù),下列四個結論中正確的是〔Ｄ)。

〔Ａ)y沒有最小值

(B〕有有限多個x使y取到最小值(C〕只要一個ｘ使y獲得最小值

(Ｄ〕有無窮多個ｘ使y獲得最小值

五、絕對值培優(yōu)教案

絕對值是初中代數(shù)中的一個基本概念，是學習相反數(shù)、有理數(shù)運算及后續(xù)二次根式的基礎．絕對值又是初中代數(shù)中的一個重要概念,在解代數(shù)式化簡求值、解方程(組)、解不等(組)、函數(shù)中距離等問題有著廣泛的應用，全面理解、把握絕對值這一概念,應從下面方面人手:

l.絕對值的代數(shù)意義：??

?

??=)0()0(0)0(aaaaaa

2.絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看,a表示數(shù)a的點到原點的距離〔長度，非負);

ba-表示數(shù)a、數(shù)b的兩點間的距離.

3.絕對值基本性質(zhì)

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①非負性:0≥a；②baab?=；③)0(≠=bb

aba;④222

aaa==．培優(yōu)講解

〔一〕、絕對值的非負性問題

【例1】若3150xyz+++++=,則xyz--=?？偨Y:若干非負數(shù)之和為0,?！捕?、絕對值中的整體思想

【例2】已知4,5==ba，且abba-=-，那么ba+=．

變式1.若|m－1|＝m-1，則m_______1；若｜m－１|>m－１，則m＿__＿_＿_1;

(三〕、絕對值相關化簡問題(零點分段法)【例3】閱讀下列材料并解決有關問題：

我們知道()

()()

0000

??

?

??-=xxxxx

x，如今我們能夠用這一個結論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式21-++xx時,可令01=+x和02=-x,分別求得2,1=-=xx(稱2,1-分別為

1+x與2-x的零點值〕。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值1-=x和2=x可將全體有理數(shù)分成不

重復且不遺漏的如下３種情況:

〔1)當1-

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變式1.化簡(1)12-x;(2)31-+-xx；

變式2．已知23++-xx的最小值是a，23+--xx的最大值為b,求ba+的值。

〔四)、ba-表示數(shù)軸上表示數(shù)a、數(shù)b的兩點間的距離．

【例4】(距離問題)觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應點間的距離4與2-,3與５，2-與

6-,4-與3.

并回答下列各題：

(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關系嗎?答：＿＿_.(2〕若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x，點Ｂ表示的數(shù)為―1,則A與B兩點間的距離

能夠表示為_____＿＿_＿＿___＿.

〔３)結合數(shù)軸求得23xx-++的最小值為，獲得最小值時x的取值范圍為_＿＿．

(4〕知足341>+++xx的x的取值范圍為＿_____．〔5〕若1232020xxxx-+-+-++-的值為常數(shù),試求x的取值范圍.

〔五)、絕對值的最值問題

【例5】〔1〕當x取何值時,3-x有最小值？這個最小值是多少？(２)當x取何值時,25+-x有最大值？這個最大值是多少？〔3)求54-+-xx的最小值。(4〕求

987-+-+-xxx的最小值。

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【例６】.已知1,1≤≤yx,設421--++++=xyyyxM,求M的最大值與最小值．

課后練習：

1、若|1|ab++與2

(1)ab-+互為相反數(shù),求321ab+-的值。

２.若

1

++ba與2)1(+-ba互為相反