專題3.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·山東）設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解集合B，再求集合的補(bǔ)集，交集即可.【詳解】由題知，又，則，故選：B.2.（2019·貴州省織金縣第二中學(xué)高一期中）函數(shù)且過定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，所以函數(shù)且過定點(diǎn)．3．（2021·江西高三二模（文））下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)判定A；利用分段函數(shù)的圖象可以判定B；根據(jù)冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判定C,D．【詳解】A中，的圖象關(guān)于軸對稱，開口向下的拋物線，在上單調(diào)遞減，故Ａ不對；B中，的圖像關(guān)于直線對稱，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故排除B；C中，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故C正確；D中，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，故排除D；故選：C．4．（2020·浙江高三月考）當(dāng)時(shí)，“函數(shù)的值恒小于1”的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得原命題等價(jià)于，再由充分不必要條件的概念即可得解.【詳解】若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值恒小于1，則即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值恒小于1的一個(gè)充分不必要條件是.故選：D.5．（2019·浙江高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由二次函數(shù)的圖象確定的取值范圍，然后可確定的圖象．【詳解】由函數(shù)的圖象可知，，，則為增函數(shù)，，過定點(diǎn)，故選：.6．（2021·浙江高三專題練習(xí)）不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意得，再解絕對值不等式即可得答案.【詳解】解：由指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，進(jìn)而得，即.故選：A.7．（2021·浙江高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則冪函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得定點(diǎn)坐標(biāo)，由定點(diǎn)求得冪函數(shù)解析式，確定圖象．【詳解】由得，，即定點(diǎn)為，設(shè)，則，，所以，圖象為B．故選：B．8．（2021·山東高三三模）已知，則的大小關(guān)系正確的為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：，，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，，故選：B.9．【多選題】（2021·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象可能為（）A．B．

C． D．【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)解析式的形式，以及圖象的特征，合理給賦值，判斷選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，圖象A滿足；當(dāng)時(shí)，，，且，此時(shí)函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，圖象B滿足；當(dāng)時(shí)，，，且，此時(shí)函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，圖象D滿足；圖象C過點(diǎn)，此時(shí)，故C不成立.故選：ABD10．【多選題】（2021·全國高三專題練習(xí)）已知（k為常數(shù)），那么函數(shù)的圖象不可能是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)選項(xiàng)，四個(gè)圖象可知備選函數(shù)都具有奇偶性．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行分析得出答案．【詳解】由選項(xiàng)的四個(gè)圖象可知，備選函數(shù)都具有奇偶性．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B正確，A錯(cuò)誤.故選:AD．練提升練提升TIDHNEG1．（2021·浙江金華市·高三其他模擬）已知函數(shù)，若對于任意一個(gè)正數(shù)，不等式在上都有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由不等式可知，或，結(jié)合圖象，分析可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，得，，不能滿足都有解；當(dāng)時(shí)，，得或，如圖，當(dāng)或時(shí)，只需滿足或，滿足條件.所以，時(shí)，滿足條件.故選：A2．（2021·安徽蕪湖市·高三二模（理））函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對任意的，均有，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】首先根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合不等式的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題即可求解.【詳解】∵是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，∴，則等價(jià)于，即，即對任意恒成立，設(shè)，則有，解得，又∵，∴.故選：A.3．（2021·遼寧沈陽市·高三三模）已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為比較當(dāng)時(shí)的大小，利用特值法即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，函?shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以比較a，b，c的大小，只需比較當(dāng)時(shí)的大小即可.用特殊值法，取，容易知，再對其均平方得，顯然，所以，所以故選：B.4．（2021·江蘇蘇州市·高三其他模擬）生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量P會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，P與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為(其中a為常數(shù))，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.若2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的79%，則可推斷該文物屬于（）參考數(shù)據(jù)：.參考時(shí)間軸：A．戰(zhàn)國 B．漢 C．唐 D．宋【答案】B【解析】根據(jù)“半衰期”得，進(jìn)而解方程得，進(jìn)而可推算其所處朝代.【詳解】由題可知，當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，解方程，兩邊取以為底的對數(shù)得，解得，所以，所以可推斷該文物屬于漢朝.故選：B5．（2021·河南高三月考（理））設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，，則，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．無法比較【答案】A【解析】從選項(xiàng)A或C出發(fā)，分析其對立面，推理導(dǎo)出矛盾結(jié)果或成立的結(jié)果即可得解.【詳解】假設(shè)，則，，由得，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以；由得，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以；即有與假設(shè)矛盾，所以，故選：A6．【多選題】（2021·全國高三專題練習(xí)）若函數(shù)，則下述正確的有（）A．在R上單調(diào)遞增 B．的值域?yàn)镃．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】AC【解析】A.由和的單調(diào)性判斷；B.取判斷；C.D.判斷是否等于零即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的增函數(shù)，是定義在R上的減函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．7．【多選題】（2020·山東省青島第十六中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，則下列正確的是（）A． B．C． D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【解析】對選項(xiàng)A，根據(jù)計(jì)算，即可判斷A錯(cuò)誤，對選項(xiàng)B，根據(jù)計(jì)算，即可判斷B正確；對選項(xiàng)C，根據(jù)計(jì)算，即可判斷C錯(cuò)誤，對選項(xiàng)D，分別求和的值域即可得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A，，，故A錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B，，，故B正確.對選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，，故C錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，函數(shù)的值域?yàn)?，又因?yàn)闀r(shí)，，是周期為的函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，綜上，函數(shù)的值域?yàn)?，故D正確.故選：BD8．【多選題】（2020·河北冀州中學(xué)（衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)）高三月考）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．的值域是【答案】BC【解析】由判斷A；由奇函數(shù)的定義證明B；把的解析式變形，由的單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷C正確；求出的范圍，進(jìn)一步求得的值域判斷D．【詳解】，，，則不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?，，為奇函?shù)，故B正確；，又在上單調(diào)遞增，在上是增函數(shù)，故C正確；，，則，可得，即．，故D錯(cuò)誤．故選：BC．9．【多選題】（2020·重慶市第十一中學(xué)校高三月考）已知函數(shù)（為常數(shù)），函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A．-1 B．2 C．1 D．0【答案】CD【解析】由已知求得當(dāng)時(shí)，的最小值為，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，對分類討論求得的范圍，結(jié)合選項(xiàng)得答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為；要使原分段函數(shù)有最小值為，則當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，需，即．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．結(jié)合選項(xiàng)可得，實(shí)數(shù)的取值可以是1，0．故選：CD．10．【多選題】（2021·南京市中華中學(xué)高三期末）“懸鏈線”進(jìn)入公眾視野，源于達(dá)芬奇的畫作《抱銀貂的女人》.這幅畫作中，女士脖頸上懸掛的黑色珍珠鏈與主人相互映襯，顯現(xiàn)出不一樣的美與光澤.而達(dá)芬奇卻心生好奇：“固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？”隨著后人研究的深入，懸鏈線的廬山真面目被揭開.法國著名昆蟲學(xué)家、文學(xué)家法布爾，在《昆蟲記》里有這樣的記載：“每當(dāng)?shù)匦囊蛿_性同時(shí)發(fā)生作用時(shí)，懸鏈線就在現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)了.當(dāng)一條懸鏈彎曲成兩點(diǎn)不在同一垂直線（注：垂直于地面的直線）上的曲線時(shí)，人們便把這曲線稱為懸鏈線.這就是一條軟繩子兩端抓住而垂下來的形狀，這就是一張被風(fēng)鼓起來的船帆外形的那條線條．”建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可以寫出懸鏈線的函數(shù)解析式：，其中為懸鏈線系數(shù)．當(dāng)時(shí)，稱為雙曲余弦函數(shù)，記為．類似的雙曲正弦函數(shù)．直線與和的圖像分別交于點(diǎn)、．下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．隨的增大而減小 D．與的圖像有完全相同的漸近線【答案】AC【解析】由函數(shù)的定義，代入化簡可得A正確，B不正確；由可得C正確；由函數(shù)的圖象變化可得D不正確.【詳解】，所以A正確；，所以B不正確；，且隨著變大，越來越小，所以C正確；，當(dāng)時(shí)，是的等價(jià)無窮大，無漸近線，，當(dāng)時(shí)，是的等價(jià)無窮大，無漸近線，所以D不正確.故選：AC練真題練真題TIDHNEG1.(新課標(biāo)真題)已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】[來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]由可得，則，即，所以，，故選A.2．（2020·北京高考真題）已知函數(shù)，則不等式的解集是（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋缘葍r(jià)于，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.3.(北京高考真題)已知函數(shù)，則（）（A）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（B）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（C）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（D）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)【答案】B【解析】4.(2019年高考北京理)設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立，即