熱點08立體幾何熱點08立體幾何從新高考的考查情況來看，立體幾何是高考必考內(nèi)容，考查重點是：①幾何體的表面積和體積，與球有關的切、接問題，一般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中等；②異面直線所成的角和線面位置關系；③直線與平面以及平面與平面平行（垂直）的判定和性質(zhì)，常出現(xiàn)在解答題的第（1）問中，難度中等；④利用向量法求空間角和空間距離是高考的重點，考查頻率較高，線、面的平行和垂直問題一般不用向量法求解，但向量法的使用有時可以加快求解速度，主要以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．該部分主要考查考生對轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用，提升直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng)．1、幾何體的表面積（體積）問題的常見類型及解題策略：（1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．（2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補法等方法進行求解．①等體積法：一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關錐體的體積，特別是三棱錐的體積.②割補法：運用割補法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計算問題，關鍵是能根據(jù)幾何體中的線面關系合理選擇截面進行切割或者補成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關系，如果是由幾個規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個規(guī)則的幾何體的體積之和;如果是由一個規(guī)則的幾何體挖去幾個規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個幾何體的體積．2、球面幾何的解題技巧：1）確定一個球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其半徑.2）球與幾種特殊幾何體的關系：(1)長方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長方體的體對角線長；(2)正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑之比為3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特別地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點；(4)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；(5)球與圓臺的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺的高．3）與球有關的實際應用題一般涉及水的容積問題，解題的關鍵是明確球的體積與水的容積之間的關系，正確建立等量關系.4）有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關問題解決.球心到截面的距離與球的半徑及截面圓的半徑之間滿足關系式：.3、向量法求空間角度和距離的方法策略：建立空間直角坐標系，把空間中的點用有序?qū)崝?shù)組(即坐標)表示出來,通過坐標的代數(shù)運算解決空間幾何問題，實現(xiàn)了幾何問題(形)與代數(shù)問題(數(shù))的結(jié)合.1）用向量法求異面直線所成的角：（1）建立空間直角坐標系；（2）求出兩條直線的方向向量；（3）代入公式求解.2）向量法求直線與平面所成的角：（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．3）向量法求二面角：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．4）求點P到平面α的距離的三個步驟：（1）在平面α內(nèi)取一點A，確定向量的坐標．（2）確定平面α的法向量n.（3）代入公式求解.熱點1、球面幾何主要考查多面體的外接球的表面積、體積等，一般應用“老方法”，求出球的半徑即可。熱點2、直線與平面以及平面與平面平行（垂直）的判定和性質(zhì)(1)由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。(2)利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一。熱點3、空間向量的應用（求角、距離等）主要步驟：一作、二證、三算；若用向量，那就是一證、二算。(1)兩條異面直線所成的角：①平移法；②補形法；③向量法。(2)直線和平面所成的角：①作出直線和平面所成的角，關鍵是作垂線，找射影轉(zhuǎn)化到同一三角形中計算，或用向量計算。②用公式計算。(3)二面角：①平面角的作法：(i)定義法；(ii)垂面法。②平面角的計算法：(i)找到平面角，然后在三角形中計算(解三角形)或用向量計算；(ii)射影面積法；(iii)向量夾角公式。(4)求點到平面的距離：一般找出(或作出)過此點與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過該點作出平面的垂線，進而計算;也可以利用“等體積法”直接求距離。A卷（建議用時90分鐘）一、單選題1．（2021·山東·泰安一中模擬預測）如圖，位于貴州黔南的“中國天眼”是具有我國自主知識產(chǎn)權(quán)?世界最大單口徑?最靈敏的球面射電望遠鏡，其反射面的形狀為球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為球冠的底，與截面垂直的球體直徑被截得的部分為球冠的高，設球冠所在球的半徑為，球冠底的半徑為，球冠的高為，球冠底面圓的周長為.已知球冠的表面積公式為，若，則球冠所在球的表面積為（）A． B． C． D．2．（2021·重慶市涪陵實驗中學校高三期中）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（）A． B． C． D．3．（2021·山東濰坊·高三期中）“迪拜世博會”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內(nèi)外兩個同軸圓柱，某愛好者制作了一個中國館的實心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個直徑為的球面上.此模型的體積為（）A． B． C． D．4．（2021·廣東龍崗·高三期中）如圖，在中，，，為的中點，將沿折起到的位置，使得二面角為，則三棱錐的體積為（）A． B．4 C． D．25．（2021·山東·膠州市教育體育局教學研究室高三期中）已知，是空間中兩條不同的直線，，是空間中兩個不同的平面，下列說法正確的是()A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則6．（2021·江蘇南通·高三期中）已知圓錐SO的頂點為S，母線SA，SB，SC兩兩垂直，且，則圓錐SO的體積為（）A． B． C． D．7．（2021·浙江·高三期中）一個四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐各棱棱長的最大值為（）A．1 B．2 C． D．8．（2022·浙江·模擬預測）已知某正四棱錐的體積是，該幾何體的表面積最小值是，我們在繪畫該表面積最小的幾何體的直觀圖時所畫的底面積大小是，則和的值分別是（）A．3； B．4； C．4； D．3；9．（2021·浙江·模擬預測）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”（chumeng）是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如下圖五面體是一個芻甍，其中四邊形為矩形，平面，且（AD的長度為常數(shù)），△是等邊三角形，當五面體體積最大時，記二面角的大小為，二面角的大小為，直線與所成的角為，則（）A．B．C．D．10．（2021·浙江·高三期中）在正方體中P，Q分別是和的中點，則下列判斷錯誤的是（）A．B．平面C．D．平面11．（2021·上?！げ軛疃懈呷谥校┮阎襟w的棱長為，、分別是棱、的中點，點為底面內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為（）A． B． C． D．12．（2021·新疆·昌吉市第九中學高三期末）已知梯形CEPD如下圖所示，其中，，A為線段PD的中點，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進行折疊，使得平面平面ABCD，得到如圖所示的幾何體．已知當點F滿足時，平面平面PCE，則的值為（）A． B． C． D．二、多選題13．（2021·福建·永安市第三中學高中校高三期中）在正方體中，為底面的中心，為線段上的動點（不包括兩個端點），為線段的中點．現(xiàn)有以下結(jié)論中正確的是（）A．與是異面直線； B．過、、三點的正方體的截面是等腰梯形；C．平面平面； D．平面．14．（2021·江蘇·南京師大附中高三期中）如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱的中點，過點E，F(xiàn)的平面分別與棱交于點G，H，以下四個結(jié)論正確的是（）A．正方體外接球的表面積為3πB．平面EGFH與平面ABCD所成角的最大值為C．四棱錐的體積為定值D．點到平面EGFH的距離的最大值為15．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知圓錐的底面半徑，側(cè)面積為，內(nèi)切球的球心為，外接球的球心為，則下列說法正確的是（）A．外接球的表面積為B．設內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則C．過點P作平面截圓錐的截面面積的最大值為D．設長方體為圓錐的內(nèi)接長方體，且該長方體的一個面與圓錐底面重合，則該長方體體積的最大值為三、填空題16．（2021·福建·上杭一中模擬預測）我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異。”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等。如圖，陰影部分是由雙曲線與它的漸近線以及直線所圍成的圖形，將此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個旋轉(zhuǎn)體，（1）如用與軸相距為，且垂直于軸的平面，截這個旋轉(zhuǎn)體，則截面圖形的面積為______；（2）則這個旋轉(zhuǎn)體的體積為______．17．（2021·全國·高三專題練習）古希臘數(shù)學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，如圖①，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和高均為的圓錐中，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，是線段的中點，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則該曲線為____________，是該曲線上的兩點且，若經(jīng)過點，則__________.18．（2021·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學高三期中）如圖，三個半徑都是的小球放在一個半球面的碗中，小球的頂端恰好與碗的上沿處于同一水平面，則碗的半徑是___________.19．（2021·上海虹口·一模）如圖，在棱長為1的正方體中，為底面內(nèi)（包括邊界）的動點，滿足與直線所成角的大小為，則線段掃過的面積為______.20．（2021·江蘇·海門中學高三期中）已知，分別是邊長為2的等邊邊，的中點，現(xiàn)將沿翻折使得平面平面，則棱錐外接球的表面積為_________．21．（2021·江蘇常州·高三期中）正方體的棱長為2，點O為線段的中點，三棱錐的體積為___________，過點O且垂直于的平面與底面ABCD的交線長為___________.四、解答題22．（2021·河北衡水中學模擬預測）如圖，在三棱錐中，△是等邊三角形，．（1）證明：；（2）若，且平面平面，求三棱錐體積．23．（2021·浙江·臺州一中高三期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點為線段的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.24．（2021·福建省福州第一中學高三期中）如圖所示，在底半徑為、高為（為定值，且）的圓錐內(nèi)部內(nèi)接一個底半徑為、高為的圓柱，甲、乙兩位同學采用兩種不同的方法來解決.甲采用圓柱底面與圓錐底面重合的“豎放”方式（圖甲），乙采用圓柱母線與圓錐底面直徑重合的“橫放”方式（圖乙）.（1）設、分別“豎放”、“橫放”時內(nèi)接圓柱的體積，用內(nèi)接圓柱的底半徑為自變量分別表示、；（2）試分別求、的最大值、，并比較、的大小.25．（2021·江蘇南通·高三期中）如圖，在四棱錐中，，，，.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.26．（2021·廣西柳州·一模）如圖，△ABC的外接圓O的直徑|AB|=2，CE垂直于圓O所在的平面，BD∥CE，|CE|=2．|BC|=|BD|=1，M為DE上的點．（1）證明：BM⊥AC；（2）當DM為何值時，二面角C－AM－D的余弦值為．27．（2021·江蘇海安·高三期中）如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知AB//CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，DC＝DP＝2，PD⊥平面ABCD．（1）求證：BC⊥平面PBD；（2）設M，N分別為棱PA，PC的中點，點T滿足，求證：B，N，T，M四點共面．B卷（建議用時90分鐘）一、單選題1．（2021·四川·成都七中一模）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則下列說法正確的個數(shù)是（）①當時，的周長為定值;②當時，三棱錐的體積為定值③當時，有且僅有一個點，使得;④當時，有且僅有一個點，使得平面A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·四川成都·高三期中）已知正方體的棱長為，是空間中任意一點，有下列結(jié)論：①若為棱中點，則異面直線與所成角的正切值為；②若在線段上運動，則的最小值為；③若在以為直徑的球面上運動，當三棱錐體積最大時，三棱錐外接球的表面積為；④若過點的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A． B． C． D．3．（2021·浙江·模擬預測）在矩形中，已知，，為邊上靠近點的三等分點．現(xiàn)將沿直線折起至，使得點在平面上的射影在四邊形內(nèi)(不含邊界)，如圖．設直線，與平面所成的角分別為，，二面角的大小為，則（）A． B． C． D．3．（2021·湖南·模擬預測）如圖所示，圓形紙片的圓心為O，半徑為，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O，D，E，F(xiàn)為圓O上的點，分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐，則當?shù)倪呴L變化時，三棱錐的表面積S的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）點分別是棱長為2的正方體中棱的中點，動點在正方形(包括邊界)內(nèi)運動.若面，則的長度范圍是（）A． B． C． D．5．（2021·江蘇·海安高級中學高三期中）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動點，則的最小值為（）A． B． C． D．36．（2021·安徽師范大學附屬中學模擬預測）如圖所示，圓錐的軸截面是以為直角頂點的等腰直角三角形，，為中點．若底面所在平面上有一個動點，且始終保持，過點作的垂線，垂足為．當點運動時，①點在空間形成的軌跡為圓;②三棱錐的體積最大值為③的最大值為2;④與平面所成角的正切值的最大值為上述結(jié)論中正確的序號為（）．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③7．（2021·安徽·合肥市第八中學模擬預測）在棱長為2的正方體中，點是對角線上的點（點與不重合），有以下四個結(jié)論：①存在點，使得平面平面；②存在點，使得平面；③若的周長為L，則L的最小值為；④若的面積為，則．則正確的結(jié)論為（）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④8．（2022·浙江·高三專題練習）如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點的動點，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當從滑動到的過程中，則下列選項中錯誤的是（）A．的大小不會發(fā)生變化 B．二面角的平面角的大小不會發(fā)生變化C．與平面所成的角變大 D．與所成的角先變小后變大二、多選題9．（2021·遼寧·大連市第一中學高三期中）如圖，為圓錐的底面直徑，點是圓上異于的動點，，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動點，則的最小值為10．（2021·重慶·西南大學附中高三階段練習）鉆石是金剛石精加工而成的產(chǎn)品，是世界上最堅硬的、成分最簡單的寶石，它是由碳元素組成的、具有立方結(jié)構(gòu)的天然晶體．如圖，已知某鉆石形狀的幾何體由上、下兩部分組成，上面為一個正六棱臺（上、下底面均為正六邊形，側(cè)面為等腰梯形），下面為一個正六棱錐P-ABCDEF，其中正六棱臺的上底面邊長為a，下底面邊長為2a，且P到平面的距離為3a，則下列說法正確的是（）（臺體的體積公式：，其中，分別為臺體的上、下底面面積，h為臺體的高）A．若平面平面，則正六棱錐P-ABCDEF的高為B．若，則該幾何體的表面積為C．該幾何體存在外接球，且外接球的體積為D．若該幾何體的上、下兩部分體積之比為7：8，則該幾何體的體積為11．（2021·山東青島·高三期中）如圖，底面ABCD為邊長是4的正方形，半圓面底面ABCD．點P為半圓弧(不含A，D點)一動點．下列說法正確的是（）A．三梭錐P—ABD的每個側(cè)面三角形都是直角三角形B．三棱錐P—ABD體積的最大值為C．三棱錐P—ABD外接球的表面積為定值D．直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為12．（2021·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學高三期中）如圖所示，在長方體中，，點是上的一個動點，若平面交棱于點，給出下列命題：其中真命題的是（）A．四棱錐的體積恒為定值；B．存在點，使得平面C．對于棱上任意一點，在棱上均有相應的點，使得平面D．存在唯一的點，使得截面四邊形的周長取得最小值．三、填空題13．（2021·吉林省實驗模擬預測）在三棱錐中，已知，，分別為，的中點，若三棱錐的外接球球心在三棱錐內(nèi)部，則線段長度的取值范圍為______．14．（2021·山東·泰安一中模擬預測）如圖，某校學生在開展數(shù)學建?；顒訒r，用一塊邊長為的正方形鋁板制作一個無底面的正棱錐（側(cè)面為等腰三角形，底面為正邊形）道具，他們以正方形的兒何中心為田心，為半徑畫圓，仿照我國古代數(shù)學家劉徽的割圓術(shù)裁剪出份，再從中取份，并以O為正棱錐的頂點，且落在底面的射影為正邊形的幾何中心，側(cè)面等腰三角形的頂角為，當時，設正棱錐的體積為，則的最大值為___________.15．（2021·全國·模擬預測）在梯形中，，，為的中點，將沿直線翻折成，當三棱錐的體積最大時，過點的平面截三棱錐的外