第三章矩陣的特征值與特征向量§1方陣的特征值與特征向量§2

矩陣的對角化10/30/20221第三章矩陣的特征值與特征向量§1方陣的特征值與第1節(jié)方陣的特征值與特征向量10/30/20222第1節(jié)方陣的特征值與特征向量10/22/20222定義3.13.1.1特征值與特征向量的基本概念

10/30/20223定義3.13.1.1特征值與特征向量的基本概念10/2例1解是不是10/30/20224例1解是不是10/22/20224命題1命題2命題3矩陣A的任一特征向量所對應的特征值是唯一的。10/30/20225命題1命題2命題3矩陣A的任一特征向量所對應的特征值是唯一的它有非零解的充分必要條件是即怎樣求矩陣A的特征值與特征向量？10/30/20226它有非零解的充分必要條件是即怎樣求矩陣A的特征值與特征向量？矩陣的特征方程和特征多項式定義3.2A的特征方程A的特征多項式A的特征矩陣特征方程的根稱為A的特征根，也稱為A的特征值。10/30/20227矩陣的特征方程和特征多項式定義3.2A的特征方程A的特征多項求矩陣的特征值與特征向量的步驟求矩陣A的特征方程2.求特征方程的根，即特征值3.對每個特征值解方程組求出該齊次線性方程組的通解，除去0向量便得屬于的全部特征向量。10/30/20228求矩陣的特征值與特征向量的步驟求矩陣A的特征方程2.求特征方例2：求矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征值為10/30/20229例2：求矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征值為得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系10/30/202210得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系10/22/202210練習:求下列矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征值為即對應的特征向量可取為10/30/202211練習:求下列矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征對應的特征向量可取為10/30/202212對應的特征向量可取為10/22/2022123.1.2特征值與特征向量的性質(zhì)

定理1定理2推論若n階方陣有互不相同的特征值則其對應的特征向量線性無關(guān)。10/30/2022133.1.2特征值與特征向量的性質(zhì)定理1定理2推論若n定理310/30/202214定理310/22/202214(2)由于10/30/202215(2)由于10/22/202215定理4設A是n階方陣，是的特征值.若為A的特征值，則10/30/202216定理4設A是n階方陣，是的特征值.若為A的10/30/20221710/22/202217例3設A是一個三階矩陣，1，2，3是它的三個特征值，試求（1）A的主對角線元素之和（2）解的特征值依次為10/30/202218例3設A是一個三階矩陣，1，2，3是它的三個特征值，試求例4試證n階矩陣A是不可逆(奇異)矩陣的充要條件是A中至少有一個特征值為0。證明因為為A的特征值）所以的充分必要條件是至少有一個特征值為零。10/30/202219例4試證n階矩陣A是不可逆(奇異)矩陣的充要條件是第2節(jié)矩陣的對角化10/30/202220第2節(jié)矩陣的對角化10/22/202220定義3.3

設A和B為n階矩陣,如果存在n階可逆矩陣P，使得則稱A相似于B，或說A和B相似(similar),記做AB.性質(zhì)（1）反身性A相似于A（2）對稱性A相似于B，可推出B相似于A（3）傳遞性A相似于B，B相似于C，可推出A相似于C。3.2.1相似矩陣及其性質(zhì)

～10/30/202221定義3.3設A和B為n階矩陣,如果存在n階可逆矩陣容易證明相似矩陣的如下性質(zhì)：（1）反身性，即（2）對稱性，即如果則,（3）傳遞性，即如果,則,證明證明證明10/30/202222容易證明相似矩陣的如下性質(zhì)：（1）反身性，即（2）對稱性，即方陣的跡定義3.4方陣的跡是它的主對角線上的元素和例5tr(A)=2+(-3)+0=-1性質(zhì)：(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)(2)tr(AB)=tr(BA)(性質(zhì)3.1)10/30/202223方陣的跡定義3.4方陣的跡是它的主對角線上的元素和例5tr(性質(zhì)3.1(2)設則證明故10/30/202224性質(zhì)3.1(2)設則證明故10/22/2022相似矩陣的性質(zhì)若A和B相似，則A和B有相等的秩。2.方陣A和B有相等的行列式。(性質(zhì)3.2)證明（1）10/30/202225相似矩陣的性質(zhì)若A和B相似，則A和B有相等的秩。2.方陣A和3.方陣A和B有相等的跡。(性質(zhì)3.2)4.方陣A和B有相同的特征多項式，因而有相同的特征值。TH5推論如果矩陣A相似于一個對角矩陣，則對角矩陣的主對角線上的元素就是A的全部特征值。10/30/2022263.方陣A和B有相等的跡。(性質(zhì)3.2)4.方陣A和B有相同易證對角形矩陣則是的全部特征值。10/30/202227易證對角形矩陣則定理3.6n階矩陣A與n階對角矩陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。充分性3.2.2矩陣的對角化

10/30/202228定理3.6n階矩陣A與n階對角矩陣相似的充必要性設A相似于對角矩陣即存在可逆矩陣B，使得由B可逆便知：都是非零向量，因而都是A的特征向量，且線性無關(guān)。10/30/202229必要性設A相似于對角矩陣即存在可逆矩陣B，使得由B可逆便知：推論如果n階矩陣A的特征值互不相同則A相似于對角矩陣定理3.7n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個重特征值,對應著個線性無關(guān)的特征向量.10/30/202230推論如果n階矩陣A的特征值互不相同則A相似于對角矩陣定理3.相似變換若A有n個線性無關(guān)的特征向量則A相似于對角陣10/30/202231相似變換若A有n個線性無關(guān)的特征向量則A相似于對角陣10/2例矩陣能否相似于對角陣?解A的特征方程為得特征值為10/30/202232例矩陣能否相似于對角陣?對于解方程組解方程組可求得特征向量是對應于的全部特征向量.不存在兩個線性無關(guān)的特征向量.由定理可知A不能與對角陣相似.因為是二重根,而對應于特征根10/30/202233對于解方程組解方程組可求得特征向量是對應于將一個方陣A對角化,可以按P88如下步驟進行:10/30/202234將一個方陣A對角化,可以按P88如下步驟進行:10/22/2注(1):若A的全部線性無關(guān)特征向量個數(shù)小于n個,則不能對角化,此時A只能化為若當標準形.10/30/202235注(1):若A的全部線性無關(guān)特征向量個數(shù)小于n個,則不能對例

用相似變換化下列矩陣為對角陣解:A的特征方程為特征值為對于可求得特征向量對于可求得線性無關(guān)的特征向量這三個特征向量線性無關(guān)10/30/202236例用相似變換化下列矩陣為對角陣解:A的特征方程為特10/30/20223710/22/202237練一練用相似變換化矩陣為對角形.10/30/202238練一練用相似變換化矩陣為對角形.10/22/202238應用:利用對角化計算矩陣的冪10/30/202239應用:利用對角化計算矩陣的冪10/22/202239設解:A的特征方程為特征值為對應的特征向量為對應的特征向量為例710/30/202240設解:A的特征方程為特征值為對應的特征向量為對應的特征向量為練習已知

問滿足什么條件時，A可對角化？解首先

所以，A的特征值為2（重數(shù)為1）和1（重數(shù)為2）。10/30/202241練習已知問滿足什么條件時，A可對角化？解

考慮A的特征值1。對方程組，僅當秩時，才能使基礎(chǔ)解系含2個解向量。又故。

所以，當時，A可對角化。10/30/202242考慮A的特征值1。對方程組10/30/20224310/22/20224310/30/20224410/22/202244THEEND.P88將一個方陣A對角化的三步驟.思考???第三章作業(yè):1(4),3,7,9,10(3),11,15,16預習向量的內(nèi)積正交向量組和正交矩陣10/30/202245THEEND.P88將一個方陣A對角化的三步驟.預習第三章矩陣的特征值與特征向量§1方陣的特征值與特征向量§2

矩陣的對角化10/30/202246第三章矩陣的特征值與特征向量§1方陣的特征值與第1節(jié)方陣的特征值與特征向量10/30/202247第1節(jié)方陣的特征值與特征向量10/22/20222定義3.13.1.1特征值與特征向量的基本概念

10/30/202248定義3.13.1.1特征值與特征向量的基本概念10/2例1解是不是10/30/202249例1解是不是10/22/20224命題1命題2命題3矩陣A的任一特征向量所對應的特征值是唯一的。10/30/202250命題1命題2命題3矩陣A的任一特征向量所對應的特征值是唯一的它有非零解的充分必要條件是即怎樣求矩陣A的特征值與特征向量？10/30/202251它有非零解的充分必要條件是即怎樣求矩陣A的特征值與特征向量？矩陣的特征方程和特征多項式定義3.2A的特征方程A的特征多項式A的特征矩陣特征方程的根稱為A的特征根，也稱為A的特征值。10/30/202252矩陣的特征方程和特征多項式定義3.2A的特征方程A的特征多項求矩陣的特征值與特征向量的步驟求矩陣A的特征方程2.求特征方程的根，即特征值3.對每個特征值解方程組求出該齊次線性方程組的通解，除去0向量便得屬于的全部特征向量。10/30/202253求矩陣的特征值與特征向量的步驟求矩陣A的特征方程2.求特征方例2：求矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征值為10/30/202254例2：求矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征值為得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系10/30/202255得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系10/22/202210練習:求下列矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征值為即對應的特征向量可取為10/30/202256練習:求下列矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征對應的特征向量可取為10/30/202257對應的特征向量可取為10/22/2022123.1.2特征值與特征向量的性質(zhì)

定理1定理2推論若n階方陣有互不相同的特征值則其對應的特征向量線性無關(guān)。10/30/2022583.1.2特征值與特征向量的性質(zhì)定理1定理2推論若n定理310/30/202259定理310/22/202214(2)由于10/30/202260(2)由于10/22/202215定理4設A是n階方陣，是的特征值.若為A的特征值，則10/30/202261定理4設A是n階方陣，是的特征值.若為A的10/30/20226210/22/202217例3設A是一個三階矩陣，1，2，3是它的三個特征值，試求（1）A的主對角線元素之和（2）解的特征值依次為10/30/202263例3設A是一個三階矩陣，1，2，3是它的三個特征值，試求例4試證n階矩陣A是不可逆(奇異)矩陣的充要條件是A中至少有一個特征值為0。證明因為為A的特征值）所以的充分必要條件是至少有一個特征值為零。10/30/202264例4試證n階矩陣A是不可逆(奇異)矩陣的充要條件是第2節(jié)矩陣的對角化10/30/202265第2節(jié)矩陣的對角化10/22/202220定義3.3

設A和B為n階矩陣,如果存在n階可逆矩陣P，使得則稱A相似于B，或說A和B相似(similar),記做AB.性質(zhì)（1）反身性A相似于A（2）對稱性A相似于B，可推出B相似于A（3）傳遞性A相似于B，B相似于C，可推出A相似于C。3.2.1相似矩陣及其性質(zhì)

～10/30/202266定義3.3設A和B為n階矩陣,如果存在n階可逆矩陣容易證明相似矩陣的如下性質(zhì)：（1）反身性，即（2）對稱性，即如果則,（3）傳遞性，即如果,則,證明證明證明10/30/202267容易證明相似矩陣的如下性質(zhì)：（1）反身性，即（2）對稱性，即方陣的跡定義3.4方陣的跡是它的主對角線上的元素和例5tr(A)=2+(-3)+0=-1性質(zhì)：(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)(2)tr(AB)=tr(BA)(性質(zhì)3.1)10/30/202268方陣的跡定義3.4方陣的跡是它的主對角線上的元素和例5tr(性質(zhì)3.1(2)設則證明故10/30/202269性質(zhì)3.1(2)設則證明故10/22/2022相似矩陣的性質(zhì)若A和B相似，則A和B有相等的秩。2.方陣A和B有相等的行列式。(性質(zhì)3.2)證明（1）10/30/202270相似矩陣的性質(zhì)若A和B相似，則A和B有相等的秩。2.方陣A和3.方陣A和B有相等的跡。(性質(zhì)3.2)4.方陣A和B有相同的特征多項式，因而有相同的特征值。TH5推論如果矩陣A相似于一個對角矩陣，則對角矩陣的主對角線上的元素就是A的全部特征值。10/30/2022713.方陣A和B有相等的跡。(性質(zhì)3.2)4.方陣A和B有相同易證對角形矩陣則是的全部特征值。10/30/202272易證對角形矩陣則定理3.6n階矩陣A與n階對角矩陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。充分性3.2.2矩陣的對角化

10/30/202273定理3.6n階矩陣A與n階對角矩陣相似的充必要性設A相似于對角矩陣即存在可逆矩陣B，使得由B可逆便知：都是非零向量，因而都是A的特征向量，且線性無關(guān)。10/30/202274必要性設A相似于對角矩陣即存在可逆矩陣B，使得由B可逆便知：推論如果n階矩陣A的特征值互不相同則A相似于對角矩陣定理3.7n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個重特征值,對應著個線性無關(guān)的特征向量.10/30/202275推論如果n階矩陣A的特征值互不相同則A相似于對角矩陣定理3.相似變換若A有n個線性無關(guān)的特征向量則A相似于對角陣10/30/202276相似變換若A有n個線性無關(guān)的特征向量則A相似于對角陣10/2例矩陣能否相似于對角陣?解A的特征方程為得特征值為10/30/202277例矩陣能否相似于對角陣?對于解方程組解方程組可求得特征向量是對應于的全部特征向量.不存在兩個線性無關(guān)的特征向量.由定理可知A不能與對角陣相似.因為是二重根,而對應于特征根10/30/202278對于解方程組解方程組可求得特征向量是對應于將一個方陣A對角化,可以按P88如下步驟進行:10/30/202279將一個方陣A對角化,可以按P88如下步驟進行:10/22/2注(1):若A的全部線性無關(guān)特征向量個數(shù)小于n個,則不能對角化,此時A只能化為若當標準形.10/30/202280注(1):若A的全部線性無關(guān)特征向量個數(shù)小于n個,則不能對例

用相似變換化下列矩陣