第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)后頁首頁前頁第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)后頁首頁前頁基本要求、重點難點1.1函數(shù)及其圖形1.2函數(shù)運算1.3初等數(shù)學(xué)模型1.4函數(shù)極限基本要求、重點難點1.1函數(shù)及其圖形1.2函數(shù)運算1.1.5無窮大量與無窮小量1.6極限運算1.7函數(shù)的連續(xù)性1.8生活中的極限問題1.9演示與實驗一1.5無窮大量與無窮小量1.6極限運算1.7函數(shù)的連基本要求掌握極限的概念、運算法則、連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。了解如何使用數(shù)學(xué)軟件研究函數(shù)性質(zhì)和求函數(shù)極限。掌握并能熟練運用函數(shù)的幾種特性。熟知函數(shù)的四則運算、復(fù)合運算并加以運用。掌握函數(shù)極限的概念、運算、無窮大量與無窮小量的定義與性質(zhì)。掌握函數(shù)的連續(xù)性概念及運算方法。熟練掌握函數(shù)的基本概念及其定義域、值域、函數(shù)值的求法，了解函數(shù)的幾何性質(zhì)及反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)等概念?；疽笳莆諛O限的概念、運算法則、連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。重點難點重點：極限的概念、運算法則、連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。如何使用數(shù)學(xué)軟件研究函數(shù)性質(zhì)和求函數(shù)極限。難點：極限的運算、連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。重點難點重點：1.1函數(shù)及其圖形1.1.1函數(shù)概念習(xí)慣上常用字母F、G、f、g、φ、ψ等表示函數(shù)。一般來說，用不同的字母來表示函數(shù)和變量。在特殊情況下，也可以用相同的符號來表示函數(shù)和因變量。1.1函數(shù)及其圖形1.1.1函數(shù)概念習(xí)慣上常用字母下面再看幾個關(guān)于函數(shù)的例子。例1平方函數(shù)為每個實數(shù)x指派了它的平方x2，它用下列等式來定義：f(x)＝x2

。與自變量x相對應(yīng)的函數(shù)值是用x代入這個等式獲得的。例如：f(3)＝32＝9，f(-2)＝(-2)2＝4。平方函數(shù)f的定義域Df是全體實數(shù)組成的集合R，f的值域是由f(x)的一切值所組成的，即形如x2的全部的實數(shù)，Rf＝｛y|y≥0｝＝［0，+∞）。例2試求由下列公式定義的函數(shù)的自然定義域：f(x)f(x-1)

。

解Df＝｛x|x≠0且x≠1｝＝(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)。１下面再看幾個關(guān)于函數(shù)的例子。１1.1.2函數(shù)的圖形定義1.2

設(shè)f是定義在Df上的函數(shù)，它的圖形是滿足條件y＝f(x)的有序數(shù)對

(x，y)(即平面點)的集合，即G(f)＝｛(x，y)|y＝f(x))，x∈Df｝。函數(shù)f的圖形G(f)給出了直觀的函數(shù)形態(tài)。當(dāng)f(x)＞0時，在x處圖形的高就是函數(shù)值f(x)(如下圖)。1.1.2函數(shù)的圖形定義1.2

設(shè)f是定義在Df上的函從f的圖形G(f)上，可以在x軸上獲得f的定義域，在y軸上獲得f的值域。即圖形G(f)在x軸上的投影點集就是定義域Df，在y軸上的投影點集就是值域Rf(如圖)。從f的圖形G(f)上，可以在x軸上獲得f的定義域，在y軸1.1.3分段函數(shù)有的函數(shù)在其定義域的不同范圍中，對應(yīng)的法則用不同的公式來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。舉例如下。例1取整函數(shù)

y＝［x］＝n，當(dāng)x∈［n，n+1），n＝0，±1，±2，…時。顯然，［x］的定義域是全體實數(shù)集R，值域是全體整數(shù)集Z。例如：［4.5］＝4，［２］＝1，［－3.2］＝－4。函數(shù)圖形如下圖。具有類似圖形的函數(shù)通常稱為階梯函數(shù)。√－1.1.3分段函數(shù)有的函數(shù)在其定義域的不同范圍中，對應(yīng)計算機數(shù)學(xué)01課件1.1.4函數(shù)的幾種特性當(dāng)函數(shù)的自變量在定義域中取不同的值時，通常會得到不同的函數(shù)值。根據(jù)函數(shù)值的不同性態(tài)可以對函數(shù)進(jìn)行分類。下面是函數(shù)常見的4種性態(tài)。1.1.4函數(shù)的幾種特性當(dāng)函數(shù)的自變量在定義域中取不同1.2函數(shù)運算1.2.1函數(shù)的四則運算兩個函數(shù)f

和g之間可經(jīng)過類似于實數(shù)間的四則運算，構(gòu)成新的函數(shù)。下面來定義這些運算。定義1.7

設(shè)函數(shù)f

和g的定義域分別為Df和Dg，則和函數(shù)f+g、差函數(shù)f－g、積函數(shù)fg和商函數(shù)f/g分別定義如下：1.2函數(shù)運算1.2.1函數(shù)的四則運算兩個函數(shù)f例設(shè)f(x)＝，g(x)＝x2－4，求函數(shù)f和g的和、差、積、商。解易見Df＝［0，+∞），Dg＝（－

∞，－2］∪［2，+∞）。由定義(f±g)(x)＝x±x2

－4

，Df+g＝Df∩Dg＝［2，+∞）；

(fg)(x)＝x(x2

－4)

，Dfg＝［2，+∞）；

(f/g)(x)＝，Df/g＝（2，+∞）。√__√_______√__√_______√________x(x2

－4)_______1√________例設(shè)f(x)＝，g(x)＝x2－41.2.2函數(shù)的復(fù)合運算設(shè)函數(shù)y＝f(u)＝，u＝φ(x)＝x2+1，若要求變量x和y之間的對應(yīng)規(guī)則，即函數(shù)，可用代入法來實現(xiàn)：y＝f(u)＝f(φ(x))＝f(x2+1)＝x2+1。這樣處理過程就是函數(shù)的復(fù)合過程。一般地有：1.2.2函數(shù)的復(fù)合運算設(shè)函數(shù)y＝f(u)＝，u＝φ例1若f(x)＝x2，g(x)＝x－3，試求復(fù)合函數(shù)f

g和g

f，并求其定義域。解(f

g)(x)＝f(g(x))＝f(x－3)＝(x－3)2，

(g

f)(x)＝g(f(x))＝g(x2)＝x2－3且Df

g＝Df

g

＝R。從上例可以看出，一般來說f

g≠g

f，即復(fù)合運算不同于乘積運算，它與函數(shù)的前后次序有關(guān)。例2試把函數(shù)y＝分解成幾個簡單函數(shù)的復(fù)合。解從函數(shù)的表達(dá)式可以看出，求x的函數(shù)值的運算過程是：首先把x除以2，再求其反正弦值，最后再進(jìn)行平方運算。因此，可以分解出3個簡單函數(shù)：y＝g(u)＝u2，u＝h(v)＝arcsinv，

v＝φ(x)＝。由它們進(jìn)行復(fù)合即為原來的函數(shù)：y＝f(x)＝＝(g

h

φ)(x)或f＝g

h

φ。。。。。。。。。(arcsin)2x2__x2__。。。。(arcsin)2x2__例1若f(x)＝x2，g(x)＝x－3，試求復(fù)合函數(shù)f1.2.3反函數(shù)由定義可以看出：(1)單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)；(2)f－1的定義域就是f的值域，f－1的值域就是f的定義域。求已知函數(shù)的反函數(shù)的步驟可以歸納為以下兩步：(1)從等式y(tǒng)＝f(x)中解出x，得x＝f

－1(y)；(2)在(1)所求出的式子中將x和y互換，得反函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝f－1(x)。繼續(xù)點擊1.2.3反函數(shù)由定義可以看出：(1)單調(diào)函數(shù)一定存在反1.2.4初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)下面六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)：a.常數(shù)函數(shù)y＝C(C為常數(shù))；b.冪函數(shù)y＝xα(α為常數(shù))；c.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a為常數(shù)，且a＞0，a≠1)；d.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a為常數(shù)，且a＞0，a≠1)；e.三角函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝secx，y＝tanx，

y＝cotx，y＝cscx；f.反三角函數(shù)y＝arcsinx，y＝arctanx，y＝arccosx，

y＝arccotx。(2)初等函數(shù)定義1.10由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次函數(shù)復(fù)合運算構(gòu)成的，并在定義域內(nèi)可以用一個表達(dá)式表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。繼續(xù)點擊1.2.4初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)下面六類函數(shù)統(tǒng)稱為基1.3初等數(shù)學(xué)模型1.3.1數(shù)學(xué)模型的概念構(gòu)造數(shù)學(xué)模型過程主要包括下列三個步驟：

(1)建立模型：從實際問題中抽象、簡化、提煉出數(shù)學(xué)問題；

(2)數(shù)學(xué)解答：對所提出的數(shù)學(xué)問題求解；

(3)模型檢驗：將所求得的答案返回到實際問題中去，檢驗其合理性，并進(jìn)一步對現(xiàn)實問題總結(jié)出所滿足的數(shù)學(xué)規(guī)律。1.3初等數(shù)學(xué)模型1.3.1數(shù)學(xué)模型的概念構(gòu)造數(shù)學(xué)1.3.2微積分與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系

歷史上，微積分中的主要原理，就來源于幾個極為輝煌的數(shù)學(xué)模型：

微積分的基礎(chǔ)——極限概念來源于“無窮小”模型。我國春秋時期的《莊子》中所說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，可以說是無窮小認(rèn)識的萌芽。公元3世紀(jì)時，我國數(shù)學(xué)家劉徽把莊子中的無窮小概念應(yīng)用于計算“圓田”和“弧田”的面積。他先在圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，計算其面積，再繼續(xù)算出正十二邊形、正二十四邊形面積等等。劉徽認(rèn)為，隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，其面積將不斷擴(kuò)大，但不會大于圓面積。同時劉徽指出“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。這是無窮小思想的早期應(yīng)用。所以，微積分根本上起源于人類用數(shù)學(xué)手段解決實際問題的需要。反過來，一切可以用連續(xù)變量的函數(shù)描述的數(shù)學(xué)模型，無不以微積分理論為基礎(chǔ)。這也說明了微積分的重要性。1.3.2微積分與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系歷史上，微積分中的主要1.3.3初等數(shù)學(xué)模型的例子1.3.3初等數(shù)學(xué)模型的例子1.4函數(shù)極限1.4.1數(shù)列的極限

(1)數(shù)列及其變化趨勢數(shù)列：

以正整數(shù)n為自變量的函數(shù)an＝f(n)，我們稱為整變量函數(shù)，把它的函數(shù)值按自變量n從小到大的順序?qū)懗鰜恚篴1，a2，…，an，…這就是數(shù)列，記為｛an｝。數(shù)列極限：我們先從一個例子來分析數(shù)列的變化趨勢，并由此引出數(shù)列極限的概念。

《莊子》中所說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其中蘊含著深刻的極限思想。如果令天數(shù)為n，則第n天后余下部分長為

an＝尺(n＝1，2，…)，這樣就得到了一個數(shù)列。當(dāng)正整數(shù)n無限增大時，數(shù)列an＝無限趨近于數(shù)0。n2n｛｝n2nn2n繼續(xù)點擊1.4函數(shù)極限1.4.1數(shù)列的極限(1)數(shù)列及(2)數(shù)列極限的定義定義1.11

設(shè)有數(shù)列｛an｝和常數(shù)A。若當(dāng)n無限增大時，an無限趨近于A，則稱數(shù)列｛an｝以A為極限，或稱數(shù)列｛an｝收斂于A，記作：

或an→A(n→∞時)。

否則，稱數(shù)列｛an｝的極限不存在，或者說數(shù)列｛an｝是發(fā)散的。liman＝An→∞數(shù)列極限的幾何解釋：將數(shù)A和數(shù)列各項a1，a2，a3，…在數(shù)軸上的對應(yīng)點標(biāo)出來，容易看出，若A是｛an｝的極限，則當(dāng)n無限變大時，點an與點A的距離|an－A|無限變小，即只要n充分大，|an－A|可以任意小。在數(shù)軸上的A點附近聚集了數(shù)列｛an｝的無窮多個點，而且離A點越近越密集，因此我們也稱數(shù)列｛an｝的極限值(極限點)為其聚點(如下圖)。繼續(xù)點擊(2)數(shù)列極限的定義定義1.11liman＝An→∞數(shù)列1.4.2函數(shù)的極限１２３４后頁后頁1.4.2函數(shù)的極限１２３４后頁后頁

(1)x趨于無窮大時函數(shù)f(x)的極限當(dāng)|x|無限增大時，f(x)＝對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限地趨近于0（如下圖），這時稱x趨于無窮大時，f(x)以0為極限。定義1.12

設(shè)函數(shù)f(x)對于絕對值無論怎樣大的x值是有定義的。若當(dāng)|x|無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限趨近于某一常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨向于無窮大時的極限。記作：或f(x)→A

(x→∞)。limf(x)＝An→∞A(1)x趨于無窮大時函數(shù)f(x)的極限定義1.12lim從幾何意義上看，極限表示：隨著|x|無限增大，曲線y＝f(x)上對應(yīng)的點與直線y＝A的距離無限變小，即曲線y＝f(x)以直線y＝A為漸近線(如圖)。limf(x)＝An→∞由以上定義，我們不難證明：定理1.1存在且為A的充分必要條件是與都存在且都等于A。limf(x)n→∞limf(x)n→－∞limf(x)n→＋∞返回從幾何意義上看，極限表示：limf(x)＝

(2)x趨于某確定有限數(shù)時函數(shù)f(x)的極限以下我們均假設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，如果在變量x→x0(x≠x0)的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于確定的常數(shù)A，就說當(dāng)x→x0時函數(shù)f(x)的極限為A。這種類型的極限稱為函數(shù)在有限點x0處的極限。例如，由于x≠1時f(x)＝g(x)，所以由上面的說明就可得出函數(shù)f(x)在有限點x0處的極限的精確定義。limf(x)x→１＝limg(x)x→１＝２。定義1.13設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義(x0可以除外)，若當(dāng)x無限趨近于x0(但不等于x0)時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限趨近于某一常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0時的極限，記作：limf(x)＝Ax→x0或f(x)→Ａ(x→x0)(2)x趨于某確定有限數(shù)時函數(shù)f(x)的極限limf(x從幾何意義上看，極限表示：當(dāng)x無限靠近x0(但x≠x0)時，曲線y＝f(x)上的點(x，f(x))將無限地靠近點

(x0，A)(如下圖)。例極限不存在的例子：當(dāng)x→0時，函數(shù)f(x)＝sin沒有極限。1x從正弦函數(shù)的圖象易見該極限是不存在的，它沒有任何漸近線。當(dāng)x越來越接近于零時，對應(yīng)的函數(shù)值越來越頻繁地在－1與1之間擺動。返回從幾何意義上看，極限表示：例極限不存在的例子：1

(3)單側(cè)極限

由于在x→x0的過程中，x既可以是x0左側(cè)的點，也可以是x0右側(cè)的點。但有的函數(shù)僅在x0的左鄰域有定義，或者我們只需要研究函數(shù)在x0的左鄰域的變化情況，為了明確起見，我們引進(jìn)函數(shù)的“左極限”概念。函數(shù)f(x)在x0處存在左極限，就是指x

從x0的左側(cè)趨向于x0時，對應(yīng)的函數(shù)f(x)值趨向于一個定數(shù)A。類似地有“右極限”概念。它們的定義是：定義1.14如果當(dāng)x從x0的左側(cè)趨近于x0時，函數(shù)f(x)的對應(yīng)值趨近于常數(shù)A，那么稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x從左側(cè)趨向于x0時的左極限。記作：類似地，可定義右極限。limf(x)＝Ax→x0－或f(x0－0)＝A。limf(x)＝Ax→x0＋，或f(x0+0)＝A。(3)單側(cè)極限

由于在x→x0的過程中，x既可以是左極限與右極限通稱為單側(cè)極限。容易證明：定理1.2的充要條件是limf(x)＝Ax→x0limf(x)＝x→x0limf(x)＝Ａ。x→x0－＋返回左極限與右極限通稱為單側(cè)極限。容易證明：定理1.2lim

(4)極限的簡單性質(zhì)

＞0，同時在x1的附近的點的函數(shù)值也是正的。B＜0，同時在x2附近的點的函數(shù)值也是負(fù)的。（如圖）limf(x)＝Ax→x0由上面的說明就可得出函數(shù)f(x)在x0處的極限值的符號與x0點附近(即某去心鄰域)的點的函數(shù)值的符號的關(guān)系。定理1.3如果，而且A＞0(或A＜0)，那么總存在點x0的某去心鄰域(x0－δ，x0)∪(x0，x0+δ)，使對該鄰域內(nèi)的任意點x總有f(x)＞0(或f(x)＜0)。limf(x)＝Ax→x0(4)極限的簡單性質(zhì)limf(x)＝Ax→x0由上定理1.4如果，而且在x0的某鄰域內(nèi)(可以不包括x0)f(x)≥0(或f(x)≤0)，那么有A≥0(或A≤0)。limf(x)＝Ax→x0返回定理1.4limf(x)＝Ax→x0返回1.5無窮大量與無窮小量1.5.1無窮大量定義1.15

在某一自變量的變化過程中，如果相應(yīng)的函數(shù)值的絕對值無限增大，那么稱此函數(shù)為無窮大量(簡稱無窮大)。“絕對值無限增大”包含以下兩種特殊情形：

(1)函數(shù)值大于零，且絕對值無限增大。此時稱函數(shù)為正無窮大量(簡稱正無窮大)；

(2)函數(shù)值小于零，且絕對值無限增大。此時稱函數(shù)為負(fù)無窮大量(簡稱負(fù)無窮大)。繼續(xù)點擊前頁前頁1.5無窮大量與無窮小量1.5.1無窮大量定義1.151.5.2無窮小量定義1.16

在某一自變量的變化過程中，極限為零的函數(shù)稱為無窮小量(簡稱無窮小)。性質(zhì)1

有限個無窮小的代數(shù)和還是無窮小。性質(zhì)2有界變量與無窮小量的乘積是無窮小。由性質(zhì)2可得下面推論：推論1常數(shù)與無窮小量的乘積仍然是無窮小量。推論2

有限個無窮小的乘積仍是無窮小。1.5.2無窮小量定義1.16性質(zhì)1由性質(zhì)2可得下面推論有極限的變量與無窮小量之間有著密切的關(guān)系。定理1.5

f(x)＝A的充分必要條件是f(x)＝A+α(x)，其中α(x)是無窮小量(x→x0時)。limf(x)＝Ax→x0注意：所謂某一函數(shù)或某一變量是無窮大量或無窮小量都是相對于某一自變量的變化過程來說的，離開了這一點，單純講某變量是無窮大量或無窮小量是無意義的，除非根據(jù)上下文可以不言自明。有極限的變量與無窮小量之間有著密切的關(guān)系。定理1.5li1.5.3無窮小量與無窮大量的關(guān)系關(guān)于無窮小量與無窮大量的關(guān)系有如下定理：定理1.6在自變量x的某一變化過程中：

(1)如果f(x)是無窮大量，那么是無窮小量；

(2)如果f(x)是非零無窮小量，那么是無窮大量。１f(x)１f(x)在求極限時，經(jīng)常要用到無窮小量與無窮大量的這種倒數(shù)關(guān)系。1.5.3無窮小量與無窮大量的關(guān)系關(guān)于無窮小量與無窮大1.5.4無窮小量的比較無窮小量雖然都是極限為零的變量，但它們趨于零的速度有快有慢。例如，有一個正方形的金屬薄片，它的邊長為1。因為受熱，邊長增加了η，從而面積的增量是ΔS＝(1+η)2－12＝2η+η2。如果η是無窮小量，那么2η、η2也是無窮小量，但它們趨于零的速度是不一樣的。列表比較如下：η0.50.10.010.001…2η10.20.020.002…η20.250.010.00010.000001…1.5.4無窮小量的比較無窮小量雖然都是極限為零的變量定義1.17設(shè)α、β是同一極限過程中的兩個無窮小量。如果＝0，那么稱α是比β高階的無窮小，記作

α＝o(β)；如果＝∞，那么稱α是比β低階的無窮??；如果＝C(C為非零常數(shù))，那么稱α與β是同階無窮小。在同階無窮小中，如果＝1，那么稱α與β是等價無窮小，記作α～β。limαβlimαβlimαβlimαβ定義1.17limαlimαlimαlimα1.6.1極限運算性質(zhì)假設(shè)C是常數(shù)，并且極限f(x)和g(x)都存在，則有：例試證明極限運算的和性質(zhì)：。證設(shè)，，則由定理1.5得：f(x)＝L+α(x)，g(x)＝M+β(x)，

其中α(x)、β(x)是當(dāng)x→a時的無窮小量。于是f(x)+g(x)＝(L+M)+［α(x)+β(x)］。由無窮小的性質(zhì)知，x→a時α(x)+β(x)也是無窮小，所以由定理1.5知：。證畢。1.6極限運算1.6.1極限運算性質(zhì)假設(shè)C是常數(shù)，并且極限f(x)和1.6.2利用性質(zhì)求極限直觀地觀察下面幾個極限公式：

(1)limC＝C(C為常數(shù))；

(2)limx＝a；

(3)limxn＝an(由乘方性質(zhì)得到)(n為正整數(shù))；

(4)limnx

＝na(n為正整數(shù)，且當(dāng)n為偶數(shù)時，假設(shè)a＞0)。利用以上基本公式和極限性質(zhì)，可以計算多項式、多項式之商(有理函數(shù))及一些無理函數(shù)的極限。x→ax→ax→a√__√__1.6.2利用性質(zhì)求極限直觀地觀察下面幾個極限公式：定理1.7對于多項式和有理函數(shù)(多項式之商)，當(dāng)x→a時，將a代入函數(shù)式得到的函數(shù)值等于函數(shù)的極限值。即：

limP(x)＝P(a)(其中P(x)為多項式函數(shù))；

lim

(其中P(x)、Q(x)都是多項式函數(shù)，并且Q(a)≠0)。x→aP(x)

P(a)Q(x)

Q(a)＝x→a定理1.7x→aP(x)P(a)Q(x)Q(a)＝x計算機數(shù)學(xué)01課件1.6.3利用兩個重要極限公式求極限從下面兩個函數(shù)值表中初步觀察極限函數(shù)lim和lim的變化趨勢。sinxxx→0１１x(

)＋x由以上表格，可以發(fā)現(xiàn)常數(shù)的確存在，它就是著名的無理數(shù)

e＝2.7182818…。這樣我們就有下面兩個已經(jīng)被數(shù)學(xué)家嚴(yán)格證明了的極限公式：。1.6.3利用兩個重要極限公式求極限從下面兩個函數(shù)值表無理數(shù)e和無理數(shù)π一樣，是數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)之一。這個無理數(shù)精確到20位小數(shù)的值是e≈2.71828182845904523536。個極限公式可寫成如下形式：，（或者）。無理數(shù)e和無理數(shù)π一樣，是數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)之一。1.7函數(shù)的連續(xù)性1.7.1連續(xù)與間斷的概念連續(xù)與間斷(不連續(xù))是對自然界變化過程漸變與突變現(xiàn)象的描述。為了從數(shù)量上刻畫函數(shù)的連續(xù)和間斷，先引進(jìn)增量(改變量)的概念，再分析連續(xù)和間斷的數(shù)量特征。設(shè)變量u從它的一個初值u1變化到終值u2，終值與初值的差u2－u1稱為變量u的增量，記為Δu，即Δu＝u2－u1。1.7函數(shù)的連續(xù)性1.7.1連續(xù)與間斷的概念連續(xù)與增量Δu可以是正的，也可以是負(fù)的。若Δu為正，則變量u從u1變到

u2＝u1+Δu是增大的；若Δu為負(fù)，則變量u從u1變到u2是減小的。假設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖形如下圖所示。在［a，b］中除在x＝x1點處間斷外，其余點都連續(xù)。從圖中易見，在間斷點x1處，函數(shù)值有一個跳躍(突變的表現(xiàn))，自變量從x1向左側(cè)作一任意小的變動時，對應(yīng)的函數(shù)值發(fā)生顯著的變化，用極限來刻畫就是：。在連續(xù)點x0，情況恰恰相反。當(dāng)自變量從x0向左、右側(cè)作微小改變時，對應(yīng)的函數(shù)值改變也很小。用極限來刻畫，則為。增量Δu可以是正的，也可以是負(fù)的。若Δu為正，則變量u從由此分析，可引入下面的定義：定義1.18設(shè)函數(shù)y＝f(x)在包含x0在內(nèi)的某開區(qū)間內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量Δx＝x－x0趨近于零時，對應(yīng)的函數(shù)值的增量Δy＝f(x0+Δx)－f(x0)也趨于零，即Δy＝0，則稱函數(shù)y＝f(x)在點x0處是連續(xù)的(此時稱x0是函數(shù)y＝f(x)的連續(xù)點)。否則，稱y＝f(x)在x0處間斷(此時稱x0是y＝f(x)的間斷點)。定義1.19設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)y＝f(x)當(dāng)x→x0時極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0)，即limf(x)＝f(x0)，則稱函數(shù)y＝f(x)在點x0連續(xù)。△x→x0由此分析，可引入下面的定義：定義1.18定義1.19△x由左、右極限的概念，可給出左、右連續(xù)的概念：定義1.20設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0的某左半鄰域(或右半鄰域)內(nèi)有定義(含x0在內(nèi))。若limf(x)＝f(x0－0)＝f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點x0左連續(xù)；

若limf(x)＝f(x0+0)＝f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點x0右連續(xù)。顯然，函數(shù)y＝f(x)在點x0連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點x0既左連續(xù)又右連續(xù)。若函數(shù)在區(qū)間

I

內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間

I

連續(xù)?！鱴→x0－△x→x0＋由左、右極限的概念，可給出左、右連續(xù)的概念：定義1.20△x1.7.2函數(shù)的間斷點函數(shù)y＝f(x)在x0處連續(xù)是指limf(x)＝f(x0)，這里包含了三個條件：

(1)函數(shù)y＝f(x)在點x0處有定義；

(2)極限limf(x0)存在；

(3)極限limf(x)恰好等于f(x0)。這三個條件中任何一條不滿足，函數(shù)f(x)在點x0處都是間斷的。根據(jù)極限limf(x)是否存在，以及不存在時的各種情形，常把間斷點分成如下幾種類型：△x→x0△x→x0△x→x0△x→x01.7.2函數(shù)的間斷點函數(shù)y＝f(x)在x0處連續(xù)是指計算機數(shù)學(xué)01課件1.7.3連續(xù)函數(shù)的運算根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義，利用極限的四則運算法則，可得下面的定理：定理1.8如果函數(shù)f(x)與g(x)都在點x0處連續(xù)，那么它們的和、差、積、商，即f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、(在商的情形下要求g(x0)≠0)，也在x處連續(xù)。f(x)g(x)證這里只證f(x)+g(x)在x0點的連續(xù)性，其余留給讀者證明。因為f(x)與g(x)在x0處連續(xù)，由定義1.19得limf(x)＝f(x0)，limg(x)＝g(x0)。由極限運算性質(zhì)得lim［f(x)+g(x))］＝limf(x)+limg(x)＝f(x0)+g(x0)。故由連續(xù)函數(shù)的定義1.19可知，f(x)+g(x)在x0處連續(xù)。證畢?！鱴→x0△x→x0△x→x0△x→x0△x→x01.7.3連續(xù)函數(shù)的運算根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義，利用極限的定理1.9(反函數(shù)的連續(xù)性)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x＝f－1(y)也在對應(yīng)區(qū)間Iy＝｛y|y＝f(x)，x∈Ix｝上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)(證明從略)。定理1.10(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)u＝φ(x)在點x＝x0連續(xù)，y＝f(u)在點u＝u0＝φ(x0)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在點x＝x0處連續(xù)。。證要證y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在x＝x0處連續(xù)，只要證明

lim(f

g)(x)＝(f

g)(x0)，即limf［φ(x)］＝f［φ(x0)］。由于u＝φ(x)在x0處連續(xù)，所以limφ(x)＝φ(x0)。因為y＝y(tǒng)(u)在u0＝φ(x0)處連續(xù)，所以limy(u)＝y(tǒng)(u0)，即

limf［φ(x)］＝f［φ(x0)］。

y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在x＝x0處連續(xù)。?！鱴→x0。。△x→x0△x→x0△x→x0△x→x0。定理1.9(反函數(shù)的連續(xù)性)定理1.10(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)1.7.4初等函數(shù)的連續(xù)性首先，由基本初等函數(shù)的圖形可以直觀地看出，基本初等函數(shù)在它們的定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。當(dāng)然，這個結(jié)論是可以利用連續(xù)性定義、極限運算性質(zhì)得到證明的，這里從略。進(jìn)一步地，由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復(fù)合構(gòu)成的，所以由定理1.8和定理1.10易知，一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。根據(jù)上述結(jié)論，若f(u)是初等函數(shù)，u0在其定義域內(nèi)，則有l(wèi)imf(u)＝f(u0)。這里不管u是自變量還是中間變量都成立。若u是中間變量，u＝φ(x)，且limφ(x)在f(u)的定義域內(nèi)，則有△x→x0△x→x01.7.4初等函數(shù)的連續(xù)性首先，由基本初等函數(shù)的圖形可1.7.5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義1.21設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，且f(a+0)＝f(a)，f(b－0)＝f(b)，

則稱f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)。定理1.11(最大值和最小值定理)閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定有最大值和最小值。這就是說，［a，b］上一定存在這樣兩個點x1和x2，使得對于［a，b］上的一切點x都有f(x)≥f(x1)，f(x)≤f(x2)。1.7.5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義1.21定理1.11(

從物理上看：例如某地一晝夜的溫度變化，總有兩個時刻分別達(dá)到最高溫度和最低溫度；又如，拋射一個物體總可以達(dá)到最高點也可以達(dá)到最低點。

從幾何上看：一段連續(xù)曲線對應(yīng)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，曲線上必有一點，它的縱坐標(biāo)最大，對應(yīng)函數(shù)最大值；也總有一點，它的縱坐標(biāo)最小，對應(yīng)函數(shù)最小值。在下圖中，x1對應(yīng)的函數(shù)值最小，x2對應(yīng)的函數(shù)值最大，函數(shù)在x2達(dá)到最小值，在x2達(dá)到最大值。若f(x)不是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，結(jié)論就不一定正確。定理1.12(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則對于f(a)與f(b)之間的任何數(shù)c，總存在點ξ∈(a，b)，使得f(ξ)＝c。從物理上看：例如某地一晝夜的溫度變化，總有兩個時刻分別達(dá)

該定理也可以敘述為：閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)，當(dāng)x從a變化到b時，要經(jīng)過f(a)與f(b)之間的一切數(shù)值。

從物理上看：例如氣溫的變化，從0℃變到5℃，它必然經(jīng)過0℃與5℃之間的一切溫度，因為氣溫是隨時間連續(xù)變化的，即它是時間t的連續(xù)函數(shù)。

從幾何上看：閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)的圖形如圖(a)所示，是一條從點(a，f(a))到點(b，f(b))不間斷的曲線，因此介于y＝f(a)與y＝f(b)之間的任意一條直線y＝c都必然與該曲線相交。若f(x)在［a，b］上有一間斷點，如圖(b)所示，則直線y＝c就不與f(x)的圖形相交了。該定理也可以敘述為：閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)由定理1.12可得如下推論：由定理1.12可得如下推論：1.8生活中的極限問題1.8.1豬肉產(chǎn)銷問題的蛛網(wǎng)模型

在市場經(jīng)濟(jì)中存在這樣的循環(huán)現(xiàn)象：若去年的豬肉生產(chǎn)量供過于求，豬肉價格就會降低；價格降低會使今年養(yǎng)豬量減少，造成今年豬肉生產(chǎn)量供不應(yīng)求，于是肉價上揚；價格上揚又使明年豬肉產(chǎn)量增加，又造成新的供過于求……1.8生活中的極限問題1.8.1豬肉產(chǎn)銷問題的蛛網(wǎng)模1.8.2細(xì)菌繁殖問題1.8.2細(xì)菌繁殖問題1.9演示與實驗一1.9.1實驗?zāi)康?.學(xué)習(xí)在Windows下Mathematica4.0軟件的啟動，并熟悉其界面；2.學(xué)習(xí)用繪圖語句作函數(shù)圖形；3.用圖形和數(shù)值觀察數(shù)列極限與函數(shù)極限；4.學(xué)習(xí)用求極限語句求數(shù)列或函數(shù)極限。1.9演示與實驗一1.9.1實驗?zāi)康?.學(xué)習(xí)在Wind1.9.2原理與方法

1.函數(shù)作圖的基本原理

2.數(shù)列極限與函數(shù)極限1.9.3內(nèi)容與步驟1.Mathematica4.0的進(jìn)入1.9.2原理與方法1.函數(shù)作圖的基本原理1.9.3

2.利用Mathematica作圖

(1)基本作圖命令格式

(a)只規(guī)定自變量范圍的作圖命令：

Plot［f(x),｛x,x1,x2｝］

(b)不僅規(guī)定自變量范圍，還規(guī)定因變量范圍的作圖命令：

Plot［f(x),｛x,x1,x2｝,PlotRange->｛y1,y2｝］

(2)觀察函數(shù)圖形疊加情況

(3)分段函數(shù)的作圖自定義分段函數(shù)常用以下兩種方法：方法1當(dāng)只分兩段時可用if語句定義，格式如下：

f［x］:＝If［條件1,表達(dá)式1，表達(dá)式2］方法2當(dāng)分段函數(shù)的定義域多于兩段時可以用Which語句定義，格式如下：

f［x］：＝Which［條件1，表達(dá)式1，條件2，表達(dá)式2，True,表達(dá)式3］

3.用圖形和數(shù)值觀察數(shù)列或函數(shù)極限

(a)生成數(shù)值型點列

(b)畫散點圖

4.用Mathematica求極限

用Mathematica求極限的命令格式如下：

Limit［f(x),x->a］

Limit［f(x),x->Infinity］(其中Infinity表示∞)2.利用Mathematica作圖1.9.4注意事項

1.利用Mathematica系統(tǒng)作圖時，每個語句及其中的函數(shù)的第一個字母必須大寫；

2.如果函數(shù)的圖形在某一點處回轉(zhuǎn)的次數(shù)特別多時圖形中會有一些模糊，這是由于在回轉(zhuǎn)多的地方盡量取多的樣點，但樣點又不會無窮多而造成的；例如，執(zhí)行Plot［Ｓin［1/x］,｛x,-1,1｝］大家可以看到這種情況。

3.利用Limit［］語句求極限時，必須指明自變量的趨向方向，否則，對于某些極限求不出正確結(jié)果；

4.在無窮振蕩點處雖然函數(shù)極限不存在，但Limit［］語句仍能夠給出函數(shù)無窮振蕩時的可能取值范圍。1.9.4注意事項1.利用Mathematica系統(tǒng)ThankYou!后頁首頁前頁ThankYou!后頁首頁前頁第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)后頁首頁前頁第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)后頁首頁前頁基本要求、重點難點1.1函數(shù)及其圖形1.2函數(shù)運算1.3初等數(shù)學(xué)模型1.4函數(shù)極限基本要求、重點難點1.1函數(shù)及其圖形1.2函數(shù)運算1.1.5無窮大量與無窮小量1.6極限運算1.7函數(shù)的連續(xù)性1.8生活中的極限問題1.9演示與實驗一1.5無窮大量與無窮小量1.6極限運算1.7函數(shù)的連基本要求掌握極限的概念、運算法則、連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。了解如何使用數(shù)學(xué)軟件研究函數(shù)性質(zhì)和求函數(shù)極限。掌握并能熟練運用函數(shù)的幾種特性。熟知函數(shù)的四則運算、復(fù)合運算并加以運用。掌握函數(shù)極限的概念、運算、無窮大量與無窮小量的定義與性質(zhì)。掌握函數(shù)的連續(xù)性概念及運算方法。熟練掌握函數(shù)的基本概念及其定義域、值域、函數(shù)值的求法，了解函數(shù)的幾何性質(zhì)及反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)等概念。基本要求掌握極限的概念、運算法則、連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。重點難點重點：極限的概念、運算法則、連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。如何使用數(shù)學(xué)軟件研究函數(shù)性質(zhì)和求函數(shù)極限。難點：極限的運算、連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)。重點難點重點：1.1函數(shù)及其圖形1.1.1函數(shù)概念習(xí)慣上常用字母F、G、f、g、φ、ψ等表示函數(shù)。一般來說，用不同的字母來表示函數(shù)和變量。在特殊情況下，也可以用相同的符號來表示函數(shù)和因變量。1.1函數(shù)及其圖形1.1.1函數(shù)概念習(xí)慣上常用字母下面再看幾個關(guān)于函數(shù)的例子。例1平方函數(shù)為每個實數(shù)x指派了它的平方x2，它用下列等式來定義：f(x)＝x2

。與自變量x相對應(yīng)的函數(shù)值是用x代入這個等式獲得的。例如：f(3)＝32＝9，f(-2)＝(-2)2＝4。平方函數(shù)f的定義域Df是全體實數(shù)組成的集合R，f的值域是由f(x)的一切值所組成的，即形如x2的全部的實數(shù)，Rf＝｛y|y≥0｝＝［0，+∞）。例2試求由下列公式定義的函數(shù)的自然定義域：f(x)f(x-1)

。

解Df＝｛x|x≠0且x≠1｝＝(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)。１下面再看幾個關(guān)于函數(shù)的例子。１1.1.2函數(shù)的圖形定義1.2

設(shè)f是定義在Df上的函數(shù)，它的圖形是滿足條件y＝f(x)的有序數(shù)對

(x，y)(即平面點)的集合，即G(f)＝｛(x，y)|y＝f(x))，x∈Df｝。函數(shù)f的圖形G(f)給出了直觀的函數(shù)形態(tài)。當(dāng)f(x)＞0時，在x處圖形的高就是函數(shù)值f(x)(如下圖)。1.1.2函數(shù)的圖形定義1.2

設(shè)f是定義在Df上的函從f的圖形G(f)上，可以在x軸上獲得f的定義域，在y軸上獲得f的值域。即圖形G(f)在x軸上的投影點集就是定義域Df，在y軸上的投影點集就是值域Rf(如圖)。從f的圖形G(f)上，可以在x軸上獲得f的定義域，在y軸1.1.3分段函數(shù)有的函數(shù)在其定義域的不同范圍中，對應(yīng)的法則用不同的公式來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。舉例如下。例1取整函數(shù)

y＝［x］＝n，當(dāng)x∈［n，n+1），n＝0，±1，±2，…時。顯然，［x］的定義域是全體實數(shù)集R，值域是全體整數(shù)集Z。例如：［4.5］＝4，［２］＝1，［－3.2］＝－4。函數(shù)圖形如下圖。具有類似圖形的函數(shù)通常稱為階梯函數(shù)。√－1.1.3分段函數(shù)有的函數(shù)在其定義域的不同范圍中，對應(yīng)計算機數(shù)學(xué)01課件1.1.4函數(shù)的幾種特性當(dāng)函數(shù)的自變量在定義域中取不同的值時，通常會得到不同的函數(shù)值。根據(jù)函數(shù)值的不同性態(tài)可以對函數(shù)進(jìn)行分類。下面是函數(shù)常見的4種性態(tài)。1.1.4函數(shù)的幾種特性當(dāng)函數(shù)的自變量在定義域中取不同1.2函數(shù)運算1.2.1函數(shù)的四則運算兩個函數(shù)f

和g之間可經(jīng)過類似于實數(shù)間的四則運算，構(gòu)成新的函數(shù)。下面來定義這些運算。定義1.7

設(shè)函數(shù)f

和g的定義域分別為Df和Dg，則和函數(shù)f+g、差函數(shù)f－g、積函數(shù)fg和商函數(shù)f/g分別定義如下：1.2函數(shù)運算1.2.1函數(shù)的四則運算兩個函數(shù)f例設(shè)f(x)＝，g(x)＝x2－4，求函數(shù)f和g的和、差、積、商。解易見Df＝［0，+∞），Dg＝（－

∞，－2］∪［2，+∞）。由定義(f±g)(x)＝x±x2

－4

，Df+g＝Df∩Dg＝［2，+∞）；

(fg)(x)＝x(x2

－4)

，Dfg＝［2，+∞）；

(f/g)(x)＝，Df/g＝（2，+∞）?！蘝_√_______√__√_______√________x(x2

－4)_______1√________例設(shè)f(x)＝，g(x)＝x2－41.2.2函數(shù)的復(fù)合運算設(shè)函數(shù)y＝f(u)＝，u＝φ(x)＝x2+1，若要求變量x和y之間的對應(yīng)規(guī)則，即函數(shù)，可用代入法來實現(xiàn)：y＝f(u)＝f(φ(x))＝f(x2+1)＝x2+1。這樣處理過程就是函數(shù)的復(fù)合過程。一般地有：1.2.2函數(shù)的復(fù)合運算設(shè)函數(shù)y＝f(u)＝，u＝φ例1若f(x)＝x2，g(x)＝x－3，試求復(fù)合函數(shù)f

g和g

f，并求其定義域。解(f

g)(x)＝f(g(x))＝f(x－3)＝(x－3)2，

(g

f)(x)＝g(f(x))＝g(x2)＝x2－3且Df

g＝Df

g

＝R。從上例可以看出，一般來說f

g≠g

f，即復(fù)合運算不同于乘積運算，它與函數(shù)的前后次序有關(guān)。例2試把函數(shù)y＝分解成幾個簡單函數(shù)的復(fù)合。解從函數(shù)的表達(dá)式可以看出，求x的函數(shù)值的運算過程是：首先把x除以2，再求其反正弦值，最后再進(jìn)行平方運算。因此，可以分解出3個簡單函數(shù)：y＝g(u)＝u2，u＝h(v)＝arcsinv，

v＝φ(x)＝。由它們進(jìn)行復(fù)合即為原來的函數(shù)：y＝f(x)＝＝(g

h

φ)(x)或f＝g

h

φ。。。。。。。。。(arcsin)2x2__x2__。。。。(arcsin)2x2__例1若f(x)＝x2，g(x)＝x－3，試求復(fù)合函數(shù)f1.2.3反函數(shù)由定義可以看出：(1)單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)；(2)f－1的定義域就是f的值域，f－1的值域就是f的定義域。求已知函數(shù)的反函數(shù)的步驟可以歸納為以下兩步：(1)從等式y(tǒng)＝f(x)中解出x，得x＝f

－1(y)；(2)在(1)所求出的式子中將x和y互換，得反函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝f－1(x)。繼續(xù)點擊1.2.3反函數(shù)由定義可以看出：(1)單調(diào)函數(shù)一定存在反1.2.4初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)下面六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)：a.常數(shù)函數(shù)y＝C(C為常數(shù))；b.冪函數(shù)y＝xα(α為常數(shù))；c.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a為常數(shù)，且a＞0，a≠1)；d.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a為常數(shù)，且a＞0，a≠1)；e.三角函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝secx，y＝tanx，

y＝cotx，y＝cscx；f.反三角函數(shù)y＝arcsinx，y＝arctanx，y＝arccosx，

y＝arccotx。(2)初等函數(shù)定義1.10由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次函數(shù)復(fù)合運算構(gòu)成的，并在定義域內(nèi)可以用一個表達(dá)式表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。繼續(xù)點擊1.2.4初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)下面六類函數(shù)統(tǒng)稱為基1.3初等數(shù)學(xué)模型1.3.1數(shù)學(xué)模型的概念構(gòu)造數(shù)學(xué)模型過程主要包括下列三個步驟：

(1)建立模型：從實際問題中抽象、簡化、提煉出數(shù)學(xué)問題；

(2)數(shù)學(xué)解答：對所提出的數(shù)學(xué)問題求解；

(3)模型檢驗：將所求得的答案返回到實際問題中去，檢驗其合理性，并進(jìn)一步對現(xiàn)實問題總結(jié)出所滿足的數(shù)學(xué)規(guī)律。1.3初等數(shù)學(xué)模型1.3.1數(shù)學(xué)模型的概念構(gòu)造數(shù)學(xué)1.3.2微積分與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系

歷史上，微積分中的主要原理，就來源于幾個極為輝煌的數(shù)學(xué)模型：

微積分的基礎(chǔ)——極限概念來源于“無窮小”模型。我國春秋時期的《莊子》中所說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，可以說是無窮小認(rèn)識的萌芽。公元3世紀(jì)時，我國數(shù)學(xué)家劉徽把莊子中的無窮小概念應(yīng)用于計算“圓田”和“弧田”的面積。他先在圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，計算其面積，再繼續(xù)算出正十二邊形、正二十四邊形面積等等。劉徽認(rèn)為，隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，其面積將不斷擴(kuò)大，但不會大于圓面積。同時劉徽指出“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。這是無窮小思想的早期應(yīng)用。所以，微積分根本上起源于人類用數(shù)學(xué)手段解決實際問題的需要。反過來，一切可以用連續(xù)變量的函數(shù)描述的數(shù)學(xué)模型，無不以微積分理論為基礎(chǔ)。這也說明了微積分的重要性。1.3.2微積分與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系歷史上，微積分中的主要1.3.3初等數(shù)學(xué)模型的例子1.3.3初等數(shù)學(xué)模型的例子1.4函數(shù)極限1.4.1數(shù)列的極限

(1)數(shù)列及其變化趨勢數(shù)列：

以正整數(shù)n為自變量的函數(shù)an＝f(n)，我們稱為整變量函數(shù)，把它的函數(shù)值按自變量n從小到大的順序?qū)懗鰜恚篴1，a2，…，an，…這就是數(shù)列，記為｛an｝。數(shù)列極限：我們先從一個例子來分析數(shù)列的變化趨勢，并由此引出數(shù)列極限的概念。

《莊子》中所說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其中蘊含著深刻的極限思想。如果令天數(shù)為n，則第n天后余下部分長為

an＝尺(n＝1，2，…)，這樣就得到了一個數(shù)列。當(dāng)正整數(shù)n無限增大時，數(shù)列an＝無限趨近于數(shù)0。n2n｛｝n2nn2n繼續(xù)點擊1.4函數(shù)極限1.4.1數(shù)列的極限(1)數(shù)列及(2)數(shù)列極限的定義定義1.11

設(shè)有數(shù)列｛an｝和常數(shù)A。若當(dāng)n無限增大時，an無限趨近于A，則稱數(shù)列｛an｝以A為極限，或稱數(shù)列｛an｝收斂于A，記作：

或an→A(n→∞時)。

否則，稱數(shù)列｛an｝的極限不存在，或者說數(shù)列｛an｝是發(fā)散的。liman＝An→∞數(shù)列極限的幾何解釋：將數(shù)A和數(shù)列各項a1，a2，a3，…在數(shù)軸上的對應(yīng)點標(biāo)出來，容易看出，若A是｛an｝的極限，則當(dāng)n無限變大時，點an與點A的距離|an－A|無限變小，即只要n充分大，|an－A|可以任意小。在數(shù)軸上的A點附近聚集了數(shù)列｛an｝的無窮多個點，而且離A點越近越密集，因此我們也稱數(shù)列｛an｝的極限值(極限點)為其聚點(如下圖)。繼續(xù)點擊(2)數(shù)列極限的定義定義1.11liman＝An→∞數(shù)列1.4.2函數(shù)的極限１２３４后頁后頁1.4.2函數(shù)的極限１２３４后頁后頁

(1)x趨于無窮大時函數(shù)f(x)的極限當(dāng)|x|無限增大時，f(x)＝對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限地趨近于0（如下圖），這時稱x趨于無窮大時，f(x)以0為極限。定義1.12

設(shè)函數(shù)f(x)對于絕對值無論怎樣大的x值是有定義的。若當(dāng)|x|無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限趨近于某一常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨向于無窮大時的極限。記作：或f(x)→A

(x→∞)。limf(x)＝An→∞A(1)x趨于無窮大時函數(shù)f(x)的極限定義1.12lim從幾何意義上看，極限表示：隨著|x|無限增大，曲線y＝f(x)上對應(yīng)的點與直線y＝A的距離無限變小，即曲線y＝f(x)以直線y＝A為漸近線(如圖)。limf(x)＝An→∞由以上定義，我們不難證明：定理1.1存在且為A的充分必要條件是與都存在且都等于A。limf(x)n→∞limf(x)n→－∞limf(x)n→＋∞返回從幾何意義上看，極限表示：limf(x)＝

(2)x趨于某確定有限數(shù)時函數(shù)f(x)的極限以下我們均假設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，如果在變量x→x0(x≠x0)的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于確定的常數(shù)A，就說當(dāng)x→x0時函數(shù)f(x)的極限為A。這種類型的極限稱為函數(shù)在有限點x0處的極限。例如，由于x≠1時f(x)＝g(x)，所以由上面的說明就可得出函數(shù)f(x)在有限點x0處的極限的精確定義。limf(x)x→１＝limg(x)x→１＝２。定義1.13設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義(x0可以除外)，若當(dāng)x無限趨近于x0(但不等于x0)時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限趨近于某一常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0時的極限，記作：limf(x)＝Ax→x0或f(x)→Ａ(x→x0)(2)x趨于某確定有限數(shù)時函數(shù)f(x)的極限limf(x從幾何意義上看，極限表示：當(dāng)x無限靠近x0(但x≠x0)時，曲線y＝f(x)上的點(x，f(x))將無限地靠近點

(x0，A)(如下圖)。例極限不存在的例子：當(dāng)x→0時，函數(shù)f(x)＝sin沒有極限。1x從正弦函數(shù)的圖象易見該極限是不存在的，它沒有任何漸近線。當(dāng)x越來越接近于零時，對應(yīng)的函數(shù)值越來越頻繁地在－1與1之間擺動。返回從幾何意義上看，極限表示：例極限不存在的例子：1

(3)單側(cè)極限

由于在x→x0的過程中，x既可以是x0左側(cè)的點，也可以是x0右側(cè)的點。但有的函數(shù)僅在x0的左鄰域有定義，或者我們只需要研究函數(shù)在x0的左鄰域的變化情況，為了明確起見，我們引進(jìn)函數(shù)的“左極限”概念。函數(shù)f(x)在x0處存在左極限，就是指x

從x0的左側(cè)趨向于x0時，對應(yīng)的函數(shù)f(x)值趨向于一個定數(shù)A。類似地有“右極限”概念。它們的定義是：定義1.14如果當(dāng)x從x0的左側(cè)趨近于x0時，函數(shù)f(x)的對應(yīng)值趨近于常數(shù)A，那么稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x從左側(cè)趨向于x0時的左極限。記作：類似地，可定義右極限。limf(x)＝Ax→x0－或f(x0－0)＝A。limf(x)＝Ax→x0＋，或f(x0+0)＝A。(3)單側(cè)極限

由于在x→x0的過程中，x既可以是左極限與右極限通稱為單側(cè)極限。容易證明：定理1.2的充要條件是limf(x)＝Ax→x0limf(x)＝x→x0limf(x)＝Ａ。x→x0－＋返回左極限與右極限通稱為單側(cè)極限。容易證明：定理1.2lim

(4)極限的簡單性質(zhì)

＞0，同時在x1的附近的點的函數(shù)值也是正的。B＜0，同時在x2附近的點的函數(shù)值也是負(fù)的。（如圖）limf(x)＝Ax→x0由上面的說明就可得出函數(shù)f(x)在x0處的極限值的符號與x0點附近(即某去心鄰域)的點的函數(shù)值的符號的關(guān)系。定理1.3如果，而且A＞0(或A＜0)，那么總存在點x0的某去心鄰域(x0－δ，x0)∪(x0，x0+δ)，使對該鄰域內(nèi)的任意點x總有f(x)＞0(或f(x)＜0)。limf(x)＝Ax→x0(4)極限的簡單性質(zhì)limf(x)＝Ax→x0由上定理1.4如果，而且在x0的某鄰域內(nèi)(可以不包括x0)f(x)≥0(或f(x)≤0)，那么有A≥0(或A≤0)。limf(x)＝Ax→x0返回定理1.4limf(x)＝Ax→x0返回1.5無窮大量與無窮小量1.5.1無窮大量定義1.15

在某一自變量的變化過程中，如果相應(yīng)的函數(shù)值的絕對值無限增大，那么稱此函數(shù)為無窮大量(簡稱無窮大)?！敖^對值無限增大”包含以下兩種特殊情形：

(1)函數(shù)值大于零，且絕對值無限增大。此時稱函數(shù)為正無窮大量(簡稱正無窮大)；

(2)函數(shù)值小于零，且絕對值無限增大。此時稱函數(shù)為負(fù)無窮大量(簡稱負(fù)無窮大)。繼續(xù)點擊前頁前頁1.5無窮大量與無窮小量1.5.1無窮大量定義1.151.5.2無窮小量定義1.16

在某一自變量的變化過程中，極限為零的函數(shù)稱為無窮小量(簡稱無窮小)。性質(zhì)1

有限個無窮小的代數(shù)和還是無窮小。性質(zhì)2有界變量與無窮小量的乘積是無窮小。由性質(zhì)2可得下面推論：推論1常數(shù)與無窮小量的乘積仍然是無窮小量。推論2

有限個無窮小的乘積仍是無窮小。1.5.2無窮小量定義1.16性質(zhì)1由性質(zhì)2可得下面推論有極限的變量與無窮小量之間有著密切的關(guān)系。定理1.5

f(x)＝A的充分必要條件是f(x)＝A+α(x)，其中α(x)是無窮小量(x→x0時)。limf(x)＝Ax→x0注意：所謂某一函數(shù)或某一變量是無窮大量或無窮小量都是相對于某一自變量的變化過程來說的，離開了這一點，單純講某變量是無窮大量或無窮小量是無意義的，除非根據(jù)上下文可以不言自明。有極限的變量與無窮小量之間有著密切的關(guān)系。定理1.5li1.5.3無窮小量與無窮大量的關(guān)系關(guān)于無窮小量與無窮大量的關(guān)系有如下定理：定理1.6在自變量x的某一變化過程中：

(1)如果f(x)是無窮大量，那么是無窮小量；

(2)如果f(x)是非零無窮小量，那么是無窮大量。１f(x)１f(x)在求極限時，經(jīng)常要用到無窮小量與無窮大量的這種倒數(shù)關(guān)系。1.5.3無窮小量與無窮大量的關(guān)系關(guān)于無窮小量與無窮大1.5.4無窮小量的比較無窮小量雖然都是極限為零的變量，但它們趨于零的速度有快有慢。例如，有一個正方形的金屬薄片，它的邊長為1。因為受熱，邊長增加了η，從而面積的增量是ΔS＝(1+η)2－12＝2η+η2。如果η是無窮小量，那么2η、η2也是無窮小量，但它們趨于零的速度是不一樣的。列表比較如下：η0.50.10.010.001…2η10.20.020.002…η20.250.010.00010.000001…1.5.4無窮小量的比較無窮小量雖然都是極限為零的變量定義1.17設(shè)α、β是同一極限過程中的兩個無窮小量。如果＝0，那么稱α是比β高階的無窮小，記作

α＝o(β)；如果＝∞，那么稱α是比β低階的無窮??；如果＝C(C為非零常數(shù))，那么稱α與β是同階無窮小。在同階無窮小中，如果＝1，那么稱α與β是等價無窮小，記作α～β。limαβlimαβlimαβlimαβ定義1.17limαlimαlimαlimα1.6.1極限運算性質(zhì)假設(shè)C是常數(shù)，并且極限f(x)和g(x)都存在，則有：例試證明極限運算的和性質(zhì)：。證設(shè)，，則由定理1.5