數(shù)學(xué)建模習(xí)題題目1.在超市購(gòu)物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象了嗎。比如潔銀牙膏50g裝的每支元，120g裝的每支元，二者單位重量的價(jià)格比是:1.試用比例方法構(gòu)造模型解釋這個(gè)現(xiàn)象。（1）分析商品價(jià)格C與商品重量w的關(guān)系。價(jià)格由生產(chǎn)成本、包裝成本和其他成本等決定，這些成本中有的與重量w成正比，有的與表面積成正比,還有與w無(wú)關(guān)的因素。（2）給出單位重量?jī)r(jià)格c與w的關(guān)系，畫出它的簡(jiǎn)圖，說(shuō)明w越大c越小，但是隨著w的增加c減小的程度變小，解釋實(shí)際意義是什么。解答：（1）分析：生產(chǎn)成本主要與重量W成正比，包裝成本主要與表面積S成正比,其他成本也包含與W和S成正比的部分，上述三種成本中都包含有與w,s均無(wú)關(guān)的成本。乂因?yàn)樾螤钜欢〞r(shí)一般有S?/，故商品的價(jià)格可表示為C=ao）+P（///J4-r（a,8,丫為大于。的常數(shù)）。（2）單位重量?jī)r(jià)格C=§=G十外-〃3十）廿?，顯然C是w的減函數(shù)。說(shuō)明大包裝比小包裝的商品更便宜，曲線是下凸的，說(shuō)明單價(jià)的減少值隨著包裝的變大是逐漸降低的，不要追求太大包裝的商品。函數(shù)圖像如下圖所示：題目2.在考慮最優(yōu)定價(jià)問(wèn)題時(shí)設(shè)銷售期為T,由于商品的損耗，成本q隨時(shí)間增長(zhǎng)，設(shè)q=W+例,B為增長(zhǎng)率。乂設(shè)單位時(shí)間的銷售量為x=a?bp（p為價(jià)格）。今將銷售期分為0<t<172和T/2<t<T兩段，每段的價(jià)格固定，記為P靖2.求p/必的最優(yōu)值，使銷售期內(nèi)的總利潤(rùn)最大。如果要求銷售期T內(nèi)的總銷售量為0,再求以P2的最優(yōu)值。

解答：口由題意得：總利潤(rùn)為U(0,P2)=J；2|m?q⑴](a-附)出+”[。2-虱加e-bp2)d!=T/2^G-bp/)[qo+7)]+Q-bp2)-b[p2-(qo+3pT/4)]由宗=0,*=0,可得最優(yōu)價(jià)格1 1 3"Pi=5伍十Mqo+7），P2』a十b（qo+RJ設(shè)總銷量為0。,(a-bp”dt+(a-bp”dt+{z-bp2)dt=aT---(pi+p2)— 乙在此約束條件下u（pi,而）的最大值點(diǎn)為?aQ。咫?aQofiTPl=i.面■飛,P2=%.正+飛題目33.某商店要訂購(gòu)一批商品零售，設(shè)購(gòu)進(jìn)價(jià)G,售出。2,訂購(gòu)費(fèi)8（與數(shù)量無(wú)關(guān)），隨機(jī)需求量r的概率密度為p（r）,每件商品的貯存費(fèi)為。3（與時(shí)間無(wú)關(guān)）。問(wèn)如何確定訂購(gòu)量才能使商店的平均利潤(rùn)最大，這個(gè)平均利潤(rùn)是多少。為使這個(gè)平均利潤(rùn)為正值，需要對(duì)訂購(gòu)費(fèi)8加什么限制解答：口設(shè)訂購(gòu)量為u,則平均利潤(rùn)為J（u）=4/rp3dr+/ [co+cju+C3J（u-r）p（r）dr]ru=（C2-c；）u-co-（c2十匆]似-r）p（r）drJ0U的最優(yōu)值〃*滿足北0⑺分=等V C2'Cj最大利潤(rùn)為J（〃"）=（C2+叨（〃）d『-co.為使這個(gè)利潤(rùn)為正值，應(yīng)有CO＜（C2+C3）qrp{r}dr.題目4.雨滴勻速下降，空氣阻力與雨滴表面積和速度平方的乘積成正比，試確定雨速

與雨滴質(zhì)量的關(guān)系。解答：雨滴質(zhì)量m,體積V,表面積S與某特征尺寸I之間的關(guān)系為m"VaF，Sec/z,可得soc/凡雨滴在重力力和空氣阻力方的作用下以勻速v降落，所以。=方,而。0cme2xsF.由以上關(guān)系得vocm’6..某銀行經(jīng)理計(jì)劃啊用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證券的投資，可供購(gòu)進(jìn)的證券以及其信用等級(jí)、到期年限、收益如表1所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有以下限制：政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購(gòu)進(jìn)400萬(wàn)元；所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)不超過(guò)（信用等級(jí)數(shù)字越小，信用程度越高）；所購(gòu)證券的平均到期年限不超過(guò)5年。表1證券信息證券名稱證券種類信用等級(jí)到期年限到期稅前收益/%A市政29B代辦機(jī)構(gòu)215C政府145D政府13E市政52問(wèn)：（1）若該經(jīng)理有1000萬(wàn)元資金，應(yīng)如何投資（2）如果能夠以％的利率借到不超過(guò)100萬(wàn)元資金，該經(jīng)理如何操作（3）在1000萬(wàn)元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為％,投資應(yīng)否改變?nèi)糇C券C的稅前收益減少為％,投資應(yīng)否改變解答：（1）設(shè)投資證券A,B,C,D,E的金額分別為W2,X3，X加5（百萬(wàn)元），按照規(guī)定、限制和1000萬(wàn)元資金約束，列出模型max0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5.忘+%3+如“打+X2+町+如+S10<1.4,M+75x2+飆+3工4+2工5<5,即<1.4,M+75x2+飆+3工4+2工5<5,即4X7+10x2-X3-2x4-3x530x/fX2tX3,X*X5>0用LINGO求解得到：證券A,C,E分別投資百萬(wàn)元，百萬(wàn)元，百萬(wàn)元，最大稅后收益為百萬(wàn)元。（2）由（1）的結(jié)果中影子價(jià)格可知，若資金增加100萬(wàn)元，收益可增加百萬(wàn)元。大于以％的利率借到100萬(wàn)元資金的利息，所以應(yīng)借貸。投資方案需將上面模型第二個(gè)約束右端改為11,求解得到：證券A,C,E分別投資百萬(wàn)元，百萬(wàn)元，百萬(wàn)元，最大稅后收益為百萬(wàn)元。（3）由（1）結(jié)果中目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許范圍（最優(yōu)解不變）可知，證券A的稅前收益可增加％,故若證券A的稅前收益增加為％,投資不應(yīng)改變；證券C的稅前收益可減少％（按50%的稅率納稅），故若證券C的稅前收益減少為％,投資應(yīng)該改變。.某公司將4種不同含硫量的液體原料（分別記為甲、乙、丙、?。┗旌仙a(chǎn)兩種產(chǎn)品（分別記為A,B）。按照生產(chǎn)工藝的要求，原料甲、乙、丁必須首先倒入混合池中混合，混合后的液體再分別為原料丙混合生產(chǎn)A,B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分別為3%,1%,2%,1%,進(jìn)貨價(jià)格分別為6,16,10,15（千元八）;產(chǎn)品A,B的含硫量分別不能超過(guò)，（％）,售價(jià)分別為9,15（千元八）。根據(jù)市場(chǎng)信息，原料甲、乙、丙的供應(yīng)沒(méi)有限制，原料丁的供應(yīng)量最多為50t；產(chǎn)品A,B的市場(chǎng)需求量分別為100t,200to問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn)解答：設(shè)以,々分別是產(chǎn)品A中是來(lái)自混合池和原料丙的噸數(shù)，總Z2分別是產(chǎn)品B中來(lái)自混合池和原料丙的噸數(shù)；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分別為以必足.優(yōu)化目標(biāo)是總利潤(rùn)最大，即max（9-6xi-16x2-I5x4）yi+Q5-6xi-16x2-15x）y?+（9- +（15-1O）Z2約束條件為：1）原料最大供應(yīng)量限制：X4（yi+y2）<502）產(chǎn)品最大需求量限制：（以+Z/）WIOOg+Z2）W2003）產(chǎn)品最大含硫量限制：對(duì)產(chǎn)品A,'如十'丁"十③<25,即（3m+x2+m-2.5）j〃-O5zzS。對(duì)產(chǎn)品B,類似可得（3犯+由+ L5）y2+0.5Z2<04）其他限制：（必+X2+X4）=7.xi，X2.av.yi.zi，y：,Z2>0用LINGO求解得到結(jié)果為：X2=X4=0.5,y2=Z2=100,其余為0；目標(biāo)函數(shù)值為450..建立耐用消費(fèi)品市場(chǎng)銷售量的模型。如果知道了過(guò)去若干時(shí)期銷售量的情況，如何確定模型的參數(shù)解答：設(shè)耐用品銷售量為x（t）,可用logistic模型描述x（t）的變化規(guī)律，即1=kx（N-x）,其中N是市場(chǎng)飽和量，k是比例系數(shù)，N,k,可由過(guò)去若干時(shí)期的銷售量?jī)?nèi)(必=確定，不妨設(shè)0 。，=，，則方程可離散化為?Xj=kNxi-kx2,,?工河取內(nèi)+/-修或(芍+/-"2,N和k可由最小二乘法估計(jì)。題目8.在魚塘中投放力0尾魚苗，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，尾數(shù)將減少而每尾的質(zhì)量將增加。(1)設(shè)尾數(shù)n(t)的(相對(duì))減少率為常數(shù)；由于喂養(yǎng)引起的每尾魚質(zhì)量的增加率與魚的表面積成正比，由于消耗引起的每尾魚質(zhì)量的減少率與質(zhì)量本身成正比。分別建立尾數(shù)與每尾魚質(zhì)量的微分方程，并求解。(2)用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，到時(shí)刻T才開(kāi)始捕撈，捕撈能力用尾數(shù)的相對(duì)減少量1〃”表示，記作E,即單位時(shí)間捕獲量是En(t).問(wèn)如何選擇T和E,使從T開(kāi)始的捕獲量最大。解答：(1)尾數(shù)n(t)滿足力=-。＞0),n(0)=得n(t)=九四”.每尾魚重w⑴滿足w=aw2/3-fko,不妨近似設(shè)w(0)=0,得w(t)=^)(1- .(2)設(shè)t=T時(shí)開(kāi)始捕撈，且單位時(shí)間捕撈率為E,則t2T時(shí)有序=_"+EM，因此得1](。=%3:。-0十號(hào)/％單位時(shí)間捕撈魚的尾數(shù)為￡“小每尾魚重w(t),所以從T開(kāi)始的魚捕撈量是y=臣以場(chǎng)W=/粉-e-欣+叼3助胎”一a+%「問(wèn)題為求％E使y最大，可用數(shù)值法求解。題目9.速度為v的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為s的風(fēng)車上，空氣密度是p。用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率P與v,s,p的關(guān)系。解答：設(shè)f(p,v,s,p)=0,量綱表達(dá)式：[p]=L2MT-3Av]=LT-1M=L2,[p]=L-3A^解得F(7l)=0.71=p~/v3sp，故P=*/跖仇是無(wú)量綱常數(shù))。題目10.大陸上物種數(shù)目可以看做常數(shù)，各物種獨(dú)立地從大陸向附近一島嶼遷移。島上物種數(shù)量的增加與尚未遷移的物種數(shù)量有關(guān)，而隨著遷移物種的增加乂導(dǎo)致島上物種的減少。在適當(dāng)假設(shè)下建立島上物種數(shù)的模型，并討論穩(wěn)定狀況。解答：植物、哺乳動(dòng)物、爬行動(dòng)物的數(shù)量分別記作mQ）,mQ）K3Q）.若不考慮自然資源對(duì)植物生長(zhǎng)的限制，則模型為XI=Xi{n-^1X2）,X2=X2（-T2+ -"工3）,工3=X3（-r3+2母2）平衡點(diǎn)為Pi（0,0,0）,22部,0）..下表列出了某城市18位35-44歲經(jīng)理的年平均收入劃（千元），風(fēng)險(xiǎn)偏好度通和人壽保險(xiǎn)額y（千元）的數(shù)據(jù)，其中風(fēng)險(xiǎn)偏好度是根據(jù)發(fā)給每個(gè)經(jīng)理的問(wèn)卷調(diào)查表綜合評(píng)估得到的，它的數(shù)值越大就越偏愛(ài)高風(fēng)險(xiǎn)。研究人員想研究此年齡段中的經(jīng)理所投保的人壽保險(xiǎn)額與年均收入及風(fēng)險(xiǎn)偏好度之間的關(guān)系。研究者預(yù)計(jì)，經(jīng)理的年均收入和人壽保險(xiǎn)額之間存在著二次關(guān)系，并有把握的認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額有線性效應(yīng)，但對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額是否有二次效應(yīng)以及兩個(gè)自變量是否對(duì)人壽保險(xiǎn)額有交互效應(yīng)，心中沒(méi)底。請(qǐng)你通過(guò)表2中的數(shù)據(jù)建立一個(gè)合適的回歸模型，驗(yàn)證上面的看法，并給出進(jìn)一步的分析。表2序號(hào)123456789y1966325284126144949266X1x27510645469序號(hào)101112131415161718y4910598771456245133133X1x2527435186解答：，最終的回歸方程為￡=-62.3489+0.83981+5.6846x2+0.0371x1,5.R2=0,9996,F=U070,2944,p<0.0001（如模型中加入￡M均項(xiàng)，其回歸系數(shù)置信區(qū)間均含零點(diǎn)）。表明只有經(jīng)理們的年均收入及其二次項(xiàng)和風(fēng)險(xiǎn)偏好度本身對(duì)他們投保的人壽保險(xiǎn)額有顯著影響。題目12.表3給出了某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量與單位成本（單位：元）的數(shù)據(jù)，從散點(diǎn)圖可以明顯的發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)批量在500以內(nèi)時(shí)，單位成本對(duì)生產(chǎn)批量服從一種線性關(guān)系，生產(chǎn)批量超過(guò)500時(shí)服從另一種線性關(guān)系，此時(shí)單位成本明顯下降。希望

你構(gòu)造一個(gè)合適的回歸模型全面的描述生產(chǎn)批量與單位成本的關(guān)系。表3生產(chǎn)批量650340400800300600720480440540750單位成本生產(chǎn)批量與單位成本分別記作x和y,為表示x在500以下和以上時(shí)，y與x的（1y>500不同關(guān)系，引入一個(gè)虛擬變量D,令口=[0,二500,建立線性回歸模型y=%十夕"+p2（x-500）。+V得到參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參考置信區(qū)間P0[JP1[JB2[,]當(dāng)生產(chǎn)批量小于500時(shí)，每增加一個(gè)單位批量，單位成本降低元；當(dāng)生產(chǎn)批量超過(guò)500時(shí)，每增加一個(gè)單位批量，單位成本降低+=元。從散點(diǎn)圖看，也可以擬合x的二次回歸模型y=/?o+為42/十￡.題目13.在一項(xiàng)調(diào)查降價(jià)折扣券對(duì)顧客的消費(fèi)行為影響的研究中，商家對(duì)1000個(gè)顧客發(fā)放了商品折扣券和宣傳資料,折扣券的折扣比例分別為5%,10%,15%,20%,30%,每種比例的折扣券均發(fā)放了200人，現(xiàn)記錄他們?cè)谝粋€(gè)月內(nèi)使用折扣券購(gòu)物的人數(shù)和比例數(shù)據(jù)如表4.表4折扣比例/%持折扣券人數(shù)使用折扣券人數(shù)使用折扣券人數(shù)比例520032102005115200702020010330200148（1）對(duì)使用折扣券人數(shù)比例先做logit變換，再對(duì)使用折扣券人數(shù)比例與折扣比例，建立普通的一元線性回歸模型。（2）直接利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中的glmfit命令，建立使用折扣券人數(shù)比例與折扣比例的logit模型。與（1）作比較，并估計(jì)若想要使用折扣券人數(shù)比例為25%,則折扣券的折扣比例應(yīng)該為多大解答：（1）記x為折扣比例，兀（x）為使用折扣券人數(shù)比例，做logit變換兀；=hi（芻,普通的一元線性回歸模型為乃；=命+為為+砧這里沒(méi)有給出誤差項(xiàng)的形成，利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中的命令regress,可算出兀*=-2,1860+Q1086x'通過(guò)檢驗(yàn)，高度顯著。（2）利用glmfit命令可以得到logitG（x））=In（（葡=-2/855+0」。87毛擬合程度也非常好。（1）中模型表面上看起來(lái)很好，其實(shí)在做估計(jì)和檢驗(yàn)時(shí)，需要對(duì)誤差項(xiàng)作較強(qiáng)的限制，而logit回歸克服了這一缺陷。（0.25\ *乂由出（7T數(shù)）=-2.1855+0.1087吃解得￡=/o,故想要使用折扣券人數(shù)比例為25%,則折扣券的折扣比例應(yīng)該為10%o題目14.〃田忌賽馬〃是一個(gè)家喻戶曉的故事：戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，齊國(guó)將軍田忌經(jīng)常與齊王賽馬,設(shè)重金賭注。孫臏發(fā)現(xiàn)田忌與齊王的馬腳力都差不多，可分為上、中、下三等。于是孫臏對(duì)田忌說(shuō)：〃您只管下大賭注，我能讓您取勝。〃田忌相信并答應(yīng)了他，與齊王用千金來(lái)賭勝。比賽即將開(kāi)始，孫臏對(duì)田忌說(shuō)：〃現(xiàn)在用您的下等馬對(duì)付他的上等馬，拿您的上等馬對(duì)付他的中等馬，拿您的中等馬對(duì)付他的下等馬?！ㄈ龍?chǎng)比賽完后，田忌只有一場(chǎng)不勝而另兩場(chǎng)勝，最終贏得齊王的千金賭注。（1）分析這個(gè)故事中還隱含了哪些信息，并思考合適可以建模為一個(gè)博弈問(wèn)題。何時(shí)只是一個(gè)簡(jiǎn)單的單人決策問(wèn)題。（2）如果齊王和田忌約定比賽開(kāi)始前雙方同時(shí)決定馬的出場(chǎng)順序，并且以后不可改變，這個(gè)博弈是否存在純戰(zhàn)略納什均衡如果不存在，求出該博弈模型的混合戰(zhàn)略納什均衡。解答：（T）這個(gè)故事中還隱含了以下信息：田忌的每一等級(jí)的馬都不如齊王的同等級(jí)的馬，但田忌的上等馬勝過(guò)齊王的中等馬，田忌的中等馬勝過(guò)齊王的下等馬。每人每一等級(jí)的馬只允許出場(chǎng)一次（例如每人每一等級(jí)的馬只有一匹,且每匹馬只允許出場(chǎng)一次）。此外，1）如果齊王的馬的出場(chǎng)順序總是固定的（或者出場(chǎng)順序在比賽開(kāi)始前就已經(jīng)決定了且不可改變），而田忌知道這一點(diǎn)，那么齊王的行動(dòng)就已經(jīng)是完全給定了，這時(shí)只有田忌需要決策，是一個(gè)簡(jiǎn)單的單決策者的決策問(wèn)題，可以用一般的優(yōu)化方法進(jìn)行建模和求解。不妨假設(shè)齊王的馬的出場(chǎng)順序?yàn)椋ㄉ?、中、下），則田忌最優(yōu)的應(yīng)對(duì)行動(dòng)就是（下、上、中），這與孫臏給出的戰(zhàn)略是一致的。2）如果齊王的馬的出場(chǎng)順序并不總是固定的，每場(chǎng)比賽時(shí)齊王首先決定自己派哪個(gè)等級(jí)的馬出場(chǎng)，然后田忌才決定派自己的哪個(gè)等級(jí)的馬與之對(duì)抗，是一個(gè)完全信息動(dòng)態(tài)博弈。田忌必須見(jiàn)機(jī)行事，根據(jù)齊王出哪種馬，決定自己出哪種馬（孫臏給出的戰(zhàn)略仍是田忌的最優(yōu)戰(zhàn)略）3）比賽開(kāi)始前雙方同時(shí)決定馬的出場(chǎng)順序并且以后不可改變。假設(shè)齊王和田忌在決策時(shí)所擁有的信息是一樣的，這時(shí)就構(gòu)成一個(gè)完全信息靜態(tài)博弈。（2）雙方的行動(dòng)空間為｛（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、下、上），（下、上、中），（下、中、上）｝o不存在純戰(zhàn)略納什均衡?；旌蠎?zhàn)略納什均衡為：雙方各以場(chǎng)概率選擇6個(gè)行動(dòng)之一。題目15.我們經(jīng)常見(jiàn)到報(bào)道：一些不文明現(xiàn)象或違法行為發(fā)生在眾目睽睽之下，卻無(wú)人出面阻止或干預(yù)。如果不考慮這類事件的復(fù)雜社會(huì)、道德等因素，你能否完全從數(shù)學(xué)的角度通過(guò)建立博弈模型來(lái)定量分析一下這種〃人多未必勢(shì)眾〃的現(xiàn)象具體來(lái)說(shuō)，希望你的模型回答下面的問(wèn)題：假設(shè)有多個(gè)人正在目睹某個(gè)不文明現(xiàn)象或違法行為，那么當(dāng)目睹人數(shù)增加時(shí)，有人出面阻止或干預(yù)的可能性是增加了還是減少了解答：博弈參與人集合N={1,2,…，n},每人的行動(dòng)集合為A={O,1},其中1為干預(yù),0為不干預(yù)。若有人出面干預(yù)（這是參與人都希望的），設(shè)對(duì)每個(gè)參與人的價(jià)值為v（如由于不文明行為或違法行為得到阻止的心理安慰等）；若自己出面干預(yù)（這是參與人不希望的），設(shè)對(duì)每個(gè)參與人的成本為c（如遭到報(bào)復(fù)等）。可設(shè)v>c>0.假設(shè)所有參與人完全相同，每個(gè)參與人都希望最大化自己的效用v-c。如果沒(méi)有人干預(yù)，每個(gè)人的效用均為0.對(duì)每個(gè)參與人來(lái)說(shuō)，如果其他人不出面干預(yù)，自己應(yīng)該出面干預(yù)；如果有人出面干預(yù)，自己就不用出面干預(yù)了。因此，這個(gè)博弈存在純戰(zhàn)略納什均衡：有且只有一個(gè)參與人出面干預(yù)，其他人不出面干預(yù)，從所有參與人整體上看這也是最優(yōu)的方案。但是，如果參與人之間沒(méi)有信息的交流與行動(dòng)上的合作，這一均衡是很難發(fā)生的，很可能要么沒(méi)有人出面干預(yù)，要么有多人出面干預(yù)，這都不是納什均衡。對(duì)這個(gè)問(wèn)題，在不存在合作的情況下，假設(shè)所有參與人采用相同的戰(zhàn)略是比較合理的，這樣的戰(zhàn)略組合如果構(gòu)成納什均衡，則稱為對(duì)稱納什均衡。顯然，這個(gè)博弈不存在純戰(zhàn)略對(duì)稱納什均衡，所以考慮混合戰(zhàn)略對(duì)稱納什均衡：每個(gè)人的戰(zhàn)略為以概率p采取行動(dòng)1（以概率1-p采取行動(dòng)0）。對(duì)一個(gè)參與者來(lái)說(shuō)：如果他出面干預(yù)（采取行動(dòng)1）,其效用為v-c。如果他不出面干預(yù)（采取行動(dòng)0）,有兩種可能：其他人也都不出面干預(yù)（可能性為（l.p）〃〃），其效用為0:其他人至少有一人出面干預(yù)（可能性為1- 其效用為V。因此他不出面干預(yù)時(shí)的期望效用為v（l-（1-p）人［）。當(dāng)出面干預(yù)與不出面干預(yù)的效用相等時(shí)，他就沒(méi)有動(dòng)機(jī)改變他的戰(zhàn)略了。所以，納什均衡滿足的條件可以很簡(jiǎn)單的從等式v.c=v（l.（l.p）〃"）得到，即題目1616.同類型的商家經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)〃扎堆〃現(xiàn)象，形成各式各樣的商品城，如〃書城〃、〃燈具城〃等。人們有時(shí)不得不跑很遠(yuǎn)的路去這類商品城，于是會(huì)抱怨：如果他們大致均勻的分布到城市的不同地點(diǎn)，難道不是對(duì)商家更為有利可圖，也更方便顧客請(qǐng)你以下面的問(wèn)題為例，作出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，進(jìn)行建模分析：某海濱浴場(chǎng)準(zhǔn)備設(shè)立兩個(gè)售貨亭，以供海灘上游泳和休閑的人購(gòu)買飲用水和小食品等。那么，這兩個(gè)售貨亭的店主將會(huì)分別將售貨亭設(shè)立在哪里解答：；各海濱浴場(chǎng)的海灘近似看成一條線段，售貨亭位置的選擇空間記為［0』區(qū)間。

設(shè)兩售貨亭的位置分別位于孫，》2傳(<XJ<X2<〃，其中點(diǎn)為m=(XI4-4)2假設(shè)顧客是均勻分布的。則售貨亭1會(huì)吸引m左側(cè)的顧客，售貨亭2會(huì)吸引m右側(cè)的顧客。于是售貨亭1、2的效用(份額)分別是：U1\X1.X2)==-：5(雙/2)=1-9o容易證明唯一的純戰(zhàn)略納什均衡為=〃2即雙方〃扎堆〃于區(qū)間中點(diǎn)。.奇數(shù)個(gè)席位的理事會(huì)由三派組成，議案表決實(shí)行過(guò)半數(shù)通過(guò)方案。證明在任一派都不能操縱表決的條件下，三派占有的席位不論多少，他們?cè)诒頉Q中的權(quán)重都是一樣的。解答：設(shè)三派的席位分別為孫,力2/?3,記切+%2+小=力(奇數(shù))。任一派不能操縱表決，即町,〃2,九3< 于是十n2.ni十n3/2十加3》?，即任兩派的席位過(guò)半數(shù)。顯然三派的權(quán)重都是一樣的，各占18在基因遺傳過(guò)程中，考慮三種基因類型：優(yōu)種D(dd),混種H(dr)和劣種R(rr)o對(duì)于任意的個(gè)體，每次用一混種與之交配，所得后代仍用混種交配，如此繼續(xù)下去。構(gòu)造馬氏鏈模型，說(shuō)明它是正則鏈，求穩(wěn)態(tài)概率及由優(yōu)種和混種出發(fā)的首次返回平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。如果改為每次用優(yōu)種交配，再構(gòu)造馬氏鏈模型，說(shuō)明它是吸收鏈，求由混種和劣種出發(fā)變?yōu)閮?yōu)種的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。解答：狀態(tài)定義為i=l(D),2(H),3?,用混種交配時(shí)，轉(zhuǎn)移概率矩陣為,1/21/201P=1/41/21/4,0 1/21/2.由p2>0知,馬氏鏈?zhǔn)钦齽t鏈，穩(wěn)定狀態(tài)向量為W=(1A1/2,M.優(yōu)種(D)和混種(R)出發(fā)的首次平均轉(zhuǎn)移次數(shù)分別為4和2.//2O,i=l(D)是吸收狀態(tài)，P21//2O,i=l(D)是吸收狀態(tài)，P21>由M=[-Q-=Jy=Me=(2,3).知由i=2(H),i=3(R)出發(fā)，變?yōu)閕=l(D)的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)分別為2和3.題目19.一家集生產(chǎn)、銷售于一體的公司，希望生產(chǎn)率和貯存量都盡量穩(wěn)定在預(yù)先設(shè)定的水平上，如果銷售量可以預(yù)測(cè)，公司需要制訂一個(gè)根據(jù)貯存量控制生產(chǎn)率的策略。(1)以在一定時(shí)間T內(nèi)生產(chǎn)率和貯存量與設(shè)定值誤差的(加權(quán))平方和最小為目標(biāo)，給出泛函極值問(wèn)題。(2)設(shè)銷售量為常數(shù)，求出最優(yōu)解，并在T很大的情況下給出生產(chǎn)率和貯存量之間的關(guān)系。解答：(1)記時(shí)刻t的貯存量x(t),單位時(shí)間產(chǎn)量(即生產(chǎn)率)和銷售量分別為u⑴和v(t),則攵S=〃(。-v(t)設(shè)預(yù)先給定的生產(chǎn)率和貯存量分別為〃。和如，則在時(shí)間T內(nèi)u(t)和x(t)與40和配誤差的(加權(quán)a)平方和最小的泛函極值為CT] #J(u(t))=J -〃0)2十-X0)2]dt“02 2若設(shè)t=O和T=O的貯存量為0，則x(0)=x(T)=0化簡(jiǎn)得J(u(t))=J慘⑴+v(f)-〃o)2+爭(zhēng)⑺,xo)2]dt(2)當(dāng)銷售量v(t)=、，o(常數(shù))時(shí)，歐拉方程為解得U-e-aT)^T^(eaT-l)eaTx(0=…化簡(jiǎn)得2axo(l-e")嚴(yán)u(t)=vo+必0-x(0)- -—e-e在T很大的情況下，最后一項(xiàng)可忽略，于是u=vo+a(xo-x)即生產(chǎn)率U可以由貯存量X直接確定。題目20.遭受巨大損失：考慮由于預(yù)計(jì)全球溫度會(huì)上升而導(dǎo)致的北極冰蓋的融化對(duì)陸地的影響。特別要對(duì)由于冰蓋融化在今后50年中每10年對(duì)佛羅里達(dá)州沿岸，尤其是大城市地區(qū)的影響進(jìn)行建模。試提出適當(dāng)?shù)膽?yīng)對(duì)措施來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題。對(duì)所用數(shù)據(jù)的仔細(xì)討論是回答本問(wèn)題的重要組成部分。解答：僅僅北極冰蓋融化對(duì)海平面的宜接影響可能較小，而引起其他冰塊融化的間接影響會(huì)是決定性的?？梢苑謩e對(duì)各個(gè)冰塊提升海平面的影響建模，用常微分方程預(yù)測(cè)發(fā)生改變的速度。對(duì)于小的冰蓋和冰川用全球平均溫度對(duì)海平面改變影響的模型，參數(shù)為融化對(duì)溫度的敏感度等，對(duì)參數(shù)的不同取值計(jì)算50年后海平面的升高。對(duì)于大冰原考慮受熱體積膨脹引起海平面的升高。一種計(jì)算結(jié)果是50年后升高20-30cmo對(duì)佛羅里達(dá)州沿岸海平面升高1個(gè)單位等價(jià)于海沿岸水平損失100個(gè)單位。在最壞的情況下，到2058年幾乎將損失27m陸地，會(huì)失去大多數(shù)較小的島嶼及沙灘,許多城市的港口都會(huì)遭到損失。討論對(duì)物種和生物多樣性、氣候、旅游業(yè)、食品業(yè)及全球變暖的影響。題目21.動(dòng)物園里的成年熱血?jiǎng)游锟匡曫B(yǎng)的食物維持體溫基本不變，在一些合理、簡(jiǎn)化的假設(shè)下建立動(dòng)物的飼養(yǎng)食物量與動(dòng)物的某個(gè)尺寸之間的關(guān)系。解答：假皆處于靜止?fàn)顟B(tài)的動(dòng)物的飼養(yǎng)食物量主要用于維持體溫不變，且動(dòng)物體內(nèi)熱量主要通過(guò)它的表面積散失，對(duì)于一種動(dòng)物其表面積S與某特征尺寸I之間的關(guān)系是Soc『，所以飼養(yǎng)食物量W”產(chǎn)..一家保姆服務(wù)公司專門向雇主提供保姆服務(wù)。根據(jù)估計(jì)，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必須經(jīng)過(guò)5天的培訓(xùn)才能上崗，每個(gè)保姆每季度工作（新保姆包括培訓(xùn)I）65天。保姆從該公司而不是從雇主那里得到報(bào)酬，每人每月工資800元。春季開(kāi)始時(shí)公司擁有120名保姆，在每個(gè)季度結(jié)束后。將有15%的保姆自動(dòng)離職。（1）如果公司不允許解聘保姆，請(qǐng)你為公司制定下一年的招聘計(jì)劃。哪些季度需求的增加不影響招聘計(jì)劃可以增加多少（2）如果公司在每個(gè)季度結(jié)束后允許解聘保姆，請(qǐng)為公司制定下一年的招聘計(jì)劃。解答：（1）設(shè)4個(gè)季度開(kāi)始時(shí)公司新招聘的保姆數(shù)量分別為孫/2/3X/人，4個(gè)季度開(kāi)始時(shí)保姆總數(shù)量分別為S，S3,S,人。以本年度付出的總報(bào)酬最少（即4個(gè)季度開(kāi)始時(shí)保姆總數(shù)量之和最?。槟繕?biāo)，則模型為min+S2+S3+&s.t.65sl>6000+5xi65s2>750。+5通65s3>5500+5x365s4>9000+5x4Si=120+xiS2=0.85S1+*2S3=0.85S2+曲$4=0.85S3+X4A?[. t3.S[S'SSqo用LINGO睽植并‘務(wù)泊集取感4個(gè)季度開(kāi)始時(shí)公司新招聘的保姆數(shù)量分別為0,15,0,59人。上面的模型中沒(méi)有要求M,由,心,必號(hào)，S2,S3,S/取整數(shù)，是因?yàn)楸Ｄ窋?shù)量較大，可以近似看做實(shí)數(shù)處理。此外，由于非整數(shù)因子的影響，如果要求Xgx3gS,S2,S3,SZ為整數(shù)，則可能使得新招聘的保姆數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)實(shí)際需要的數(shù)量，從而難以找到合理的整數(shù)解。由以上結(jié)果中約束的松弛（或剩余）的數(shù)據(jù)知道，春季和秋季需求的增加不影響招聘計(jì)劃，可以分別增加1800人日和936人日。（2）設(shè)4個(gè)季度開(kāi)始時(shí)公司招聘的保姆數(shù)量分別為孫人，4個(gè)季度結(jié)束時(shí)解雇的保姆數(shù)量分別為以J2J3W人，4個(gè)季度開(kāi)始時(shí)保姆總數(shù)量分別為S3s2,53&人。以本年度付出的總報(bào)酬最少（即4個(gè)季度開(kāi)始時(shí)保姆總數(shù)量之和最小）為目標(biāo)，則模型為minS/+S2+$3+$4s.t.65sl>6000+5xi65s2>7500+5x265s3>5500+5x365s4>9000+5x4Si=120+xiS2=0.85Si+工2-yiS3=0.85S2+曲-y2S4=0.85S3+必-ysxifX2fX3Myifyzy^S],S2,S3,S4>0用LINGO求解并對(duì)結(jié)果取整得到，第二個(gè)季度開(kāi)始時(shí)公司新招聘15人，第二個(gè)季度結(jié)束時(shí)解聘15人；第4個(gè)季度開(kāi)始時(shí)新招聘72人。目標(biāo)函數(shù)值為，比不允許解聘時(shí)數(shù)量略有減少。題目23.對(duì)于技術(shù)革新的推廣，在下列幾種情況下分別建立模型：（1）推廣工作通過(guò)已經(jīng)采用新技術(shù)的人進(jìn)行，推廣速度與采用新技術(shù)的人數(shù)成正比，推廣是無(wú)限的。（2）總?cè)藬?shù)有限，因而推廣速度還會(huì)隨著尚未采用新技術(shù)人數(shù)的減少而降低。（3）在（2）的前提下考慮廣告等媒介的傳播作用。解答：設(shè):時(shí)刻采用新技術(shù)的人數(shù)為x（t）.⑴指數(shù)模型%=&.Logistic模型而=ax(N 為總?cè)藬?shù)。⑶廣告等媒介在早期作用較大，它對(duì)傳播速度的影響與尚未采用新技術(shù)的人數(shù)成正比，在模型⑵的基礎(chǔ)上，有與=(ax+b)(N_x).題目24.考慮阻尼擺的周期，即在單擺運(yùn)動(dòng)中考慮阻力，并設(shè)阻力與擺的