2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．3．某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場(chǎng)有名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)內(nèi)外的觀眾可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位參賽選手評(píng)分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場(chǎng)嘉賓的評(píng)分情況如下表，場(chǎng)內(nèi)外共有數(shù)萬(wàn)名觀眾參與了評(píng)分，組織方將觀眾評(píng)分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評(píng)分嘉賓評(píng)分的平均數(shù)為，場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為，所有嘉賓與場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．4．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．5．為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)6．若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長(zhǎng)為3，則該幾何體表面積為（）A． B． C． D．8．設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．6 B．5 C．4 D．311．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A． B．3 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正方形的邊長(zhǎng)為2，圓內(nèi)切于正方形，為圓的一條動(dòng)直徑，點(diǎn)為正方形邊界上任一點(diǎn)，則的取值范圍是______.14．在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為矩形，，.若四棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)____．15．由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為，中位數(shù)為n，則_________.16．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1024，則展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的值等于_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱錐中，底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)且（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求銳二面角的大小．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)．(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn)，求角α的大?。?9．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．20．（12分）已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若“，”為假命題，求的取值范圍.21．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)22．（10分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊．某雜志社近9年來(lái)的紙質(zhì)廣告收入如下表所示：根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.243；根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.984.（1）如果要用線性回歸方程預(yù)測(cè)該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個(gè)方案，方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)．從實(shí)際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析，你覺(jué)得哪個(gè)方案更合適？附：相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表：（2）某購(gòu)物網(wǎng)站同時(shí)銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在該網(wǎng)站購(gòu)買該書籍的大量讀者中，只購(gòu)買電子書的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購(gòu)買的讀者比例為，現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率，若從上述讀者中隨機(jī)調(diào)查了3位，求購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率．

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．再由球與圓柱體積公式求解．【題目詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．則幾何體的體積為．故選：．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．2、C【答案解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【題目詳解】由得，在時(shí)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)，∴由得，解得．故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)可先確定函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)求解．3、C【答案解析】

計(jì)算出、，進(jìn)而可得出結(jié)論.【題目詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場(chǎng)外有數(shù)萬(wàn)名觀眾，所以，.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【答案解析】

取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出，設(shè)設(shè)球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計(jì)算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【題目詳解】取的中點(diǎn)，連接、，由和都是正三角形，得，，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設(shè)球心為，和的中心分別為、.由球的性質(zhì)可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算，解題時(shí)要分析幾何體的結(jié)構(gòu)，找出球心的位置，并以此計(jì)算出球的半徑長(zhǎng)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.5、D【答案解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【題目詳解】對(duì)于A，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；對(duì)于B，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分，故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；對(duì)于C，甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為，乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為，故C正確；對(duì)于D，甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分，不是最強(qiáng)的，故D錯(cuò)誤；故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【答案解析】

由題中垂直關(guān)系，可得漸近線的方程，結(jié)合，構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【題目詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直．∴雙曲線的漸近線方程為．，得．則離心率．故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.7、C【答案解析】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，計(jì)算得到答案.【題目詳解】幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.8、B【答案解析】

可設(shè)，將化簡(jiǎn)，得到，由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得，解方程即可求解【題目詳解】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類型求解對(duì)應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題9、D【答案解析】

通過(guò)分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，解方程組即得解.【題目詳解】如圖所示，函數(shù)與的圖象，因?yàn)闀r(shí)，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，所以，解得．故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10、A【答案解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果．【題目詳解】由圖象得,令=0,即=kπ，k=0時(shí)解得x=2，令=1,即，解得x=3，∴A(2,0),B(3,1)，∴，∴.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果，屬于簡(jiǎn)單題.11、B【答案解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為的形式，然后判斷復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限，即可求得答案.【題目詳解】對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為在第二象限故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.12、D【答案解析】

根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長(zhǎng).【題目詳解】過(guò)作，垂足為，設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

根據(jù)向量關(guān)系表示，只需求出的取值范圍即可得解.【題目詳解】由題可得：，故答案為：【答案點(diǎn)睛】此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及基本運(yùn)算，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)貙?duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，便于計(jì)算解題.14、【答案解析】

做中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，由已知條件可求出，運(yùn)用余弦定理可求，從而在平面中建立坐標(biāo)系，則以及的外接圓圓心為和長(zhǎng)方形的外接圓圓心為在該平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)可求，通過(guò)球心滿足，即可求出的坐標(biāo)，從而可求球的半徑，進(jìn)而能求出球的表面積.【題目詳解】解：如圖做中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，由題意知，則設(shè)的外接圓圓心為，則在直線上且設(shè)長(zhǎng)方形的外接圓圓心為，則在上且.設(shè)外接球的球心為在中，由余弦定理可知，.在平面中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線為軸，如圖建立坐標(biāo)系，由題意知，在平面中且設(shè)，則，因?yàn)?，所以解?則所以球的表面積為.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查了幾何體外接球的問(wèn)題，考查了球的表面積.關(guān)于幾何體的外接球的做題思路有：一是通過(guò)將幾何體補(bǔ)充到長(zhǎng)方體中，將幾何體的外接球等同于長(zhǎng)方體的外接球，求出體對(duì)角線即為直徑，但這種方法適用性較差；二是通過(guò)球的球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直，設(shè)半徑列方程求解；三是通過(guò)空間、平面坐標(biāo)系進(jìn)行求解.15、360【答案解析】

先計(jì)算第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，，面積和超過(guò)0.5，所以中位數(shù)在第二塊求解，然后再求得平均數(shù)作差即可.【題目詳解】第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故；而，故.故答案為：360.【答案點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.16、【答案解析】

利用展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)的和得n=5,再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,故的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項(xiàng)為T5=C·3=15,故填15.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【答案解析】

(1)以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為再求解與平面的法向量,繼而求得直線與平面所成角的正弦值即可.(2)分別求解平面與平面的法向量,再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.【題目詳解】解：在正四棱錐中,底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)所以平面取的中點(diǎn)的中點(diǎn)所以兩兩垂直,故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為因?yàn)樗运?所以,設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,,取則,所以所以,所以直線與平面所成角的正弦值為．設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,取則所以,由知平面的法向量是,所以所以,所以銳二面角的大小為．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解線面夾角以及二面角的問(wèn)題,屬于中檔題.18、（1）當(dāng)時(shí)，直線l方程為x＝－1；當(dāng)時(shí)，直線l方程為y＝(x＋1)tanα；x2＋y2＝2x（2）或.【答案解析】

（1）對(duì)直線l的傾斜角分類討論，消去參數(shù)即可求出其普通方程；由，即可求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)條件Δ＝0，即可求解.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí)，直線l的普通方程為x＝－1；當(dāng)時(shí)，消去參數(shù)得直線l的普通方程為y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即為曲線C的直角坐標(biāo)方程．(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cosα＝，故直線l的傾斜角α為或.【答案點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程，極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查直線與曲線的關(guān)系，屬于中檔題.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【答案解析】

（1），①當(dāng)時(shí)，，②兩式相減即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和證明.【題目詳解】（1）解：，①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，②由①-②，得，因?yàn)榉仙鲜?，所以．?）證明：因?yàn)椋裕敬鸢更c(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20、（1）（2）【答案解析】

（1））當(dāng)時(shí)，將函數(shù)寫成分段函數(shù)，即可求得不等式的解集.（2）根據(jù)原命題是假命題，這命題的否定為真命題，即“，”為真命題，只需滿足即可.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得.故不等式的解集為.（2）因?yàn)椤埃睘榧倜}，所以“，”為真命題，所以.因?yàn)?，所以，則，所以，即，解得，即的取值范圍為.【答案點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，以及絕對(duì)值三角不等式，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【答案解析】

（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)椋?，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構(gòu)造函數(shù)，證明出，進(jìn)而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、且，，