第八章立體幾何第五節(jié)直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)A級·基礎過關|固根基|1.(2019屆成都市二診)已知a，b是兩條異面直線，直線c與a，b都垂直，則下列說法正確的是()A．若c?平面α，則a⊥αB．若c⊥平面α，則a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a?α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α解析：選C對于A，直線a可以在平面α內(nèi)，也可以與平面α相交；對于B，直線a可以在平面α內(nèi)，或者b在平面α內(nèi)；對于D，如果a⊥α，b⊥α，則有a∥b，與條件中兩直線異面矛盾．2．(2019屆武漢市調(diào)研測試)已知兩個平面相互垂直，下列命題①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．其中正確命題個數(shù)是()A．3B．2C．1D．0解析：選C構造正方體ABCD－A1B1C1D1，如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D?平面ADD1A1，但A1D與平面ABCD不垂直，故①錯；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，設l是平面ADD1A1內(nèi)的任意一條直線，l與平面ABCD內(nèi)同AB平行的所有直線垂直，故②正確；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D?平面ADD1A1，但A1D與平面ABCD不垂直，故③錯；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，過交線AD上的點作交線的垂線l，則l可能與另一平面垂直，也可能與另一平面不垂直，故④錯．故選C．3．(2019屆合肥市一檢)平面α外有兩條直線a，b，它們在平面α內(nèi)的投影分別是直線m，n，則下列命題正確的是()A．若a⊥b，則m⊥nB．若m⊥n，則a⊥bC．若m∥n，則a∥bD．若m與n相交，則a與b相交或異面解析：選D對于選項A，當直線a，b相交，且所在平面與平面α垂直時，直線m，n重合，故A不正確；對于選項B，不妨在正方體ABCD－A1B1C1D1中考慮，取面對角線AB1，AD1，其所在直線分別記為a，b，其在平面ABCD上的投影分別為AB，AD，記為m，n，此時m⊥n，但a與b不垂直，故B不正確；對于選項C，不妨在正方體ABCD－A1B1C1D1中考慮，取面對角線AB1，CD1，其所在直線分別記為a，b，其在平面ABCD上的投影分別為AB，CD，記為m，n，此時m∥n，但a與b不平行，故C不正確；對于選項D，若m與n相交，則a與b不可能平行，只能是相交或異面，故D正確．4．(2019屆合肥市二檢)如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A．2對B．3對C．4對D．5對解析：選C由三視圖知該幾何體是一個四棱錐，它有一個側(cè)面與底面垂直，且頂點在底面上的射影在底面的一條邊的中點處，即如圖所示的四棱錐S－ABCD，平面SCD⊥平面ABCD．因為AD⊥DC，BC⊥DC，且平面SCD∩平面ABCD＝DC，所以AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，所以平面SAD⊥平面SCD，平面SBC⊥平面SCD．又由三視圖知SC⊥SD，同時由AD⊥平面SCD，知AD⊥SC，又SD∩AD＝D，所以SC⊥平面SAD，所以平面SBC⊥平面SAD．綜上可知，該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對，故選C．5．(2019屆湖北七市高三聯(lián)考)設直線m與平面α相交但不垂直，則下列說法中正確的是()A．在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B．過直線m有且只有一個平面與平面α垂直C．與直線m垂直的直線不可能與平面α平行D．與直線m平行的平面不可能與平面α垂直解析：選B在平面α內(nèi)可能有無數(shù)條直線與直線m垂直，這些直線是互相平行的，A錯誤；只要m?α，過直線m必有并且也只有一個平面與平面α垂直，B正確；類似于A，在平面α外可能有無數(shù)條直線垂直于直線m并且平行于平面α，C錯誤；與直線m平行且與平面α垂直的平面有無數(shù)個，D錯誤．故選B．6．(2019屆貴陽監(jiān)測)如圖，在三棱A．AP⊥PB，AP⊥PC錐P－ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()B．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：選B因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC．又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A、D正確；因為平面BPC⊥平面APC且平面BPC∩平面ACP＝PC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC．又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；選項B中的條件不能判斷出AP⊥BC，故選B．7．(2019屆南昌市一模)如圖，在四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中點．(1)求證：AA1⊥BD；(2)求三棱錐B1－A1C1E的體積．解：(1)證明：因為CC1⊥底面ABCD，所以CC1⊥BD．如圖，連接AC，因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．由四棱臺ABCD－A1B1C1D1知，A1，A，C，C1四點共面．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.所以BD⊥AA1.(2)連接BA1，BC1，CA1，CB1，由已知，得V三棱錐B1－A1C1E＝V三棱錐E－A1B1C1＝V三棱錐B－A1B1C1＝V三棱錐C－A1B1C1，又V三棱錐C－A1B1C1＝S△A1B1C1·CC1＝B1A1C1E＝××22×sin120°×4＝，所以三棱錐B1－A1C1E的體積V三棱錐－.8．(2019屆廣州市調(diào)研測試)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G為BC的中點．(1)求證：FG∥平面BED；(2)求證：BD⊥平面AED．證明：(1)如圖，取BD的中點O，連接OE，OG，在△BCD中，因為G是BC的中點，所以OG∥DC且OG＝DC＝1.因為EF∥AB，AB∥DC，EF＝1，所以EF∥OG且EF＝OG，所以四邊形OGFE是平行四邊形，所以FG∥OE.又FG?平面BED，OE?平面BED，所以FG∥平面BED．(2)在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理得BD＝＝.因為BD2＋AD2＝3＋1＝4＝AB2，所以BD⊥AD．因為平面AED⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面AED．9．(2019屆貴陽市高三第一次適應性考試)如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q，M分別為AD，PC的中點，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.(1)求證：平面PBC⊥平面PQB；(2)求三棱錐P－QMB的體積．解：(1)證明：∵AD∥BC，Q為AD的中點，BC＝AD，∴BC∴四邊形BCDQ為平行四邊形．QD，∵∠ADC＝90°，∴BC⊥BQ.∵PA＝PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥BC．又PQ∩BQ＝Q，∴BC⊥平面PQB．∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB．(2)解法一：∵在Rt△PQB中，PQ＝＝，BQ＝CD＝，∴S△PQB＝PQ·QB＝.由(1)知BC⊥平面PQB，連接QC，∴V三棱錐C－PQB＝S△PQB×BC＝×1＝×.又M是線段PC的中點，∴V三棱錐P－QMB＝V三棱錐M－PQB＝V三棱錐C－PQB＝＝，故三棱錐P－QMB的×體積為.解法二：如圖，連接QC，記QC的中點為E，連接ME.在△PQC中，∵M為PC的中點，E為QC的中點，∴ME為△PQC的中位線，則ME＝PQ且PQ∥ME.由(1)可知PQ⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD．在△PAD中，∵PA＝PD＝AD＝2，Q為AD的中點，∴PQ＝.∵BC＝AD＝1，AD∥BC，∠ADC＝90°，∴四邊形BCDQ為長方形．又CD＝，∴QB＝，∴S△BQC＝BC·QB＝.∴V三棱錐P－QMB＝V三棱錐P－BQC－V三棱錐M－BQC＝(PQ－ME)×S△BQC＝×PQ×S△BQC＝××＝，故三棱錐P－QMB的體積為.B級·素養(yǎng)提升|練能力|10.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為()A．C．B．1D．2解析：選A設B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，設Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝h.又2×＝h，所以h＝，DE＝.在Rt△DB1E中，B1E＝＝.在Rt△DB1F中，由面積相等得×＝x，解得x＝，即線段B1F的長為.11．(2019屆武漢調(diào)研)在矩形ABCD中，AB<BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，給出下列結論：①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直．其中正確結論的序號是________．解析：①假設AC與BD垂直，過點A作AE⊥BD于E，連接CE，則?BD⊥平面AEC?BD⊥CE，而在平面BCD中，CE與BD不垂直，故假設不成立，①不正確；②假設AB⊥CD，∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB<BC可知，存在這樣的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假設成立，②正確；③假設AD⊥BC，∵CD⊥BC，AD∩CD＝D，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，即△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而AB<BC，故矛盾，假設不成立，③不正確．綜上，填②.答案：②12.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)解析：連接AC，BD，則AC⊥BD，因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC．所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD．又PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)(答案不唯一)13．如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為CD的中點，F(xiàn)為線段EC上(端點除外)一動點．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB，K為垂足．設AK＝t，則t的取值范圍是________．解析：如圖①所示，過點K作KM⊥AF于點M，連接DM，易得DM⊥AF，與折前的圖形對比，可知折前的圖形中D，M，K三點共線且DK⊥AF(如圖②所示)，于是△DAK∽△FDA，所以＝，即＝，所以t＝.又DF∈(1，2)，故t∈.答案：14.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD的中點．(1)求證：BG⊥