/article/cbf0e500f1ce562eaa2893f4.html傅里葉變換的學(xué)習(xí)瀏覽：1078|更新：2014-06-0100:22這篇文章的核心思想就是:要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析。傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具,更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但不幸的是,傅里葉分析的公式看起來(lái)太復(fù)雜了,所以很多大一新生上來(lái)就懵圈并從此對(duì)它深惡痛絕。老實(shí)說(shuō),這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程,不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了。(您把教材寫得好玩一點(diǎn)會(huì)死嗎?會(huì)死嗎?)所以我一直想寫一個(gè)有意思的文章來(lái)解釋傅里葉分析,有可能的話高中生都能看懂的那種。所以,不管讀到這里的您從事何種工作,我保證您都能看懂,并且一定將體會(huì)到通過(guò)傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。至于對(duì)于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友,也希望不要看到會(huì)的地方就急忙往后翻,仔細(xì)讀一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)?！陨鲜嵌▓?chǎng)詩(shī)————下面進(jìn)入正題:抱歉,還是要啰嗦一句:其實(shí)學(xué)習(xí)本來(lái)就不是易事,我寫這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來(lái)更加輕松,充滿樂(lè)趣。但是千萬(wàn)!千萬(wàn)不要把這篇文章收藏起來(lái),或是存下地址,心里想著:以后有時(shí)間再看。這樣的例子太多了,也許幾年后你都沒(méi)有再打開(kāi)這個(gè)頁(yè)面。無(wú)論如何,耐下心,讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開(kāi)心得多……嘛叫頻域從我們出生,我們看到的世界都以時(shí)間貫穿,股票的走勢(shì)、人的身高、汽車的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為,世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變,并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái)。但如果我告訴你,用另一種方法來(lái)觀察世界的話,你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的,你會(huì)不會(huì)覺(jué)得我瘋了?我沒(méi)有瘋,這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng),但意義上再貼切不過(guò)的例子:在你的理解中,一段音樂(lè)是什么呢?這是我們對(duì)音樂(lè)最普遍的理解,一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。但我相信對(duì)于樂(lè)器小能手們來(lái)說(shuō),音樂(lè)更直觀的理解是這樣的:好的!下課,同學(xué)們?cè)僖?jiàn)。是的,其實(shí)這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂(lè)在時(shí)域的樣子,而下圖則是音樂(lè)在頻域的樣子。所以頻域這一概念對(duì)大家都從不陌生,只是從來(lái)沒(méi)意識(shí)到而已。現(xiàn)在我們可以回過(guò)頭來(lái)重新看看一開(kāi)始那句癡人說(shuō)夢(mèng)般的話:世界是永恒的。在時(shí)域,我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng),就如同一支股票的走勢(shì);而在頻域,只有那一個(gè)永恒的音符。所(前方高能!~~~~~~~~~~~非戰(zhàn)斗人員退散~~~~~~~)以(~~~~~~~~~~~~~~~前方高能預(yù)警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~)你眼中看似落葉紛飛變化無(wú)常的世界,實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂(lè)章。(眾人:雞湯滾出知乎!)抱歉,這不是一句雞湯文,而是黑板上確鑿的公式:傅里葉同學(xué)告訴我們,任何周期函數(shù),都可以看作是不同振幅,不同相位正弦波的疊加。在第一個(gè)例子里我們可以理解為,利用對(duì)不同琴鍵不同力度,不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊,可以組合出任何一首樂(lè)曲。而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一,就是傳中說(shuō)的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)(FourierSerie)和傅里葉變換(FourierTransformation),我們從簡(jiǎn)單的開(kāi)始談起。、傅里葉級(jí)數(shù)(FourierSeries)還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。如果我說(shuō)我能用前面說(shuō)的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶90度角的矩形波來(lái),你會(huì)相信嗎?你不會(huì),就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖:第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波cos(x)第二幅圖是2個(gè)賣萌的正弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)第三幅圖是4個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加第四幅圖是10個(gè)便秘的正弦波的疊加隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng),他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形,大家從中體會(huì)到了什么道理?(只要努力,彎的都能掰直!)隨著疊加的遞增,所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來(lái)才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢?不幸的告訴大家,答案是無(wú)窮多個(gè)。(上帝:我能讓你們猜著我?)不僅僅是矩形,你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來(lái)的。這是沒(méi)有接觸過(guò)傅里葉分析的人在直覺(jué)上的第一個(gè)難點(diǎn),但是一旦接受了這樣的設(shè)定,游戲就開(kāi)始有意思起來(lái)了。還是上圖的正弦波累加成矩形波,我們換一個(gè)角度來(lái)看看:在這幾幅圖中,最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和,也就是越來(lái)越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開(kāi)來(lái),而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了,每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線,那并不是分割線,而是振幅為0的正弦波!也就是說(shuō),為了組成特殊的曲線,有些正弦波成分是不需要的。這里,不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。好了,關(guān)鍵的地方來(lái)了!!如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”,我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。對(duì)于我們最常見(jiàn)的有理數(shù)軸,數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。(好吧,數(shù)學(xué)稱法為——基。在那個(gè)年代,這個(gè)字還沒(méi)有其他奇怪的解釋,后面還有正交基這樣的詞匯我會(huì)說(shuō)嗎?)時(shí)域的基本單元就是“1秒”,如果我們將一個(gè)角頻率為的正弦波cos(t)看作基礎(chǔ),那么頻域的基本單元就是。有了“1”,還要有“0”才能構(gòu)成世界,那么頻域的“0”是什么呢?cos(0t)就是一個(gè)周期無(wú)限長(zhǎng)的正弦波,也就是一條直線!所以在頻域,0頻率也被稱為直流分量,在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中,它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。接下來(lái),讓我們回到初中,回憶一下已經(jīng)死去的八戒,啊不,已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓知乎不能傳動(dòng)態(tài)圖真是太讓人惋惜了……想看動(dòng)圖的同學(xué)請(qǐng)戳這里:File:Fourierseriessquarewavecirclesanimation.gif以及這里:File:Fourierseriessawtoothwavecirclesanimation.gif點(diǎn)出去的朋友不要被wiki拐跑了,wiki寫的哪有這里的文章這么沒(méi)節(jié)操是不是。介紹完了頻域的基本組成單元,我們就可以看一看一個(gè)矩形波,在頻域里的另一個(gè)模樣了:這是什么奇怪的東西?這就是矩形波在頻域的樣子,是不是完全認(rèn)不出來(lái)了?教科書(shū)一般就給到這里然后留給了讀者無(wú)窮的遐想,以及無(wú)窮的吐槽,其實(shí)教科書(shū)只要補(bǔ)一張圖就足夠了:頻域圖像,也就是俗稱的頻譜,就是——再清楚一點(diǎn):可以發(fā)現(xiàn),在頻譜中,偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0,也就對(duì)應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波。動(dòng)圖請(qǐng)戳:File:Fourierseriesandtransform.gif老實(shí)說(shuō),在我學(xué)傅里葉變換時(shí),維基的這個(gè)圖還沒(méi)有出現(xiàn),那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法,而且,后面還會(huì)加入維基沒(méi)有表示出來(lái)的另一個(gè)譜——相位譜。但是在講相位譜之前,我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說(shuō)過(guò)的那句“世界是靜止的”嗎?估計(jì)好多人對(duì)這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下,世界上每一個(gè)看似混亂的表象,實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線,但實(shí)際這些曲線都是由這些無(wú)窮無(wú)盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影,而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫(huà)面呢?我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布,幕布的后面有無(wú)數(shù)的齒輪,大齒輪帶動(dòng)小齒輪,小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無(wú)規(guī)律的在幕布前表演,卻無(wú)法預(yù)測(cè)他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn),永不停歇。這樣說(shuō)來(lái)有些宿命論的感覺(jué)。說(shuō)實(shí)話,這種對(duì)人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的,當(dāng)時(shí)想想似懂非懂,直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)……下面繼續(xù)開(kāi)始我們無(wú)節(jié)操的旅程:上次的關(guān)鍵詞是:從側(cè)面看。這次的關(guān)鍵詞是:從下面看。在第二課最開(kāi)始,我想先回答很多人的一個(gè)問(wèn)題:傅里葉分析究竟是干什么用的?這段相對(duì)比較枯燥,已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線。先說(shuō)一個(gè)最直接的用途。無(wú)論聽(tīng)廣播還是看電視,我們一定對(duì)一個(gè)詞不陌生——頻道。頻道頻道,就是頻率的通道,不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來(lái)進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事:先在紙上畫(huà)一個(gè)sin(x),不一定標(biāo)準(zhǔn),意思差不多就行。不是很難吧。好,接下去畫(huà)一個(gè)sin(3x)+sin(5x)的圖形。別說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了,曲線什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫(huà)的對(duì)吧?好,畫(huà)不出來(lái)不要緊,我把sin(3x)+sin(5x)的曲線給你,但是前提是你不知道這個(gè)曲線的方程式,現(xiàn)在需要你把sin(5x)給我從圖里拿出去,看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。但是在頻域呢?則簡(jiǎn)單的很,無(wú)非就是幾條豎線而已。所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作,在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分,這在工程上稱為濾波,是信號(hào)處理最重要的概念之一,只有在頻域才能輕松的做到。再說(shuō)一個(gè)更重要,但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。(這段有點(diǎn)難度,看不懂的可以直接跳過(guò)這段)微分方程的重要性不用我過(guò)多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除,還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒(méi)有。傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途,我們隨著講隨著提。下面我們繼續(xù)說(shuō)相位譜:通過(guò)時(shí)域到頻域的變換,我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜,但是這個(gè)頻譜并沒(méi)有包含時(shí)域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對(duì)應(yīng)的正弦波的振幅是多少,而沒(méi)有提到相位?；A(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中,振幅,頻率,相位缺一不可,不同相位決定了波的位置,所以對(duì)于頻域分析,僅僅有頻譜(振幅譜)是不夠的,我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè)相位譜在哪呢?我們看下圖,這次為了避免圖片太混論,我們用7個(gè)波疊加的圖。鑒于正弦波是周期的,我們需要設(shè)定一個(gè)用來(lái)標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰,而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢?為了看的更清楚,我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面,投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來(lái)表示。當(dāng)然,這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離,并不是相位。這里需要糾正一個(gè)概念:時(shí)間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話,相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi,就得到了相位差。在完整的立體圖中,我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期,就得到了最下面的相位譜。所以,頻譜是從側(cè)面看,相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話,可以告訴她:“對(duì)不起,我只是想看看你的相位譜。”注意到,相位譜中的相位除了0,就是Pi。因?yàn)閏os(t+Pi)=-cos(t),所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對(duì)于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù),這樣的相位譜已經(jīng)是很簡(jiǎn)單的了。另外值得注意的是,由于cos(t+2Pi)=cos(t),所以相位差是周期的,pi和3pi,5pi,7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)?-pi,pi],所以圖中的相位差均為Pi。最后來(lái)一張大集合:好了,你是不是覺(jué)得我們已經(jīng)講完傅里葉級(jí)數(shù)了?

來(lái)自維基百科簡(jiǎn)介[\o"編輯段落：簡(jiǎn)介"編輯]參見(jiàn)：\o"傅立葉變換家族中的關(guān)系"傅立葉變換家族中的關(guān)系傅里葉變換將函數(shù)的時(shí)域（紅色）與頻域（藍(lán)色）相關(guān)聯(lián)。頻譜中的不同成分頻率在頻域中以峰值形式表示。傅里葉變換源自對(duì)\o"傅里葉級(jí)數(shù)"傅里葉級(jí)數(shù)的研究。在對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的研究中，復(fù)雜的\o"周期函數(shù)"周期函數(shù)可以用一系列簡(jiǎn)單的\o"正弦"正弦、\o"余弦"余弦波之和表示。傅里葉變換是對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的擴(kuò)展，由它表示的函數(shù)的周期趨近于無(wú)窮。中文譯名[\o"編輯段落：中文譯名"編輯]\o"英語(yǔ)"英語(yǔ)：Fouriertransform

或

\o"法語(yǔ)"法語(yǔ)：TransforméedeFourier

有多個(gè)\o"中文"中文譯名，常見(jiàn)的有“傅里葉變換”、“傅立葉變換”、“付立葉變換”、“傅利葉轉(zhuǎn)換”、“傅氏轉(zhuǎn)換”及“傅氏變換”等等。為方便起見(jiàn)，本文統(tǒng)一寫作“傅里葉變換”。應(yīng)用[\o"編輯段落：應(yīng)用"編輯]傅里葉變換在\o"物理學(xué)"物理學(xué)、\o"聲學(xué)"聲學(xué)、\o"光學(xué)"光學(xué)、\o"結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)（頁(yè)面不存在）"結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、\o"量子力學(xué)"量子力學(xué)、\o"數(shù)論"數(shù)論、\o"組合數(shù)學(xué)"組合數(shù)學(xué)、\o"概率論"概率論、\o"統(tǒng)計(jì)學(xué)"統(tǒng)計(jì)學(xué)、\o"信號(hào)處理"信號(hào)處理、\o"密碼學(xué)"密碼學(xué)、\o"海洋學(xué)"海洋學(xué)、\o"通訊"通訊、\o"金融"金融等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成\o"振幅"振幅分量和\o"頻率"頻率分量?；拘再|(zhì)[\o"編輯段落：基本性質(zhì)"編輯]線性性質(zhì)[\o"編輯段落：線性性質(zhì)"編輯]兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和。數(shù)學(xué)描述是：若函數(shù)和的傅里葉變換和都存在，和為任意常系數(shù)，則；傅里葉變換算符可經(jīng)\o"歸一化"歸一化成為\o"幺正算符"幺正算符。平移性質(zhì)[\o"編輯段落：平移性質(zhì)"編輯]若函數(shù)存在傅里葉變換，則對(duì)任意\o"實(shí)數(shù)"實(shí)數(shù)，函數(shù)也存在傅里葉變換，且有。式中花體是傅里葉變換的作用算子，平體表示變換的結(jié)果（復(fù)函數(shù)），為\o"自然對(duì)數(shù)"自然對(duì)數(shù)的底，為\o"虛數(shù)"虛數(shù)單位。\o"微分"微分關(guān)系[\o"編輯段落：微分關(guān)系"編輯]若函數(shù)當(dāng)時(shí)的\o"極限"極限為0，而其導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換存在，則有，即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子。更一般地，若，且存在，則，即k階\o"導(dǎo)數(shù)"導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子。\o"卷積"卷積特性[\o"編輯段落：卷積特性"編輯]若函數(shù)及都在上\o"絕對(duì)可積"絕對(duì)可積，則卷積函數(shù)（或者）的傅里葉變換存在，且。卷積性質(zhì)的逆形式為，即兩個(gè)函數(shù)卷積的傅里葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的乘積乘以。\o"帕塞瓦爾定理"帕塞瓦爾定理[\o"編輯段落：帕塞瓦爾定理"編輯]若函數(shù)\o"可積"可積且平方可積，則。其中是的傅里葉變換。更一般化而言，若函數(shù)和皆為\o"平方可積方程（頁(yè)面不存在）"平方可積方程（\o"en:Square-integrablefunction"Square-integrablefunction），則。其中中和中分別是和的傅里葉變換,

代表\o"復(fù)共軛"復(fù)共軛。傅里葉變換的不同變種[\o"編輯段落：傅里葉變換的不同變種"編輯]連續(xù)傅里葉變換[\o"編輯段落：連續(xù)傅里葉變換"編輯]主條目：\o"連續(xù)傅里葉變換"連續(xù)傅里葉變換一般情況下，若“傅里葉變換”一詞不加任何限定語(yǔ)，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”（連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換）。連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)f(t)表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級(jí)數(shù)形式。這是將頻率域的函數(shù)F(ω)表示為時(shí)間域的函數(shù)f(t)的積分形式。連續(xù)傅里葉變換的逆變換（inverseFouriertransform）為即將時(shí)間域的函數(shù)f(t)表示為頻率域的函數(shù)F(ω)的積分。一般可稱函數(shù)f(t)為\o"原函數(shù)"原函數(shù)，而稱函數(shù)F(ω)為傅里葉變換的\o"像函數(shù)（頁(yè)面不存在）"像函數(shù)，原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅里葉變換對(duì)（transformpair）。除此之外，還有其它型式的變換對(duì)，以下兩種型式亦常被使用。在通訊或是訊號(hào)處理方面，常以來(lái)代換，而形成新的變換對(duì)：或者是因系數(shù)重分配而得到新的變換對(duì)：一種對(duì)連續(xù)傅里葉變換的推廣稱為\o"分?jǐn)?shù)傅里葉變換"分?jǐn)?shù)傅里葉變換（FractionalFourierTransform）。當(dāng)f(t)為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）時(shí)，其正弦（或余弦）分量將消亡，而可以稱這時(shí)的變換為\o"余弦轉(zhuǎn)換"余弦轉(zhuǎn)換（cosinetransform）或\o"正弦轉(zhuǎn)換"正弦轉(zhuǎn)換（sinetransform）.另一個(gè)值得注意的性質(zhì)是，當(dāng)f(t)為純實(shí)函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(?ω)

=

F*(ω)成立.傅里葉級(jí)數(shù)[\o"編輯段落：傅里葉級(jí)數(shù)"編輯]主條目：\o"傅里葉級(jí)數(shù)"傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)形式的傅里葉變換其實(shí)是傅里葉級(jí)數(shù)（Fourierseries）的推廣，因?yàn)榉e分其實(shí)是一種極限形式的求和算子而已。對(duì)于周期函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)是存在的：其中為復(fù)振幅。對(duì)于實(shí)值函數(shù)，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)可以寫成：其中an和bn是\o"實(shí)數(shù)"實(shí)頻率分量的振幅。\o"傅里葉分析"傅里葉分析最初是研究\o"周期性"周期性現(xiàn)象，即傅里葉級(jí)數(shù)的，后來(lái)通過(guò)傅里葉變換將其推廣到了非周期性現(xiàn)象。理解這種推廣過(guò)程的一種方式是將非周期性現(xiàn)象視為周期性現(xiàn)象的一個(gè)特例，即其\o"周期"周期為無(wú)限長(zhǎng)。離散時(shí)間傅里葉變換[\o"編輯段落：離散時(shí)間傅里葉變換"編輯]主條目：\o"離散時(shí)間傅里葉變換"離散時(shí)間傅里葉變換離散傅里葉變換是\o"離散時(shí)間傅里葉變換"離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時(shí)作為后者的近似）。DTFT在時(shí)域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級(jí)數(shù)的逆轉(zhuǎn)換。離散傅里葉變換[\o"編輯段落：離散傅里葉變換"編輯]主條目：\o"離散傅里葉變換"離散傅里葉變換為了在科學(xué)計(jì)算和\o"數(shù)字信號(hào)處理"數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換，必須將函數(shù)xn定義在離散點(diǎn)而非連續(xù)域內(nèi)，且須滿足\o"有限性（頁(yè)面不存在）"有限性或\o"周期性"周期性條件。這種情況下，使用離散傅里葉變換，將函數(shù)xn表示為下面的求和形式：其中是傅里葉振幅。直接使用這個(gè)公式計(jì)算的\o"計(jì)算復(fù)雜度"計(jì)算復(fù)雜度為，而\o"快速傅里葉變換"快速傅里葉變換（FFT）可以將復(fù)雜度改進(jìn)為。計(jì)算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計(jì)算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號(hào)處理領(lǐng)域十分實(shí)用且重要的方法。在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述[\o"編輯段落：在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述"編輯]以上各種傅里葉變換可以被更統(tǒng)一的表述成任意\o"緊性"局部緊致的\o"阿貝爾群"阿貝爾群上的傅里葉變換。這一問(wèn)題屬于\o"調(diào)和分析"調(diào)和分析的范疇。在調(diào)和分析中，一個(gè)變換從一個(gè)群變換到它的\o"對(duì)偶群（頁(yè)面不存在）"對(duì)偶群（dualgroup）。此外，將傅里葉變換與卷積相聯(lián)系的卷積定理在調(diào)和分析中也有類似的結(jié)論。傅里葉變換的廣義理論基礎(chǔ)參見(jiàn)\o"龐特里亞金對(duì)偶性"龐特里亞金對(duì)偶性（Pontryaginduality）中的介紹。時(shí)頻分析變換[\o"編輯段落：時(shí)頻分析變換"編輯]主條目：\o"時(shí)頻分析變換（頁(yè)面不存在）"時(shí)頻分析變換\o"小波變換"小波變換，\o"Chirplet轉(zhuǎn)換（頁(yè)面不存在）"chirplet轉(zhuǎn)換和\o"分?jǐn)?shù)傅里葉變換"分?jǐn)?shù)傅里葉變換試圖得到時(shí)間信號(hào)的頻率信息。同時(shí)解析頻率和時(shí)間的能力在數(shù)學(xué)上受\o"不確定性原理"不確定性原理的限制。傅里葉變換家族[\o"編輯段落：傅里葉變換家族"編輯]主條目：\o"傅立葉變換家族中的關(guān)系"傅立葉變換家族中的關(guān)系下表列出了傅里葉變換家族的成員。容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在時(shí)（頻）域的離散對(duì)應(yīng)于其像函數(shù)在頻（時(shí)）域的周期性.反之連續(xù)則意味著在對(duì)應(yīng)域的信號(hào)的非周期性.變換時(shí)間頻率\o"連續(xù)傅里葉變換"連續(xù)傅里葉變換連續(xù)，非周期性連續(xù)，非周期性\o"傅里葉級(jí)數(shù)"傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)，周期性離散，非周期性\o"離散時(shí)間傅里葉變換"離散時(shí)間傅里葉變換離散，非周期性連續(xù)，周期性\o"離散傅里葉變換"離散傅里葉變換離散，周期性離散，周期性常用傅里葉變換表[\o"編輯段落：常用傅里葉變換表"編輯]下表列出常用的傅里葉變換對(duì)。

和分別代表函數(shù)和的傅里葉變換.

和可以使可積函數(shù)或衰減的分布。函數(shù)關(guān)系[\o"編輯段落：函數(shù)關(guān)系"編輯]時(shí)域信號(hào)角頻率表示的

傅里葉變換弧頻率表示的

傅里葉變換注釋

1線性2時(shí)域平移3頻域平移，變換2的頻域?qū)?yīng)4如果值較大，則會(huì)收縮到原點(diǎn)附近，而會(huì)擴(kuò)散并變得扁平.當(dāng)趨向無(wú)窮時(shí)，成為\o"狄拉克δ函數(shù)"狄拉克δ函數(shù)。5傅里葉變換的二元性性質(zhì)。通過(guò)交換時(shí)域變量和頻域變量得到.6傅里葉變換的微分性質(zhì)7變換6的頻域?qū)?yīng)8表示和的卷積—這就是\o"卷積定理"卷積定理9變換8的頻域?qū)?yīng)。平方可積函數(shù)[\o"編輯段落：平方可積函數(shù)"編輯]時(shí)域信號(hào)角頻率表示的

傅里葉變換弧頻率表示的

傅里葉變換注釋

10\o"矩形脈沖"矩形脈沖和歸一化的\o"Sinc函數(shù)"sinc函數(shù)11變換10的頻域?qū)?yīng)。矩形函數(shù)是理想的低通濾波器，\o"Sinc函數(shù)"sinc函數(shù)是這類濾波器對(duì)\o"反因果系統(tǒng)（頁(yè)面不存在）"反因果沖擊的響應(yīng)。12tri是\o"三角形函數(shù)"三角形函數(shù)13變換12的頻域?qū)?yīng)14\o"高斯函數(shù)"高斯函數(shù)的傅里葉變換是他本身.只有當(dāng)時(shí)，這是可積的。15\o"光學(xué)"光學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用較多161718a>019變換本身就是一個(gè)公式20J0(t)是\o"貝塞爾函數(shù)"0階第一類貝塞爾函數(shù)。21上一個(gè)變換的推廣形式;

Tn

(t)是\o"切比雪夫多項(xiàng)式"第一類切比雪夫多項(xiàng)式。22

Un

(t)是\o"切比雪夫多項(xiàng)式"第二類切比雪夫多項(xiàng)式。分布[HYPERLINK"/w/index.php?title