復(fù)變函數(shù)與積分變換》期末考試一試卷及[1]復(fù)變函數(shù)與積分變換》期末考試一試卷及[1]8/8復(fù)變函數(shù)與積分變換》期末考試一試卷及[1]一．填空題〔每題3分，合計(jì)15分〕1．1i3的幅角是〔32k,k0,1,2〕；22.Ln(1i)的主值是〔1ln23i〕；243.f(z)1，f(5)(0)〔0〕，1z24．z0zsinz是z4的〔一級(jí)〕極點(diǎn)；5．f(z)1，Res[f(z),]〔-1〕；z二．選擇題〔每題4分，共24分〕1．分析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)的導(dǎo)函數(shù)為〔B〕；〔A〕f(z)uxiuy；〔B〕f(z)uxiuy；〔C〕f(z)uxivy；〔D〕f(z)uyivx.2．C是正向圓周z3，假如函數(shù)f(z)〔D〕，那么f(z)dz0．C33(z1)3(z1)3〔A〕z2；〔B〕z2；〔C〕(z2)2；〔D〕(z2)2.3．假如級(jí)數(shù)cnzn在z2點(diǎn)收斂，那么級(jí)數(shù)在〔C〕n1〔A〕z2點(diǎn)條件收斂；〔B〕z2i點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔C〕z1i點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔D〕z12i點(diǎn)必定發(fā)散．４．以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是(B)〔A〕假如函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，那么f(z)在z0點(diǎn)必定分析；(B)假如f(z)在C所圍成的地區(qū)內(nèi)分析，那么f(z)dz0C〔C〕假如f(z)dz0，那么函數(shù)f(z)在C所圍成的地區(qū)內(nèi)必定分析；C〔D〕函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在地區(qū)內(nèi)分析的充分必需條件是u(x,y)、v(x,y)在該地區(qū)內(nèi)均為調(diào)解函數(shù)．5．以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是〔D〕．(A)、為sin1的可去奇點(diǎn)；(B)、為sinz的天性奇點(diǎn)；z(C)、為11的孤立奇點(diǎn).(D)、為1的孤立奇點(diǎn)；sinsinzz三．按要求達(dá)成以下各題〔每題10分，共40分〕〔1〕．設(shè)f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是分析函數(shù)，求a,b,c,d.解：由于f(z)分析，由C-R條件uvuvxyyx2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分?！?〕．計(jì)算ezdz此中C是正向圓周：C(z1)2z解：本題能夠用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗睜開計(jì)算，僅給出用前者計(jì)算過(guò)程由于函數(shù)f(z)ez在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn)z10,z21，分別以z1,z2為圓心畫互不(z1)2z相交互不包含的小圓c1,c2且位于c內(nèi)ezez2ezdz(z1)z2dz(z1)2zdzC2(z1)CzC12i(ez)2iez2izz1(z1)2z0不論采納那種方法給出公式起碼給一半分，其余酌情給分。z15〔3〕．解：設(shè)f(z)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點(diǎn)均在：z3內(nèi)，由留數(shù)定理z3(1z15z4)3dz2iRes[f(z),]〔5分〕z2)2(22iRes[f(1)1]〔8分〕zz211(1)151zf(z)z2(11)2(2(1)4)3z2z2zf(1)113有獨(dú)一的孤立奇點(diǎn)z0,z2z(1z2)2(2z41)zRes[f(1)12,0]limzf(1)12lim(1z2)2141)31zzz0zzz0(2zz15z3(1z2)2(2z4)3dz2i〔10分〕〔4〕函數(shù)f(z)z(z21)(z2)33)2在擴(kuò)大復(fù)平面上有什么種類的奇點(diǎn)，假如有極點(diǎn)，(sinz)3(z請(qǐng)指出它的級(jí).解：f(z)z(z21)(z2)3(z3)2的奇點(diǎn)為zk,k0,1,2,3,，(sinz)3〔1〕zk,k0,1,2,3,為〔sin30的三級(jí)零點(diǎn)，z〕〔2〕z0，z1,為f(z)的二級(jí)極點(diǎn)，z2是f(z)的可去奇點(diǎn)，3〕z3為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，〔4〕z2,3,4，為f(z)的三級(jí)極點(diǎn)；〔5〕為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。備注：給出所有奇點(diǎn)給5分，其余酌情給分。1在以下地區(qū)內(nèi)睜開成羅朗級(jí)數(shù)；四、〔本題14分〕將函數(shù)f(z)z2(z1)〔1〕0z11，〔2〕0z1，〔3〕1z解：〔1〕當(dāng)0z11f(z)111z2(z1)[](z1)(z11)而[(z1][(1)n(z1)n]11)n0(1)nn(z1)n1n0f(z)(1)n1n(z1)n26分n0〔2〕當(dāng)0z1f(z)111znz2(z1)z2(1z)=z2n0zn210分n0〔3〕當(dāng)1zf(z)11z2(z1)31z)(1zf(z)1(1)n114分z3n0zn0zn3一．填空題〔每題3分，合計(jì)15分〕1．2,k01,2,〕；242.Ln(1i)的主值是〔1ln2i〕；243.f(z)12，f(7)(0)〔0〕；1z4．f(z)zsinz，Res[f(z),0]〔0〕；z3f(z)15．z2，Res[f(z),]〔0〕；得分二．選擇題〔每題3分，合計(jì)15分〕1．x2y2是分析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)的實(shí)部，那么〔A〕；〔A〕f(z)2(xiy)；〔B〕f(z)2(xiy)；〔C〕f(z)2(yix)；〔D〕f(z)2(yix).2．C是正向圓周z2，假如函數(shù)f(z)〔A〕，那么f(z)dz0．C〔A〕1；〔B〕sinz12；〔D〕12.z；〔C〕1)1z(z3)(z3．假如級(jí)數(shù)cnzn在z2i點(diǎn)收斂，那么級(jí)數(shù)在(C)n1〔A〕z2點(diǎn)條件收斂；〔B〕z2i點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔C〕z1i點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔D〕z12i點(diǎn)必定發(fā)散．４．以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是(C)〔A〕假如函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，那么f(z)在z0點(diǎn)必定分析；(B)假如f(z)dz0,此中C復(fù)平面內(nèi)正向關(guān)閉曲線,那么f(z)在C所圍成的地區(qū)內(nèi)必定分析；C〔C〕函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)分析的充分必需條件是它在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)必定能夠睜開成為zz0的冪級(jí)數(shù)，并且睜開式是獨(dú)一的；〔D〕函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在地區(qū)內(nèi)分析的充分必需條件是u(x,y)、v(x,y)在該地區(qū)內(nèi)均為調(diào)解函數(shù)．5．以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是〔C〕．〔A〕lnz是復(fù)平面上的多值函數(shù)；〔B〕cosz是無(wú)界函數(shù)；〔C〕sinz是復(fù)平面上的有界函數(shù)；〔D〕ez是周期函數(shù)．得分三．按要求達(dá)成以下各題〔每題10分，合計(jì)40分〕〔1〕求a,b,c,d使f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是分析函數(shù)，解：由于f(z)分析，由C-R條件u

v

u

vx

y

y

x2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分?！?〕．1dz．此中C是正向圓周z2；Cz(z1)2解：本題能夠用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗睜開計(jì)算，僅給出用前者計(jì)算過(guò)程由于函數(shù)f(z)1在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn)z10,z21，分別以z1,z2為圓心畫互不(z1)2z相交互不包含的小圓c1,c2且位于c內(nèi)1211(z1)zC(z1)2zdzC1zdzC2(z1)2dz2i(1)2i10zz1(z1)2z01〔3〕．計(jì)算z3ezdz，此中C是正向圓周z2；C(1z)解：設(shè)f(z)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點(diǎn)均在：z2內(nèi)，由留數(shù)定理z2f(z)dz2iRes[f(z),]2ic1〔5分〕1z11z3ezz2ezz2(1111)(1111)(1z)1z2!z23!z3zz2z31z(z2z111)(1111)2!3!z4!z2zz2z3c1(1111)82!3!3zf(z)dz82i23〔4〕函數(shù)f(z)(z21)(z2)3(sinz)3在擴(kuò)大復(fù)平面上有什么種類的奇點(diǎn)，假如有極點(diǎn)，請(qǐng)指出它的級(jí).f(z)的奇點(diǎn)為zk,k0,1,2,3,，zk,k0,12,3,為〔sin30的三級(jí)零點(diǎn)，〕,zz1,為f(z)的二級(jí)極點(diǎn)，z2是f(z)的可去奇點(diǎn)，z0,2,3,4，為f(z)的三級(jí)極點(diǎn)；為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。給出所有奇點(diǎn)給5分。其余酌情給分。得分14分〕將函數(shù)f(z)1四、〔本題z2在以下地區(qū)內(nèi)睜開成羅朗級(jí)數(shù)；(z1)〔1〕0z11，〔2〕0z1，〔3〕1z〔1〕0z11，〔2〕0z1，〔3〕1z