第四節(jié)二次函數(shù)三年3考高考指數(shù):★★1.理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)；2.會(huì)求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；3.能用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的聯(lián)系去解決問題.1.二次函數(shù)圖像的應(yīng)用及求最值是高考的熱點(diǎn).2.常將二次函數(shù)及相應(yīng)的一元二次不等式、一元二次方程交匯在一起命題,重點(diǎn)考查三者之間的綜合應(yīng)用.3.題型以選擇題、填空題為主,若與導(dǎo)數(shù)、解析幾何知識(shí)交匯，則以解答題的形式出現(xiàn).1.二次函數(shù)的解析式解析式一般式頂點(diǎn)式零點(diǎn)式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k）f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的零點(diǎn)【即時(shí)應(yīng)用】(1)判斷下列函數(shù)是否為二次函數(shù).(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填“是”或“否”)①y=()②y=x4-x2;

()③y=()④y=1+3x-x2;

()⑤y=2(x+1)2-3;

()⑥y=-3(x+2)(x-3);()⑦y=2sin2x+sinx+3;

()⑧y=()(2)若二次函數(shù)圖像的最高點(diǎn)為(-1,-3),且過點(diǎn)(0,-4),則其解析式為_________.(3)已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)并經(jīng)過點(diǎn)M(0,1),則拋物線的解析式為_________.【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的概念及特點(diǎn)判斷④⑤⑥是二次函數(shù)，其余都不是.(2)設(shè)y=a(x+1)2-3,又過點(diǎn)(0,-4),∴-4＝a(0+1)2-3,解得a=-1,∴y=-(x+1)2-3=-x2-2x-4.(3)∵點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)是拋物線與x軸的交點(diǎn),∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-1)①將M(0,1)代入①,得1=-a,即a=-1,∴y=-(x+1)(x-1)=-x2+1.答案：(1)①否②否③否④是⑤是⑥是⑦否⑧否(2)y=-x2-2x-4(3)y=-x2+12．二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)

圖象

定義域

值域

單調(diào)性yxoxyo[,+∞)（-∞,]在(-∞,]上遞減,在[,+∞)上遞增.(-∞,]在[,+∞)上遞減.在上遞增.RR

函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)

奇偶性

最值

頂點(diǎn)對(duì)稱軸當(dāng)x=時(shí),函數(shù)有最小值當(dāng)x=時(shí),函數(shù)有最大值(，)函數(shù)的圖象關(guān)于x=成軸對(duì)稱當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù)【即時(shí)應(yīng)用】(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱軸是x=x0，它在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇f(b),f(a)],判斷下列命題的真假.①x0≥b()②x0≤a()③x0∈(a,b)()④x0(a,b)()(2)已知函數(shù)f(x)=3x2-12x+5,當(dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)min=____,f(x)max=______.(3)如果函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的最小值為_____．【解析】(1)∵二次函數(shù)f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇f(b),f(a)]，∴［a,b］應(yīng)在二次函數(shù)對(duì)稱軸的某一側(cè)或x0=a或x0=b.又∵x=x0為其對(duì)稱軸方程，∴x0(a,b).故④真，①假，②假，③假.(2)f(x)=3(x-2)2-7,∴f(x)在［0,2］上遞減,在(2,3］上遞增,∴f(x)min=f(2)=-7,f(x)max=f(0)=5.(3)∵函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x+b的對(duì)稱軸為又∵函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴a=-4,b=6，f(x)=x2-2x+6(x∈[-4,6])，因此，該函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)取最小值5.答案：(1)①假②假③假④真(2)-75(3)5

求二次函數(shù)的解析式【方法點(diǎn)睛】求二次函數(shù)解析式的方法求二次函數(shù)的解析式,一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下：【例1】設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2)且圖像在y軸上的截距為1,在x軸上截得的線段長(zhǎng)為求f(x)的解析式.【解題指南】二次函數(shù)f(x)滿足f(x+t)=f(t-x),則其對(duì)稱軸方程為x=t;圖像在x軸上截得的線段長(zhǎng)度公式為|x1-x2|,本題可設(shè)f(x)的一般式,亦可設(shè)頂點(diǎn)式.【規(guī)范解答】設(shè)f(x)的兩零點(diǎn)分別為x1,x2，方法一：設(shè)f(x)=ax2+bx+c,則由題知：c=1,且對(duì)稱軸為x=-2.∴=-2,即b=4a.∴f(x)=ax2+4ax+1.∴∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=+2x+1.方法二：∵f(x-2)=f(-x-2),∴二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=-2.設(shè)f(x)=a(x+2)2+b,且f(0)=1,∴4a+b=1.∴f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1,【反思·感悟】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟：【變式訓(xùn)練】(2012·延安模擬)如圖,拋物線與直線y=k(x-4)都經(jīng)過坐標(biāo)軸的正半軸上A、B兩點(diǎn)，該拋物線的對(duì)稱軸x=-1與x軸相交于點(diǎn)C,且∠ABC＝90°,求：(1)直線AB的方程；(2)拋物線的方程.【解析】(1)由已知得：A(4,0),B(0,-4k),C(-1,0)，又∵∠CBA=∠BOC=90°,∴OB2=CO·AO.∴(-4k)2=1×4,∴k=又∵由圖知k＜0,∴k=∴所求直線的方程為y=(2)設(shè)拋物線的方程為y=ax2+bx+c,∴所求拋物線的方程為【變式備選】已知二次函數(shù)f(x)同時(shí)滿足條件：(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值為15;(3)f(x)=0的兩根立方和等于17.求f(x)的解析式.【解析】依條件，設(shè)f(x)=a(x-1)2+15(a＜0),即f(x)=ax2-2ax+a+15.令f(x)=0,即ax2-2ax+a+15=0,設(shè)兩根為x1,x2,則x1+x2=2,x1x2=1+而=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)∴2-=17，則a=-6.∴f(x)=-6x2+12x+9.

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】1.求二次函數(shù)最值的類型及解法(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng),不論哪種類型,解決的關(guān)鍵是對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性或圖像求解，在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)處取得最值．2.二次函數(shù)單調(diào)性問題的解法主要結(jié)合二次函數(shù)圖像的升、降對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解.【提醒】配方法是解決二次函數(shù)最值問題的常用方法,但要注意自變量范圍與對(duì)稱軸之間的關(guān)系.【例2】(2012·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)當(dāng)a=-2時(shí),求f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-4,6]上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a=-1時(shí),求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.【解題指南】解答(1)和(2)可根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系,結(jié)合圖像或單調(diào)性直接求解,對(duì)于(3),應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù),再求單調(diào)區(qū)間.【規(guī)范解答】(1)當(dāng)a=-2時(shí),f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,則函數(shù)在［-4,2)上為減函數(shù),在(2,6］上為增函數(shù),∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.(2)函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的對(duì)稱軸為x==-a,∴要使f(x)在[-4,6］上為單調(diào)函數(shù),只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.(3)當(dāng)a=-1時(shí),f(|x|)=x2-2|x|+3其圖像如圖所示：又∵x∈［-4,6］,∴f(|x|)的減區(qū)間為(-4,-1)和(0,1),增區(qū)間為(-1,0)和(1,6).321-2321-1(1,2)(-1,2)oxy【互動(dòng)探究】若將本例(2)中單調(diào)變?yōu)椴粏握{(diào),則結(jié)果如何？【解析】需-4＜-a＜6,解得：-6＜a＜4.【反思·感悟】1.影響二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n]上最值的要素有三個(gè),即拋物線的開口方向、對(duì)稱軸位置、閉區(qū)間；常用數(shù)形結(jié)合思想求解,但當(dāng)三要素中有一要素不明確時(shí)，要分情況討論.2.二次函數(shù)單調(diào)性的確定與應(yīng)用，常與二次函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合求解.【變式備選】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t,t+1]，若f(x)的最小值為h(t)，寫出h(t)的解析式．求h(t)的最小值．【解析】∵f(x)=x2+3x-5的對(duì)稱軸為x=①當(dāng)t+1≤即t≤時(shí)，h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5=t2+5t-1(t≤)；②當(dāng)t≤＜t+1，即時(shí)，③當(dāng)t＞時(shí)，h(t)=f(t)=t2+3t-5(t＞);綜上可知：h(t)=①當(dāng)t≤時(shí)，h(t)=t2+5t-1≥()2+5×()-1=②當(dāng)時(shí)，h(t)=③當(dāng)t＞時(shí)，h(t)=t2+3t-5＞()2+3×()-5=即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)t恒有h(t)≥即h(t)有最小值

二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的綜合問題【方法點(diǎn)睛】1.解決一元二次方程根的分布問題的方法常借助于二次函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合來解一元二次方程根的分布問題,一般常從以下幾點(diǎn)著手(1)開口方向；(2)對(duì)稱軸位置；(3)判別式；(4)端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析.2.解決一元二次不等式的有關(guān)問題的策略一般需借助于二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)求解.

【例3】(2012·巢湖模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(a、c∈N+)滿足：①f(1)=5;②6<f(2)<11.(1)求a、c的值；(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈［］，都有f(x)-2mx≤1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解題指南】解答本題(1)利用f(1)=5，將c用a表示，再根據(jù)6<f(2)<11構(gòu)造a的不等式，結(jié)合a∈N+求解.(2)可以有兩條途徑.方法一：構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-2mx，求其在［］上的最大值g(x)max，再構(gòu)造不等式g(x)max≤1求解；方法二：用分離參數(shù)法求解.【規(guī)范解答】(1)∵f(1)=a+2+c=5,∴c=3-a.①又∵6<f(2)<11,即6<4a+c+4<11,②將①式代入②式，得又∵a、c∈N+,∴a=1,c=2.(2)由(1)知f(x)=x2+2x+2.方法一：設(shè)g(x)=f(x)-2mx=x2+2(1-m)x+2.①當(dāng)即m≤2時(shí)，故只需

-3m≤1,解得m≥又∵m≤2,故無解.②當(dāng)即m>2時(shí)，故只需∵m>2,∴m≥綜上可知，m的取值范圍是m≥方法二：由f(x)-2mx≤1,即x2+2(1-m)x+2≤1,x∈［］得2(1-m)≤-(x+)在［］上恒成立.令g(x)=-(x+),則g′(x)=當(dāng)x∈［1］時(shí)，g′(x)≥0，故g(x)在［1］上遞增，當(dāng)x∈［1,］時(shí)，g′(x)≤0，故g(x)在［1，]上遞減.而【反思·感悟】1.一元二次不等式的求解，恒成立問題及一元二次方程根的確定與應(yīng)用問題常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的應(yīng)用問題求解，但要注意討論及考慮全面.2.關(guān)于不等式的恒成立問題,能用分離參數(shù)法，盡量用.因?yàn)樵摲梢员荛_頻繁地對(duì)參數(shù)的討論.【變式訓(xùn)練】已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.若方程f(x)=0有一根小于1,另一根大于1,當(dāng)b＞-6且b為常數(shù)時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】∵-3＜0,由圖知,只需f(1)＞0便可滿足題意.∴-3+a(6-a)+b＞0?a2-6a+3-b＜0?【變式備選】二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x)=f(4-x)，若f(1-3x2)＜f(1+x-x2)，則x的取值范圍是_______.【解析】由f(x)=f(4-x)知二次函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸是x=2.又二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，∴f(x)在(-∞，2］上遞增,又∵1-3x2≤1＜2,1+x-x2≤＜2，且f(1-3x2)＜f(1+x-x2),∴1-3x2＜1+x-x2,解得x＞0或x＜答案：(-∞,)∪(0,+∞)【滿分指導(dǎo)】二次函數(shù)解答題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2012·西安模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2-|x|+2a-1(a為實(shí)常數(shù))．(1)若a=1，作函數(shù)f(x)的圖像；(2)設(shè)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式．(3)設(shè)h(x)=若函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題指南】解答本題(1)需將f(x)化為分段函數(shù),從而轉(zhuǎn)化為畫二次函數(shù)圖像的問題,但要注意函數(shù)的定義域；(2)分a=0,a≠0兩種情況討論,而a≠0,又需按對(duì)稱軸與區(qū)間[1,2]的關(guān)系,再次分類討論.(3)可由h′(x)≥0在[1,2］上恒成立求解.【規(guī)范解答】(1)當(dāng)a=1時(shí)，作圖(如圖所示)………………2分(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=ax2-x+2a-1.若a=0，則f(x)=-x-1在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，g(a)=f(2)=-3．………………3分若a≠0，則f(x)=f(x)圖像的對(duì)稱軸是直線當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，g(a)=f(2)=6a-3．……………4分當(dāng)0＜＜1，即a＞時(shí)，f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，g(a)=f(1)=3a-2．當(dāng)1≤≤2，即時(shí)，g(a)=f()=2a--1，當(dāng)＞2，即0＜a＜時(shí)，f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，g(a)=f(2)=6a-3．…………5分(3)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，h(x)=∴h′(x)=又∵h(yuǎn)(x)在[1,2]上為增函數(shù),∴h′(x)≥0在[1,2］上恒成立.

…………7分令φ(x)=當(dāng)2a-1＜0即a＜時(shí),φ(x)在[1,2]上為減函數(shù),由h′(x)≥0,得：φ(2)=

……8分當(dāng)2a-1=0,即a=時(shí),h(x)=x-1,顯然在[1,2]上為增函數(shù)；………………9分當(dāng)2a-1＞0,即a＞時(shí),φ(x)在[1,2]上為增函數(shù),∴φ(x)min=φ(1)=-a+1,由已知得：-a+1≥0,解得：a≤1,又a＞,故＜a≤1.……11分綜上可知：≤a≤1.…………………12分【閱卷人點(diǎn)撥】通過對(duì)試題的閱卷數(shù)據(jù)分析，我們可以得到以下失分警示和備考建議:失分警示在解答本題時(shí)有以下幾點(diǎn)容易造成失分:(1)在第(2)(3)中忽略了討論;(2)在第(2)題討論時(shí)忽視了a=0,在第(3)題忽視了2a-1=0;(3)未能將(2)(3)討論的結(jié)果進(jìn)行整合而失分.備考建議在解決二次函數(shù)圖像、性質(zhì)應(yīng)用問題時(shí)，還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：(1)在求閉區(qū)間上的最值時(shí),忽視對(duì)開口方向的討論而失誤.(2)在研究二次函數(shù)單調(diào)性時(shí)，將對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)位置關(guān)系弄反而失誤.(3)在將一元二次不等式恒成立及一元二次方程問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題時(shí)失誤.另外需要熟練掌握“三個(gè)二次”間轉(zhuǎn)化的思想，才能快速正確地解決這些問題.

1.(2012·蚌埠模擬)若函數(shù)f(x)=x2+ax(a∈R)，則下列結(jié)論正確的是()(A)存在a∈R，f(x)是偶函數(shù)(B)存在a∈R,f(x)是奇函數(shù)(C)對(duì)于任意的a∈R，f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)(D)對(duì)于任意的a∈R,f(x)在(0，+∞)上是