等比數(shù)列·例題解析【例1】已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么數(shù)列{an}．[]．是等比數(shù)列．當(dāng)p≠0時(shí)是等比數(shù)列C．當(dāng)p≠0，p≠1時(shí)是等比數(shù)列．不是等比數(shù)列解析由S＝pn(n∈N*)，有a=S＝p，并且當(dāng)n≥2時(shí)，n11an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1p≠0故a2=(p－1)p，所以數(shù)列{an}成等比數(shù)列p－1≠0(p1)pn1p(p1)(p2)pn2p但滿足此條件的實(shí)數(shù)p是不存在的，故本題應(yīng)選D．說明數(shù)列{a}成等比數(shù)列的必要條件是a≠0(n∈N*)，還要注nn意對(duì)任n∈N*，n≥2，an都為同一常數(shù)是其定義規(guī)定的正確含義．a(chǎn)n1【例2】已知等比數(shù)列1，x1，x2，，x2n，2，求x1·x2·x3··x2n．解∵1，x1，x2，，x2n，2成等比數(shù)列，公比q2＝1·q2n+1xxxx2n＝q·q2·q3q2n=q1+2+3++2n1232n(1+2n)=q2qn(2n1)2n【例3】等比數(shù)列{an}中，(1)已知a2=4，a5＝－1，求通項(xiàng)公2式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．(1)a5=aq52q=122ana2qn24(1)n2(1)n422(2)a3·a5a42a3·a4·a5a43=8a4＝2又a2a6＝a3a5＝a24a2a3a4a5a6=a54=32【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之間插入n個(gè)正數(shù)x1，x2，，xn，使得a，x1，x2，，xn，b成等比數(shù)列，求nx1x2xnab2證明設(shè)這n＋2個(gè)數(shù)所成數(shù)列的公比為q，則b=aqn+1qn1ban1nx1x2xnnaqaq2aqnaq2abab【例5】設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2(a－d)2．證法一∵a、b、c、d成等比數(shù)列abcbcdb2＝ac，c2＝bd，ad＝bc∴左邊=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)a2－2ad＋d2(a－d)2＝右邊證畢．證法二∵a、b、c、d成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則：b＝aq，c＝aq2，d=aq3∴左邊＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2a2－2a2q3＋a2q6=(a－aq3)2(a－d)2=右邊證畢．說明這是一個(gè)等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目．證法一是抓住了求證式中右邊沒有b、c的特點(diǎn)，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子．證法二則是把a(bǔ)、b、c、d一致化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的．證法二稍微麻煩些，但它所用的一致成基本元素的方法，卻較證法一的方法擁有寬泛性．【例6】求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1){a}中，a＝2，a＝3a＋2n1n+1n(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0思路：轉(zhuǎn)變成等比數(shù)列．解(1)an+1=3an＋2an+1＋1=3(an＋1)∴{an＋1}是等比數(shù)列∴a＋1=3·3n-1∴a=3n－1nn(2)an+2－3an+1＋2an=0an+2－an+1=2(an+1－an){an+1－an}是等比數(shù)列，即an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，，an－an-1=3·2n-2，這些等式相加，即可以獲取an=3[12222n-2]=3·2n1121=3(2n11)說明解題的要點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)一個(gè)等比數(shù)列，即化生疏為已知．(1)中發(fā)現(xiàn){an＋1}是等比數(shù)列，(2)中發(fā)現(xiàn){an+1－an}是等比數(shù)列，這也是平時(shí)說的化歸思想的一種表現(xiàn)．【例7】若實(shí)數(shù)a1、a2、a3、a4都不為零，且滿足(a12＋a22)a24－2a2(a1＋a3)a4＋a22＋a23=0求證：a1、a2、a3成等比數(shù)列，且公比為a4．證∵a1、a2、a3、a4均為不為零的實(shí)數(shù)(a21＋a22)x2－2a2(a1＋a3)x＋a22＋a23=0為實(shí)系數(shù)一元二次方程等式(a12＋a22)a24－2a2(a1＋a3)a4＋a22＋a23=0說明上述方程有實(shí)數(shù)根a4．∴上述方程的鑒識(shí)式Δ≥0，即[2a2(a1a3)]24(a12a22)(a22a23)4(a22a1a3)2≥0(a22a1a3)2≤0又∵a1、a2、a3為實(shí)數(shù)(a22－a1a3)2≥0必有a22－a1a3=0即a22=a1a3所以a1、a2、a3成等比數(shù)列a4=2a2(a1a3)a2(a1a3)a22(a12a22)a12a1a3a1∴a4即為等比數(shù)列a1、a2、a3的公比．【例8】若a、b、c成等差數(shù)列，且a＋1、b、c與a、b、c＋2都成等比數(shù)列，求b的值．解設(shè)a、b、c分別為b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d與b－d、b、b＋d＋2都成等比數(shù)列，有b2=(bd1)(bd)b2=(bd)(bd2)整理，得b2=b2－d2＋b＋db2=b2－d2＋2b－2d∴b＋d=2b－2d

即

b=3d代入①，得9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)9d2=(2d＋1)·4d解之，得d=4或d=0(舍)b=12【例9】已知等差數(shù)列{an}的公差和等比數(shù)列{bn}的公比都是d，又知d1，且a4=b4，a10=b10：求a1與d的值；(2)b16是不是{an}中的項(xiàng)？思路：運(yùn)用通項(xiàng)公式列方程a4=b4a1＋3d=a1d3解(1)由a1＋9d=a1d9a10=b10a1(1－d3)=－3da1(1－d9)=－9dd6＋d3－2=0d11(舍)或32d2∴a1d32d32(2)∵b16=b1·d15=－32b1且a4=a1＋3d=232=b4b4=b1·d3=－2b1=－232b1=a1=32b16=－32b1=－32a1，若是b16是{an}中的第k項(xiàng)，則－32a1=a1＋(k－1)d(k－1)d=－33a1=33dk=34即b16是{an}中的第34項(xiàng)．【例10】設(shè){an}是等差數(shù)列，bn=(1)an，已知b1＋b2＋b3=21，1，求等差數(shù)列的通項(xiàng)．28b1b2b3=8解設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d，則a=a＋(n－1)dnn1∴bn=(1)a1(n1)d21a1a+2d12(a+d)2b1b3=( )1·( )1=( )1b2222由b1b2b3=1，解得b23=1，解得b2=1，代入已知條件8821b1b3=1b1b2b3=48整理得2117b1b2b3b1＋b38=8解這個(gè)方程組，得b1=2，b3=1或b1=1，b3=288a1=－1，d=2或a1=3，d=－2∴當(dāng)a1=－1，d=2時(shí)，an=a1＋(n－1)d=2n－3當(dāng)a1=3，d=2時(shí)，an=a1＋(n－1)d=5－2n【例11】個(gè)等差數(shù)列的第

三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若第二個(gè)數(shù)加3項(xiàng)加32又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)．

4就成等差數(shù)列，再把這解法一

按等比數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為

a，aq，aq2由已知：a，aq＋4，aq2成等差數(shù)列即：2(aq＋4)=a＋aq2①a，aq＋4，aq2＋32成等比數(shù)列即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)aq＋2=4a②a=22①，②兩式聯(lián)立解得：或a=9q=3q=－5∴這三數(shù)為：2，，18或2，10，50．6999解法二按等差數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為b－d，b－4，b＋d由已知：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)8b－d2=16①b－d，b，b＋d＋32成等比數(shù)列即b2=(b－d)(b＋d＋32)32b－d2－32d=0②26b=b=10①、②兩式聯(lián)立，解得：9或8d=8d=3∴三數(shù)為2，10，50或2，6，18．999解法三任意設(shè)三個(gè)未知數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a1，a2，a3由已知：a1，a2，a3成等比數(shù)列得：a2=aa3①21a1，a2＋4，a3成等差數(shù)列得：2(a2＋4)=a1＋a3②a1，a2＋4，a3＋32成等比數(shù)列得：(a2＋4)2=a1(a3＋32)③a1=29a1=210①、②、③式聯(lián)立，解得：a2=或a2=69a3=18a3=509說明將三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為a－d，a，a＋d；將三個(gè)成等比數(shù)列的數(shù)設(shè)為

a，aq，aq2(或

a，a，aq)是一種常用技巧，可起到q簡化計(jì)算過程的作用．【例12】有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)．解析本題有三種設(shè)未知數(shù)的方法方法一設(shè)前三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，則第四個(gè)數(shù)由已知條2件可推得：(ad)方法二設(shè)后三個(gè)數(shù)為b，bq，bq2，則第一個(gè)數(shù)由已知條件推得為2b－bq．方法三設(shè)第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)分別為x，y，則第三、第四個(gè)數(shù)依次為12－y，16－x．由這三種想法可利用余下的條件列方程組解出相關(guān)的未知數(shù)，從而解出所求的四個(gè)數(shù)，解法一設(shè)前三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，則第四個(gè)數(shù)為(ad)2．a(chǎn)－＋(ad)2依題意，有ada=16a＋(a＋d)=12解方程組得：a1=4a2=9d1或d2=－6=4所求四個(gè)數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1．解法二設(shè)后三個(gè)數(shù)為：b，bq，bq2，則第一個(gè)數(shù)為：2b－bq2b－bq＋bq2=16依題意有：b＋bq=12b1=4b2=91解方程組得：或q2q1=2=3所求四個(gè)數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1．解法三設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x，y，12－y，16－x．x＋(12－y)=2y依題意有2y·(16－x)=(12－y)x1=0x2=15解方程組得：=4或=9y1y2這四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1．【例13】已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為126；別的三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，把兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)依次相加，分別獲取85，76，84．求這兩個(gè)數(shù)列．解設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126b=42這三個(gè)數(shù)可寫成42－d，42，42＋d．再設(shè)另三個(gè)數(shù)為a，aq，aq2．由題設(shè)，得a＋42－d=85＋42=76ap2＋42＋d=84aq－①ad=43整理，得aq=34②aq2＋d=42③解這個(gè)方程組，得a1=17或a2=68當(dāng)a=17時(shí)，q=2，d=－26當(dāng)a=68時(shí)，q=1，d=252從而獲?。撼傻缺葦?shù)列的三個(gè)數(shù)為17，34，68，此時(shí)成等差的三個(gè)數(shù)為68，42，16；也許成等比的三個(gè)數(shù)為68，34，17，此時(shí)成等差的三個(gè)數(shù)為17，42，67．【例14】已知在數(shù)列{a}中，a、a、a成等差數(shù)列，a、a、a成n123234等比數(shù)列，a3、a4、a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1、a3、a5成等比數(shù)列．證明由已知，有2a2=a1＋a3①a23=a2·a4211a4a3a5由③，得a42a3·a5=a3+a5由①，得a2=a1+a3代入②，得2a32a1+a32a3·a5=·2a3a5整理，得a3=a5(a1+a2)a3+a5即a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)a23＋a3a5=a1a5＋a3a5a23=a1·a5所以a1、a3、a5成等比數(shù)列．

②③【例15】已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．(1)設(shè)a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證：x，y，z成等比數(shù)列．(2)設(shè)正數(shù)x，y，z依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證：a，b，c成等差數(shù)列．證