第十二章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論§12-1應(yīng)力狀態(tài)的概念一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)構(gòu)件上某點(diǎn)處各個(gè)方向的應(yīng)力情況，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。研究應(yīng)力狀態(tài)的方法，叫做應(yīng)力分析。二、應(yīng)力狀態(tài)單元體單元體的兩個(gè)平行截面上的正應(yīng)力數(shù)值相等，符號(hào)相同；單元體兩正交截面上的剪應(yīng)力數(shù)值相等，符號(hào)相反(如圖12-1所示)。第十二章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論§12-1應(yīng)力狀態(tài)的概念11.原始單元體如果某單元體三組平行截面上的應(yīng)力均為已知，則稱這個(gè)單元體為原始單元體。2.主單元體剪應(yīng)力為零的平面稱為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。圖12-1圖12-12若單元體的三組正交平面都是主平面，這個(gè)單元體稱為主單元體。圖12-2中點(diǎn)a，e處的兩個(gè)原始單元體都是主單元體，三個(gè)正交平面上均無剪應(yīng)力，是主平面。圖12-2圖12-23三、應(yīng)力狀態(tài)的分類1.單向應(yīng)力狀態(tài)單元體為主單元體，且有兩個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。如圖12-3(a)中(1)，(2)兩個(gè)單元體均為單向應(yīng)力狀態(tài)單元體。單向應(yīng)力狀態(tài)也稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)。2.二向應(yīng)力狀態(tài)單元體上有一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)稱為二向應(yīng)力狀態(tài)。如圖12-3(b)中所示(3)，(4)兩個(gè)單元體，前后兩平面為主平面，且對(duì)應(yīng)主應(yīng)力為零，均為二向應(yīng)力狀態(tài)單元體。三、應(yīng)力狀態(tài)的分類4單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)單元體，可將單元體向主應(yīng)力為零的主平面投影，簡(jiǎn)化為平面單元，以便于計(jì)算。如圖12-3中(1)～(4)所示下面一排均為上面一排單元體向主平面投影得到的平面單元。因此單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)又統(tǒng)稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。3.三向應(yīng)力狀態(tài)單元體上三個(gè)主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。如圖12-4所示兩個(gè)單元體都屬于三向應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)又稱為空間應(yīng)力狀態(tài)。有時(shí)又將二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)單元體，可將單元體向主應(yīng)力為零的主5圖12-3圖12-4圖12-3圖12-46§12-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法設(shè)某平面應(yīng)力狀態(tài)的原始單元體如圖12-5(a)所示，x截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別記為σx和τx；y截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別記為σy和τy；z截面為主平面，且對(duì)應(yīng)的主應(yīng)力σz=0。一、任意斜截面上的應(yīng)力斜截面AC的法線n與x軸夾角為α，稱為α截面。(12-1a)§12-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法7(12-1b)圖12-5

8二、應(yīng)力極值及其作用平面1.正應(yīng)力極值及其作用平面正應(yīng)力的極值平面是主平面，正應(yīng)力的極值是主應(yīng)力。主平面法線與x軸所夾的方位角α0：

利用圖12-7中三角形關(guān)系，代入公式(12-1a)，化簡(jiǎn)后得到兩個(gè)正交主應(yīng)力的數(shù)值：

(12-2)(12-3)二、應(yīng)力極值及其作用平面(12-2)(12-3)9圖12-7圖12-8其中σmax的方位與原始單元體上兩個(gè)箭頭相對(duì)的剪應(yīng)力τx,τy的合矢量在同一個(gè)象限內(nèi)，如圖12-8所示。另一個(gè)主應(yīng)力σmin則與σmax垂直。2.剪應(yīng)力極值及其作用平面圖12-7圖12-810將式(12-1b)對(duì)變量α求一階導(dǎo)數(shù)，令其等于零，有可得剪應(yīng)力極值平面方位角α1的計(jì)算公式：利用圖12-10所示的三角形關(guān)系，代入式(12-1b)得剪應(yīng)力極值計(jì)算公式：(12-4)(12-5a)將式(12-1b)對(duì)變量α求一階導(dǎo)數(shù)，令其等于零，有11比較公式(12-3)和(12-5a)，可得剪應(yīng)力極值的另一形式的計(jì)算公式：由于剪應(yīng)力互等，所以一般只計(jì)算τmax。最大剪應(yīng)力和最小剪應(yīng)力的方向可由主應(yīng)力σ1確定:τmax和τmin的合矢量與σ1沿同一象限。用圖12-10所示的三角形關(guān)系，代入式(12-1a)得剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力σα1：(12-5b)(12-6)比較公式(12-3)和(12-5a)，可得剪應(yīng)力極值的另一形12它說明剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力一般不為零，而且大小相等，符號(hào)相同。剪應(yīng)力極值有時(shí)又稱為主剪應(yīng)力，其極值平面有時(shí)又稱為主剪切面。與主單元的關(guān)系如圖12-11所示。圖12-10圖12-11它說明剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力一般不為零，而且大小相等，符號(hào)13§12-3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法一、應(yīng)力圓的原理及作圖1.應(yīng)力圓方程2.原始單元上的基準(zhǔn)面與應(yīng)力圓上的基準(zhǔn)點(diǎn)原始單元上，一般以x截面為基準(zhǔn)面，應(yīng)力圓上則以Dx為對(duì)應(yīng)x截面的基準(zhǔn)點(diǎn)。3.應(yīng)力圓的作圖方法1)作σ—τ正交軸系，σ為橫軸，τ為縱軸。并定出適當(dāng)?shù)谋壤?；?2-3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法142)由原始單元上的σx,τy作出對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)點(diǎn)Dx(σx,τx)；由原始單元上的σy,τy，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)Dy(σy,τy)；3)作直線段連接Dx，Dy與σ軸交于C點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)()，為應(yīng)力圓的圓心；圖12-13圖12-13154)以C為圓心，為直徑作圓。該圓為對(duì)應(yīng)原始單元的應(yīng)力圓。二、原始單元各斜截面與應(yīng)力圓上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.α截面與Dα點(diǎn)原始單元上，與基準(zhǔn)面法線x軸方向夾角為α的方向，為α截面的法線方向，規(guī)定從x方向起，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。則在應(yīng)力圓上，從基準(zhǔn)點(diǎn)Dx起，順α的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過(2α)4)以C為圓心，為直徑作圓。16的圓心角，所確定的點(diǎn)即為α截面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Dα(σα，τα)，如圖12-14所示。應(yīng)注意的是，原始單元上α角的轉(zhuǎn)向與應(yīng)力圓上(2α)的轉(zhuǎn)向必須一致，切不可弄反。2.主平面與點(diǎn)A圖12-14的圓心角，所確定的點(diǎn)即為α截面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Dα(σα，τα)，如17如圖12-15所示，由應(yīng)力圓上Dx轉(zhuǎn)到A1所夾的圓心角為()，則在原始單元的x方向順相同轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過α0角的方向，即為σ1的方向。由于兩個(gè)主應(yīng)力正交，因此一般只需定出σ1的方向，即可作出主單元。圖12-15如圖12-15所示，由應(yīng)力圓上Dx轉(zhuǎn)到A1所夾的圓心角為(18平面應(yīng)力單元有一個(gè)主應(yīng)力為零，因此圖12-15所示單元的σ3=0。若由原始單元作出的應(yīng)力圓如圖12-16(a)所示,則對(duì)應(yīng)的主應(yīng)力應(yīng)為σ1＞0,σ2＝0，σ3＜0；若由原始單元作出的應(yīng)力圓如圖12-16(b)所示，則對(duì)應(yīng)的主應(yīng)力應(yīng)為σ1=0,0＞σ2＞σ3。這就要視具體情況來決定。3.剪應(yīng)力極值平面和點(diǎn)E剪應(yīng)力極值平面與主平面夾45°角，因此應(yīng)力圓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為過圓心C而與σ軸垂直的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)E，E′。剪應(yīng)力極值為E，E′的縱平面應(yīng)力單元有一個(gè)主應(yīng)力為零，因此圖12-15所示單元的σ319坐標(biāo)，也等于應(yīng)力圓的半徑值，即而剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力一般不等于零，與圓心C的橫坐標(biāo)值相等：圖12-16坐標(biāo)，也等于應(yīng)力圓的半徑值，即圖12-1620*§12-4三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介一、三向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力與三向應(yīng)力圓工程實(shí)際問題中，有時(shí)也會(huì)遇到三向應(yīng)力狀態(tài)問題，如低碳鋼位伸實(shí)驗(yàn)中，“頸縮”部分處于三向拉伸的應(yīng)力狀態(tài)；滾珠軸承中滾珠與內(nèi)環(huán)接觸處，處于三向壓縮的應(yīng)力狀態(tài)(見圖12-18)。若一點(diǎn)處的主單元體和三個(gè)主應(yīng)力已求出，如圖12-19(a)所示，則可以由σ1,σ2,σ3作出這一點(diǎn)的三向應(yīng)力圓：在σ軸上找到對(duì)應(yīng)的三點(diǎn)A1,A2,A3，分別以線段為*§12-4三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介21直徑作圓，如圖12-19(b)所示，即為這點(diǎn)的三向應(yīng)力圓。三個(gè)應(yīng)力圓與σ軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)三個(gè)主應(yīng)力；三個(gè)應(yīng)力圓有各自對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)力極值點(diǎn)E1，E2，E3，但最大的剪應(yīng)力圖12-18圖12-19圖12-18圖12-1922其作用面與σ1，σ3的主平面夾45°角。如圖12-19(a)所示。二、有一個(gè)主應(yīng)力已知的三向應(yīng)力狀態(tài)原始單元體有原始單元體上，若有一個(gè)主應(yīng)力為已知，如圖12-20(a)所示,σz為主應(yīng)力，可將該單元體向已知主平面投影，簡(jiǎn)化為平面單元，如圖12-20(b)，用平面應(yīng)力狀態(tài)的分析方法求出平面內(nèi)的兩個(gè)主應(yīng)力，與已知主應(yīng)力σz一起，排出這點(diǎn)的σ1,

σ2,σ3,并012第十二章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論課件23可畫出對(duì)應(yīng)的三向應(yīng)力圓，確定τmax。圖12-20可畫出對(duì)應(yīng)的三向應(yīng)力圓，確定τmax。圖12-2024§12-5廣義虎克定律一、主單元體的廣義虎克定律(12-7)§12-5廣義虎克定律25二、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律(12-8)二、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律26§12-6強(qiáng)度理論及其應(yīng)用一、強(qiáng)度理論的概念在復(fù)雜的受力構(gòu)件中，引起破壞的原因一直是人們尋找的目標(biāo)。通過長(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)研究，人們?cè)谟^察、分析了大量的數(shù)據(jù)后逐漸認(rèn)識(shí)到，材料破壞一般有兩種形式：塑性的屈服破壞和脆性的斷裂破壞。引起這兩種破壞的因素很多，人們通過觀察、實(shí)驗(yàn)，對(duì)引起破壞的主要因素提出了一些觀點(diǎn)和假說，并通過實(shí)踐驗(yàn)證，建立了幾種較為合理的解釋材料破壞原因的假說——強(qiáng)度理論。由于材料性質(zhì)不同,§12-6強(qiáng)度理論及其應(yīng)用27應(yīng)力狀態(tài)不同，構(gòu)件的工作環(huán)境不同，會(huì)產(chǎn)生不同的破壞形式，使得強(qiáng)度理論還不能全面地、準(zhǔn)確地概括所有的破壞形式，但它們卻在一定的范圍得到較廣泛的應(yīng)用。隨著科學(xué)的發(fā)展，新材料的不斷出現(xiàn)和運(yùn)用，強(qiáng)度理論也隨之發(fā)展、完善。本章著重介紹幾種工程上常用的經(jīng)典強(qiáng)度理論。二、經(jīng)典強(qiáng)度理論及其強(qiáng)度條件經(jīng)典理論從各自的觀點(diǎn)提出了引起材料破壞的原因，建立了復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)正的不破壞條件，與單向拉伸實(shí)驗(yàn)的極限狀態(tài)進(jìn)行比較，導(dǎo)出該應(yīng)力狀態(tài)不同，構(gòu)件的工作環(huán)境不同，會(huì)產(chǎn)生不同的破壞形式，使得28強(qiáng)度理論相對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度條件，可統(tǒng)一用下式表示式中：σeqi為根據(jù)不同強(qiáng)度理論建立的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的相當(dāng)應(yīng)力，是主應(yīng)力σ1,σ2,σ3的某種組合。腳標(biāo)i與相應(yīng)強(qiáng)度理論對(duì)應(yīng)。為根據(jù)拉伸實(shí)驗(yàn)確定的材料的許用應(yīng)力。1.最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論)該理論認(rèn)為材料破壞的主要因素是最大拉應(yīng)(12-9)強(qiáng)度理論相對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度條件，可統(tǒng)一用下式表示(12-9)29力σ1。無論何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力σ1達(dá)到材料的極限應(yīng)力值σu時(shí)，就會(huì)引起材料的破壞。由此建立了第一強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件：因此第一強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力2.最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)該理論認(rèn)為材料的破壞與否，取決于最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變?chǔ)?。當(dāng)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變?chǔ)?達(dá)到某個(gè)極限值εu時(shí)，材料就會(huì)被破壞。(a)力σ1。無論何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力σ1達(dá)到材料的極限30在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，由廣義虎克定律材料的εu可由單向拉伸實(shí)驗(yàn)確定則材料不被破壞的條件：ε1≤εu，可換算為第二強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，由廣義虎克定律31第二強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力3.最在剪應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)該理論認(rèn)為材料破壞與否，取決于最大剪應(yīng)力τmax。不論在何種應(yīng)力狀態(tài)下，只要危險(xiǎn)點(diǎn)處的最大剪應(yīng)力τmax達(dá)到某個(gè)極限值τu時(shí)，材料就會(huì)被破壞。對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)；由單向拉伸實(shí)驗(yàn)可以確定：。由材料不被破壞的條(b)第二強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力(b)32件：τmax≤τu，可以導(dǎo)出第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件：第三強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力4.形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論)第四強(qiáng)度理論的推導(dǎo)方法本書不予介紹，只介紹該理論的強(qiáng)度條件(c)件：τmax≤τu，可以導(dǎo)出第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件：(c)33以及相當(dāng)應(yīng)力總結(jié)以上四種經(jīng)典強(qiáng)度理論，可將復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件用下面公式統(tǒng)一表達(dá)：強(qiáng)度條件：其中各理論對(duì)應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力為(d)(12-10)以及相當(dāng)應(yīng)力(d)(12-10)34三、四種經(jīng)典強(qiáng)度理論的適用范圍1.對(duì)于脆性材料，在雙向拉伸的應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)選用第一強(qiáng)度理論；在三向位伸的應(yīng)力狀態(tài)下，無論是脆性還是塑性材料，都會(huì)發(fā)生脆性斷裂破壞，宜用第一強(qiáng)度理論。但對(duì)塑性材料,由于單向拉伸實(shí)驗(yàn)不能得到其脆斷的極限應(yīng)力,一般對(duì)［σ］值要作相應(yīng)的調(diào)整。2.低碳鋼是常用的工程塑性材料，對(duì)受力和結(jié)構(gòu)都較簡(jiǎn)單的情況(如房屋結(jié)構(gòu)中的鋼結(jié)構(gòu)等)，可以采用第四強(qiáng)度理論；對(duì)于受力三、四種經(jīng)典強(qiáng)度理論的適用范圍35和結(jié)構(gòu)均較復(fù)雜的情況,如機(jī)械中的傳動(dòng)軸，化工、石油工業(yè)中的壓力容器等，宜選用第三強(qiáng)度理論。3.在三向壓縮的應(yīng)力狀態(tài)下，不論是脆性還是塑性材料，常呈現(xiàn)塑性屈服，一般采用第四強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。此時(shí)脆性材料的許用應(yīng)力［σ］也要作適當(dāng)調(diào)整。四、強(qiáng)度理論的應(yīng)用舉例一般工程構(gòu)件中，除單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪切應(yīng)力狀態(tài)外，還有一種常見的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖12-24所示。平面彎曲的梁除上下邊緣點(diǎn)和結(jié)構(gòu)均較復(fù)雜的情況,如機(jī)械中的傳動(dòng)軸，化工、石油工業(yè)中的壓36為單向應(yīng)力狀態(tài)和中性層處為純剪切狀態(tài)外，其余的點(diǎn)均處于這種常見的平面應(yīng)力狀態(tài)。由于：σx=σ，τx=τ，σy=0，因此主應(yīng)力為對(duì)于塑性材料，用第三、四強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，對(duì)應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式簡(jiǎn)化為圖12-24(12-11)為單向應(yīng)力狀態(tài)和中性層處為純剪切狀態(tài)外，其余的點(diǎn)均處于這種常37例某鋼構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)單元體如圖12-25所示，圖中應(yīng)力單位為MPa。已知材料的許用應(yīng)力［σ］=160MPa，試校核該點(diǎn)的強(qiáng)度。解：塑性材料，宜用第三、四強(qiáng)度理論進(jìn)行計(jì)算：σx=σ=120MPa，τx=τ=50MPa，σy=0，該點(diǎn)的強(qiáng)度足夠。例某鋼構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)單元體如圖12-25所示，圖中38在石油、化學(xué)工業(yè)中常用薄壁圓筒作承受內(nèi)壓的容器，一般用塑性材料制成，因此宜用第三、四強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。圖12-25圖12-2539第十二章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論§12-1應(yīng)力狀態(tài)的概念一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)構(gòu)件上某點(diǎn)處各個(gè)方向的應(yīng)力情況，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。研究應(yīng)力狀態(tài)的方法，叫做應(yīng)力分析。二、應(yīng)力狀態(tài)單元體單元體的兩個(gè)平行截面上的正應(yīng)力數(shù)值相等，符號(hào)相同；單元體兩正交截面上的剪應(yīng)力數(shù)值相等，符號(hào)相反(如圖12-1所示)。第十二章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論§12-1應(yīng)力狀態(tài)的概念401.原始單元體如果某單元體三組平行截面上的應(yīng)力均為已知，則稱這個(gè)單元體為原始單元體。2.主單元體剪應(yīng)力為零的平面稱為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。圖12-1圖12-141若單元體的三組正交平面都是主平面，這個(gè)單元體稱為主單元體。圖12-2中點(diǎn)a，e處的兩個(gè)原始單元體都是主單元體，三個(gè)正交平面上均無剪應(yīng)力，是主平面。圖12-2圖12-242三、應(yīng)力狀態(tài)的分類1.單向應(yīng)力狀態(tài)單元體為主單元體，且有兩個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。如圖12-3(a)中(1)，(2)兩個(gè)單元體均為單向應(yīng)力狀態(tài)單元體。單向應(yīng)力狀態(tài)也稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)。2.二向應(yīng)力狀態(tài)單元體上有一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)稱為二向應(yīng)力狀態(tài)。如圖12-3(b)中所示(3)，(4)兩個(gè)單元體，前后兩平面為主平面，且對(duì)應(yīng)主應(yīng)力為零，均為二向應(yīng)力狀態(tài)單元體。三、應(yīng)力狀態(tài)的分類43單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)單元體，可將單元體向主應(yīng)力為零的主平面投影，簡(jiǎn)化為平面單元，以便于計(jì)算。如圖12-3中(1)～(4)所示下面一排均為上面一排單元體向主平面投影得到的平面單元。因此單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)又統(tǒng)稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。3.三向應(yīng)力狀態(tài)單元體上三個(gè)主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。如圖12-4所示兩個(gè)單元體都屬于三向應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)又稱為空間應(yīng)力狀態(tài)。有時(shí)又將二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)單元體，可將單元體向主應(yīng)力為零的主44圖12-3圖12-4圖12-3圖12-445§12-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法設(shè)某平面應(yīng)力狀態(tài)的原始單元體如圖12-5(a)所示，x截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別記為σx和τx；y截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別記為σy和τy；z截面為主平面，且對(duì)應(yīng)的主應(yīng)力σz=0。一、任意斜截面上的應(yīng)力斜截面AC的法線n與x軸夾角為α，稱為α截面。(12-1a)§12-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法46(12-1b)圖12-5

47二、應(yīng)力極值及其作用平面1.正應(yīng)力極值及其作用平面正應(yīng)力的極值平面是主平面，正應(yīng)力的極值是主應(yīng)力。主平面法線與x軸所夾的方位角α0：

利用圖12-7中三角形關(guān)系，代入公式(12-1a)，化簡(jiǎn)后得到兩個(gè)正交主應(yīng)力的數(shù)值：

(12-2)(12-3)二、應(yīng)力極值及其作用平面(12-2)(12-3)48圖12-7圖12-8其中σmax的方位與原始單元體上兩個(gè)箭頭相對(duì)的剪應(yīng)力τx,τy的合矢量在同一個(gè)象限內(nèi)，如圖12-8所示。另一個(gè)主應(yīng)力σmin則與σmax垂直。2.剪應(yīng)力極值及其作用平面圖12-7圖12-849將式(12-1b)對(duì)變量α求一階導(dǎo)數(shù)，令其等于零，有可得剪應(yīng)力極值平面方位角α1的計(jì)算公式：利用圖12-10所示的三角形關(guān)系，代入式(12-1b)得剪應(yīng)力極值計(jì)算公式：(12-4)(12-5a)將式(12-1b)對(duì)變量α求一階導(dǎo)數(shù)，令其等于零，有50比較公式(12-3)和(12-5a)，可得剪應(yīng)力極值的另一形式的計(jì)算公式：由于剪應(yīng)力互等，所以一般只計(jì)算τmax。最大剪應(yīng)力和最小剪應(yīng)力的方向可由主應(yīng)力σ1確定:τmax和τmin的合矢量與σ1沿同一象限。用圖12-10所示的三角形關(guān)系，代入式(12-1a)得剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力σα1：(12-5b)(12-6)比較公式(12-3)和(12-5a)，可得剪應(yīng)力極值的另一形51它說明剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力一般不為零，而且大小相等，符號(hào)相同。剪應(yīng)力極值有時(shí)又稱為主剪應(yīng)力，其極值平面有時(shí)又稱為主剪切面。與主單元的關(guān)系如圖12-11所示。圖12-10圖12-11它說明剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力一般不為零，而且大小相等，符號(hào)52§12-3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法一、應(yīng)力圓的原理及作圖1.應(yīng)力圓方程2.原始單元上的基準(zhǔn)面與應(yīng)力圓上的基準(zhǔn)點(diǎn)原始單元上，一般以x截面為基準(zhǔn)面，應(yīng)力圓上則以Dx為對(duì)應(yīng)x截面的基準(zhǔn)點(diǎn)。3.應(yīng)力圓的作圖方法1)作σ—τ正交軸系，σ為橫軸，τ為縱軸。并定出適當(dāng)?shù)谋壤撸弧?2-3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法532)由原始單元上的σx,τy作出對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)點(diǎn)Dx(σx,τx)；由原始單元上的σy,τy，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)Dy(σy,τy)；3)作直線段連接Dx，Dy與σ軸交于C點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)()，為應(yīng)力圓的圓心；圖12-13圖12-13544)以C為圓心，為直徑作圓。該圓為對(duì)應(yīng)原始單元的應(yīng)力圓。二、原始單元各斜截面與應(yīng)力圓上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.α截面與Dα點(diǎn)原始單元上，與基準(zhǔn)面法線x軸方向夾角為α的方向，為α截面的法線方向，規(guī)定從x方向起，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。則在應(yīng)力圓上，從基準(zhǔn)點(diǎn)Dx起，順α的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過(2α)4)以C為圓心，為直徑作圓。55的圓心角，所確定的點(diǎn)即為α截面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Dα(σα，τα)，如圖12-14所示。應(yīng)注意的是，原始單元上α角的轉(zhuǎn)向與應(yīng)力圓上(2α)的轉(zhuǎn)向必須一致，切不可弄反。2.主平面與點(diǎn)A圖12-14的圓心角，所確定的點(diǎn)即為α截面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Dα(σα，τα)，如56如圖12-15所示，由應(yīng)力圓上Dx轉(zhuǎn)到A1所夾的圓心角為()，則在原始單元的x方向順相同轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過α0角的方向，即為σ1的方向。由于兩個(gè)主應(yīng)力正交，因此一般只需定出σ1的方向，即可作出主單元。圖12-15如圖12-15所示，由應(yīng)力圓上Dx轉(zhuǎn)到A1所夾的圓心角為(57平面應(yīng)力單元有一個(gè)主應(yīng)力為零，因此圖12-15所示單元的σ3=0。若由原始單元作出的應(yīng)力圓如圖12-16(a)所示,則對(duì)應(yīng)的主應(yīng)力應(yīng)為σ1＞0,σ2＝0，σ3＜0；若由原始單元作出的應(yīng)力圓如圖12-16(b)所示，則對(duì)應(yīng)的主應(yīng)力應(yīng)為σ1=0,0＞σ2＞σ3。這就要視具體情況來決定。3.剪應(yīng)力極值平面和點(diǎn)E剪應(yīng)力極值平面與主平面夾45°角，因此應(yīng)力圓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為過圓心C而與σ軸垂直的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)E，E′。剪應(yīng)力極值為E，E′的縱平面應(yīng)力單元有一個(gè)主應(yīng)力為零，因此圖12-15所示單元的σ358坐標(biāo)，也等于應(yīng)力圓的半徑值，即而剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力一般不等于零，與圓心C的橫坐標(biāo)值相等：圖12-16坐標(biāo)，也等于應(yīng)力圓的半徑值，即圖12-1659*§12-4三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介一、三向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力與三向應(yīng)力圓工程實(shí)際問題中，有時(shí)也會(huì)遇到三向應(yīng)力狀態(tài)問題，如低碳鋼位伸實(shí)驗(yàn)中，“頸縮”部分處于三向拉伸的應(yīng)力狀態(tài)；滾珠軸承中滾珠與內(nèi)環(huán)接觸處，處于三向壓縮的應(yīng)力狀態(tài)(見圖12-18)。若一點(diǎn)處的主單元體和三個(gè)主應(yīng)力已求出，如圖12-19(a)所示，則可以由σ1,σ2,σ3作出這一點(diǎn)的三向應(yīng)力圓：在σ軸上找到對(duì)應(yīng)的三點(diǎn)A1,A2,A3，分別以線段為*§12-4三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介60直徑作圓，如圖12-19(b)所示，即為這點(diǎn)的三向應(yīng)力圓。三個(gè)應(yīng)力圓與σ軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)三個(gè)主應(yīng)力；三個(gè)應(yīng)力圓有各自對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)力極值點(diǎn)E1，E2，E3，但最大的剪應(yīng)力圖12-18圖12-19圖12-18圖12-1961其作用面與σ1，σ3的主平面夾45°角。如圖12-19(a)所示。二、有一個(gè)主應(yīng)力已知的三向應(yīng)力狀態(tài)原始單元體有原始單元體上，若有一個(gè)主應(yīng)力為已知，如圖12-20(a)所示,σz為主應(yīng)力，可將該單元體向已知主平面投影，簡(jiǎn)化為平面單元，如圖12-20(b)，用平面應(yīng)力狀態(tài)的分析方法求出平面內(nèi)的兩個(gè)主應(yīng)力，與已知主應(yīng)力σz一起，排出這點(diǎn)的σ1,

σ2,σ3,并012第十二章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論課件62可畫出對(duì)應(yīng)的三向應(yīng)力圓，確定τmax。圖12-20可畫出對(duì)應(yīng)的三向應(yīng)力圓，確定τmax。圖12-2063§12-5廣義虎克定律一、主單元體的廣義虎克定律(12-7)§12-5廣義虎克定律64二、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律(12-8)二、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律65§12-6強(qiáng)度理論及其應(yīng)用一、強(qiáng)度理論的概念在復(fù)雜的受力構(gòu)件中，引起破壞的原因一直是人們尋找的目標(biāo)。通過長(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)研究，人們?cè)谟^察、分析了大量的數(shù)據(jù)后逐漸認(rèn)識(shí)到，材料破壞一般有兩種形式：塑性的屈服破壞和脆性的斷裂破壞。引起這兩種破壞的因素很多，人們通過觀察、實(shí)驗(yàn)，對(duì)引起破壞的主要因素提出了一些觀點(diǎn)和假說，并通過實(shí)踐驗(yàn)證，建立了幾種較為合理的解釋材料破壞原因的假說——強(qiáng)度理論。由于材料性質(zhì)不同,§12-6強(qiáng)度理論及其應(yīng)用66應(yīng)力狀態(tài)不同，構(gòu)件的工作環(huán)境不同，會(huì)產(chǎn)生不同的破壞形式，使得強(qiáng)度理論還不能全面地、準(zhǔn)確地概括所有的破壞形式，但它們卻在一定的范圍得到較廣泛的應(yīng)用。隨著科學(xué)的發(fā)展，新材料的不斷出現(xiàn)和運(yùn)用，強(qiáng)度理論也隨之發(fā)展、完善。本章著重介紹幾種工程上常用的經(jīng)典強(qiáng)度理論。二、經(jīng)典強(qiáng)度理論及其強(qiáng)度條件經(jīng)典理論從各自的觀點(diǎn)提出了引起材料破壞的原因，建立了復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)正的不破壞條件，與單向拉伸實(shí)驗(yàn)的極限狀態(tài)進(jìn)行比較，導(dǎo)出該應(yīng)力狀態(tài)不同，構(gòu)件的工作環(huán)境不同，會(huì)產(chǎn)生不同的破壞形式，使得67強(qiáng)度理論相對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度條件，可統(tǒng)一用下式表示式中：σeqi為根據(jù)不同強(qiáng)度理論建立的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的相當(dāng)應(yīng)力，是主應(yīng)力σ1,σ2,σ3的某種組合。腳標(biāo)i與相應(yīng)強(qiáng)度理論對(duì)應(yīng)。為根據(jù)拉伸實(shí)驗(yàn)確定的材料的許用應(yīng)力。1.最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論)該理論認(rèn)為材料破壞的主要因素是最大拉應(yīng)(12-9)強(qiáng)度理論相對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度條件，可統(tǒng)一用下式表示(12-9)68力σ1。無論何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力σ1達(dá)到材料的極限應(yīng)力值σu時(shí)，就會(huì)引起材料的破壞。由此建立了第一強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件：因此第一強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力2.最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)該理論認(rèn)為材料的破壞與否，取決于最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變?chǔ)?。當(dāng)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變?chǔ)?達(dá)到某個(gè)極限值εu時(shí)，材料就會(huì)被破壞。(a)力σ1。無論何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力σ1達(dá)到材料的極限69在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，由廣義虎克定律材料的εu可由單向拉伸實(shí)驗(yàn)確定則材料不被破壞的條件：ε1≤εu，可換算為第二強(qiáng)度理論的