§3.1

函數(shù)的單調(diào)性與極值

§3.2

極值的幾何應(yīng)用

§3.3

邊際與彈性

第三章導數(shù)的應(yīng)用

§3.4

極值的經(jīng)濟應(yīng)用

§3.5

曲線凹凸與拐點

1

一.收益最大

三.利潤最大§3.4極值的經(jīng)濟應(yīng)用

二.平均成本最低

四.存貨總費用最少2

一.收益最大案例1(合理定價,以使收益最大)經(jīng)市場調(diào)研,金牛牌內(nèi)衣在某地區(qū)每周的需求(單位:件)與其價格(單位:元/件)之間具有如下關(guān)系:

要確定商品的價格、需求的值,以使收益最大,所以目標函數(shù)應(yīng)是總收益函數(shù).解案例1試確定商品的價格、需求,以使收益最大,并求最大收益.

由于總收益為價格與銷售量(需求量)的乘積,而由需求與其價格之間的關(guān)系,得

于是3案例1(合理定價,以使收益最大)續(xù)解案例1因故(件)時,總收益最大.

這時,每件內(nèi)衣的售價為(元/件),最大收益為

(元).4銷售額最大,就是收益最大.所以目標函數(shù)是總收益函數(shù).

解練習1(“薄利多銷”，以使收益最大)天力牌襯衣,若定價為每件50元,一周可售出1000件,市場調(diào)查顯示,若每件售價每降低2元,一周的銷售量可增加100件.問每件售價定為多少元時,能使商家的銷售額最大,最大銷售額是多少？設(shè)因降價可多銷售件襯衣,則銷售的總件數(shù)為

依題設(shè),每件襯衣售價每降低2元,銷售可增加100件,現(xiàn)因降價多銷售了件襯衣,故每件襯衣應(yīng)降價元,從而,每件襯衣的售價應(yīng)為原售價減去每件襯衣應(yīng)降低的價格,即(元),

由上式,當時,即因降價最多可多銷售2500件．5續(xù)解練習1設(shè)因降價可多銷售件襯衣,則銷售的總件數(shù)為

(元),這時,總收益函數(shù)為售價與銷售件數(shù)的乘積,即

因故(件)時,銷售額最大.這時,每件襯衣的售價為最大銷售額為(元/件),(元).6

二.平均成本最低案例2問:月產(chǎn)量應(yīng)為多少臺,才能實現(xiàn)平均成本最低的目標?這時,每臺彩電的平均成本為多少元?解案例2

(以價格優(yōu)勢搶占市場份額,平均成本最低)川紅彩電為了在市場競爭中,以價格優(yōu)勢搶占市場份額,在集團內(nèi)實施“以平均成本最低為目標”的經(jīng)營策略.根據(jù)以往的統(tǒng)計資料,生產(chǎn)總成本(單位:百萬元)是月產(chǎn)量(單位:萬臺)的函數(shù)

本案例是以平均成本函數(shù)為目標函數(shù).由總成本函數(shù)得平均成本函數(shù)

7案例2續(xù)解案例2

本案例是以平均成本函數(shù)為目標函數(shù).

因

故當(萬臺)時,平均成本函數(shù)有最小值.即產(chǎn)量為97980臺時,平均成本最低.這時,每臺彩電的最低平均成本為

(百萬元/萬臺

)

(元/臺

).

8

三.利潤最大案例3求利潤最大時的產(chǎn)量、產(chǎn)品的價格和利潤.解案例3

(經(jīng)營者的目的是為了追求最大利潤一—利潤最大化原則)設(shè)廠商的總收益函數(shù)和總成本函數(shù)分別為本案例是以利潤函數(shù)為目標函數(shù).利潤函數(shù)為由于

所以利潤最大時的產(chǎn)出水平是

9求利潤最大時的產(chǎn)量、產(chǎn)品的價格和利潤.續(xù)解案例3

所以利潤最大時的產(chǎn)出水平是由總收益函數(shù)可得價格函數(shù)利潤最大時的價格

這時的最大利潤為

10利潤最大化原則

因利潤函數(shù)

上式表明,利潤最大時,邊際收益等于邊際成本,這稱為利潤最大化原則.

若當產(chǎn)量時利潤最大,由極值存在的必要條件,必有

即

邊際收益

邊際成本

=11

總利潤最大

邊際收益

邊際成本12這是求利潤最大,目標函數(shù)是利潤函數(shù).依題設(shè),對旅行社而言,機票收入是收益,付給航空公司的包機費是成本.解練習1(確定組團人數(shù),以使旅行社利潤最大)某旅行社舉辦風景

區(qū)旅行團.若每團人數(shù)不超過30人,飛機票每張收費900元;若每團人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠,每多1人,機票每張減少10元,直至每張機票降到450元為止.每團乘飛機,旅行社需付給航空公司包機費15000元.問每團人數(shù)為多少時,旅行社可獲得最大利潤?最大利潤為多少?所以每團人數(shù)最多為30+45=75人.所以飛機票的價格設(shè)以表示每團人數(shù),表示飛機票的價格.因

(取正整數(shù)

)13這是求利潤最大,目標函數(shù)是利潤函數(shù).依題設(shè),對旅行社而言,機票收入是收益,付給航空公司的包機費是成本.旅行社的利潤函數(shù)為續(xù)解練習2因14這是求利潤最大,目標函數(shù)是利潤函數(shù).依題設(shè),對旅行社而言,機票收入是收益,付給航空公司的包機費是成本.續(xù)解練習2顯然,應(yīng)由

得又所以,當

人時,利潤函數(shù)取最大值.即每團60人時,旅行社可獲得最大利潤.最大利潤為(元).

15案例4(成批到貨,一致需求,不許缺貨的庫存模型

)(庫存水平)平均庫存水平最高庫存水平每批數(shù)量(時間)

成批到貨

指工廠生產(chǎn)的每批產(chǎn)品,先整批存入倉庫.

一致需求指市場對這種產(chǎn)品的需求在單位時間內(nèi)數(shù)量相同,因而產(chǎn)品由倉庫均勻提取投放市場.

不許缺貨

指當前一批產(chǎn)品由倉庫提取完后,下一批產(chǎn)品立即進入倉庫.

一個計劃期內(nèi)

四.存貨總費用最少16案例4(成批到貨,一致需求,不許缺貨的庫存模型

)

假設(shè)前提(1)工廠生產(chǎn)總量為

(2)分批投產(chǎn),每次投產(chǎn)數(shù)量,即批量為(3)每批生產(chǎn)準備費為

(4)每件產(chǎn)品的庫存費為,且按批量的一半,即收取庫存費;

(5)存貨總費用是生產(chǎn)準備費與庫存費之和,記作

我們的問題是:如何決策每批的生產(chǎn)數(shù)量,即批量,以使存貨總費用取最小值．17(成批到貨,一致需求,不許缺貨的庫存模型

)依假設(shè),在一個計劃期內(nèi)先建立目標函數(shù)——存貨總費用的函數(shù)表達式

庫存費=每件產(chǎn)品的庫存費批量的一半=

生產(chǎn)準備費=每批生產(chǎn)準備費生產(chǎn)批數(shù)=于是,存貨總費用與批量的函數(shù)關(guān)系為

實際上,上式中的取區(qū)間中的整數(shù)因子.

續(xù)解案例418根據(jù)極值存在的必要條件,有由上式解得

或又,當時,則

當時,則

所以,當批量

時,存貨總費用最小,其值

“經(jīng)濟批量”公式

(只取正值)

19

可改寫為

庫存費

生產(chǎn)準備費

該式表明:在一個計劃期內(nèi),使庫存費與生產(chǎn)準備費相等的批量是經(jīng)濟批量.

在上述問題中,若把生產(chǎn)總量改為需求總量;把分批投產(chǎn),每次投產(chǎn)數(shù)量,改為分批訂購,每次訂購數(shù)量;每批生產(chǎn)準備費改為每次訂購費,該問題就是:在一個計劃期內(nèi),如何決策每次訂購數(shù)量,使訂購費用與庫存費用之和最小.20

依題設(shè),

解

某企業(yè)每月需要均勻使用某種零件4800件,且不允許缺貨,每件每月的庫存費為1.5元,每次訂貨費為100元,試確定每批訂貨量為多少時,才能使每月的庫存費與訂貨費之和最小,并求出最小費用

?練習3由經(jīng)濟批量公式,