解三角形應(yīng)用舉例解三角形應(yīng)用舉例1基礎(chǔ)知識(shí)梳理1．有關(guān)概念(1)仰角與俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角．目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫

，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫

．仰角俯角基礎(chǔ)知識(shí)梳理1．有關(guān)概念仰角俯角2如圖所示．基礎(chǔ)知識(shí)梳理如圖所示．基礎(chǔ)知識(shí)梳理3(2)方位角：從正

方向沿順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角叫方位角．(3)坡角：坡面與

面的夾角叫坡角．(4)坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之

叫做坡比．基礎(chǔ)知識(shí)梳理比水平北(2)方位角：從正方向沿順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水42．解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識(shí)．解題的一般步驟是：(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意．分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根據(jù)題意畫出示意圖．基礎(chǔ)知識(shí)梳理2．解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)梳理5(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解．演算過程中，要算法簡練，計(jì)算正確，并作答．(4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義，對解進(jìn)行取舍．基礎(chǔ)知識(shí)梳理(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正6有關(guān)距離測量問題，主要是測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不能到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，如海上、空中兩點(diǎn)測量，隔著某一障礙物兩點(diǎn)測量等．由于該問題不能采取實(shí)地測量，解決它的方法是建立數(shù)學(xué)模型，即構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化為解三角形問題．通常是根據(jù)題意，課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一測量距離有關(guān)距離測量問題，主要是測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不能到達(dá)的7例1、設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離。測量者在A的同測，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是100m，∠BAC＝45o，∠ACB＝75o，求A、B兩點(diǎn)間的距離.分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形例1、設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離。測量者在8例2、A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量兩點(diǎn)間的距離的方法。例2、A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量兩點(diǎn)間9測量高度問題一般是利用地面上的觀測點(diǎn)，通過測量仰角、俯角等數(shù)據(jù)計(jì)算物體的高度；這類問題一般用到立體幾何知識(shí)，先把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再通過解三角形加以解決．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)二測量高度測量高度問題一般是利用地面上的觀測點(diǎn)，通過測量仰角、俯角等數(shù)10課堂互動(dòng)講練例2某人在山頂P處觀察地面上相距2500m的兩個(gè)目標(biāo)A、B，測得目標(biāo)A在南偏西57°，俯角為30°，同時(shí)測得目標(biāo)B在南偏東78°，俯角是45°，求山高(設(shè)A、B與山底在同一平面上，計(jì)算結(jié)果精確到0.1m)．課堂互動(dòng)講練例2某人在山頂P處觀察地面上相距2500m的兩11課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練12課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練13【規(guī)律小結(jié)】

(1)依據(jù)題意畫圖是解決三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵．本例中，既有方位角(它是在水平面上所成的角)，又有俯角(它是鉛垂面上所成的角)，因而本例的圖形是一個(gè)立體圖形，因此在畫圖時(shí)，可畫立體圖形和平面圖形兩個(gè)圖，以對比分析求解；課堂互動(dòng)講練(2)由本例可知，方位角是相對于在某地而言的，因此在確定方位角時(shí)，必須先弄清是哪一點(diǎn)的方位角．從這個(gè)意義上來說，方位角是一個(gè)動(dòng)態(tài)角，在理解題意時(shí)，應(yīng)把它看活，否則在理解題意時(shí)將可能產(chǎn)生偏差．【規(guī)律小結(jié)】(1)依據(jù)題意畫圖是解決三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵．本14測量角度問題也就是通過解三角形求角問題，求角問題可以轉(zhuǎn)化為求該角的函數(shù)值；如果是用余弦定理求得該角的余弦，該角容易確定，如果用正弦定理求得該角的正弦，就需要討論解的情況了．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)三測量角度測量角度問題也就是通過解三角形求角問題，求角問題可以轉(zhuǎn)化為求15課堂互動(dòng)講練例3速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？課堂互動(dòng)講練例3速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10nm16【思路點(diǎn)撥】本例考查正弦、余弦定理的建模應(yīng)用．如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時(shí)間相等，若在D處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥】本例考查正弦、余弦定理的建模應(yīng)用．如圖所示，注17課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練18課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練19【名師點(diǎn)評(píng)】首先應(yīng)明確方位角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題時(shí)也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．課堂互動(dòng)講練【名師點(diǎn)評(píng)】首先應(yīng)明確方位角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意201．解三角形的一般步驟(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意．分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根據(jù)題意畫出示意圖．規(guī)律方法總結(jié)1．解三角形的一般步驟規(guī)律方法總結(jié)21(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解．演算過程中，要算法簡練，計(jì)算正確，并作答．(4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義，對解進(jìn)行取舍．規(guī)律方法總結(jié)(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正222．解斜三角形實(shí)際應(yīng)用舉例(1)常見的幾種題型測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等．(2)解題時(shí)需注意的幾個(gè)問題①要注意仰角、俯角、方位角等名詞，并能準(zhǔn)確地找出這些角；②要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來，發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，才能順利解決．規(guī)律方法總結(jié)2．解斜三角形實(shí)際應(yīng)用舉例規(guī)律方法總結(jié)23例1海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島間的距離是

。ACB10海里60°75°解斜三角形基本概念和公式.例1海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B24解斜三角形基本概念和公式練習(xí)1.如圖,一艘船以32海里/時(shí)的速度向正北航行,在A處看燈塔S在船的北偏東200,30分鐘后航行到B處,在B處看燈塔S在船的北偏東650方向上,求燈塔S和B處的距離.（保留到0.1海里）解：AB=16，由正弦定理知：BS/sin20°=AB/sin45°可求BS=7.7海里。解斜三角形基本概念和公式練習(xí)1.如圖,一艘船以32海里254、計(jì)算要認(rèn)真，盡量不使用計(jì)算器。解斜三角形理論應(yīng)用于實(shí)際問題應(yīng)注意：1、認(rèn)真分析題意，弄清已知元素和未知元素。2、要明確題目中一些名詞、術(shù)語的意義。如視角，仰角，俯角，方位角等等。3、動(dòng)手畫出示意圖，利用幾何圖形的性質(zhì)，將已知和未知集中到一個(gè)三角形中解決。4、計(jì)算要認(rèn)真，盡量不使用計(jì)算器。解斜三角形理論應(yīng)用于實(shí)際問26B例2

一艘漁船在我海域遇險(xiǎn)，且最多只能堅(jiān)持45分鐘，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45o、距離為10海里的C處，并測得漁船以9海里/時(shí)的速度正沿方位角為105o的方向航行，我海軍艦艇立即以21海里/時(shí)的速度前去營救。求出艦艇的航向和趕上遇險(xiǎn)漁船所需的最短時(shí)間，能否營救成功？解斜三角形解三角形的應(yīng)用.NN45o105o10海里ACB例2一艘漁船在我海域遇險(xiǎn)，且最多只能堅(jiān)持45分鐘，我海軍27解斜三角形解三角形的應(yīng)用.解：設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，在點(diǎn)B處相遇（如圖）在△ABC中，ACB=120,AC=10,AB=21t,BC=9t由正弦定理：

∴航向?yàn)楸逼珫|45o+22o=67o時(shí)間40分鐘能營救成功。（舍去）

由余弦定理：(21t)2=102+(9t)2

2×10×9t×cos120整理得：36t2

9t10=0解得：解斜三角形解三角形的應(yīng)用.解：設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，在點(diǎn)B處相28解斜三角形解三角形的應(yīng)用.練習(xí)1、我艦在敵島A南50°西相距12海里B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北10°西的方向以10海里/時(shí)的速度航行，我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則需要的速度大小為

。A南50°B10°C分析：2小時(shí)敵艦航行距離AC=20，由AB=12，∠BAC=120°，余弦定理可解我艦航行距離BC。解斜三角形解三角形的應(yīng)用.練習(xí)1、我艦在敵島A南50°西相29解斜三角形練習(xí)2：海中有島A，已知A島周圍8海里內(nèi)有暗礁，今有一貨輪由西向東航行，望見A島在北75°東，航行20海里后，見此島在北30°東，如貨輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，問有無觸礁危險(xiǎn)。ABCM北北解斜三角形練習(xí)2：海中有島A，已知A島周圍8海里內(nèi)有暗礁，今30解：在△ABC中∠ACB=120°∠BAC=45°由正弦定理得：由BC=20,可求AB∴得AM=

≈8.97>8∴無觸礁危險(xiǎn)ABCM北北7530解：由BC=20,可求AB∴無觸礁危險(xiǎn)ABC31解：在Rt△ABM中，AM/BM=tan15°在Rt△ACM中，AM/CM=tan60°∴BM=AM/tan15°，CM=AM/tan60°由BC=BM-CM=20∴可解出AM=

≈8.97>8∴無觸礁危險(xiǎn)ABCM北北7530解：由BC=BM-CM=20∴無觸礁危險(xiǎn)AB32解三角形應(yīng)用舉例解三角形應(yīng)用舉例33基礎(chǔ)知識(shí)梳理1．有關(guān)概念(1)仰角與俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角．目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫

，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫

．仰角俯角基礎(chǔ)知識(shí)梳理1．有關(guān)概念仰角俯角34如圖所示．基礎(chǔ)知識(shí)梳理如圖所示．基礎(chǔ)知識(shí)梳理35(2)方位角：從正

方向沿順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角叫方位角．(3)坡角：坡面與

面的夾角叫坡角．(4)坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之

叫做坡比．基礎(chǔ)知識(shí)梳理比水平北(2)方位角：從正方向沿順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水362．解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識(shí)．解題的一般步驟是：(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意．分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根據(jù)題意畫出示意圖．基礎(chǔ)知識(shí)梳理2．解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)梳理37(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解．演算過程中，要算法簡練，計(jì)算正確，并作答．(4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義，對解進(jìn)行取舍．基礎(chǔ)知識(shí)梳理(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正38有關(guān)距離測量問題，主要是測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不能到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，如海上、空中兩點(diǎn)測量，隔著某一障礙物兩點(diǎn)測量等．由于該問題不能采取實(shí)地測量，解決它的方法是建立數(shù)學(xué)模型，即構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化為解三角形問題．通常是根據(jù)題意，課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一測量距離有關(guān)距離測量問題，主要是測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不能到達(dá)的39例1、設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離。測量者在A的同測，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是100m，∠BAC＝45o，∠ACB＝75o，求A、B兩點(diǎn)間的距離.分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形例1、設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離。測量者在40例2、A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量兩點(diǎn)間的距離的方法。例2、A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量兩點(diǎn)間41測量高度問題一般是利用地面上的觀測點(diǎn)，通過測量仰角、俯角等數(shù)據(jù)計(jì)算物體的高度；這類問題一般用到立體幾何知識(shí)，先把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再通過解三角形加以解決．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)二測量高度測量高度問題一般是利用地面上的觀測點(diǎn)，通過測量仰角、俯角等數(shù)42課堂互動(dòng)講練例2某人在山頂P處觀察地面上相距2500m的兩個(gè)目標(biāo)A、B，測得目標(biāo)A在南偏西57°，俯角為30°，同時(shí)測得目標(biāo)B在南偏東78°，俯角是45°，求山高(設(shè)A、B與山底在同一平面上，計(jì)算結(jié)果精確到0.1m)．課堂互動(dòng)講練例2某人在山頂P處觀察地面上相距2500m的兩43課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練44課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練45【規(guī)律小結(jié)】

(1)依據(jù)題意畫圖是解決三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵．本例中，既有方位角(它是在水平面上所成的角)，又有俯角(它是鉛垂面上所成的角)，因而本例的圖形是一個(gè)立體圖形，因此在畫圖時(shí)，可畫立體圖形和平面圖形兩個(gè)圖，以對比分析求解；課堂互動(dòng)講練(2)由本例可知，方位角是相對于在某地而言的，因此在確定方位角時(shí)，必須先弄清是哪一點(diǎn)的方位角．從這個(gè)意義上來說，方位角是一個(gè)動(dòng)態(tài)角，在理解題意時(shí)，應(yīng)把它看活，否則在理解題意時(shí)將可能產(chǎn)生偏差．【規(guī)律小結(jié)】(1)依據(jù)題意畫圖是解決三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵．本46測量角度問題也就是通過解三角形求角問題，求角問題可以轉(zhuǎn)化為求該角的函數(shù)值；如果是用余弦定理求得該角的余弦，該角容易確定，如果用正弦定理求得該角的正弦，就需要討論解的情況了．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)三測量角度測量角度問題也就是通過解三角形求角問題，求角問題可以轉(zhuǎn)化為求47課堂互動(dòng)講練例3速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？課堂互動(dòng)講練例3速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10nm48【思路點(diǎn)撥】本例考查正弦、余弦定理的建模應(yīng)用．如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時(shí)間相等，若在D處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥】本例考查正弦、余弦定理的建模應(yīng)用．如圖所示，注49課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練50課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練51【名師點(diǎn)評(píng)】首先應(yīng)明確方位角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題時(shí)也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．課堂互動(dòng)講練【名師點(diǎn)評(píng)】首先應(yīng)明確方位角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意521．解三角形的一般步驟(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意．分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根據(jù)題意畫出示意圖．規(guī)律方法總結(jié)1．解三角形的一般步驟規(guī)律方法總結(jié)53(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解．演算過程中，要算法簡練，計(jì)算正確，并作答．(4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義，對解進(jìn)行取舍．規(guī)律方法總結(jié)(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正542．解斜三角形實(shí)際應(yīng)用舉例(1)常見的幾種題型測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等．(2)解題時(shí)需注意的幾個(gè)問題①要注意仰角、俯角、方位角等名詞，并能準(zhǔn)確地找出這些角；②要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來，發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，才能順利解決．規(guī)律方法總結(jié)2．解斜三角形實(shí)際應(yīng)用舉例規(guī)律方法總結(jié)55例1海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島間的距離是

。ACB10海里60°75°解斜三角形基本概念和公式.例1海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B56解斜三角形基本概念和公式練習(xí)1.如圖,一艘船以32海里/時(shí)的速度向正北航行,在A處看燈塔S在船的北偏東200,30分鐘后航行到B處,在B處看燈塔S在船的北偏東650方向上,求燈塔S和B處的距離.（保留到0.1海里）解：AB=16，由正弦定理知：BS/sin20°=AB/sin45°可求BS=7.7海里。解斜三角形基本概念和公式練習(xí)1.如圖,一艘船以32海里574、計(jì)算要認(rèn)真，盡量不使用計(jì)算器。解斜三角形理論應(yīng)用于實(shí)際問題應(yīng)注意：1、認(rèn)真分析題意，弄清已知元素和未知元素。2、要明確題目中一些名詞、術(shù)語的意義。如視角，仰角，俯角，方位角等等。3、動(dòng)手畫出示意圖，利用幾何圖形的性質(zhì)，將已知和未知集中到一個(gè)三角形中解決。4、計(jì)算要認(rèn)真，盡量不使用計(jì)算器。解斜三角形理論應(yīng)用于實(shí)際問58B例2

一艘漁船在我海域遇險(xiǎn)，且最多只能堅(jiān)持45分鐘，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45o、距離為10海里的C處，并測得漁船以9海里/時(shí)的速度正沿方位角為105o的方向航行，我海軍艦艇立即以21海里/時(shí)的速度前去營救。求出艦艇的航向和趕上遇險(xiǎn)漁船所需的最短時(shí)間，能否營救成功？解斜三角形解三角形的應(yīng)用.NN45o105o10海里ACB例2一艘漁船在我海域遇險(xiǎn)，且最多只能堅(jiān)持45分鐘，我海軍59解斜三角形解三角形的應(yīng)用.解：設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，在點(diǎn)B處相遇（如圖）在△ABC中，ACB=120,AC=10,AB=21t,BC=9t由正弦定理：

∴航向?yàn)楸逼珫|45o+22o=67