§6.3三重積分的計(jì)算一、在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算與二重積分類似，三重積分也可以化為三次積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算。下面我們通過(guò)計(jì)算物體的質(zhì)量來(lái)得到三重積分的計(jì)算公式.設(shè)空間閉區(qū)域V的邊界曲面的直線交點(diǎn)不多于兩個(gè)，將V投影到xoy面上，得投影閉Dxy，以Dxy的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于z軸的柱面，該柱面與區(qū)域V的邊界曲面的交線把V的邊界曲面分成上、下兩部分，其方程分別是與平行于z軸穿過(guò)V的內(nèi)部連續(xù)，在Dxy上假設(shè)V中分布有體密度為f(x,y,z)的某種物質(zhì)，在Dxy上點(diǎn)(x,y)處取面積元素以的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于z

軸的細(xì)長(zhǎng)柱體，分割該細(xì)長(zhǎng)柱體可以看成以z為變量的細(xì)桿，它通過(guò)曲面S1:進(jìn)入?yún)^(qū)域V，然后，通過(guò)曲面穿出區(qū)域V外，其進(jìn)入點(diǎn)與穿出點(diǎn)的豎坐標(biāo)分別是與因此，該細(xì)桿的質(zhì)量為：f(x,y,z)只看作z的函數(shù).這里對(duì)z

積分時(shí)，先將x,y看成常數(shù)，此時(shí)于是總質(zhì)量為：以上將三重積分化為三次積分是先計(jì)算一個(gè)定積分再計(jì)算一個(gè)二重積分，稱之為“先一后二法”。類似地，可以將區(qū)域V投影到y(tǒng)oz、zox

平面上，可得三重積分按其它順序的三次積分。空間立體的體積大立體是由小立體連續(xù)三次疊加形成，故三重積分實(shí)際上可以看成連續(xù)的三次積分。思考：下面這種疊加順序，該如何化為三次積分？DxyDxyy=1-x11

解在Dxy內(nèi)任取一點(diǎn)，作平的點(diǎn)在平面z=0,離開(kāi)區(qū)域V的點(diǎn)在平面z=1-x-y上.例1

計(jì)算三重積分，其中V為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域.行于z軸的直線，進(jìn)入?yún)^(qū)域Vz=y解1解例2化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域?yàn)橛汕婕八鶉傻拈]區(qū)域.得交線投影區(qū)域

Dxy1故V：

以上將三重積分化為三次積分是先計(jì)算一個(gè)定積分再計(jì)算一個(gè)二重積分，稱之為“先一后二法”。事實(shí)上，我們也可以先計(jì)算一個(gè)二重積分，再作一個(gè)定積分，我們稱之為“先二后一法”。選擇平行平面切片分割立體點(diǎn)的體密度是橢球體選擇平行平面切片，過(guò)的平面切片D的質(zhì)量空間立體的質(zhì)量是先二后一法其結(jié)果為z的函數(shù)；

積分步驟:解

例4

解二、三重積分在柱坐標(biāo)系中的計(jì)算規(guī)定：柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為1.柱面坐標(biāo)：圓柱面；半平面；平面．2.在柱面坐標(biāo)系下的三族坐標(biāo)面為：下面考慮一下在柱面坐標(biāo)系下被分割出來(lái)的小立體的體積微元。在直角坐標(biāo)系下的分割法在極坐標(biāo)系下的薄片分割法用柱坐標(biāo)系中的三組坐標(biāo)面來(lái)分割閉區(qū)域V，所以，柱坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算公式為：與直角坐標(biāo)系中一樣，在柱坐標(biāo)系中三重積分同樣可化為對(duì)的三次積分，一般總是先對(duì)z

積分，余下的二重積分就是極坐標(biāo)系中的二重積分，有時(shí)也可以先計(jì)算極坐標(biāo)系中的二重積分，再對(duì)z積分。解知交線為例2計(jì)算z=0例3計(jì)算解解zz=rz=aaDxyz144分析：如果采用先一后二法，對(duì)z積分的上下限情況怎樣？xyz14xyz14思考：能否采用先對(duì)r后對(duì)z最后對(duì)積分？xyz144三、三重積分在球面坐標(biāo)系中的計(jì)算柱面坐標(biāo)直角坐標(biāo)回顧規(guī)定：有向線段軸正向所成的角2.直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系球面；圓錐面；半平面．CMPyz

x03.球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面4.球面坐標(biāo)下的體積元素回顧直角坐標(biāo)柱面坐標(biāo)特點(diǎn):都用坐標(biāo)面來(lái)分割空間立體dxzy0體積元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成的六面體d圓錐面半平面及+d

；

半徑為

及的球面；圓錐面及+d球面坐標(biāo)下的體積元素圓錐面+d

于是體積元素dv

在球坐標(biāo)系為：去掉高階無(wú)窮小后，可將這個(gè)六面體當(dāng)作長(zhǎng)方體,其長(zhǎng)為寬為高為5.球面坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算公式思考：在什么情況下選擇球坐標(biāo)計(jì)算較簡(jiǎn)？答案：

當(dāng)積分區(qū)域V由球面、圓錐面（或其部分）所圍成，被積函數(shù)為的