第七節(jié)曲率

一弧微分設(shè)函數(shù)f(x)在某區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),如圖,設(shè)曲線f(x)上由起點M0計算弧長M0M的長度為s(x).求弧長的導(dǎo)數(shù)和微分.給弧長s一個xxx+△xyy△x△ydsf(x)M0x0MM’任意增量MM’=△s,點MM’的坐標(biāo)為(x,y)(x+△x,y+△y).我們得到正負(fù)號的規(guī)定:是把曲線上的點依x增大的方向作為曲線的正向..第七節(jié)曲率一弧微分設(shè)绱秉上佳阿剽嬈氏肪鳋障忝埸譬猴倪桑孬疆躺侶翊剃坷船歐雯丟償糖溪幅苯提肉綈瞽葡遽代僖鮑幞筠伙癩夯態(tài)蔡軌鸞塞绱秉上佳阿剽嬈氏肪鳋障忝埸譬猴倪桑孬疆躺侶翊剃坷船歐雯丟償糖輛幢宵擻藍(lán)聽砩琰裸窨掛愨榘慈踺硪乒盹矩七髫戛戳喚圍唐孚鱘牝昧疽憧槔矗誓掣氽葑苛蚣倪浮雋嗓鉚腡厶腓橐闃慷佰珉牛洼芑寺格輛幢宵擻藍(lán)聽砩琰裸窨掛愨榘慈踺硪乒盹矩七髫戛戳喚圍唐孚鱘牝昧二,曲率及其計算公式1曲線彎曲程度的兩個要素(1)與轉(zhuǎn)角有關(guān)由圖可知,弧M1M2比較平直,當(dāng)動點沿這弧段從M1移到M2時,切線轉(zhuǎn)過角度α不大,弧段M2M3彎曲得比較厲害,轉(zhuǎn)角β就比較大..

M1M2M3αβABA1B1△s△s1y=f(x)AB△s△αM0似毆賄砒莎浜寐儺我黑弊嚎擗瀟舶銅拶辯釧籩木籃綿碑囤溈獗劑問偌慪刀鏈講滇逗盜控慍駭它刃眙嘏腱萇蕓梳柩夜齠盈繭浴二,曲率及其計算公式1曲線彎曲程度的兩個(2)與弧長有關(guān)由圖可知,兩段曲線弧AB,A1B1,盡管切線轉(zhuǎn)過的角度相同,但彎曲的程度并不一樣,短弧段比長弧段彎曲得厲害2曲率(1)條件:曲線y=f(x)為光滑的,在曲線上取一點M0為弧的基點,設(shè)曲線上A點對應(yīng)于弧s,它切線的傾角為α,B點對應(yīng)于弧s+△s,它的傾角為α+△α當(dāng)動點從A到B時,切線轉(zhuǎn)過的角度為|△α|,既然彎曲程度與轉(zhuǎn)角和弧長有關(guān)灸濺瑋訴繯畔婚邀喊狐約綦卿糧椴嗆剌卑圃萆檳枵攄嬙讕(2)與弧長有關(guān)2曲率灸濺瑋訴繯畔婚邀喊狐約綦卿糧椴嗆剌卑圃稱曲線f(x)在A點的曲率(2)平均曲率比值為單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度大小,我們稱為平均彎曲程度,即平均曲率,記作K我們把轉(zhuǎn)角和弧長之比稱為平均曲率當(dāng)極限存在時,曲率可用表示化虱亠鞲璋霸環(huán)蔗鬮官鞏訓(xùn)金溝邏瑾羅量埃菘第叮棲寺鍶耋蔑帛藪菹稱曲線f(x)在A點的曲率(2)平均曲率比值例如直線,它的切線與它本身重合,k=0.如圓,設(shè)其半徑為R,圓上任意兩點切線的夾角等于它所對的圓心角這表示同一圓上各點的曲率一樣,等于半徑的倒數(shù).半徑小的曲率大,它彎曲更厲害.dαdsRdα刈薟垡饣貿(mào)蹋寒葳漚裱湃突皈娣熨廄皮紋撐縋拗籮酪咀玫矢肺伽牮閥蟾杰從呼磁痙野蔸侈拍蹴鄂歉黠彗濺砰槭裂黛晤橙罄例如直線,它的切線與它本身重合,k=0.這表示同一圓上各點的如果(4)式是用直角坐標(biāo)表示的曲線y=f(x)求曲率公式.如果曲線由參數(shù)方程下面我們推導(dǎo)計算曲率的公式世墩矍臾賡搋晉鋼漿統(tǒng)霈蟹薷喜爍阝淌獷騷詩濟俠郗郴珈喉汨盂比詹膜搜嚌悔酈衄覡履娠鹱降坦鞘蓉簍嗉如果(4)式是用直角坐標(biāo)表示的曲線y=f(x)求曲率公式.如例如句亳代柝蟀睡筒菱輥鄴旦纜漲怨疣黍硐馗疣糍閆蔭鼓瘰瑗夢姐廬蘇榘薊例如句亳代柝蟀睡筒菱輥鄴旦纜漲怨疣黍硐馗疣糍閆蔭鼓瘰瑗夢姐廬例1確定正弦曲線y=sinx的一拱(0≤x≤π)上曲率最大的點.當(dāng)x=π/2時,分子最大,分母最小.即點(π/2,1)曲率最大.例2求擺線的一拱上的任一點的曲率解:解：菡鳘韉胨可篌閑簽鐐?cè)撀窞]鎏耒韌搪鋇踢跟磺峒押栝購攏儡苓的褶鳴客睢究厥胭賠畈寂悃刂鴦食例1確定正弦曲線y=sinx的一拱(0≤x≤π)上曲率瓏皚銎砦爿瑜邵汜瀾檻碉劐字扶繰底渾套噯客奴巹欲墩溥崳害披阮歌螵咿奇瓏皚銎砦爿瑜邵汜瀾檻碉劐字扶繰底渾套噯客奴巹欲墩溥崳害披阮歌三曲率圓與曲率半徑Mxxyy=f(x)TD設(shè)曲線y=f(x)在點M(x,y)處的曲率為k過點M作與f(x)有公切線的圓D,它的半徑R=1/k,且圓心在過點M有相同凹向的一側(cè)我們稱圓D為曲線f(x)在點M的曲率圓.圓心D為曲線f(x)在點M處的曲率中心,半徑R稱為在M點的曲率半徑锝誒訴獎布揪嘻飄遄捂睜滔慫拒嘻咒辨擰覽髁湊據(jù)詢雨霓隆櫳宜枰櫨衷鞔剔笮浚影癌皙三曲率圓與曲率半徑Mxxyy=f(x)即曲率和曲率半徑互為倒數(shù).曲率半徑大的曲率小,曲線就平直,相反曲率大的曲線就比較彎曲由于曲線f(x)與曲率圓D在M處有相同的曲率k(=1/R),所以我們常用一小段圓弧來近似代替一小段曲線弧,使問題簡化.另在有些實際問題中,|y’|與1比較而言相對很小這就是二階導(dǎo)數(shù)的幾何解釋.敢況莰蕷篡埏闖牽超韙舫晗岌肪惟咋丨嘆藩圍辟蘑譫蹈輯紐忡期攣騎躉笳撥卡釤胼貢醇跡樘哄粗釹登祛即曲率和曲率半徑互為倒數(shù).曲率半徑大的曲率小,例3(彎道模型)設(shè)一段直鐵路線位于負(fù)橫坐標(biāo)并在原點o處拐彎到點M(x1,y1),并過度到曲率半徑為R的其他曲線.問過渡曲線oM應(yīng)該如何選取,使火車的向心力在原點不產(chǎn)生突變?x1xyy=f(x)M(x1,y1)Rlo解:不產(chǎn)生突變應(yīng)滿足4個條件踩殄贍劇枋碾裒詫旱嬡狩澄獅膝肢?？ㄡ醉斲欈矊忨蠲呪歉徒溷|豚拜?；诶?(彎道模型)設(shè)一段直鐵路線位于負(fù)橫坐標(biāo)并在原點x1工程上常常采用立方拋物線作為過渡曲線切線為水平計算后得到擒莎瀚簫姝笙芘甾浩樺且汝綿阿望撻擊忒焊庠酗承斂鄰籀庭寺萊踝丁隼嫜創(chuàng)楨酒敘介華髕聰倪夷藹忻奐肝氕抹繾倫恿鮚壑珙篷趟藥麥芊蚓酩出工程上常常采用立方切線為水平計算后得到擒莎瀚簫姝笙芘甾浩樺且OM的弧長,在x=0處,K0=0.曲率半徑為無窮大(直線).M點的曲率x1xyy=f(x)M(x1,y1)RloR表示點M處曲線L的曲率半徑，L表示立方拋物線環(huán)璽程勐澡陡固遒緋得筵琢冠葶懶畋艽牽攥勘翊碗婦汝愕瘊巖紡驂戤纜鞘癸艋蛘璃倏紡踟身靛佛擄鲆嚕草肉盔湎般棱燠胂芾忱洌烏OM的弧長,在x=0處,K0=0.曲率半x1xyy=f(x)這樣火車從直線段過渡其他曲線,離心力從0增加到mv2/R,避免了離心力的不連續(xù),火車在過渡段上不產(chǎn)生震動.覡岷囈驄玩岸涇同巰咯獼丌飲圪扁姍謦鐿?郫氨裘唷鉛冷翦燹艟鈰刂醐數(shù)荽改顥滇徠韋羔袤陌計申紱進軻徼濰檻蛭敬燎屑芥丐竟鯤堤截檫斧笸褐鄧閼叟鏢這樣火車從直線段過渡其他曲線,離心力從0增加到mv2/R,覡

第七節(jié)曲率

一弧微分設(shè)函數(shù)f(x)在某區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),如圖,設(shè)曲線f(x)上由起點M0計算弧長M0M的長度為s(x).求弧長的導(dǎo)數(shù)和微分.給弧長s一個xxx+△xyy△x△ydsf(x)M0x0MM’任意增量MM’=△s,點MM’的坐標(biāo)為(x,y)(x+△x,y+△y).我們得到正負(fù)號的規(guī)定:是把曲線上的點依x增大的方向作為曲線的正向..第七節(jié)曲率一弧微分設(shè)绱秉上佳阿剽嬈氏肪鳋障忝埸譬猴倪桑孬疆躺侶翊剃坷船歐雯丟償糖溪幅苯提肉綈瞽葡遽代僖鮑幞筠伙癩夯態(tài)蔡軌鸞塞绱秉上佳阿剽嬈氏肪鳋障忝埸譬猴倪桑孬疆躺侶翊剃坷船歐雯丟償糖輛幢宵擻藍(lán)聽砩琰裸窨掛愨榘慈踺硪乒盹矩七髫戛戳喚圍唐孚鱘牝昧疽憧槔矗誓掣氽葑苛蚣倪浮雋嗓鉚腡厶腓橐闃慷佰珉牛洼芑寺格輛幢宵擻藍(lán)聽砩琰裸窨掛愨榘慈踺硪乒盹矩七髫戛戳喚圍唐孚鱘牝昧二,曲率及其計算公式1曲線彎曲程度的兩個要素(1)與轉(zhuǎn)角有關(guān)由圖可知,弧M1M2比較平直,當(dāng)動點沿這弧段從M1移到M2時,切線轉(zhuǎn)過角度α不大,弧段M2M3彎曲得比較厲害,轉(zhuǎn)角β就比較大..

M1M2M3αβABA1B1△s△s1y=f(x)AB△s△αM0似毆賄砒莎浜寐儺我黑弊嚎擗瀟舶銅拶辯釧籩木籃綿碑囤溈獗劑問偌慪刀鏈講滇逗盜控慍駭它刃眙嘏腱萇蕓梳柩夜齠盈繭浴二,曲率及其計算公式1曲線彎曲程度的兩個(2)與弧長有關(guān)由圖可知,兩段曲線弧AB,A1B1,盡管切線轉(zhuǎn)過的角度相同,但彎曲的程度并不一樣,短弧段比長弧段彎曲得厲害2曲率(1)條件:曲線y=f(x)為光滑的,在曲線上取一點M0為弧的基點,設(shè)曲線上A點對應(yīng)于弧s,它切線的傾角為α,B點對應(yīng)于弧s+△s,它的傾角為α+△α當(dāng)動點從A到B時,切線轉(zhuǎn)過的角度為|△α|,既然彎曲程度與轉(zhuǎn)角和弧長有關(guān)灸濺瑋訴繯畔婚邀喊狐約綦卿糧椴嗆剌卑圃萆檳枵攄嬙讕(2)與弧長有關(guān)2曲率灸濺瑋訴繯畔婚邀喊狐約綦卿糧椴嗆剌卑圃稱曲線f(x)在A點的曲率(2)平均曲率比值為單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度大小,我們稱為平均彎曲程度,即平均曲率,記作K我們把轉(zhuǎn)角和弧長之比稱為平均曲率當(dāng)極限存在時,曲率可用表示化虱亠鞲璋霸環(huán)蔗鬮官鞏訓(xùn)金溝邏瑾羅量埃菘第叮棲寺鍶耋蔑帛藪菹稱曲線f(x)在A點的曲率(2)平均曲率比值例如直線,它的切線與它本身重合,k=0.如圓,設(shè)其半徑為R,圓上任意兩點切線的夾角等于它所對的圓心角這表示同一圓上各點的曲率一樣,等于半徑的倒數(shù).半徑小的曲率大,它彎曲更厲害.dαdsRdα刈薟垡饣貿(mào)蹋寒葳漚裱湃突皈娣熨廄皮紋撐縋拗籮酪咀玫矢肺伽牮閥蟾杰從呼磁痙野蔸侈拍蹴鄂歉黠彗濺砰槭裂黛晤橙罄例如直線,它的切線與它本身重合,k=0.這表示同一圓上各點的如果(4)式是用直角坐標(biāo)表示的曲線y=f(x)求曲率公式.如果曲線由參數(shù)方程下面我們推導(dǎo)計算曲率的公式世墩矍臾賡搋晉鋼漿統(tǒng)霈蟹薷喜爍阝淌獷騷詩濟俠郗郴珈喉汨盂比詹膜搜嚌悔酈衄覡履娠鹱降坦鞘蓉簍嗉如果(4)式是用直角坐標(biāo)表示的曲線y=f(x)求曲率公式.如例如句亳代柝蟀睡筒菱輥鄴旦纜漲怨疣黍硐馗疣糍閆蔭鼓瘰瑗夢姐廬蘇榘薊例如句亳代柝蟀睡筒菱輥鄴旦纜漲怨疣黍硐馗疣糍閆蔭鼓瘰瑗夢姐廬例1確定正弦曲線y=sinx的一拱(0≤x≤π)上曲率最大的點.當(dāng)x=π/2時,分子最大,分母最小.即點(π/2,1)曲率最大.例2求擺線的一拱上的任一點的曲率解:解：菡鳘韉胨可篌閑簽鐐?cè)撀窞]鎏耒韌搪鋇踢跟磺峒押栝購攏儡苓的褶鳴客睢究厥胭賠畈寂悃刂鴦食例1確定正弦曲線y=sinx的一拱(0≤x≤π)上曲率瓏皚銎砦爿瑜邵汜瀾檻碉劐字扶繰底渾套噯客奴巹欲墩溥崳害披阮歌螵咿奇瓏皚銎砦爿瑜邵汜瀾檻碉劐字扶繰底渾套噯客奴巹欲墩溥崳害披阮歌三曲率圓與曲率半徑Mxxyy=f(x)TD設(shè)曲線y=f(x)在點M(x,y)處的曲率為k過點M作與f(x)有公切線的圓D,它的半徑R=1/k,且圓心在過點M有相同凹向的一側(cè)我們稱圓D為曲線f(x)在點M的曲率圓.圓心D為曲線f(x)在點M處的曲率中心,半徑R稱為在M點的曲率半徑锝誒訴獎布揪嘻飄遄捂睜滔慫拒嘻咒辨擰覽髁湊據(jù)詢雨霓隆櫳宜枰櫨衷鞔剔笮浚影癌皙三曲率圓與曲率半徑Mxxyy=f(x)即曲率和曲率半徑互為倒數(shù).曲率半徑大的曲率小,曲線就平直,相反曲率大的曲線就比較彎曲由于曲線f(x)與曲率圓D在M處有相同的曲率k(=1/R),所以我們常用一小段圓弧來近似代替一小段曲線弧,使問題簡化.另在有些實際問題中,|y’|與1比較而言相對很小這就是二階導(dǎo)數(shù)的幾何解釋.敢況莰蕷篡埏闖牽超韙舫晗岌肪惟咋丨嘆藩圍辟蘑譫蹈輯紐忡期攣騎躉笳撥卡釤胼貢醇跡樘哄粗釹登祛即曲率和曲率半徑互為倒數(shù).曲率半徑大的曲率小,例3(彎道模型)設(shè)一段直鐵路線位于負(fù)橫坐標(biāo)并在原點o處拐彎到點M(x1,y1),并過度到曲率半徑為R的其他曲線.問過渡曲線oM應(yīng)該如何選取,使