大串講主講教師：高昆輪梳理體系，查缺補(bǔ)漏答題技巧：@考研數(shù)學(xué)高老師三、一元函數(shù)積分學(xué)主要內(nèi)容：不定積分、定積分、反常積分的概念、性質(zhì)及存在性，不定積分、定積分、反常積分的計(jì)算，變限積分，積分有關(guān)的證明題（等式、不等式），定積分的應(yīng)用（幾何、物理、經(jīng)濟(jì)）。1.原函數(shù)的存在性與函數(shù)的可積性，反常積分的斂散性.

f

t

dt,則0例1

2013,

F

x

2,

sin

x,

0

x

x數(shù)二

設(shè)函數(shù)f

x

x

2

A

x

是F

x的跳躍間斷點(diǎn)C

F

x在x

處連續(xù)但不可導(dǎo)

B

x

是F

x的可去間斷點(diǎn)D

F

x在x

可導(dǎo)注：1）連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)；2）有第一類間斷點(diǎn)（跳躍、可去）的函數(shù)在包含該間斷點(diǎn)的任何區(qū)間內(nèi)都沒(méi)有原函數(shù)；f

xaxcxcF+

c

lim

f

x

AF

c

lim

f

x

A

;xax

c若是則F

x

=

f

tx

c是F

x

=

f

t

dt的尖點(diǎn).x

c則F

x

xaxcFc

lim

f

x

Af

tf

x在a,b上連續(xù),則f

x在a,b上可積f

x在a,b上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則f

x在a,b上可積

A

BC

2222D

例（2

2015數(shù)二）下列反常積分收斂的是

1

dx

ln

xdx

1

dxx

ln

x

x

dx

exxx1995數(shù)三下列廣義積分發(fā)散的是

AC

D

2e

x

dx011x

ln2

x1

x21sin

xdx

dxB1dx2

f

xdx收斂;

f

x

g

xdx同斂散.aaaa0

g

x

aaax3）limg x

dxg x

dxf x

dxg

xf

xdx收斂

f

xdx發(fā)散；注:1)a

f

xdx收斂,則2）0

f

x

g x

,且收斂,則f x

,且發(fā)散,則

a

0,則與x

exx

時(shí),ln

x1

dx0

x

pp

1收斂;p

1發(fā)散;p

1收斂；p

1發(fā)散.x

p

dx1x

ln

x

=1,

dx

2

1,

,收斂

1,

,發(fā)散

1,收斂

1,發(fā)散1x

ln

1

x1,

x

e

A

2

B

2

C

2

0

D0

2,1

x

e,

若反常積分1

f

xdx收斂,則

x

1

12013數(shù)二

f

x

BC

x

ln

x2x

ln

xe

Ae

l

dxex1987數(shù)三

ln

xdxn

x1

m

ln2

1

x例32010數(shù)一數(shù)二設(shè)m,n均是正整數(shù),則反常積分0dx的斂散性

A僅與m有關(guān)

B僅與n有關(guān)

C

與m,n都有關(guān)

D與m,n都無(wú)關(guān)20021221

21

200dx,n

x2111

2

1,收斂n

xn

xxm1xn

xn

mn

x1

m

ln2

1

xxn

mn

mdx同斂散,

且p

1

m

ln2

1

x

1

m

ln2

1

x1

m

ln2

1

xdx

m

ln2

1

x

dx

1,故dx與分析:0和1都是瑕點(diǎn),x

0

時(shí),11

x

2

m

ln2

1

x=

ln

m

1

x,

ln

1

x

2則ln

m

1

x

2,

0,11

xm2n

xn

xm

ln2

1

xx

1

時(shí),m,

0,p

1,收斂2.不定積分、定積分、反常積分的計(jì)算1）不定積分的計(jì)算（湊微分、換元、分部、有理函數(shù)、三角有理函數(shù)等）常用的湊微分思想:x2x

exx1幾個(gè)常用的湊微分公式,

1

dx

2dx;1

dx

d

1

;1

dx

e

xdx

de

x

.（..廣義化）2對(duì)被積函數(shù)中復(fù)雜部分求導(dǎo),看出湊誰(shuí)的微分.常用的換元思想:三角代換、倒代換、根式代換、復(fù)雜部分整體代換...分部積分法：適用的函數(shù)類特點(diǎn)（兩類不同函數(shù)的乘積）u,

v的選取原則（ 、冪、三、指）分部積分的結(jié)果(直接得出結(jié)果型、得到循環(huán)積分型、得到遞推積分型）有理函數(shù)積分：分解部分分式之和的理論;三角有1若R

sin

x,cos

x2若R

sin

x,cos

x

R

sin

x3若R

sin

x,cos

x

R

sinx,cos

x,往往注意常用的三角公式對(duì)被積函數(shù)作化簡(jiǎn)變形考試中不定積分往往都是某幾種方法結(jié)合一起，如先湊微分，再分部或者換元，最后再有理函數(shù)分解等，要靈活結(jié)合，但不必研究過(guò)于復(fù)雜、技巧的不定積分.x例4

2011數(shù)三求不定積分

arcsin

x

ln

xdx分析:

I

2arcsin

x

ln

xd

x1

x

2

x

arcsin

x

ln

x

d

1

x

4

x另:

x

t,則I

2arcsin

tdt

4ln

tdt

sin

x1

x（2002數(shù)三）f

sin2

x

x

,

求

x

f

x

dx

arcsin

xx分析:易求得f

x

dxarcsin

x1

x,于是I

=

2arcsinxd

1

x

d

1

xarcsin

x1

x

例5(2002數(shù)二）（局部）xex12

exdxd

ex

1x12

ex1

exxex

xd

1

1dx1

exdx1

exexdx1

ex

exdx1

ex2

dx

xe

x1

e

x

1996數(shù)三

e

xdx1

e

x

1

e

xde

x

x

ln

1

e

Carcsin

exexx

xdx

arcsin

e

de

例62006數(shù)二

1996數(shù)二

exdx

arc

cot

exexx

xdx

arc

cot

e

de

1992數(shù)三

1arctan

exe2

xx

2

xdx

arctan

e

de

22001數(shù)一

xearctan

x232例（7

2003數(shù)二）1

xdxarctan

x2

2arctan

xearctan

x

earctan

x1

x

1

x直接湊微分不方便,考場(chǎng)復(fù)雜部分earctan

x的導(dǎo)數(shù),于是

dx

de

,e

xearctan

x1

x2

2xearctan

xarctan

xxearctan

x

earctan

xarctan

x3

dx=de

2

23

dx

2de211

x

1

x1

x2

21

x1

xx

31

x2

1

x2221

xarctan

x

arctan

x

arctanx

xe

e

xedx分部積分的循環(huán)積分型xearctan

x3

dx1

x22例8.例（7

2003數(shù)二）2322et

tan

t分析:作換元x

tan

t,則I

1

tan

ttsec

tdt

e

sin

tdt

典型的分部積分循環(huán)積分型例（9

2009數(shù)二，數(shù)三）x1

x

dx

ln

1分析:作換元t=x1

xdx11

t

t

2xt

21

x

1

ln(1

t)1

1

ln

1dx

ln

1

t

d

t

211t2

ln(1

t)

12

t2

dx

sin

2x

2

sin

x例10

1994數(shù)一數(shù)二分析:R

sin

x,cos

x

=11sin

2x

2sin

x

2sin

x(cos

x

1)2

1

cos2

x(cos

x

1)R

sin

x,cos

x

R

sin

x,cos

x,湊d

cos

xI

dx

2sin

x(cos

x

1)2241

t2

(1

t)

1

t

2

(1

t)

1

dt

1

1

t

(1

t)

dt

14

2

另:I

x2sin

costan

costand

tan

2x1

tan2

x2

dx

1

dx

14x

3

x22d

tan

xx

2

x222sin

x(cos

x

1)

81

t

22t2,

cos

x

1

t2,

dx

1

t

2x1

t2另：利用萬(wàn)能代換,tan

t,則sin

x2dxI

1

1

t

dt

4

t三角有理函數(shù)的積分，一方面試著看合適湊什么微分，另一方面利用其恒等變形如1

sin2

x

cos2

x,cos

2x

cos2

x

sin2

x

2

cos2

x

1

1

2

sin2

x,2）定積分的計(jì)算（基本方法、基本公式；特色方法）

2

220002023

02220014

sinn是奇數(shù)xdx,n是偶數(shù)4nnnn2

cos

xdx,

nnnn2nsinn

x

cosn

xdx

2nsin

xdxn是奇數(shù)sin

xdx

cos

xdx

sinn

xdx

2

2

sinn

xdx

00

0,

0,cos

xdx

0

0sin

xdx

cos

xdx

基本常用公式是偶數(shù)

f

cos

x

dxf

b

a

x

dx9

002200011005xf

sin

x dx

f

sin

x

dx26f

sin

x

dx

aaf

xdx

f

x

f

x

dx

a7

bba8

af

xdx

nmmnx

1

x dx

x

1

x

dx例1（1

1989數(shù)二）t

sin

tdt00sin

tdt2

公式522002x3

sin2

xco01

2

2

82

2

sin2

x

cos2

xdx

2

22

公式41990數(shù)二10x

1

xdx

1120=

x

1x dx

公式9例12

1995局部22sin

x

arctan

exdx

0202x sin

x

arctan

e

arctan

e

x

dx

2

(sin

x

arctan

ex

sin

x

arctan

e

x

)dx

公式7202014數(shù)二數(shù)三（二重積分局部）dcos

cos

sin200(2cos

sinsinsin

cos4)d

12 cos

sin

sin

cosd

公式601x

arcsin

xdx

例1（2

1987數(shù)二）1120arcsin

xd

x21102x

10

1211

arcsin

x2

1

1

x2dx1

x211

x2

dx

1

1

2

4

8012例132012數(shù)一120x

2x

x dx

120x

1

x

1

dx

220x

111

x

1

dx

22200x

1

1

x

1

dx

21

x

12

dx

1

0

t0例1（4

1995數(shù)二）

sin

txf

x

dt,

計(jì)算

f x

dx變限積分的定積分一般是兩種方式處理1）分部積分（取變限積分作為u);2)化為二重積分,交換次序.

000分析:I

sin

xdx

2

x

0f x

dx

xf

x

sin

t

dt

x

sin

x

dx

t

x

x0

0

xf x

dx

000sin

t

t分析:I

t

dt

2

xf x

dxdx

dt

sin

t

t0

dt dx

sin

t

t0

t

2013數(shù)一10分1

f

xdtx

ln

1

t

計(jì)算0dx,其中f

x

1xt8

2

4

ln

23）反常積分的計(jì)算212dx2

x

x例1（5

1998數(shù)二）33

211122dxdxx

x2

x

x1a2x2

x2

a2dx;

1

dx2

dxxe

x例16

1996數(shù)三

x1

e00xd0111

e

x1

e

x1

e

xxdx

01x

ln

1

e

Cxxe

x

x1

e先計(jì)算不定積分2

dx

xd

1

e

x

1

e

x

0

x

xxlim

x

ln

1

e1

e+022000011dx=1

e

x

xe

xxexxdx

1

ex

xd

1

ex

1

ex

1

ex

dx

另：3.變限積分函數(shù)1）求導(dǎo)

f

t

dt0a.F

xx

0b.F

xxf tx

dt

,

F

x

10c.F

x

0xxf t

dt

f

txdt10

xf tx

dt

1997數(shù)一數(shù)二奇偶性，周期性等價(jià)代換原理（見(jiàn)第一串講）分段函數(shù)的變限積分（分段函數(shù)的不定積分）

sin

txF

x

例1（7

1997數(shù)一數(shù)二）x2e

sin

tdt,則F

x

A為正常數(shù)

B為負(fù)常數(shù)

C

恒為0

D不為常數(shù)1

2

30例1（8

2012數(shù)一數(shù)二）kk

2I

ex

sin

xdx,則I

，I

,I

2baa1

0

g t

dt

x

a

,

x

a,

ba

g

t

dtbaaf x

dx

f x

g

x

dx4.積分有關(guān)的綜合題（證明題）（常數(shù)變量化引入變限積分；積分的性質(zhì)；分部積分與變量替換；泰勒公式或牛頓-萊布尼茨公式）例1（9

2014數(shù)二數(shù)三）f

x,g

x在a,b上連續(xù),且f

x單獨(dú)增,0

g

x

1,證明x

證明:

(1)0

g

x

1

0

xxaag t

dt

1dt

x

a,

x

a,b

xa另：h

x

=

x

a

g t

dt，h

a

0h

x

1

g

x

0，故h

x在a,b上單增

h

x

h

a

0

.xxaaxag

t

dtf因g

x

0,故只需證明x

fF

x

f

x

g

x

f a

g

t

dt

g

x

g

x

f

x

f a

a

目標(biāo)證明F

b

0,又F

a

0,故只需證明F

x在a,b上單增；g

t

dt

0,x

a,b

即可

f

t

dt

b

x,常數(shù)不等式證明:常數(shù)變量化

2

令F

x

xaxa

g

t

dtaaf t

g

t dt

由1

0

xxaag t

dt

x

a

a

a

g t

dt

xf

x單調(diào)增例2（0

2005數(shù)三）設(shè)f

x,g

x在0,1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù),且f

0

0,f

x

0,g

x

0,證明:對(duì)a

0,1有

00a

1g

x

f

x dx

f x

g

x dx

f

a g

1

.

100xf t

g

t dt

f

x

g

1

,

x

0,1分析；令F

x

=

g

t

f

t dt

目標(biāo)證明F

x

0,又F1

0,于是只需證明F

x在0,1上單調(diào)減即可.F

x

g

x

f由于f

x

0,g

x

0,故F

x

0,F

x在

a00000a

aaag x

dfx

f

x

g

x

f x

g

x

dx

f

a

g

a

f x

g

x

dx

另：

g

x

f

x

dx

1100001aaa=f

a

g

a

+

f

x

g

xdxf x

gf x

g

xdx+

f x

g

x

dxx

dx=f

a

g

a

于是左端

g

x

f

x dx

f

x

0,f

x在0,1上單調(diào)增,則故f

x

g

x

f

a

g

x

11aag

a

進(jìn)而,

f x

g x

dx

f a

g x

dx

f

a

g

1

1a

所以f

a

g

a

+

f

x

g x

dx

f

a

g

a

f

a

g

1

g

a

f

a

g

1

1100001a00a

11aaaaaaaf

x

g

xf x

g x

dx

f

a

g

a

f x

g x

dxf x

g x

dx

f x

g x

dxf

x

g

x

dx

f x

g x

dx

f

x

g x

另:

g x

f x

dx

f x

g x

dx

g x

f x

dx

11aaf

a

g

a

ff x

g

x

dxx

g

x dx

f

a g

1

f

a

g

a

g

1

111aaa

f

agf

xx

dx

g

x dx

g

x

f

x

f a

dx1993數(shù)二設(shè)f

x在0,a上連續(xù),且f

0

0,證明:

202aMaf x

dx,

其中M

=

max

f

x分析:f

x

f

0

Ma200002a

aaaf

x

dxf

xdx

x

f

xMdx

dx

0f

0

分析2：f

x

xf t

dt

000xxxf

xf

tfdt

t dt

Mdt

Mx

Ma2002aaf

x

dxMxdx

0af

xd

x

a

x

a

f

xa0000a分析3：

f

xdx

a

a

x

a

f

x

dx

a

x

f

xdx

Ma20

0002aaaaf x

dxM a

x

dxa

x

f

x dx

a

x

f

x dx

故關(guān)系的手段常有以下三種：a

x

b之注：聯(lián)系f

x與f

x兩者1拉格朗日中若有f

a

0,則進(jìn)一步2牛頓-萊布尼茨公式

f

f

x

(x

a)

f

,x

若有f

a

0,則進(jìn)一步

f

x

3

f

a

0;

dt,如本題分析2af

t

dt,xaf

tx

f

a

b

bbbbaaaaaf x

d

xf x

dx

b

x

b

f

xx

b

f x

dx

b

x

fx

dx,如分析3

f

x

dx

n

1,

2,

3,1例2（1

1999數(shù)二）n,

a

n

k

1f x

是0,

上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)證明數(shù)列an

的極限存在nf

k

1nk

1nna

f

k

f x

dx

f

xdxn1k

1k

1nk

1kf

k

kk

1k

1f

k

f

xdx

f

nn1

n1

f

k

f

f

nk

1f

x單調(diào)減少且非負(fù)