第五二類曲面積一、第二類預(yù)備知雙側(cè)曲面、定向曲曲面分上側(cè)和下 曲面分內(nèi)側(cè)和外選定了側(cè)的曲面稱為定向曲面我們以曲面的法向量來定出曲面的設(shè)曲面在點(x,y,z)處的法na2b2a2b2c2

(a,b,c) ncos

0

c曲面取下側(cè),則：c曲面取右側(cè)，則

b曲面取左側(cè)，則：b曲面取前側(cè)，則：a曲面取后側(cè)，則a對對封閉曲面z0xnnyB:當(dāng)選內(nèi)側(cè)時z0xnny

n指向 n指向內(nèi)，ncoscosncoscosn

z(

zx,z

C(Dxy上側(cè)

P(

y,z),

(zx

,z

;(x,yn下側(cè)n

P(

y,z),

(zn (z

,z

(x,y說明

:x

x(y,z),

xy,

C(Dyz

前側(cè)后側(cè)

P(x,P(

y,z)y,z)

Pny (1,ny

,

(y,z(2)

:y

y(x,z),

yx,

C(Dzx

cos右側(cè)

P(

y,z)

n

(yx,1,yz)(x,z)(3)

左側(cè)P

yz

n

yx

yz ()z帶

計算穩(wěn)定流動不可壓縮流體(度為1)流向曲面指定側(cè)的流量設(shè)流速場為常向量v,有向平面A,求位時間A的流體的質(zhì)量.v流量A

ooAooA 單位法向量

v(

y,z)

P(

y,z),Q(

y,z),R(

y,是速度場中的一片有向曲面，P(

y,

Q(

y,

R(

y,z)C(),求在單位時間內(nèi)流向Σ.zno分割把Σ分成n 個小曲面Si(Si同時zno第 小塊曲面的面積),ni x近似代

(i,i,

)Sio

v(i,i,i該點的流速

n(i,i,iv(i,i,i

,i該點處曲面Σ 單位法向量 on(i,i,i 通過Si流向指定側(cè)的流量,,x o,,

(i

v(

i

n( n求 nnni

v(i

,i

,

)o

,i

,

取極

令

max{diam(Si)|1

n}取極限得到流量的精確值limn0iv(ii,i)oii,iiv(x,y,z)n(x,y,o定

設(shè)為一片光滑有向

向量值函onF(x,y,z)on

P(x,y,

Q(x,y,z)

R(x,y,z)k在上有

(

yz)為定向曲

yz)on的單位法向量on

如果第一類曲面積F(

y,z)

(

y,存在則稱其

F(

y,

在定向曲面上的積亦稱為第二類（或?qū)ψ鴺?biāo)的）曲面積分。記F(

y,z)

有向曲面元積分曲

被積函F(x,y,z)on F(x,y,z)on

P(x,y,z),Q(

y,z),R(

y,z)F(

y,z)(

y,(P

R

nn

(

y,z)

(cos,cos,cos

P

Q

dS

RcosdS.1z21z2zxy

z(x,y)n

cos 又dScosdS

11z1z2zxy

212

21

222

xyxy

當(dāng)cos當(dāng)cosdxdydxdy dxyxy,當(dāng)cos當(dāng)cos dzdxcoscosdS稱為定類似地dS在yozzox平面的有dydz，dzdx,F(

y,z)

P

Q

dS

RcosdS.

dS

(cosdS,

dS,cosdS)(dydz,dzdx,說明(1)可積條若P

y,

Q(

y,z),R(

y,z)C(),則第二類曲面積分存在(2)物理意1)v(

y,z)

P(

y,z)i

Q(

y,z)j

R(

y,z)k單位時間內(nèi)流向Σ指定側(cè)的流體的質(zhì)vv

性質(zhì)

若1

2

1、2

光滑,方向與

一致),F(

y,z)dS

F(

y,z)dS

F(

y,z)dS(2)

設(shè)是有向光滑曲面

是的反曲面,F(

y,z)dS

F(

y,z)dS即第二類曲面積分與積分曲面的方向有關(guān)二、第二類曲面積分的計算

zz(x,y)設(shè):zz(x, 上zx,z

C(Dxy P(x,y,z),Q,RC( x

IPdydzQdzdx

P(

y,z(

y))(zx)

(zy)

R注記下側(cè)

I

(zx)

Q(zy)

RR(

y,

的計若:z=z(x,y)在xoy面上的投影為Dxy

R(

y,z)dxdy

R(x,

y,z(x,

當(dāng)取上

R(x,

y,z(x,

當(dāng)取下 當(dāng)與xoy面垂P(

y,z)dydz的計則

P(

y,z)dydzDyz

P(

y,z),

y,

當(dāng)取前

P(

y,

y,

當(dāng)取后 當(dāng)與yoz面垂Q(

y,z)dzdx

的計若:y=y(z,x)在zox面上的投影為Dzx則：Q

y,z)dzdxQ(x,y(z,

x),

當(dāng)取右 Qx,y(zx 當(dāng) 當(dāng)與zox面垂

I(

dzdx

其中為A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)頂點的三角形平面的上z解

z1x

Dxy

0x1,0

y1x. n(zx

,zy

xI

[(x

2)11(1x

y)

(4

y)dxdy4 dxdy

計算

xyzdxdy，其中Σx2

y2z2(x

0,

0)，外側(cè)

2

1x2

y2解

2

且1取上側(cè)，2取下z

212

z1x21x2y1x2y

1Dxy

0

,02

I

xyzdxdy

1x2

y2dxdy

1x2

y2例設(shè)均勻流體(密度1)的流速為

(z2

x,0,z)求流體流過曲面∑的流量，其中Σ是z

1(x22

y2n(n(zx,zy1(x2y2(x,

0及

2之間的部分的下解

z1(x22

y2

Dxy

x2

v(

y,z)(z2

x)dydz

4

(x2

y2)2

x](x)2(x2(x2y2)204

[

1(x22

y2

x2dxdy

1(x2

y2 Dxy42cos2d2

2

21

0

0說明

:x

x(y,

xy,

C(DyzPdydzQdzdx

P(x(y,z),y,z)1

(xy)

R(xz(2) :yy(x,

yx,

C(DzxPdydzQdzdx右左

P(

y(x,z),z)(yx)

1

R(yz

xdydz,其中

與平面

1所圍的表面，取外側(cè)解

2

I

xdydz

21

z

取上側(cè)

xdydz1而

2(前

2(后

Dyzzy2zyzy2zy2

取前側(cè)

1

y

x

取后側(cè)

y2

I

2

xdydz

zyzy2

zy2dydz

I

zy2dydz

(zzy2

2

z

Dyz

1

y

y2

14 z1

Dyz

0y