離散時間信號與系統(tǒng)-正在為您選擇最快的線路第一章學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義，掌握序列的基本運(yùn)算，并會判斷序列的周期性。掌握線性/移不變/因果/穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)的概念并會判斷，掌握線性移不變系統(tǒng)及其因果性/穩(wěn)定性判斷的充要條件。了解對連續(xù)時間信號的時域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復(fù)過程。21.1離散時間信號離散時間信號及其時域表示序列的基本運(yùn)算常用序列序列的周期用單位脈沖序列表示任意序列序列的能量與功率3離散時間信號(序列)在物理上是指定義在離散時間上的信號樣品的集合，樣品集合可以是本來就存在的，也可以是由模擬信號通過采樣得來的或者是用計算機(jī)產(chǎn)生的。在數(shù)學(xué)上可用時間序列{x(n)}來表示。其中x(n)代表序列的第n個樣點(diǎn)的數(shù)字，n代表時間的序號，n的可取值范圍為-∞﹤n﹤∞的整數(shù)。許多時候?yàn)榱朔奖?，直接用x(n)來代表序列全體{x(n)}

。本書中，離散時間信號與序列將不予區(qū)分。離散時間信號及其時域表示4離散時間信號及其時域表示

離散時間信號的時域表示1、枚舉式：例如：2、公式（封閉式）：例如：零點(diǎn)位置5離散時間信號及其時域表示3、圖形式：例如：圖中橫坐標(biāo)n表示離散的時間坐標(biāo)，且僅在n為整數(shù)時才有意義；縱坐標(biāo)代表信號樣點(diǎn)的值。6序列的基本運(yùn)算序列的加減將兩序列序號相同的數(shù)值相加減，即：7序列的基本運(yùn)算z(1)=x(1)+y(1)…z(2)=x(2)+y(2)z(0)=x(0)+y(0)8序列的基本運(yùn)算序列的乘積將兩序列序號相同的數(shù)值相乘，即：9序列的基本運(yùn)算z(1)=x(1)·y(1)…z(2)=x(2)·y(2)z(0)=x(0)·y(0)10序列的基本運(yùn)算序列的延時將序列全體在時間軸上移動，即：時左移，時右移，如：11序列的基本運(yùn)算序列乘常數(shù)序列的反褶序列的差分同一序列相鄰兩個樣點(diǎn)之差，分為前向差分和后向差分。前向差分后向差分12序列的基本運(yùn)算序列的抽取將原來的序列每隔M個樣點(diǎn)保留一個樣點(diǎn)，去掉其中的M-1個樣點(diǎn)而形成的新序列。即：例：求如下圖所示的序列x(n)，經(jīng)M=3的抽取運(yùn)算后所形成的新的序列y(n)。13序列的基本運(yùn)算y(-1)=

x(-1·3)y(0)=

x(0·3)y(1)=

x(1·3)解：…14序列的基本運(yùn)算序列的插值在原來序列的每兩個樣點(diǎn)之間等間隔的插入L個新的樣點(diǎn)，從而變成一個具有更多樣點(diǎn)的新序列。即：顯然序列的抽取運(yùn)算與序列的插值互為逆運(yùn)算。15序列的基本運(yùn)算序列y(n)是對序列x(n)的插值序列x(n)是對序列y(n)的抽取16序列的基本運(yùn)算17常用序列單位（脈沖）序列-201mn1-1…1-2-1012n18常用序列單位階躍序列...0123nu(n)1(n)與u(n)的關(guān)系19常用序列矩形序列0123n14

與的關(guān)系:20常用序列矩形序列，式中ω0為數(shù)字頻率21常用序列復(fù)指數(shù)序列實(shí)部與虛部示意圖：22常用序列則有：令中σ=0

余弦與正弦序列示意圖：23序列的周期性定義若序列x(n)滿足且N是使其成立的最小正整數(shù)，則稱序列x(n)為以N為周期的周期序列。24序列的周期性正弦序列及其周期按周期序列的定義，其中k為整數(shù)，除非p=2kπ/ω0為整數(shù)。否則正弦序列沒有周期。25序列的周期性求序列的周期。解：當(dāng)取2時，可得到的最小正周期數(shù)3，即序列的周期。26用單位（脈沖）序列表示任意序列

任意序列都可用單位（脈沖）序列

表示成樣點(diǎn)值的加權(quán)和形式，即：例如對序列用單位脈沖序列的加權(quán)可表示為：

27序列的能量與功率有界信號：若存在有界常數(shù)B，使序列滿足則稱序列為有界信號。序列的總能量有界信號的總能量定義為序列各樣點(diǎn)值的平方和，即：當(dāng)時，稱信號為能量有限信號。28序列的能量與功率若序列的長度為有限長時，只要信號為有限值，則信號的能量就是有限的。但當(dāng)信號的長度為無限長時，即使信號有界，其能量也不一定是有限的。序列的平均功率1、對非周期序列，若序列為無限長，其平均功率定義為：29序列的能量與功率能量為有限值，平均功率等于零的信號稱為能量信號。能量為無限值，平均功率為有限值的信號稱為功率信號。2、對周期為N的周期序列，其平均功率定義為：顯然，周期序列通常為功率信號30序列的能量與功率設(shè)離散信號的表達(dá)式為試判斷該信號是能量信號還是功率信號。解：∵該信號為有界信號，其總能量為：可見信號的能量是無限的，但其功率為：∴該信號是功率信號。311.2離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)的定義和性質(zhì)線性時不變離散系統(tǒng)線性時不變離散系統(tǒng)的基本元件單位脈沖響應(yīng)與卷積序列的相關(guān)性離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性32離散時間系統(tǒng)的定義和性質(zhì)定義：指將輸入序列變換成輸出序列的一種運(yùn)算電路。齊次性：ax(n)ay(n)疊加性：x1(n)+x2(n)y1(n)+y2(n)線性性：a1x1(n)+a2x2(n)a1

y1(n)+a2y2(n)時不變性(延遲性或移不變性)：x(n-m)y(n-m)差分性：x(n)y(n)累加和性：33線性時不變離散系統(tǒng)定義同時滿足線性性和時不變性的離散時間系統(tǒng)。即：線性性34線性時不變離散系統(tǒng)時不變性例：試證明以下系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)。證明：1、線性性設(shè)有序列和及常數(shù)和，則有∴該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。35線性時不變離散系統(tǒng)2、時不變性：∴系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。在上式中令，則上式右邊變?yōu)椋?6線性時不變離散系統(tǒng)的基本元件基本元件1、加法器2、系數(shù)乘法器3、延時器37線性時不變離散系統(tǒng)的基本元件如下圖就是利用這些元件實(shí)現(xiàn)的一個簡單的線性時不變系統(tǒng)的框圖其數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(n)=x(n)+ay(n-1)38單位脈沖響應(yīng)與離散卷積單位脈沖響應(yīng)線性時不變離散系統(tǒng)任意激勵下的響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)之間的關(guān)系39單位脈沖響應(yīng)與離散卷積離散卷積的性質(zhì)與計算1、卷積的性質(zhì)：可交換性：結(jié)合性：40單位脈沖響應(yīng)與離散卷積分配性：41單位脈沖響應(yīng)與離散卷積2、卷積的計算包括以下四個步驟：反褶、移位、相乘、求和1)反褶，先將x(n)和h(m)的變量n換成m，變成x(m)和h(m)，再將h(m)以m=0為軸反褶成h(-m)。2)移位，將h(-m)移位n，變成h(n-m)，n為正數(shù)，右移n位，n為負(fù)數(shù)，左移n位。42單位脈沖響應(yīng)與離散卷積3)相乘，將h(n-m)與x(m)在相同的對應(yīng)點(diǎn)相乘。4)求和，將所有對應(yīng)點(diǎn)乘積累加起來，就得到n時刻的卷積值，對所有的n重復(fù)以上步驟，就可得到所有的卷積值y(n)。43單位脈沖響應(yīng)與離散卷積求：44單位脈沖響應(yīng)與離散卷積解：先給出x(m)和h(m)的圖形x(m)01231/213/2m012m1h(m)0－1－2m1h(－m)45單位脈沖響應(yīng)與離散卷積x(m)01231/213/2m－101/23/235/23/2046單位脈沖響應(yīng)與離散卷積012345y(n)n1/23/235/23/247序列的相關(guān)性定義：兩個序列x(n)和y(n)的線性互相關(guān)序列rxy(m)為式中m代表兩個序列的相對位移。式中rxy(m)的下標(biāo)順序xy表示在上述互相關(guān)運(yùn)算中，x(n)在時間上保持不變，而對y(n)進(jìn)行相對移位。48序列的相關(guān)性1、上式中代表兩個序列和間的相對位移。2、序列的互相關(guān)運(yùn)算用于比較兩個序列之間的相似性，并根據(jù)這種相似性進(jìn)行信號的檢測和測量。3、序列的互相關(guān)運(yùn)算也是一種運(yùn)算，該運(yùn)算方式形式上十分類似于卷積運(yùn)算，因此應(yīng)格外注意二者的區(qū)別。49序列的相關(guān)性如果反過來y(n)在時間上保持不變，而對x(n)進(jìn)行相對移位,則結(jié)果ryx(m)為50序列的相關(guān)性線性自相關(guān)若x(n)=y(n)，則稱為x(n)的線性自相關(guān)，即顯然，當(dāng)m=0時，有51序列的相關(guān)性卷積運(yùn)算與相關(guān)運(yùn)算的關(guān)系上式說明序列y(n)相對參考序列x(n)的互相關(guān)運(yùn)算，可以將y(n)通過具有單位脈沖響應(yīng)為x(-n)的線性時不變系統(tǒng)得到。52離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性因果性是指系統(tǒng)在n時刻的輸出只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入，而與n時刻以后的輸入無關(guān)。系統(tǒng)的因果性表明了系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性。如果系統(tǒng)的輸出與將來的輸入有關(guān)，該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)，是物理不可實(shí)現(xiàn)的。線性時不變因果系統(tǒng)的充要條件為

h(n)=h(n)u(n)53離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性證明：充分性若n<0,h(n)=0，則利用卷積公式，對于任何輸入x(n)，其輸出為

對某個時刻n0，其輸出y(n0)為上式表明n0時刻的輸出y(n0)只與m≤n0的所有x(m)有關(guān)，而與m>n0的x(m)無關(guān)。因此，該系統(tǒng)為因果性系統(tǒng)。54離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性必要性：采用反證法。假定系統(tǒng)為因果性系統(tǒng)，但在n<0時h(n)≠0，按卷積公式，對于任何輸入x(n)，n0時刻的其輸出y(n0)為這樣，由于n<0時h(n)≠0，上式中右邊的第二項(xiàng)和式中至少有一項(xiàng)不為零，也就是說，n0時刻的輸出y(n0)只少于一個m>n0的x

(m)有關(guān)，與系統(tǒng)是因果性系統(tǒng)的假設(shè)矛盾。因此必須有n<0時h(n)=0。

證畢。55離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)對于任何有界輸入，輸出也應(yīng)是有界的。通常稱這種穩(wěn)定性為有界輸入—有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)定條件為56離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性證明：充分性可見，輸入是有界時，輸出亦有界，因此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。57離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性必要性采用反證法。即對有界的輸入，輸出為無界，與系統(tǒng)穩(wěn)定性的假設(shè)矛盾。58離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=-anu(-n-1)，討論系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性。解：因果性因在n<0時，h(n)≠0，故系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)穩(wěn)定性591.3線性時不變系統(tǒng)的描述差分方程描述差分方程的求解60差分方程描述N階前向差分方程式中，x(n),y(n)分別為激勵與響應(yīng)。前向差分方程多用于狀態(tài)變量分析法。61差分方程描述n階后向差分方程后向差分方程多用于因果系統(tǒng)與數(shù)字濾波器的分析?；?2差分方程的求解遞推法經(jīng)典解法時域解法Z域分析法63差分方程的求解例試求一階差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)的單位脈沖響應(yīng)，初始條件為y(n)=0(n<0)。解：對單位脈沖響應(yīng),x(n)=δ(n),y(n)=h(n),上式可變?yōu)閔(n)=ah(n-1)+δ(n)h(0)=1h(1)=ah(0)+0=ah(2)=ah(1)+0=a2h(n)=ah(n-1)+0=an寫成一般形式為h(n)=anu(n)為因果系統(tǒng)64差分方程的求解

一個常系數(shù)線性差分方程是否因果系統(tǒng)，由邊界條件（初始）所決定。即初始條件具有y(n)=0(n<0)的形式，且有初始條件向n>0方向遞推，其解一般為因果的，反之為非因果。651.4連續(xù)時間信號的數(shù)字處理抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器抽樣信號的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器帶通信號的抽樣661.4連續(xù)時間信號的數(shù)字處理本節(jié)主要介紹模擬信號與數(shù)字信號之間相互轉(zhuǎn)換的基本數(shù)學(xué)原理。為了利用數(shù)字系統(tǒng)來處理模擬信號，必須先將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，在數(shù)字系統(tǒng)中進(jìn)行處理后在轉(zhuǎn)換成模擬信號。其典型框圖如下：67抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器模擬信號數(shù)字處理第一步就是將在時間上連續(xù)的模擬信號離散化，使之成為在時間上離散的信號。抽樣是將連續(xù)時間信號離散化的過程，它僅抽取信號波形某些時刻的樣值。抽樣分為均勻抽樣和非均勻抽樣，當(dāng)抽樣是可取均勻等間隔點(diǎn)時為均勻抽樣，否則為非均勻抽樣。實(shí)際抽樣多為均勻抽樣。68抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器理想抽樣及其頻譜抽樣過程：均勻抽樣可以看作為一個脈沖調(diào)制過程，數(shù)學(xué)表示為xa(t)為調(diào)制信號即輸入的模擬信號，p(t)為載波信號是一串周期為T，脈寬為τ的矩形脈沖串，調(diào)制后輸出的信號就是抽樣信號。理想抽樣：當(dāng)τ趨于零的極限情況時，脈沖序列p(t)變成了沖擊函數(shù)串，稱為理想抽樣。69抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器理想抽樣過程示意圖70抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器用M(t)表示沖擊函數(shù)串M(t)=因此實(shí)際上是xa(t)在離散時刻mT的取值xa(mT)的集合。71抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器抽樣信號的頻譜由頻域卷積定理得：其中72抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器將Xa(jΩ)和M(jΩ)帶入式中，得73抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器即可見,一個連續(xù)時間信號經(jīng)過理想抽樣后,其頻譜為周期性信號，且以抽樣頻率Ωs=2π/T為間隔周期重復(fù)。74抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器如圖所示（圖中僅為其幅度譜）：75抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器理想抽樣信號的頻譜周期延拓圖示例說明1、如果xa(t)的頻譜Xa(jΩ)為被限制在某一最高頻率Ωh范圍內(nèi)，其頻譜如圖a所示，則稱其為帶限信號。對帶限信號的抽樣滿足Ωh≤Ωs/2時,原來頻譜和各次延拓分量的頻譜不重疊,如圖b所示，如采用一個截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器對抽樣信號進(jìn)行濾波，就可以不失真的還原出原來的連續(xù)信號。076抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器2、但如果信號的最高頻率Ωh超過

Ωs/2,則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交集,將無法不是真的還原出原來的連續(xù)信號，即產(chǎn)生了“混疊失真”，如圖c所示。Ωs/2通常稱為折疊頻率或奈奎斯特頻率。要想連續(xù)帶限信號抽樣后能夠不失真地還原出原信號，則抽樣頻率必須大于或等于兩倍原信號頻譜的最高頻率(Ωh≤Ωs/2)，這就是奈奎斯特抽樣定理。77抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器A/D轉(zhuǎn)換器的基本原理任何A/D轉(zhuǎn)換器必須包括以下三個基本功能：抽樣、抽樣保持、量化與編碼78抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器量化：將無限精度的抽樣信號的幅度離散化，使之變成能用有限字長表示的數(shù)字信號。編碼：將經(jīng)量化的數(shù)字信號最終表示成為數(shù)字系統(tǒng)所能接受并對其實(shí)施處理與傳輸?shù)男问?。抽樣保持：由于對抽樣信號抽樣點(diǎn)的值進(jìn)行量化和編碼都需要時間，為了保證在量化和編碼期間其值不發(fā)生改變，在此之前需對抽樣點(diǎn)值加以保持。79抽樣信號的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器抽樣信號的恢復(fù)如果抽樣信號或通過一理想低通濾波器，就可恢復(fù)原信號或。80抽樣信號的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器由抽樣信號恢復(fù)原來的連續(xù)時間信號的過程的數(shù)學(xué)原理1）低通濾波器的沖激響應(yīng)h(t)81抽樣信號的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器2）理想低通濾波器(filter)的輸出抽樣內(nèi)插公式內(nèi)插函數(shù)82抽樣信號的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器3）內(nèi)插函數(shù)的特性：內(nèi)插函數(shù)波形在抽樣點(diǎn)mT上，其值為1;其余抽樣點(diǎn)上，其值為0。這保證了各抽樣點(diǎn)上信號值不變。83抽樣信號的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器4）由抽樣內(nèi)插公式所決定的信號內(nèi)插恢復(fù)過程（1）在抽樣點(diǎn)上，信號值不變。（2）抽樣點(diǎn)之間的信號則由幅度為抽樣值的各內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加而成。如下圖所示：T2T3T04T84抽樣信號的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器D/A轉(zhuǎn)換器的基本原理譯碼將數(shù)字信號x(n)轉(zhuǎn)換成抽樣信號x(nT)=

，零階保持器的作用是將每個抽樣信號的樣值保持一個抽樣間隔寬度，直到下一個抽樣時刻，相當(dāng)于在一個抽樣間隔內(nèi)進(jìn)行常數(shù)內(nèi)插，變成模擬信號。圖形如下：85抽樣信號的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器86抽樣信號的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器零階保持器的單位沖擊響應(yīng)h1(t)及其頻率響應(yīng)H1(jΩ)分別為h1(t)=10≤

t<T0其他87抽樣信號的恢復(fù)與D/A轉(zhuǎn)換器其時域與頻域幅度波形圖分別如下：由H1(jΩ)的波形可見，它是一個低通濾波器，能起到將抽樣信號轉(zhuǎn)換成模擬信號的作用。88帶通信號的抽樣帶通信號頻譜范圍被限制在某一最低頻率和某一最高頻率范圍內(nèi)：Ω1≤Ω≤Ωh的信號。其有效頻帶或帶寬為Ω=Ωh–Ω1。通常這類信號由帶限信號（低通信號）對某個高頻的載波調(diào)制得來，故其最高頻率往往很高。若仍采用帶限信號的抽樣定理對其抽樣，將使抽樣數(shù)據(jù)很大。89帶通信號的抽樣帶通信號的抽樣1、帶通信號