學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2均值不等式預(yù)習(xí)課本P69~71，思慮并完成以下問題均值不等式的形式是什么?需具備哪些條件？（2）在利用均值不等式求最值時,應(yīng)注意哪些方面？一般依照怎樣的思路來求解實責(zé)問題中的最值問題？錯誤!1．均值定理＋若是a，b∈R，那么錯誤!≥錯誤!.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，以上結(jié)論平時稱為均值不等式．a(chǎn)＋b對任意兩個正實數(shù)a,b,數(shù)稱為a，b的算術(shù)平均值(平均數(shù)），數(shù)錯誤!稱為a，b的幾2何平均值（平均數(shù)）．均值定理可表達(dá)為:兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它的幾何平均值．a(chǎn)＋b[點(diǎn)睛］(1)“a＝”是≥錯誤!的等號成立的條件．若≠，則錯誤!≠錯誤!，即b2ab錯誤!＞錯誤!。（2）均值不等式錯誤!≥錯誤!與a2＋b2≥2成立的條件不同樣，前者＞0，＞0,后者aababR，b∈R.2．利用均值不等式求最值1）兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值;(2)兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值．［小試身手］1．判斷以下命題可否正確．（正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1）對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2錯誤!均成立（）-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（2）若a≠0，則a＋錯誤!≥2錯誤!＝4()（3）若a〉0，〉0，則≤錯誤!2(）bab解析：（1）錯誤．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，當(dāng)a，b都為正數(shù)時，不等式a＋b≥2錯誤!成立．（2)錯誤．只有當(dāng)〉0時，依照均值不等式，才有不等式＋錯誤!≥2錯誤!＝4成立．a(chǎn)a正確．因為錯誤!≤錯誤!，因此ab≤錯誤!2。答案：（1)×（2)×(3）√2．已知f（x）＝x＋錯誤!－2（x＞0），則f(x）有（）A．最大值為0B．最小值為0C．最小值為－2D．最小值為2答案：B3．對于任意實數(shù)a，b，以下不等式必然成立的是(）A．a(chǎn)＋b≥2aba＋bB.2≥錯誤!C．a(chǎn)2＋b2≥2abD.錯誤!＋錯誤!≥2答案：C4．已知0＜x＜1,則函數(shù)y＝x(1－x)的最大值是________．1答案:4利用均值不等式比較大小[典例］2，則m，n之間的大小關(guān)系是()(1)已知m＝a＋錯誤!（a>2)，n＝22－b（b≠0)A．>B．<mnmnC．m＝nD．不確定若a〉b〉1，P＝錯誤!,Q＝錯誤!(lga＋lgb）,R＝lg錯誤!，則P，Q，R的大小關(guān)系是________．[解析］（1）因為a>2,因此a－2〉0，又因為m＝a＋錯誤!＝(a－2)＋錯誤!＋2，因此m≥2錯誤!＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，因此2－b2〈2，n＝22－b2〈4,綜上可知m〉n。2）因為a>b〉1，因此lga〉lgb>0，因此Q＝錯誤!(lga＋lgb)〉錯誤!＝P；＝錯誤!(lg＋lgb）＝lg錯誤!＋lg錯誤!＝lg錯誤!<lg錯誤!＝.QaR因此P<Q〈R.[答案]（1)A（2）P<Q<R-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精利用均值不等式比較實數(shù)大小的注意事項1)利用均值不等式比較大小,常常要注意觀察其形式(和與積），同時要注意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性）．（2）利用均值不等式時，必然要注意條件可否滿足a>0，b〉0。［活學(xué)活用]已知a，b，c都是非負(fù)實數(shù)，試比較錯誤!＋錯誤!＋錯誤!與錯誤!(a＋b＋c)的大?。?2222解：因為a＋b≥2ab,因此2（a＋b）≥(a＋b），因此a2＋b2≥錯誤!（a＋b），同理錯誤!≥錯誤!（b＋c)，錯誤!≥錯誤!(c＋a），因此錯誤!＋錯誤!＋錯誤!≥錯誤由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，即ab＝100，且a＞0，b＞0,因此由均值不等式可得a＋b≥2錯誤!＝2錯誤!＝20，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝10時，a＋b取到最小值20。(2）∵x＞0，y＞0，2x＋3y＝6,12∴xy＝6(2x·3y）≤錯誤!·錯誤!2＝錯誤!·錯誤!＝錯誤!，即x＝錯誤!，y＝1時，xy取到最大值錯誤!.（3）∵錯誤!＋錯誤!＝1，∴x＋y＝（x＋y)·錯誤!1＋錯誤!＋錯誤!＋9＝錯誤!＋錯誤!＋10，又∵x＞0，y＞0,y∴x＋錯誤!＋10≥2錯誤!＋10＝16,當(dāng)且僅當(dāng)錯誤!＝錯誤!，即y＝3x時，等號成立．由錯誤!得錯誤!即當(dāng)x＝4，y＝12時，x＋y獲取最小值16。(1)應(yīng)用均值不等式需注意三個條件：即一正、二定、三相等．在詳盡的題目中，“正數(shù)”條件常常易從題設(shè)中獲取解決，“相等”條件也易考據(jù)確定，而要獲取“定值”條件卻常常被設(shè)計為一個難點(diǎn)，它需要必然的靈便性和變形技巧．因此，“定值"條件決定著基本不等式應(yīng)用的可行性，這是解題成敗的要點(diǎn)．（2）常用構(gòu)造定值條件的技巧變換：①加項變換;②拆項變換；③一致變元;④平方后利用基本不等式．(3）對于條件最值要注意“1”的代換技巧的運(yùn)用．-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精[活學(xué)活用]1．已知a〉0，b>0，錯誤!＋錯誤!＝錯誤!，若不等式2a＋b≥9m恒成立，則m的最大值為(）A．8B．7C．6D．5解析：選C由已知,可得6錯誤!＝1，∴2a＋b＝6錯誤!·(2a＋b）＝6錯誤!≥6×(5＋4）54，當(dāng)且僅當(dāng)錯誤!＝錯誤!時等號成立,∴9m≤54，即m≤6，應(yīng)選C。2．若x〉0,y>0,且x＋4y＝1，則xy的最大值為________．解析:1＝x＋4y≥2錯誤!＝4錯誤!,xy≤錯誤!,當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y＝錯誤!時等號成立．答案：錯誤!利用均值不等式解應(yīng)用題[典例］某單位決定投資3200元建一庫房(長方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花銷，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側(cè)墻砌磚,每米長造價45元,頂部每平方米造價元，求：(1）庫房面積S的最大贊同值是多少？（2)為使S達(dá)到最大，而實質(zhì)投資又不高出估量，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計為多長？[解］(1)設(shè)鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，而頂部面積為S＝xy，依題意得，40x2×45y＋20xy＝3200,由均值不等式得3200≥2錯誤!＋20xy120錯誤!＋20xy，120S＋20S.因此S＋6錯誤!－160≤0，即(錯誤!－10）（錯誤!＋16）≤0，故錯誤!≤10，從而S≤100，因此S的最大贊同值是100平方米，（2）獲取最大值的條件是40x＝90y且xy＝100,求得x＝15，即鐵柵的長是15米．求實責(zé)問題中最值的解題4步驟(1）先讀懂題意,設(shè)出變量,理清思路,列出函數(shù)關(guān)系式．（2）把實責(zé)問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題．-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(3）在定義域內(nèi),求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮均值不等式，當(dāng)均值不等式求最值的條件不具備時，再考慮函數(shù)的單調(diào)性．（4）正確寫出答案．[活學(xué)活用]某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場解析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲取的總利潤y(單位:萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時間x(單位:年）的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25（x∈N＋），求當(dāng)每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)多少年時，年平均利潤最大，最大值是多少．解:每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為錯誤!＝18－錯誤!，而x〉0，故錯誤!≤18－2錯誤!8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時等號成立，此時年平均利潤最大,最大值為8萬元．故當(dāng)每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)5年時，年平均利潤最大,最大值為8萬元．層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．以下結(jié)論正確的選項是()A．當(dāng)x>0且x≠1時,lgx＋錯誤!≥2B．當(dāng)x>0時，錯誤!＋錯誤!≥2C．當(dāng)x≥2時，x＋錯誤!的最小值為2D．當(dāng)0〈x≤2時，x－錯誤!無最大值解析：選BA中，當(dāng)0〈x<1時，lgx〈0,lgx＋錯誤!≥2不成立；由均值不等式知B1正確；C中，由對勾函數(shù)的單調(diào)性，知x＋x的最小值為錯誤!；D中，由函數(shù)f(x）＝x－錯誤!在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞加，知x－錯誤!的最大值為錯誤!，應(yīng)選B.2．以下各式中，對任何實數(shù)x都成立的一個式子是(）A．lg(x2＋1)≥lg(2x）B．x2＋1〉2xC.錯誤!≤1D．x＋錯誤!≥2解析:選C對于A，當(dāng)≤0時，沒心義，故A不恒成立；對于B,當(dāng)x＝1時，x2＋1＝2，xx故B不成立;對于D，當(dāng)x〈0時，不成立．對于C，x2＋1≥1，∴錯誤!≤1成立．應(yīng)選C.3．設(shè)a，b為正數(shù)，且a＋b≤4，則以下各式中正確的一個是()1A.a＋錯誤!<1B.錯誤!＋錯誤!≥1C。錯誤!＋錯誤!<2D。錯誤!＋錯誤!≥2解析：選B因為ab≤錯誤!2≤錯誤!2＝4，因此錯誤!＋錯誤!≥2錯誤!≥2錯誤!＝1.4．四個不相等的正數(shù)a，b，c，d成等差數(shù)列，則(）A.錯誤!〉錯誤!B.錯誤!〈錯誤!-6-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精a＋dC。2＝錯誤!D。錯誤!≤錯誤!解析：選A因為a，，，d成等差數(shù)列,則＋＝＋，又因為a，,，d均大于0bcadbcbc且不相等，因此b＋c>2錯誤!,故錯誤!>錯誤!。5．若x>0,y>0，且錯誤!＋錯誤!＝1，則xy有（)A．最大值64B．最小值錯誤!C．最小值錯誤!D．最小值64解析：選D由題意xy＝錯誤!xy＝2y＋8x≥2錯誤!＝8錯誤!，∴錯誤!≥8，即xy有最小值64,等號成立的條件是x＝4,y＝16。6．若a〉0，b>0，且錯誤!＋錯誤!＝錯誤!，則a3＋b3的最小值為________．解析:∵a〉0，b〉0,∴錯誤!＝錯誤!＋錯誤!≥2錯誤!，即ab≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝錯誤!時取等號,∴a3＋b3≥2錯誤!≥2錯誤!＝4錯誤!，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝錯誤!時取等號，則a3＋b3的最小值為42.答案:4錯誤!7．已知0<x〈1，則x(3－3x）獲取最大值時x的值為________．解析:由x(3－3x）＝錯誤!×3x(3－3x)≤錯誤!×錯誤!2＝錯誤!，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝3－3x，即x＝錯誤!時等號成立．答案:錯誤!8．若對任意x〉0，錯誤!≤a恒成立，則a的取值范圍是________．解析:因為x〉0，因此x＋錯誤!≥2。當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號,因此有錯誤!＝錯誤!≤錯誤!＝錯誤!，即錯誤!的最大值為錯誤!，故a≥錯誤!。答案：錯誤!9．（1）已知x<3，求f（x）＝錯誤!＋x的最大值；(2）已知x，y是正實數(shù)，且x＋y＝4，求錯誤!＋錯誤!的最小值．解:（1)∵x〈3，∴x－3〈0，4∴f(x）＝x－3＋x＝錯誤!＋(x－3)＋3＝－錯誤!＋3≤－2錯誤!＋3＝－1,當(dāng)且僅當(dāng)錯誤!＝3－x，即x＝1時取等號，∴f（x）的最大值為－1.（2)∵x，y是正實數(shù)，-7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精∴(x＋y)錯誤!＝4＋錯誤!≥4＋2錯誤!.3x當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x＝2(錯誤!－1)，y＝2(3－錯誤!）時取“＝”號．又x＋y＝4,1∴x＋錯誤!≥1＋錯誤!，故錯誤!＋錯誤!的最小值為1＋錯誤!。＋c10．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，試證明不等式：a＋錯誤!＋錯誤!≥6.證明：因為a>0,b〉0,c〉0，因此錯誤!＋錯誤!≥2,錯誤!＋錯誤!≥2，錯誤!＋錯誤!≥2，因此錯誤!＋錯誤!＋錯誤!≥6,ba當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，錯誤!＝錯誤!,錯誤!＝錯誤!，即a＝b＝c時，等號成立．因此錯誤!＋錯誤!＋錯誤!≥6.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．,∈R，則2＋2與2|ab｜的大小關(guān)系是()ababA．a(chǎn)2＋b2≥2｜ab｜B．a(chǎn)2＋b2＝2|ab｜C．a(chǎn)2＋b2≤2｜ab｜D．a(chǎn)2＋b2〉2|ab｜解析：選A∵2＋2|＝(|｜－｜2∴2＋2≥2||（當(dāng)且僅當(dāng)｜｜＝｜ab－2｜ab|）≥0,abaababb｜時，等號成立)．2．已知實數(shù)a，b，c滿足條件a>b>c且a＋b＋c＝0，abc〉0，則錯誤!＋錯誤!＋錯誤!的值()A．必然是正數(shù)B．必然是負(fù)數(shù)C．可能是0D．正負(fù)不確定解析：選B因為a〉b〉c且a＋b＋c＝0，abc〉0,因此a〉0,b〈0，c〈0，且a＝－（b＋c)，因此錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＝－錯誤!＋錯誤!＋錯誤!，因為b〈0，c<0，因此b＋c≤－2錯誤!，1因此－b＋c≤錯誤!，又錯誤!＋錯誤!≤－2錯誤!，因此－錯誤!＋錯誤!＋錯誤!≤錯誤!－2錯誤!＝－錯誤!〈0，應(yīng)選B.3．已知x〉0,y〉0，x，a,b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列,則錯誤!的最小值-8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精為（)A．0B．1C．2D．4解析：選D由題意，知錯誤!因此錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立．4．設(shè)a，b是實數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是()A．6B．4錯誤!C．26D．8解析：選Bab∵a，b是實數(shù)，∴2＞0,2＞0，于是2a＋2b≥2錯誤!＝2錯誤!＝2錯誤!＝4錯誤!,當(dāng)且僅當(dāng)a＝＝錯誤!時獲取最小值4b錯誤!。5．當(dāng)x〉1時，不等式x＋錯誤!≥a恒成立，則實數(shù)a的最大值為________．解析:x＋錯誤!≥a恒成立?錯誤!min≥，ax>1,即x－1>0,x＋錯誤!＝x－1＋錯誤!＋1≥2錯誤!＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝錯誤!,即x＝2時，等號成立．a(chǎn)≤3,即a的最大值為3.答案：36．若正數(shù)，滿足＋＝1，則錯誤!＋錯誤!的最小值為________．a(chǎn)bab解析：由a＋b＝1，知錯誤!＋錯誤!＝錯誤!＝錯誤!，又ab≤錯誤!2＝錯誤!（當(dāng)且僅當(dāng)＝＝錯誤!時等號成立），∴9＋10≤錯誤!，∴錯誤!≥錯誤!。abab答案:錯誤!7．某廠家擬在2016年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)檢查,該產(chǎn)品的年銷售量（即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量）x（單位：萬件)與年促銷花銷(≥0)（單位：萬元)滿足x＝3－錯誤!（k為