“諸位在校，有兩個(gè)問題應(yīng)該自己?jiǎn)枂?，第一，到浙大來做什么？第二，將來畢業(yè)后做什么樣的人？”

竺可楨老校長(zhǎng)的兩句話刻在浙大紫金港校區(qū)的一塊大石上“諸位在校，有兩個(gè)問題應(yīng)該自己?jiǎn)枂?，老校長(zhǎng)的兩句話刻在浙大紫1這一講的主要內(nèi)容數(shù)值分析是做什么的？數(shù)值分析這門課程的主要內(nèi)容這門課程的特點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法數(shù)值分析中的基本概念:誤差

這一講的主要內(nèi)容數(shù)值分析是做什么的？2數(shù)值計(jì)算（分析）是做什么的？數(shù)值計(jì)算（分析）是做什么的？31、天體力學(xué)中的Kepler方程x是行星運(yùn)動(dòng)的軌道，它是時(shí)間t的函數(shù)

非線性方程的數(shù)值解法!1、天體力學(xué)中的Kepler方程x是行星運(yùn)動(dòng)的軌道，它是時(shí)間4全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個(gè)位置，至少可以同時(shí)收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào)

2、全球定位系統(tǒng)（GlobalPositioningSystem,GPS)全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個(gè)位置，至少可以同時(shí)收到4顆以上5表示地球上一個(gè)接收點(diǎn)R的當(dāng)前位置，衛(wèi)星Si的位置為，則得到下列非線性方程組表示地球上一個(gè)接收點(diǎn)R的當(dāng)前位置，衛(wèi)星Si6

非線性方程組的數(shù)值方法!記為其中非線性方程組的數(shù)值方法!記為其中73、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫插值法!3、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：插值法!84、鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長(zhǎng)4英尺,每個(gè)波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個(gè)波紋以近似2π英寸為一個(gè)周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長(zhǎng)度L.4、鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種9這個(gè)問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長(zhǎng)L.

由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長(zhǎng)可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計(jì)算.數(shù)值積分!這個(gè)問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定的曲線從10數(shù)學(xué)模型求解復(fù)雜問題或運(yùn)算如數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算機(jī)

近似解數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)學(xué)求解復(fù)雜問題或運(yùn)算如數(shù)值計(jì)算機(jī)近似解數(shù)值分析是做11

研究(構(gòu)造）使用計(jì)算機(jī)求解各種科學(xué)與工程計(jì)算問題的數(shù)值方法對(duì)求得的數(shù)值解的精度進(jìn)行評(píng)估（誤差，穩(wěn)定性）如何在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)求解研究(構(gòu)造）使用計(jì)算機(jī)求解各種科學(xué)12科學(xué)計(jì)算的重要性?科學(xué)計(jì)算是工程實(shí)踐的重要工具

在生命科學(xué)、航天航空、地質(zhì)勘探、汽車制造、橋梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用，產(chǎn)生了一系列計(jì)算性的學(xué)科分支，如計(jì)算物理、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算地質(zhì)學(xué)、計(jì)算氣象學(xué)和計(jì)算材料學(xué)等，數(shù)值計(jì)算方法則是解決“計(jì)算”問題的橋梁和工具。

?科學(xué)計(jì)算是繼理論與實(shí)驗(yàn)后另一科學(xué)研究手段

，（《第三種科學(xué)方法:計(jì)算機(jī)時(shí)代的科學(xué)計(jì)算》，石鐘慈，暨南大學(xué)出版社）科學(xué)計(jì)算的重要性?科學(xué)計(jì)算是工程實(shí)踐的重要工具13本課程數(shù)值分析講課范圍

誤差（第1章)線形方程組的解法（第2章)矩陣特征值和特征向量的計(jì)算（第3章)函數(shù)求根，非線性方程和方程組求解（第4章)函數(shù)插值，逼近，正交多項(xiàng)式（第5章)數(shù)值積分（第6章)數(shù)值微分和常微分方程數(shù)值解差分法（第7章)偏微分方程數(shù)值解簡(jiǎn)介（第8章－選講內(nèi)容)本課程數(shù)值分析講課范圍誤差（第1章)14主要教材顏慶津，數(shù)值分析。北航出版社，2006。數(shù)值逼近參考書

李慶揚(yáng)，王能超，易大義：數(shù)值分析。清華大學(xué)出版社，2001。李岳生，黃友謙：數(shù)值逼進(jìn)。北京人民教育出版社，1979。王德人、楊忠華，數(shù)值逼近引論，高等教育出版社，1990王仁宏，數(shù)值逼近，北京：高等教育出版社，1999徐萃薇：計(jì)算方法引論。北京高等教育出版社，1985。數(shù)值代數(shù)參考書曹志浩，數(shù)值線性代數(shù)，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1996.徐樹方，矩陣計(jì)算的理論與方法，北京大學(xué)出版社，1995.微分方程數(shù)值解參考書李立康、於崇華、朱政華，微分方程數(shù)值解法，復(fù)旦大學(xué)出版社，1999陸金甫、關(guān)

治，微分方程數(shù)值解法（第二版），北京：清華大學(xué)出版社，2004綜合類（數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算、習(xí)題、實(shí)驗(yàn)等）參考書蔡大用，數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)指導(dǎo)，北京：清華大學(xué)出版社，2001NumericalRecipes(數(shù)值方法庫(kù)）inC/Matlab/Fortran/C++,其他/wiki/Numerical_analysisSoftware：IMSL，NAG，MATLAB參考資料主要教材參考資料15本門課程的特點(diǎn)既有數(shù)學(xué)類課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性的技術(shù)特征各部分內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立本門課程的特點(diǎn)既有數(shù)學(xué)類課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有實(shí)16學(xué)習(xí)要求掌握各種方法的基本原理與構(gòu)造方法重視各種方法的誤差分析掌握經(jīng)典方法的程序代碼學(xué)習(xí)要求掌握各種方法的基本原理與構(gòu)造方法17其它要注意的幾點(diǎn)結(jié)合自己的研究方向，有重點(diǎn)地學(xué)習(xí)，最好能帶著研究課題中的問題來學(xué)習(xí)對(duì)每一類問題，不但要掌握求解方法的基本原理，還要掌握一套自己的程序代碼課前一定要做好預(yù)習(xí)和準(zhǔn)備（按專題講解）課后要認(rèn)真完成作業(yè)和上機(jī)練習(xí)有問題要及時(shí)問，（答疑時(shí)間和地點(diǎn)?)

辦公室：圖書館西配樓519室，

Email：numerical_analysis@

其它要注意的幾點(diǎn)結(jié)合自己的研究方向，有重點(diǎn)地學(xué)習(xí)，最好能帶著18數(shù)值分析中的基本概念：誤差數(shù)值分析中的基本概念：誤差19誤差的來源

現(xiàn)實(shí)世界

研究對(duì)象測(cè)量數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)模型的建立數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)測(cè)量誤差模型誤差截?cái)嗾`差(方法誤差)舍入誤差上機(jī)計(jì)算求得結(jié)果誤差的來源現(xiàn)實(shí)世界研究測(cè)量數(shù)20誤差的分類（1/4）通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化得到的數(shù)學(xué)模型，與實(shí)際現(xiàn)象之間必然存在誤差，這種誤差稱之為模型誤差。

誤差的分類（1/4）通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象21誤差的分類（2/4）一般數(shù)學(xué)問題包含若干參量，他們的值往往通過觀測(cè)得到，而觀測(cè)難免不帶誤差，這種誤差稱之為觀測(cè)誤差。

4、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫誤差的分類（2/4）一般數(shù)學(xué)問題包含若干參量，他們的22誤差的分類（3/4）由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)及其運(yùn)算結(jié)果在計(jì)算機(jī)上存放會(huì)產(chǎn)生誤差，這種誤差稱之為舍入誤差。舍入誤差與機(jī)器字長(zhǎng)緊密相關(guān)!例如：在十位十進(jìn)制下，會(huì)出現(xiàn)：1/3=0.3333333333誤差的分類（3/4）由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，參加運(yùn)算的數(shù)23S4

R4

/*Remainder*/

取則稱為截?cái)嗾`差/*TruncationError*/將e-x2作Taylor展開后再積分截?cái)啵ǚ椒ǎ┱`差:求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計(jì)算方法如果是一種近似的方法，那么只能得到近似解，由此產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差或方法誤差S4R4/*Remainder*/取則稱為截?cái)嗾`24§1.2.2

誤差與有效數(shù)字/*Error&SignificantDigits*/絕對(duì)誤差/*absoluteerror*/

|e|的上限記為ε，稱為絕對(duì)誤差限/*accuracy*/工程上常記為x＝a±ε，例如：e=x-a,其中x為精確值，a為x的近似值。§1.2.2誤差與有效數(shù)字/*Error&Si25實(shí)際應(yīng)用中，精確解往往無法得到！相對(duì)誤差/*relativeerror*/

相對(duì)誤差上限

/*relativeaccuracy*/定義為實(shí)際應(yīng)用中：思考題1：實(shí)際應(yīng)用中，用a取代x合理嗎？為什么？（提示：當(dāng)絕對(duì)誤差限較小時(shí)，兩者的差為相對(duì)誤差限的高階無窮小量，可以忽略）當(dāng)較小時(shí)，因兩者的差為:實(shí)際應(yīng)用中，精確解往往無法得到！相對(duì)誤差/*rel26有效數(shù)字定義：如果近似值a的誤差限是某一位數(shù)的半個(gè)單位，則稱a準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后n位，并從第一個(gè)非零的數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均為有效數(shù)字。例：π＝3.1415926535,

3.1416有五位有效數(shù)字,誤差限為0.00005。例：a=0.003400±0.5E-5近似值準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后五位，有三位有效數(shù)字。有效數(shù)字27§1.2.3

函數(shù)求值的的誤差估計(jì)/*ErrorEstimationforFunctions*/問題：對(duì)于y=f(x)，u=f(a),若用a

取代x，將對(duì)y

產(chǎn)生什么影響？分析：e(u)=f(x)

f(a)e(a)=x

a中值定理（MeanValueTheorem）=f’(

)(x

a)a與x非常接近時(shí)，可認(rèn)為f’(

)

f’(a)，則有：|e(u)||f’(a)|·|e(a)|,ε(u)=|f’(a)|.ε(a)即：a產(chǎn)生的誤差經(jīng)過f作用后被放大/縮小了|f’(a)|倍。故稱|f’(a)|為放大因子

/*amplificationfactor*/或絕對(duì)條件數(shù)

/*absoluteconditionnumber*/.§1.2.3函數(shù)求值的的誤差估計(jì)/*ErrorEs28

f的條件數(shù)在某一點(diǎn)是小\大，則稱f在該點(diǎn)是好條件的

/*well-conditioned*/\壞條件的

/*ill-conditioned*/。f的條件數(shù)f的條件數(shù)在某一點(diǎn)是小\大，則稱f在該點(diǎn)是好條件29特別情況[u=f（x）]：多元函數(shù)[u=f（x1，┅，xn）]：特別情況[u=f（x）]：多元函數(shù)[u=f（x1，┅，xn）30誤差的四則運(yùn)算誤差的四則運(yùn)算31例 求積分由可得算法1：

算法2：首先給出兩種算法的初始值：

誤差分析的重要性例 求積分由32兩種算法與真實(shí)值的比較兩種算法與真實(shí)值的比較33說明

在上表中，是算法1計(jì)算的值，是算法2計(jì)算的值，而是真實(shí)值的一個(gè)近似。從上表我們不難直觀的得出結(jié)論：隨著n的增大，算法一的出來的值是越來越偏離真實(shí)值，我們可以說，算法1是不穩(wěn)定的。

定義：對(duì)于某個(gè)算法，若輸入數(shù)據(jù)的誤差在計(jì)算過程中迅速增長(zhǎng)而得不到控制，則稱該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的，否則是數(shù)值穩(wěn)定的。說明在上表中，是算法1計(jì)算的值，34

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。在我們今后的討論中，誤差將不可回避，354.數(shù)值運(yùn)算中誤差分析的方法與原則數(shù)值運(yùn)算總是在一個(gè)預(yù)先設(shè)計(jì)好的算法中進(jìn)行的，所謂算法就是一個(gè)有限的基本運(yùn)算序列。這個(gè)序列預(yù)定了怎樣從輸入數(shù)據(jù)去計(jì)算出問題的解。由于運(yùn)算是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，而計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，因而產(chǎn)生舍入誤差。為減小舍入誤差的影響，設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循以下一些原則：要避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值的除法要避免兩相近數(shù)相減要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)4.數(shù)值運(yùn)算中誤差分析的方法與原則數(shù)值運(yùn)算總是在一個(gè)預(yù)先36§5Remarks§5Remarks37避免相近的兩數(shù)相減(會(huì)耗失許多有效數(shù)字,可以用數(shù)學(xué)公式化簡(jiǎn)后再做).例各有五位有效數(shù)字的23.034與22.993相減.

23.034-22.993=0.0410.041只有兩位有效數(shù)字,有效數(shù)字的耗失,說明準(zhǔn)確度減小,因此,在計(jì)算時(shí)需要加工計(jì)算公式,以免這種情況發(fā)生.例當(dāng)x較大時(shí),計(jì)算避免相近的兩數(shù)相減38防止”大數(shù)”吃”小數(shù)”當(dāng)兩個(gè)絕對(duì)值相差很大的數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算時(shí),絕對(duì)值小的數(shù)有可能被絕對(duì)值大的數(shù)"吃掉"從而引起計(jì)算結(jié)果很不可靠.

例:求兩者結(jié)果不同,因?yàn)橛?jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)做加減法要“對(duì)階”,“對(duì)階”的結(jié)果使大數(shù)吃掉了小數(shù).產(chǎn)生了誤差.為了避免由于上述原因引起的計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重失真,可以根據(jù)一些具體情況,存在需要把某些算式改寫成另一種等價(jià)的形式.防止”大數(shù)”吃”小數(shù)”39注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)

例

已知a0,a1,a2,…,an,

x,計(jì)算多項(xiàng)式：直接計(jì)算：運(yùn)算量（乘）

秦九韶算法（1247年）：運(yùn)算量注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)

例已知a0,a1,40作業(yè)13:

習(xí)題：1，3，5，7，8.閱讀《NumericalRecipesinC》：21.關(guān)于誤差和穩(wěn)定性的內(nèi)容。作業(yè)13:41“諸位在校，有兩個(gè)問題應(yīng)該自己?jiǎn)枂?，第一，到浙大來做什么？第二，將來畢業(yè)后做什么樣的人？”

竺可楨老校長(zhǎng)的兩句話刻在浙大紫金港校區(qū)的一塊大石上“諸位在校，有兩個(gè)問題應(yīng)該自己?jiǎn)枂?，老校長(zhǎng)的兩句話刻在浙大紫42這一講的主要內(nèi)容數(shù)值分析是做什么的？數(shù)值分析這門課程的主要內(nèi)容這門課程的特點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法數(shù)值分析中的基本概念:誤差

這一講的主要內(nèi)容數(shù)值分析是做什么的？43數(shù)值計(jì)算（分析）是做什么的？數(shù)值計(jì)算（分析）是做什么的？441、天體力學(xué)中的Kepler方程x是行星運(yùn)動(dòng)的軌道，它是時(shí)間t的函數(shù)

非線性方程的數(shù)值解法!1、天體力學(xué)中的Kepler方程x是行星運(yùn)動(dòng)的軌道，它是時(shí)間45全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個(gè)位置，至少可以同時(shí)收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào)

2、全球定位系統(tǒng)（GlobalPositioningSystem,GPS)全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個(gè)位置，至少可以同時(shí)收到4顆以上46表示地球上一個(gè)接收點(diǎn)R的當(dāng)前位置，衛(wèi)星Si的位置為，則得到下列非線性方程組表示地球上一個(gè)接收點(diǎn)R的當(dāng)前位置，衛(wèi)星Si47

非線性方程組的數(shù)值方法!記為其中非線性方程組的數(shù)值方法!記為其中483、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫插值法!3、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：插值法!494、鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長(zhǎng)4英尺,每個(gè)波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個(gè)波紋以近似2π英寸為一個(gè)周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長(zhǎng)度L.4、鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種50這個(gè)問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長(zhǎng)L.

由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長(zhǎng)可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計(jì)算.數(shù)值積分!這個(gè)問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定的曲線從51數(shù)學(xué)模型求解復(fù)雜問題或運(yùn)算如數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算機(jī)

近似解數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)學(xué)求解復(fù)雜問題或運(yùn)算如數(shù)值計(jì)算機(jī)近似解數(shù)值分析是做52

研究(構(gòu)造）使用計(jì)算機(jī)求解各種科學(xué)與工程計(jì)算問題的數(shù)值方法對(duì)求得的數(shù)值解的精度進(jìn)行評(píng)估（誤差，穩(wěn)定性）如何在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)求解研究(構(gòu)造）使用計(jì)算機(jī)求解各種科學(xué)53科學(xué)計(jì)算的重要性?科學(xué)計(jì)算是工程實(shí)踐的重要工具

在生命科學(xué)、航天航空、地質(zhì)勘探、汽車制造、橋梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用，產(chǎn)生了一系列計(jì)算性的學(xué)科分支，如計(jì)算物理、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算地質(zhì)學(xué)、計(jì)算氣象學(xué)和計(jì)算材料學(xué)等，數(shù)值計(jì)算方法則是解決“計(jì)算”問題的橋梁和工具。

?科學(xué)計(jì)算是繼理論與實(shí)驗(yàn)后另一科學(xué)研究手段

，（《第三種科學(xué)方法:計(jì)算機(jī)時(shí)代的科學(xué)計(jì)算》，石鐘慈，暨南大學(xué)出版社）科學(xué)計(jì)算的重要性?科學(xué)計(jì)算是工程實(shí)踐的重要工具54本課程數(shù)值分析講課范圍

誤差（第1章)線形方程組的解法（第2章)矩陣特征值和特征向量的計(jì)算（第3章)函數(shù)求根，非線性方程和方程組求解（第4章)函數(shù)插值，逼近，正交多項(xiàng)式（第5章)數(shù)值積分（第6章)數(shù)值微分和常微分方程數(shù)值解差分法（第7章)偏微分方程數(shù)值解簡(jiǎn)介（第8章－選講內(nèi)容)本課程數(shù)值分析講課范圍誤差（第1章)55主要教材顏慶津，數(shù)值分析。北航出版社，2006。數(shù)值逼近參考書

李慶揚(yáng)，王能超，易大義：數(shù)值分析。清華大學(xué)出版社，2001。李岳生，黃友謙：數(shù)值逼進(jìn)。北京人民教育出版社，1979。王德人、楊忠華，數(shù)值逼近引論，高等教育出版社，1990王仁宏，數(shù)值逼近，北京：高等教育出版社，1999徐萃薇：計(jì)算方法引論。北京高等教育出版社，1985。數(shù)值代數(shù)參考書曹志浩，數(shù)值線性代數(shù)，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1996.徐樹方，矩陣計(jì)算的理論與方法，北京大學(xué)出版社，1995.微分方程數(shù)值解參考書李立康、於崇華、朱政華，微分方程數(shù)值解法，復(fù)旦大學(xué)出版社，1999陸金甫、關(guān)

治，微分方程數(shù)值解法（第二版），北京：清華大學(xué)出版社，2004綜合類（數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算、習(xí)題、實(shí)驗(yàn)等）參考書蔡大用，數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)指導(dǎo)，北京：清華大學(xué)出版社，2001NumericalRecipes(數(shù)值方法庫(kù)）inC/Matlab/Fortran/C++,其他/wiki/Numerical_analysisSoftware：IMSL，NAG，MATLAB參考資料主要教材參考資料56本門課程的特點(diǎn)既有數(shù)學(xué)類課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性的技術(shù)特征各部分內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立本門課程的特點(diǎn)既有數(shù)學(xué)類課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有實(shí)57學(xué)習(xí)要求掌握各種方法的基本原理與構(gòu)造方法重視各種方法的誤差分析掌握經(jīng)典方法的程序代碼學(xué)習(xí)要求掌握各種方法的基本原理與構(gòu)造方法58其它要注意的幾點(diǎn)結(jié)合自己的研究方向，有重點(diǎn)地學(xué)習(xí)，最好能帶著研究課題中的問題來學(xué)習(xí)對(duì)每一類問題，不但要掌握求解方法的基本原理，還要掌握一套自己的程序代碼課前一定要做好預(yù)習(xí)和準(zhǔn)備（按專題講解）課后要認(rèn)真完成作業(yè)和上機(jī)練習(xí)有問題要及時(shí)問，（答疑時(shí)間和地點(diǎn)?)

辦公室：圖書館西配樓519室，

Email：numerical_analysis@

其它要注意的幾點(diǎn)結(jié)合自己的研究方向，有重點(diǎn)地學(xué)習(xí)，最好能帶著59數(shù)值分析中的基本概念：誤差數(shù)值分析中的基本概念：誤差60誤差的來源

現(xiàn)實(shí)世界

研究對(duì)象測(cè)量數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)模型的建立數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)測(cè)量誤差模型誤差截?cái)嗾`差(方法誤差)舍入誤差上機(jī)計(jì)算求得結(jié)果誤差的來源現(xiàn)實(shí)世界研究測(cè)量數(shù)61誤差的分類（1/4）通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化得到的數(shù)學(xué)模型，與實(shí)際現(xiàn)象之間必然存在誤差，這種誤差稱之為模型誤差。

誤差的分類（1/4）通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象62誤差的分類（2/4）一般數(shù)學(xué)問題包含若干參量，他們的值往往通過觀測(cè)得到，而觀測(cè)難免不帶誤差，這種誤差稱之為觀測(cè)誤差。

4、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫誤差的分類（2/4）一般數(shù)學(xué)問題包含若干參量，他們的63誤差的分類（3/4）由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)及其運(yùn)算結(jié)果在計(jì)算機(jī)上存放會(huì)產(chǎn)生誤差，這種誤差稱之為舍入誤差。舍入誤差與機(jī)器字長(zhǎng)緊密相關(guān)!例如：在十位十進(jìn)制下，會(huì)出現(xiàn)：1/3=0.3333333333誤差的分類（3/4）由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，參加運(yùn)算的數(shù)64S4

R4

/*Remainder*/

取則稱為截?cái)嗾`差/*TruncationError*/將e-x2作Taylor展開后再積分截?cái)啵ǚ椒ǎ┱`差:求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計(jì)算方法如果是一種近似的方法，那么只能得到近似解，由此產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差或方法誤差S4R4/*Remainder*/取則稱為截?cái)嗾`65§1.2.2

誤差與有效數(shù)字/*Error&SignificantDigits*/絕對(duì)誤差/*absoluteerror*/

|e|的上限記為ε，稱為絕對(duì)誤差限/*accuracy*/工程上常記為x＝a±ε，例如：e=x-a,其中x為精確值，a為x的近似值?！?.2.2誤差與有效數(shù)字/*Error&Si66實(shí)際應(yīng)用中，精確解往往無法得到！相對(duì)誤差/*relativeerror*/

相對(duì)誤差上限

/*relativeaccuracy*/定義為實(shí)際應(yīng)用中：思考題1：實(shí)際應(yīng)用中，用a取代x合理嗎？為什么？（提示：當(dāng)絕對(duì)誤差限較小時(shí)，兩者的差為相對(duì)誤差限的高階無窮小量，可以忽略）當(dāng)較小時(shí)，因兩者的差為:實(shí)際應(yīng)用中，精確解往往無法得到！相對(duì)誤差/*rel67有效數(shù)字定義：如果近似值a的誤差限是某一位數(shù)的半個(gè)單位，則稱a準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后n位，并從第一個(gè)非零的數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均為有效數(shù)字。例：π＝3.1415926535,

3.1416有五位有效數(shù)字,誤差限為0.00005。例：a=0.003400±0.5E-5近似值準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后五位，有三位有效數(shù)字。有效數(shù)字68§1.2.3

函數(shù)求值的的誤差估計(jì)/*ErrorEstimationforFunctions*/問題：對(duì)于y=f(x)，u=f(a),若用a

取代x，將對(duì)y

產(chǎn)生什么影響？分析：e(u)=f(x)

f(a)e(a)=x

a中值定理（MeanValueTheorem）=f’(

)(x

a)a與x非常接近時(shí)，可認(rèn)為f’(

)

f’(a)，則有：|e(u)||f’(a)|·|e(a)|,ε(u)=|f’(a)|.ε(a)即：a產(chǎn)生的誤差經(jīng)過f作用后被放大/縮小了|f’(a)|倍。故稱|f’(a)|為放大因子

/*amplificationfactor*/或絕對(duì)條件數(shù)

/*absoluteconditionnumber*/.§1.2.3函數(shù)求值的的誤差估計(jì)/*ErrorEs69

f的條件數(shù)在某一點(diǎn)是小\大，則稱f在該點(diǎn)是好條件的

/*well-conditioned*/\壞條件的

/*ill-conditioned*/。f的條件數(shù)f的條件數(shù)在某一點(diǎn)是小\大，則稱f在該點(diǎn)是好條件70特別情況[u=f（x）]：多元函數(shù)[u=f（x1，┅，xn）]：特別情況[u=f（x）]：多元函數(shù)[u=f（x1，┅，xn）71誤差的四則運(yùn)算誤差的四則運(yùn)算72例 求積分由可得算法1：

算法2：首先給出兩種算法的初始值：