第三章

多自由度系統(tǒng)的振動12/4/20221多層房間的側(cè)向振動、不等高排架的振動、塊式基礎(chǔ)的水平回轉(zhuǎn)振動等，作為多自由度體系進(jìn)行分析。（multi-degreeoffreedomsystem）12/4/20222對具有無限個自由度的彈性結(jié)構(gòu)，精確地處理其振動問題：有時是非常困難的，在某些情況下也并不必要。在某些特定條件下可對問題作一些簡化假定，使一個無限自由度體系離散為有限多個自由度體系，使原來的問題變得容易求解，能獲得原結(jié)構(gòu)體系的主要屬性和特征。12/4/20223§3.1兩個自由度體系的自由振動

針對兩個自由度體系；介紹三種常用的方法：平衡力系法剛度法柔度法12/4/202241、平衡力系法如圖，兩集中質(zhì)量和通過三個彈簧、和相互聯(lián)結(jié)，在任意一時刻它們偏離其平衡位置的水平位移分別為和12/4/20225根據(jù)兩質(zhì)量塊的平衡條件，可以得到：12/4/20226表示成矩陣形式：式中：整理：12/4/20227寫成一般形式：對于圖中結(jié)構(gòu)體系，有12/4/20228假設(shè)兩個質(zhì)點(diǎn)為簡諧振動，上式的解設(shè)為：位移振幅和，以及頻率和相位角均為待定參數(shù)。12/4/202291）、在振動過程中，兩個質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角。2）、在振動過程中，兩個質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但兩者的比值始終保持不變：12/4/202210主振型型:結(jié)構(gòu)位位移形形狀保保持不不變的的振動動形式式稱為為主振振型或或振動動模態(tài)態(tài)（normalmode）。11/27/202211齊次方程有非非零解的條件件為其系數(shù)行列式等等于零，即:確定了固有頻頻率應(yīng)滿足的的條件，稱為為頻率方程或特征方程。（eigenequationorcharacteristicequation）利用這個方程可計算固有頻率11/27/202212展開上式，求得的兩個根為:正實(shí)根，僅依賴于結(jié)結(jié)構(gòu)體系的的物理性質(zhì)質(zhì)，即質(zhì)量和彈彈簧剛度。。11/27/202213具有兩個自由度的體系共有兩個自振頻率，表示其中最小的圓頻率，稱為第一圓頻率或基本圓頻率（fundamentalfrequency）；稱為第二圓頻率。11/27/202214比值所確定的振動形式就是與第一圓頻率相應(yīng)的振型，稱為第一振型或基本振型（fundamentalmode）分析析頻頻率率各各自自對對應(yīng)應(yīng)的的振型型11/27/202215和表表示示第第二二振振型型中中質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)1和2的振振幅幅。。下標(biāo)標(biāo)與質(zhì)質(zhì)量量和和相相對對應(yīng)應(yīng)，，上標(biāo)標(biāo)表示示模模態(tài)態(tài)號號碼碼。。由于于模模態(tài)態(tài)方方程程是是齊齊次次的的，，所所以以及及只有有相相對對關(guān)關(guān)系系。。11/27/202216主振振動動:結(jié)構(gòu)構(gòu)體體系系以以某某一一階階固固有有頻頻率率按按其其相相應(yīng)應(yīng)的的主主振振型型作作振振動動，，稱稱為為體體系系的的主主振振動動。。各點(diǎn)點(diǎn)同同時時經(jīng)經(jīng)過過靜靜平平衡衡位位置置，，并并同同時時到到達(dá)達(dá)最最大大偏偏移移位位置置，，以以確確定定的的頻頻率率和和振振型型作作簡簡諧諧振振動動。。一般情況況下，體體系的自自由振動動不是主主振動，，而是兩種不同同頻率及及其振型型的組合振振動:11/27/202217方程的全全解:其中，、、和由初始條件確定。11/27/2022182、剛度法法(a)具有兩個個集中質(zhì)質(zhì)量的結(jié)結(jié)構(gòu)體系系，兩個個自由度度，(b)為和和的的隔離體體圖。根據(jù)達(dá)朗朗伯原理理，平衡方程程為：11/27/20221911/27/202220彈性力力和和是是質(zhì)量量和和與與結(jié)構(gòu)構(gòu)之間間的相相互作作用力力，圖(b)中的和和是是質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)所受受的力力，圖(c)中的和和是是結(jié)結(jié)構(gòu)所所受的的力，，兩者者的方方向相相反。。結(jié)構(gòu)構(gòu)所受受的力力和和與與結(jié)構(gòu)構(gòu)的位位移和和之之間應(yīng)應(yīng)滿足足如下下剛度度方程程:11/27/202221是結(jié)構(gòu)構(gòu)的剛度系系數(shù)。如是是使質(zhì)質(zhì)點(diǎn)2產(chǎn)生單單位位位移而而質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)1保持為為零時時在質(zhì)質(zhì)點(diǎn)所所需施施加的的作用用力。。11/27/20222211/27/2022233、柔度法以兩個自由由度體系為為例進(jìn)行分分析:11/27/202224用柔度法建建立自由振振動微分方方程的思路路:在自由振動動過程中的的任一時刻刻，，質(zhì)量和和的的位移和和應(yīng)應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w體系在慣性性力和和作作用下下所產(chǎn)生的的靜力位移移。11/27/202225是結(jié)構(gòu)體系的柔度系數(shù)(flexibilitycoefficient)，即體系在點(diǎn)j承受單位力時，在點(diǎn)i產(chǎn)生的位移。設(shè)解的形式式為:11/27/202226

主振型的位移幅值就是結(jié)構(gòu)體系在此主振型慣性力幅值作用下所引起的靜力位移。11/27/202227令系數(shù)行列式等于零，可得到和的非零解，即:用柔柔度度系系數(shù)數(shù)表表示示的的頻頻率率方方程程或或特特征征方方程程。11/27/202228求得得固固有有圓圓頻頻率率的的兩兩個個值值為為:解出的兩個根11/27/202229體系的第第一階主主振型:11/27/202230體系的第第二階主主振型:11/27/202231總結(jié)：在多自自由體系自由由振動問題中中4）體系的自振振頻率和主振振型是體系本本身的固有性性質(zhì)。自振頻頻率只與體系系本身的剛度度系數(shù)和質(zhì)量量分布有關(guān)，，與外荷無關(guān)關(guān)。3）每個自振頻頻率有其相應(yīng)應(yīng)的主振型；；2）振動頻率個個數(shù)與自由度度個數(shù)一致，，自振頻率可可通過特征方方程計算；1）主要問題是是確定體系全全部自振頻率率及其相應(yīng)主主振型11/27/202232例3-1試分析圖示結(jié)結(jié)構(gòu)體系的固固有頻率和振振型。已知：。。解：體系的運(yùn)運(yùn)動方程為：：11/27/202233體系的運(yùn)動方方程為：設(shè)方程的解為為：11/27/202234上式有有非零零解的的條件件是系系數(shù)行行列式式為零零：展開行行列式式，可可以求求得11/27/202235計算振振型：：其中對應(yīng)于第一階頻率對應(yīng)于第二階頻率。11/27/202236第一模態(tài)態(tài)（振型型）為兩個質(zhì)質(zhì)量一起起振動，，無相對對位移，，中間一一個彈簧簧不起作作用，只只有第一一和第三三個彈簧簧起作用用，其結(jié)結(jié)果類似似于質(zhì)量量為2m、彈簧系系數(shù)為2k的單自由由度體系系的振動動；以橫坐標(biāo)標(biāo)表示系系統(tǒng)的靜靜平衡位位置，縱縱坐標(biāo)表表示各點(diǎn)點(diǎn)的振幅幅，體系系的主振振型圖。。第二模態(tài)態(tài)（振型型）為兩個質(zhì)質(zhì)量作相相反振動動，中間間一個彈彈簧的中中點(diǎn)始終終不動。。11/27/202237例3-2圖示兩層層剛架，，其橫梁梁EI=。設(shè)質(zhì)量量集中在在橫梁上上，第一一和第二二層的質(zhì)質(zhì)量分別別為和和。。