2015年11月11預(yù)2015年11月11P11920,22,23,25(2,26(2,3),27(2,3),思考能否L’Hospital法則求下列極x

x

exex

ee思考

fx0存在,能否

x0的一個(gè)N(x0

),使

N(x0N(x0,

上處處可導(dǎo)上處處連續(xù)QQ：如何用一個(gè)多項(xiàng)式表示函 提出問題： 在(a,b)內(nèi)具有n階導(dǎo)數(shù)x

b)，能否用一個(gè)關(guān)于(xx

的次多n(x)aa1(xx)a2(xx)2an(xx)n 且x

x0

f(x)Pn(x)o((xx)nn(x)aa1(xx)a2(xx)2an(xx 0來近似表 0且x假設(shè)

x0

f(x)

o((x

x)n)Pn(x

f(x),

(x

f(x),

Pn(n)(x

f(n)(x af(x)

a

(x)

a

(x) f(n)(x

∴x

x0

f(x)Pn(x)o((xx)n

f(n)(x)n!

(xx 稱 在xx0處的n階Taylor公Rnx)fx)Pnx，

f(n)(xRn(x)f(x)[

f(x)

)(x

)

(xn

)n驗(yàn)證xxRxox

)n

00 0

x

(xxR(x)

f(x)

f(x)

)(x

)

f(n)(

)(x

)n n Rn(

fx)Pnx在

b內(nèi)具有直到階的Rn(

)0

(

)0

(x)0

R(n)(x)0Pn(x)

f(x

f(x

(n)(x)

f(n)(xf(x)

f(x)

)(x

)

f(n)(

)(x

)n0o((x0

x)n nff(x)f(x)f(x)(xxf(x2(xx2 (f(n)(xnxno((xx n⑤ 在處Peano余項(xiàng)的nTaylorx00，f(x)f(0)

f(0)x n!

f(n)(0)xn

o(xn Peano余項(xiàng)的nMaclaurin公 在N(x0,)內(nèi)具有直 階導(dǎo)數(shù)

f(

f(x

f(x)(xx

f(n)(x)n!

(xx)nRnx

Nx0內(nèi)具有直到n1導(dǎo)數(shù)Rn(x

(x

R(n)(x)0 令x)xx)n1，則x)x)(nx) R(

R(n1)(于是 n ，其中介于x與間．(x) (nRRn(x)(，x注意到

f(n1)x（P(n1)x)0，則由上nRn(

f(n1)!(x

x

n1,x與間⑥或Rn(x) ((n1)!――Lagrange型余

fxCn

fxCn1，對(duì)

x0[a,b，

[a,b]

(a,b)f(x)

f(x)f(x)(xx) 0(xx)2 2! f(n)(x

f(n1)(00 0(x00n!

x)n

(n

(x

x)n1

(7)x,x0 在處Lagrange余項(xiàng)的nTaylor公或fx

f(

)

)(xx)

)2 2! f(n)(x

f(n1)(

(xx00 0(x00n!

x

(x(n

x)n10

n0f(x)

f(x0)

f()(x

x0,

x0

x

0

――Lagrange中值公f(

f

f

f(0)

x2

f(n)(0)n n

f

(在0與x或f(或

f

f

f

x2

f(n)(0)n n

f(n1)(

xn1

0

(n Lagrange余項(xiàng)的nMaclaurin公

f(n1)x在(a

內(nèi)有界，則

fx)Pnx時(shí)其誤差的估計(jì)式RR(x)nf(n1)((n(xx)n1(n1)!xMn1其中M f(n1)(x)x(a,b)fxCn[a,b]fxCn1(a,b)，x2 x3 xn eex1

x

xn12 3

n (n1)

，0f(

f

f

f(n)(0)

xnRn(x)Peano余項(xiàng)

Rn(x)o(xn)Lagrange余項(xiàng)

Rn(

f

xn1

在0與x或Rn

f

xn1

01ex1x

x22

37337

xnn

ex(n1)!

0

1sinxx

x3

x5

(2m1)!R2m(x) (x)

x2

x4

66

x2m(2m)!R2m1(x) (x) 4(2m2)!4ln(1x)x

x22

x33

R(x)nnnnnRnx)(1)n

，0

1(1x)1x(1)x2(1)(2)(n1)xn(1)(2)(n)xn1

01n(n1)(nn!n(n1)(nn!21xn

1nx

2!

x2

11

1x

x2

x3

(1)n1(1x)(n2)xn1f(n)(xf(x)

f(

)f(x)(x

) 0(xx)no((x

)n

n! f(x)aa(xx) a(xx)no((x

)n)，0 01 ann!1

f(n)(x)例

f(x)

e2x

寫成直

x3Taylor公（Peano余項(xiàng)f(30法t t t法et1

o(tn2 3 n(所以(

(

12x

xo(3

)，

多項(xiàng)式Pnx的例 (1)

f(x)1

xex

sinxx0三階Taylor公式（Peano余項(xiàng)4x22x(2)

f(x)

2x2x

Lagrange余項(xiàng)的三思考：Peano余思考思考：Peano余思考x0公Lagrange公Lagrange余項(xiàng)Taylor公近似計(jì)e163Taylor公式近似計(jì)算e

ex1x

12!

1x3

x4介于0,x之間．求值展開原則一展開原則一

lim[xx2ln(11 ()()n展開原則二：展開到幾個(gè)展式中同次冪前系數(shù)之展開原則一：分子所帶的高階無分母的展開原則二：展開到幾個(gè)展式中同次冪前1cos1cosxx0cos2x展開原則三Note：有限個(gè)oxk)(k0的代數(shù)和仍為oxk．不要犯oxk)oxk)0這樣的錯(cuò)誤．

x0

xf(x)sinxx3f

f

f(0)

x

2

，求k，使與為同階無窮??？f(x)

f(x)f(x)(xx)f(x0)(xx) 2! f(n)(x

f(n1)(00 0(x00n!

x)n

(n

(x

x19設(shè)在

b)內(nèi)

f(x)

0．證：對(duì)x1,

(ab，

f(2

f(x2