學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章計數(shù)原理第1課排列組合的綜合應(yīng)用組數(shù)問題【例1】從1到9的九個數(shù)字中取3個偶數(shù)、4個奇數(shù)，問:（1)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)?（2)上述七位數(shù)中3個偶數(shù)排在一起的有幾個？［思路點撥]eq\x（先將九個數(shù)字分類)→eq\x（依據(jù)題設(shè)選出數(shù)字)→eq\x（排列即可）［解］(1）分步完成:第1步在4個偶數(shù)中取3個，可有Ceq\o\al(3,4）種情況；第2步在5個奇數(shù)中取4個,可有Ceq\o\al（4，5)種情況；第3步3個偶數(shù)，4個奇數(shù)進行排列可有Aeq\o\al(7,7）種情況;故共有Ceq\o\al(3,4）Ceq\o\al(4,5）Aeq\o\al（7,7)＝100800個．（2）上述七位數(shù)中，將3個偶數(shù)排在一起有Aeq\o\al（3,3)種情況；故采用捆綁法求得三個偶數(shù)在一起的共有Ceq\o\al（3,4）Ceq\o\al(4，5)Aeq\o\al(5，5)Aeq\o\al（3，3）＝14400種．1．（變結(jié)論)若組成的七位數(shù)中任意兩個偶數(shù)都不相鄰，共有多少個？［解]上述七位數(shù)中，偶數(shù)不相鄰，可先把4個奇數(shù)排好，再將3個偶數(shù)分別插入5個空檔中，即共有：Ceq\o\al（4，5)Aeq\o\al（4，4）Ceq\o\al（3,4）Aeq\o\al（3,5)＝28800個．2．（變條件)用數(shù)字0,1,2，3,4,5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有________個．（用數(shù)字作答)[解]當個位、十位和百位上的數(shù)字為三個偶數(shù)時，若選出的三個偶數(shù)含有0，則千位上把剩余數(shù)字中任意一個放上即可，方法數(shù)是Ceq\o\al(2，3）Aeq\o\al(3,3）Ceq\o\al(1,4）＝72;若選出的三個偶數(shù)不含0，則千位上只能從剩余的非0數(shù)字中選一個放上，方法數(shù)是Aeq\o\al(3，3)Ceq\o\al(1，3）＝18，故這種情況下符合要求的四位數(shù)共有72＋18＝90（個）．當個位、十位和百位上的數(shù)字為一個偶數(shù)、兩個奇數(shù)時，若選出的偶數(shù)是0，則再選出兩個奇數(shù)，千位上只要在剩余數(shù)字中選一個放上即可，方法數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al（3，3）Ceq\o\al(1，4)＝72；若選出的偶數(shù)不是0，則再選出兩個奇數(shù)后,千位上只能從剩余的非0數(shù)字中選一個放上,方法數(shù)是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2，3）Aeq\o\al(3,3）Ceq\o\al（1，3)＝162，故這種情況下符合要求的四位數(shù)共有72＋162＝234（個)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得符合要求的四位數(shù)共有90＋234＝324（個）．組數(shù)問題是一類典型的排列組合問題，往往涉及排列特殊數(shù)，如奇數(shù)，被5整除的數(shù)等.需要注意以下幾個問題：①首位數(shù)字不為0；②若所選數(shù)字中含有0,則可先排0，即“元素分析法”；③若排列的是特殊數(shù)字,如偶數(shù)，則先排個位數(shù)字，即“位置分析法”；④此類問題往往需要分類，可依據(jù)特殊元素，特殊位置分類.分組與分配問題【例2】某次國際合作論壇，為了保護各國國家元首的安全，某部門將5個安保小組全部安排到指定的三個區(qū)域內(nèi)工作，且每個區(qū)域至少有一個安保小組，則這樣的安排方法共有(）A．96種 B．100種C．124種 D．150種[思路點撥］eq\x（\a\al（把5個安保小組，分成三組))→eq\x(\a\al(把分成的三組安,排到三個區(qū)域中）)→eq\x（得結(jié)果）D［因為每個區(qū)域至少有一個安保小組,所以可以把5個安保小組分成三組，共有兩種方法，一種是按照1，1,3來分,另一種是按照2，2，1來分．當按照1,1，3來分時，不同的安排方法共有N1＝eq\f(C\o\al（1,5）C\o\al（1，4)C\o\al（3,3）,A\o\al(2,2）)Aeq\o\al(3,3)＝60(種)；當按照2，2，1來分時，不同的安排方法共有N2＝eq\f(C\o\al（2,5）C\o\al（2，3)C\o\al(1，1）,A\o\al（2，2）)Aeq\o\al（3,3)＝90（種)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理,可得這樣的安排方法共有N＝N1＋N2＝150（種）．］解決此類問題的關(guān)鍵是正確判斷是不是平均分組、有序分組，無序平均分組要除以組數(shù)的階乘，有序平均分組是在無序平均分組的基礎(chǔ)上再乘以組數(shù)的階乘。1．將標號為1，2，3，4的四個籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個籃球，且標號1，2的兩個籃球不能分給同一個小朋友，則不同的分法種數(shù)為(）A．15 B．20C．30 D．42C[四個籃球分成三組：2,1，1，共有Ceq\o\al（2,4)種不同分法，分給三位小朋友共有Ceq\o\al(2，4)Aeq\o\al（3,3)種不同分法．若1，2號兩個籃球分組同一個小朋友，共有Aeq\o\al（3，3）種不同分法，故共有Ceq\o\al(2，4)Aeq\o\al(3，3）－Aeq\o\al（3,3)＝30種不同的分法．]排列、組合的綜合應(yīng)用【例3】有4張分別標有數(shù)字1，2,3，4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1，2,3,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10,則不同的排法共有多少種？[思路點撥]取出4張卡片數(shù)字之和為10的共有1，2，3,4;1,1,4，4；2,2,3，3；三類按照先選再排的方法求解．［解]分三類：第一類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1，2，3，4時,不同的排法有Ceq\o\al（1，2)·Ceq\o\al（1,2）·Ceq\o\al（1,2）·Ceq\o\al(1，2)·Aeq\o\al（4,4）種；第二類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1,1，4，4時，不同的排法有Ceq\o\al(2，2）·Ceq\o\al（2,2)·Aeq\o\al(4，4）種；第三類,當取出的4張卡片分別標有數(shù)字2,2，3,3時,不同的排法有Ceq\o\al(2，2)·Ceq\o\al（2,2)·Aeq\o\al(4，4）中．故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為Ceq\o\al(1，2）·Ceq\o\al(1，2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1，2）·Aeq\o\al（4，4）＋2Ceq\o\al（2，2）·Ceq\o\al（2,2)·Aeq\o\al(4,4）＝432。解答排列、組合綜合問題的思路及注意點1．解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列．2．解排列、組合綜合問題時要注意以下幾點:（1)元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題．（2）對于有多個限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合綜合問題的一般方法．2．我省高中學(xué)校自實施素質(zhì)教育以來，學(xué)生社團得到迅猛發(fā)展．某校高一新生中的五名同學(xué)打算參加“春暉文學(xué)社”、“舞者輪滑俱樂部"、“籃球之家”、“圍棋苑"四個社團．若每個社團至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個社團且只能參加一個社團，且同學(xué)甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為()A．72 B．108C．180 D．216C［根據(jù)題意,分析可得,必有2人參加同一社團，首先分析甲，甲不參加