2022-2023學(xué)年江蘇省常州市溧陽(yáng)市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若一條直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．C【分析】由題意結(jié)合直線的斜率公式求出該直線的斜率，即可求出直線的傾斜角.【詳解】因?yàn)橐粭l直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和，所以該直線的斜率為：所以該直線的傾斜角為.故選：C.2．已知圓，圓，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切C【分析】求出兩圓圓心距，與兩圓半徑和與差的絕對(duì)值比較大小，可得出結(jié)論.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)?，則，故這兩個(gè)圓相交.故選：C.3．點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．A【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對(duì)稱性，不妨考慮點(diǎn)到直線的距離.故選：A.4．如果，，那么直線不通過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B把直線方程化為，根據(jù)，，對(duì)分類討論即可得出．【詳解】把直線化為．因?yàn)椋?，假設(shè)，則，．所以，，則直線不通過(guò)第二象限．假設(shè)，則，．所以，，則直線不通過(guò)第二象限．故選：．5．過(guò)圓x2+y2＝5上一點(diǎn)M（1，﹣2）作圓的切線l，則l的方程是（）A．x+2y﹣3＝0 B．x﹣2y﹣5＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x+y﹣5＝0B【分析】本題先根據(jù)圓的切線的幾何意義建立方程求切線的斜率，再求切線方程即可.【詳解】解：由題意：點(diǎn)M（1，﹣2）為切點(diǎn)，則，，解得：，∴l(xiāng)的方程：，整理得：，故選：B.本題考查圓的切線的幾何意義，點(diǎn)斜式直線方程，兩線垂直其斜率相乘等于，是基礎(chǔ)題.6．已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上，則這三個(gè)點(diǎn)是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，D【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知：橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，進(jìn)一步比較判斷即可求解.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，又因?yàn)?，所以橢圓不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故橢圓經(jīng)過(guò)，，點(diǎn)，故選.7．已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為()A． B． C． D．D【詳解】試題分析：由于點(diǎn)在拋物線C：的準(zhǔn)線上，所以，設(shè)直線AB的方程為，將與聯(lián)立，即，則（負(fù)值舍去），將k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故選D.1.直線與拋物線的位置關(guān)系；2.斜率公式.8．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點(diǎn)，且．若，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．C【分析】根據(jù)題意延長(zhǎng)交橢圓另一交點(diǎn)為，由條件結(jié)合橢圓性質(zhì)可知，再通過(guò)通徑的性質(zhì)有即可得解.【詳解】由點(diǎn)P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓另一交點(diǎn)為，由再結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，易知，所以，由橢圓過(guò)焦點(diǎn)的弦通徑最短，所以當(dāng)垂直軸時(shí)，最短，所以，所以，解得.故選：C二、多選題9．已知直線，則（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，兩直線之間的距離為1ACD【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求法，可判斷A,根據(jù)直線的一般式在垂直平行滿足的條件可判斷BC,根據(jù)兩平行線間距離公式即可求解D.【詳解】對(duì)A;變形為令，則，因此直線過(guò)定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B;當(dāng)時(shí)，，故兩直線不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C;當(dāng)時(shí)，，故兩直線平行，C正確；對(duì)于D;當(dāng)時(shí),則滿足，此時(shí)則兩直線距離為，故D正確；故選：ACD10．已知方程：，則下列命題中為真命題的是（

）A．若，則方程表示的圖形是圓B．若，則方程表示的圖形是雙曲線，且漸近線方程為C．若且，則方程表示的圖形是橢圓D．若且，則方程表示的圖形是離心率為的橢圓BD【分析】對(duì)于A，由題知方程為，再根據(jù)，時(shí)的情況判斷A；對(duì)于B，分和兩種情況討論判斷B；對(duì)于C，分和兩種情況討論判斷C；對(duì)于D，由題知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，再求離心力判斷D.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由于且得，故方程為，所以，當(dāng)時(shí)，方程表示的圖形是圓；當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則方程表示的圖形是雙曲線，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，，漸近線方程為；當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，，漸近線方程為；所以，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于且，所以當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形；所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若且，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，其中，所以，離心率為，故D選項(xiàng)正確.故選：BD11．已知直線：，圓：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距為1B．到直線的距離的最大值為5C．存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切D．當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短BD【分析】對(duì)于A，利用斜截式方程即可求解；對(duì)于B，利用點(diǎn)斜式及兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；對(duì)于C，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求解；對(duì)于D，利用垂徑定理及兩直線垂直斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，即，由直線的斜截式方程可知，所以直線在軸上的截距為，故A錯(cuò)誤對(duì)于B，由，得，直線恒過(guò)定點(diǎn),所以到直線的距離的最大值就是點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的距離，，故B正確；對(duì)于C，由，得，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以，所以在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，即,由直線恒過(guò)定點(diǎn)，由，得，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，故D正確.故選：BD12．平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線與軸的交點(diǎn)為和B．曲線關(guān)于軸對(duì)稱，不關(guān)于軸對(duì)稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．的取值范圍為ACD【分析】根據(jù)給定條件，求出曲線C的方程，由判斷A；由曲線方程對(duì)稱性判斷B，C；求出的范圍計(jì)算判斷D作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意，，整理得：，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，解得，即曲線C與y軸的交點(diǎn)為，，A正確；對(duì)于B、C，因，由換方程不變，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，因?yàn)椋蓳Q方程不變，曲線C關(guān)于軸對(duì)稱，所以坐標(biāo)原點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，B不正確，C正確；對(duì)于D，由得：，解得，于是得，解得，D正確.故選：ACD三、填空題13．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______．【分析】方程表示圓，需要計(jì)算得到答案.【詳解】方程表示圓則本題考查了二元二次方程表示圓的條件，屬于簡(jiǎn)單題.14．拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)F的距離，則M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為___________.【分析】寫出拋物線的準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義直接列式計(jì)算作答.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為：，由拋物線定義得：，解得，拋物線方程為，而在拋物線上，則，原點(diǎn)為O，即有，所以M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.故15．已知直線與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為_____________.【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)P的軌跡，結(jié)合圖形利用幾何意義求解作答.【詳解】直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，顯然直線與直線垂直，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P在以MN為直徑的圓（除點(diǎn)M，N外）上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn),因此，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓（除點(diǎn)外），如圖，觀察圖形知，點(diǎn)A在圓O：外，當(dāng)直線AP與圓O相切時(shí)，為銳角且最大，最大，所以.故16．已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，.過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為.________.【分析】根據(jù)已知條件及等邊三角形的性質(zhì)，再利用等腰三角形的三線合一定理及橢圓的定義，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由，得，，，解得，，因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，所以，所以，即為等邊三角形，因?yàn)檫^(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，所以由橢圓的定義可知，，,所以的周長(zhǎng)為.故四、解答題17．設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直線：，.(1)若與平行，求的值；(2)若與的交點(diǎn)在直線上，求的值.(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)直線平行則斜率相等，列出等式求解即可；（2）求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)其滿足，解方程即可.【詳解】（1）因?yàn)閮芍本€平行，則斜率相等，故可得，解得.（2）聯(lián)立，解得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)槠錆M足直線，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線平行，無(wú)交點(diǎn)，故舍去，則.18．已知圓：和圓.(1)若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為4，求的方程：(2)求圓與圓的公共弦的長(zhǎng).(1)或(2)【分析】（1）先求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由此求得，再分類討論直線斜率存在的情況，利用點(diǎn)線距離公式即可求得直線的方程；（2）先由圓心距判斷得兩圓相交，再由圓的一般方程相減得到公共弦方程，由此利用弦長(zhǎng)公式即可求得公共弦長(zhǎng).【詳解】（1）由得，故圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，故，若直線斜率不存在，則，此時(shí)圓心到直線的距離為，符合題意；若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，故，解得，則直線方程為，所以直線得方程為或.（2）因?yàn)閳A：，所以圓的圓心為，，所以，，故，即圓與圓相交，聯(lián)立，兩式相減得公共弦方程為，所以圓心到公共弦的距離為，又因?yàn)?，所以公共弦長(zhǎng)為.19．（1）已知圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，求該圓的方程；（2）若一個(gè)圓過(guò)點(diǎn)，且與圓：相切于點(diǎn)，求此圓的方程.（1）；（2）.【分析】（1）利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程，結(jié)合點(diǎn)在圓上即可求解；（2）根據(jù)已知條件及兩圓的位置關(guān)系，再利用垂徑定理及直線的點(diǎn)斜式方程，結(jié)合半徑的定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】（1）設(shè)圓方程為，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)在圓上，所以，解得，，，所以圓方程為.（2）圓方程為，所求圓與圓外切∵，，∴方程為①∵，，∴中點(diǎn)為，∴中垂線方程：即②由①②解得圓心.②所以所求圓方程為.20．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，直線過(guò)點(diǎn)且與交于兩點(diǎn).(1)求的值及直線的斜率的取值范圍；(2)若，求直線的方程.(1)，直線的斜率的取值范圍為(2)或.【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)拋物線的焦準(zhǔn)距得，再設(shè)直線的方程為，進(jìn)而與拋物線聯(lián)立，結(jié)合判別式求解即可；（2）設(shè)，，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理與焦半徑公式得，再解方程即可得答案.【詳解】（1）解：因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，所以，解得.所以拋物線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，所以，設(shè)直線的斜率為，方程為，所以，聯(lián)立得，故方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.，解得且所以，直線的斜率的取值范圍為（2）解：設(shè)，，由（1）知，又由焦半徑公式得，所以，，即，解得或.所以，直線的方程為或.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是到直線的距離的，點(diǎn)P的軌跡記為曲線C.(1)求曲線C的方程(2)已知，，點(diǎn)M是曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，①求證：直線AM，BM的斜率之積為定值：②設(shè)直線AM與直線交于點(diǎn)N，求證.(1)；(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意，列出滿足的等量關(guān)系，整理化簡(jiǎn)即可；（2）①設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表達(dá)出直線的斜率，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線，即可證明；②設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系，證明即可.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是到直線的距離的，故可得，化簡(jiǎn)得，即，故曲線的方程為.（2）①設(shè)，則，即故.②設(shè)，且在軸的上方時(shí)，若，不妨取，滿足曲線的方程，則方程為，則，此時(shí)，又，故；若不垂直于，設(shè)，，則由，得，又直線的方程為：，聯(lián)立可得：，故，則，又，則，又，，故即；當(dāng)點(diǎn)在軸的下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，顯然也滿足；綜上：得證.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓方程的求解，以及橢圓中定值問(wèn)題和角度問(wèn)題的證明，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化所證問(wèn)題為證明其正切值相等的問(wèn)題，屬綜合中檔題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線有公共頂點(diǎn)，且的短軸長(zhǎng)為2，的一條漸近線為.(1)求，的方程：(2)設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，判斷直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明；(3)過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，求證：直線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形面積為定值，并求出該定值.(1)，(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)，證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析，2【分析】（1）由題知雙曲線焦點(diǎn)在軸上，橢圓焦點(diǎn)在軸上，再設(shè)出方程，待定系數(shù)求解即可；（2）聯(lián)立方程，結(jié)合解方程判斷即可；（3）設(shè)，，進(jìn)而結(jié)合（2）中的結(jié)論得直線的方程為，再與雙曲線的漸近線聯(lián)立，求解，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而計(jì)算面積即可.【詳解】（1）解：由題，雙曲線的頂點(diǎn)為，所以雙曲線焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)榈囊粭l漸近線為所以，，解得，所以雙曲線方程為又因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)為2