2022-2023學(xué)年貴州省貴陽市“三新”改革聯(lián)盟校高二上學(xué)期聯(lián)考（五）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．對于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，有如下關(guān)系：，則（

）A．四點(diǎn)P、A、B、C不一定共面 B．四點(diǎn)P、A、B、C必共面C．四點(diǎn)O、P、B、C必共面 D．無法判斷B【分析】利用空間向量的運(yùn)算，整理等式，根據(jù)共面定理，可得答案.【詳解】由，整理可得，則，故、、、共面，故選：B.2．已知直線a的方向向量為、平面的法向量，且，則的值為（

）A． B． C．4 D．2C【分析】根據(jù)平面法向量、直線方向向量的性質(zhì)，結(jié)合空間平行向量的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，于是有，故選：C3．某圓經(jīng)過兩點(diǎn)，圓心在直線上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．D【分析】根據(jù)圓的平面幾何性質(zhì)可知圓心在的中垂線上，聯(lián)立方程可得圓心坐標(biāo)，再求出半徑即可得解.【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過兩點(diǎn)，所以圓心在中垂線上，聯(lián)立解得圓心，所以圓的半徑，故所求圓的方程為，故選：D4．在四面體OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且，N為BC中點(diǎn)，，若分別對應(yīng)互不重合的直線的斜率，則有（

）A． B． C． D．兩兩互不平行C【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合直線平行與直線斜率的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，N為BC中點(diǎn)，所以，即，因?yàn)椋?，又因?yàn)橹本€不重合，所以，故選：C5．設(shè)直線的方程則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．D【分析】當(dāng)時，直線斜率不存在，可得傾斜角為；當(dāng)，由斜率和傾斜角的關(guān)系可知，由此可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，直線，則其傾斜角為；當(dāng)時，直線，則其斜率，即，又，；綜上所述：直線的傾斜角的取值范圍為.故選：D.6．已知直線l過，并在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，那么這樣的直線l共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條C【分析】用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，再由截距的絕對值相等列式，求解得的值有3個，從而得結(jié)論.【詳解】由題意，該直線斜率存在且不為，設(shè)所求直線的方程為，令，則；令，則，因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，，化簡得或，解得或或，所以過并在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等的直線有3條.故選：C7．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，M為PC上一動點(diǎn)，，若為鈍角，則實(shí)數(shù)t的值不可能為（

）A． B． C． D．A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】分別以、、為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，，故，,，,由可知，，即，又因?yàn)闉殁g角，所以，由,,可知，，，整理得，解得，故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式是解題的關(guān)鍵.8．阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A、B間的距離為2，動點(diǎn)P與A、B距離之比為，當(dāng)面積最大時，（

）A． B． C．8 D．16B【分析】由題意，建立平面坐標(biāo)系，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)以及三角形的面積公式，求得三角形面積最大時，動點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得答案.【詳解】由題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以過垂直于直線的直線為軸，建立坐標(biāo)系，則，設(shè)，故，則，整理可得：，即的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，如下圖：由共線，則當(dāng)時，的面積最大，不妨設(shè)在第一象限，此時，可得，，.故選：B.二、多選題9．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．BC【分析】根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，所以重心坐標(biāo)為，因?yàn)闅W拉線方程為，所以.A：當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為時，顯然不滿足；B：當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為時，顯然滿足；C：當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為時，顯然滿足；D：當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為時，顯然不滿足，故選：BC本題考查了三角形重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10．如圖，在四面體中，以下說法正確的有：（

）A．若，，則B．若，，則的中點(diǎn)構(gòu)成矩形C．若分別為的中點(diǎn)，則與為異面直線D．若四面體其三組對棱的中點(diǎn)間的距離都相等，則這個四面體相對的棱兩兩互相垂直ABD【分析】作平面，連接，分別延長交于點(diǎn)，利用線面垂直的判定與性質(zhì)可說明為的垂心，由此可得，從而可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可知A正確；利用三角形中位線性質(zhì)可首先說明四邊形為平行四邊形，則C錯誤；再結(jié)合等腰三角形三線合一性質(zhì)和線面垂直的判定可證得平面，結(jié)合平行關(guān)系可證得四邊形為矩形，知B正確；根據(jù)四邊形為平行四邊形且對角線長相等可知其為矩形，結(jié)合平行關(guān)系可說明對棱互相垂直，由此可知D正確.【詳解】對于A，作平面，垂足為，連接，分別延長交于點(diǎn)，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，；同理可得：；為的垂心，，平面，平面，，又，平面，平面，平面，，A正確；對于B，設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，；同理可得：，；，，四邊形為平行四邊形；，，為中點(diǎn)，，，，平面，平面，平面，又平面，，分別為中點(diǎn)，，，四邊形為矩形，B正確；對于C，由B知：四點(diǎn)共面，與不是異面直線，C錯誤；對于D，若分別為的中點(diǎn)，則，分別為中點(diǎn)，，；同理可得：，；，，四邊形為平行四邊形，四邊形為矩形，，又，，；同理可得：，，這個四面體相對的棱兩兩互相垂直，D正確.故選：ABD.11．如果點(diǎn)的坐標(biāo)滿足以下方程，則點(diǎn)的軌跡是圓的有（

）A． B．C． D．（為參數(shù)，）CD【分析】將方程轉(zhuǎn)化為形式，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷每個選項(xiàng).【詳解】對A，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，所以方程不表示圓，A錯誤；對B，由，得，可知該方程不表示圓，B錯誤；對C，由，得，因?yàn)?，所以，所以，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，該方程表示圓心為，半徑為的圓，C正確；對D，由（為參數(shù)，），得，因?yàn)椋?，該方程表示圓心為，半徑為的圓，D正確.故選：CD12．如圖，在棱長為的正方體中，下列結(jié)論成立的是（

）A．若點(diǎn)是平面的中心，則點(diǎn)到直線的距離為B．二面角的正切值為C．直線與平面所成的角為D．若是平面的中心，點(diǎn)是平面的中心，則面ABD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到直線距離、二面角、線面角的向量求法可判斷ABC正誤；根據(jù)可證得D正確.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，對于A，，，，，點(diǎn)到直線的距離，A正確；對于B，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個法向量，，，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的正切值為，B正確；對于C，平面，平面，，又，，平面，平面，平面的一個法向量為，又，，即直線與平面所成的角為，C錯誤；對于D，平面的法向量，，，即，面，D正確.故選：ABD.三、填空題13．直線與直線平行，則______．根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的二次方程，解出實(shí)數(shù)的值，代入檢驗(yàn)即可得解.【詳解】由于直線與直線平行，則，即，解得或.當(dāng)時，兩直線的方程分別為、，此時，兩直線平行；當(dāng)時，兩直線方程分別為、，此時，兩直線重合.綜上所述，.故答案為.本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知一束光線從點(diǎn)射出，經(jīng)y軸反射后，反射光線所在直線與直線垂直，則反射光線所在直線l的方程為_________．【分析】根據(jù)反射的性質(zhì)，結(jié)合互相垂直的直線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線與直線垂直，所以可設(shè)反射光線所在直線方程為：，點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)在直線上，所以，即，故15．二面角的棱上有兩個點(diǎn)、，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為_________.【分析】先設(shè)平面與平面的夾角為，因?yàn)?，，所以，，根?jù)空間向量得，兩邊平方代入數(shù)值即可求出答案.【詳解】設(shè)平面與平面的夾角為，因?yàn)椋?，所以，由題意得，所以所以，所以，所以，即平面與平面的夾角為.故或.四、雙空題16．已知點(diǎn)A為圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)A到直線的距離的最小值為1，則m的值為_________；點(diǎn)A到直線的距離的最大值為__________．

；

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，設(shè)該圓的圓心為，坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)A到直線的距離的最小值為1，所以圓心到直線的距離的為，點(diǎn)A到直線的距離的最大值為，故；五、解答題17．平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為．(1)求線段的長；(2)若，判斷能否構(gòu)成空間的一組基底，若能，用此基底表示向量；若不能，說明理由．(1)(2)能構(gòu)成基底，【分析】（1）利用，平方后開根號求出即可；（2）顯然是一組空間的基底，可利用反證法證明是一組基底，然后利用向量的線性運(yùn)算表示出即可.【詳解】(1)，依題意，結(jié)合幾何體可得：兩兩夾角是，故，故，即.(2)是平行六面體同一點(diǎn)引出的三條向量，結(jié)合圖形可知它們不共面，故可作為空間中的一組基底；假設(shè)不是空間的一組基底，于是三個向量共面，故，使得，此時整理可得：，說明共面，這與是空間的基底矛盾，故假設(shè)不成立，于是是空間的一組基底；于是18．已知三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)試判斷的形狀；(2)求中的角B的角平分線所在直線的一般方程．(1)是以為直角的等腰直角三角形(2)【分析】（1）根據(jù)斜率公式與兩點(diǎn)間的距離公式求出，，，，即可判斷；（2）由（1）可得角的角平分線即為邊上的中線，求出、的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式求出，最后由點(diǎn)斜式求出直線方程，再化為一般式即可.【詳解】(1)解：因?yàn)?，，，所以的斜率，，的斜率，，則，所以且，所以是以為直角的等腰直角三角形；(2)解：由（1）知是以為直角的等腰直角三角形，所以角的角平分線即為邊上的中線，易求中點(diǎn)坐標(biāo)，所以直線的斜率，故角的角平分線為，化為一般式為．19．如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）方法一:連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）方法一：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計算出二面角的余弦值，進(jìn)而可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：利用平面基本事實(shí)的推論在棱上取點(diǎn)，使得，連接、、、，如圖1所示.在長方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，，，因此點(diǎn)在平面內(nèi).［方法二］：空間向量共線定理以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示．設(shè)，則．所以．故．所以，點(diǎn)在平面內(nèi)．［方法三］：平面向量基本定理同方法二建系，并得，所以．故．所以點(diǎn)在平面內(nèi)．［方法四］：根據(jù)題意，如圖3，設(shè)．在平面內(nèi)，因?yàn)?，所以．延長交于G，平面，平面．，所以平面平面①．延長交于H，同理平面平面②．由①②得，平面平面．連接，根據(jù)相似三角形知識可得．在中，．同理，在中，．如圖4，在中，．所以，即G，，H三點(diǎn)共線．因?yàn)槠矫妫云矫?，得證．［方法五］：如圖5，連接，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn)．聯(lián)結(jié)，由長方體知識知，體對角線交于一點(diǎn)，且為它們的中點(diǎn)，即，則經(jīng)過點(diǎn)O，故點(diǎn)在平面內(nèi)．（2）［方法一］【最優(yōu)解】：坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖2.則、、、，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，取，得，，則，，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.［方法二］：定義法在中，，即，所以．在中，，如圖6，設(shè)的中點(diǎn)分別為M，N，連接，則，所以為二面角的平面角．

在中，．所以，則．［方法三］：向量法由題意得，由于，所以．如圖7，在平面內(nèi)作，垂足為G，則與的夾角即為二面角的大?。桑茫渲?，，解得，．所以二面角的正弦值．［方法四］：三面角公式由題易得，．所以．．．設(shè)為二面角的平面角，由二面角的三個面角公式，得，所以．【整體點(diǎn)評】（1）方法一：通過證明直線，根據(jù)平面的基本事實(shí)二的推論即可證出，思路直接，簡單明了，是通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用空間向量基本定理證明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事實(shí)三通過證明三點(diǎn)共線說明點(diǎn)在平面內(nèi)；方法五：利用平面的基本事實(shí)以及平行四邊形的對角線和長方體的體對角線互相平分即可證出．（2）方法一：利用建立空間直角坐標(biāo)系，由兩個平面的法向量的夾角和二面角的關(guān)系求出；方法二：利用二面角的定義結(jié)合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的兩個向量夾角和二面角的關(guān)系即可求出，為最優(yōu)解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．20．在中，，邊上的高所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線的方程.（1）（2）【分析】（1）由AC邊上的高BE所在的直線方程可得kAC．利用點(diǎn)斜式可得AC方程,與CM方程聯(lián)立解得C坐標(biāo)．（2）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)，可得中點(diǎn)M坐標(biāo)代入CM方程，與BE方程聯(lián)立，可得點(diǎn)B坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可得出所求直線方程．【詳解】（1）邊上的高為，故的斜率為，所以的方程為，即，因?yàn)榈姆匠虨?/p>

解得所以.（2）設(shè)，為中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，解得，所以，又因?yàn)椋缘姆匠虨榧吹姆匠虨?本題考查兩條直線垂直的應(yīng)用、考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及直線方程的求法，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．21．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，E為棱PD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段PC上一動點(diǎn)．(1)