第五章不定積原函數(shù)原函數(shù)積分積分積分積分法*第二換元原函定義如果在區(qū)間I內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù)Fx)為fx)

x

，都有

F(x)

fx)dF(x)

fx)dx，那么函數(shù)Fx)就稱(chēng)為

f(x)fx)dx在區(qū)間I內(nèi)原函數(shù)原函數(shù)存在定如果函

(

在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間I內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)Fx)，xI，都有Fxfx).即：連續(xù)函數(shù)一定有不定積定在區(qū)間I

(x)

的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱(chēng)為

fx在區(qū)I內(nèi)的不定積分，記為

(x)dxf(x)dx

F(x)

x)的原函數(shù)的圖形稱(chēng)

x的積分曲線微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的d

f(x)dx

f(

f(x)dx]

f(dx F(x)dx

F(x)

dF(x)

F(x)不定積分的性 [

f(x)

g(x)]dx

f(x)dx

g(

(x)dxk

x)d（k

基本積分

kx

(k是常數(shù)

sinxdx

cosx

xdx

x

(

cos2x

xdx

tanx

dxlnx1x1

sin2x

xdx

cotx11

1

2dx

arctanx

secxtanxdx

secx

1

dxarcsinxx2

cscxcotxdx

cscx

cosxdx

sinx

exdx

ex

axdx

a xx xx

a2dx2a

tan

lncosx

lnsinx

x2dx2a

seccsc

lnsecxtanxlncscxcotx

a21 1

aaax2

arcsinxax2a2x2x2a2

dxx2

1arctanxC

ln(x

)直接積分定積分的方法.第一類(lèi)換元

f(u)具有

x可導(dǎo)f[(x)](x)dx

[

(u)du]u(x第一類(lèi)換元公式（湊微分法常見(jiàn)類(lèi)型1

f( 2

f )xx1xxf(lnx)

f x3

x

4x2

5

f

x)

6

f(ax

)axdx;7

f

x)sec2

8

f

x)1x2第二類(lèi)換元定理 設(shè)

(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，(t)

f

(t

(t)f(

t(x第二類(lèi)換元公

x)是

(t)的反函數(shù)常用代換1.三角函數(shù)代a2x2如a2x2

令

asint.2.倒置代換

令x1t3.簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)代換naxnax如f(xnaxnax分部積分

uv

uv

分部積分公選擇u的有效方法:LIATE選擇L----對(duì)數(shù)函數(shù)； 反三角函數(shù)A----代數(shù)函數(shù)； 三角函數(shù)E----指數(shù)函數(shù)；哪個(gè)哪個(gè)選作定 兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱(chēng)P(x)

axn

xn1

x 0Q(x)0

b

xm1

bm1

其中m、n都是非負(fù)整數(shù)；a0a1,anb0b1,bma00b00真分式化為部分分式之和的四種類(lèi)型分式的不 A x

A

x

2

(x

(1n)(x

NMpqxNMpqxp3.x2

C;4

Mx dx(x2px

2(x2

px (此兩積分都可積,后者有遞推公2x3x例19x

3

dx.

3 3(2

2

2

解

dx

3

3t2 )2x2

)2x tttt3x2x3x2x 3x2x3x2x

2ln2

t1

t

ln

ln

C例2

ex(1

x)1cosex(1

原式 22cos22(ex

x e 2cos2 2[(e ) de[(e ) de 積的微分法

d(extanx2e

tan2

C例 求

ln(x 1x2)51ln(x 1x2)51x21x1xx1xx1x 1x

2 ) 11x2

ln(xln(x 1x2)1x

) [ln(x3

)5]2CF(x)

f(x)f(x)dxdF(x)例4

x dx.x2x2解令x1t

(倒代換

1(1)2(1)2t1

1t

1 2t

1 1 1t

dt1t

arcsint 1t x21tx

arcsinx

C例 求

. x x.1ex解

e3e6令e t,

x6lnt,

dx

dt,t

6

1t

t2

t(1

t)(1t2 A

Ctt(1

t2

t

1t6A(1

t2)

Bt(1

t2)

(Ct

D)t(t

解得A

B

C

D

(6

3 1

1t6ln

3ln(1x

t)3

2

t2)x

3arctantxx

e6)

2

e3)

C例 求

x

x2x xx

2

x2)d(1

x21(12

x2)ln(1

x2)

1x2

C1若fx)dxFxC,則dFx1

f(原式arctan (`1x2)ln(1x2)1x2 2

x2)ln(1x2)x2]arctan x2 [ln(1x2)

12

x2)ln(1

x2)

x2xln(12

x2)

xC.例7

x(2

x10

d(x10

x10(2

x10

x10(2

x101

x10

ln(

2)]1ln2

1ln(

2)C例8解

3(3(x1)2(x3(x1)2(x3(x1)4x

(

1)2t

x1

dt

x3x3xx)(x42

(x

xx3x

313t312

2

C例9

xsin

1cos 解

2cos22

2 2cos2

xdx2

2xtanxtanxdxtan xtan2

Cf(x)

f2(x)f(x)例

[

f(x)

f3(

f(x)

f2(x)f2(x)f(x) 原式

f3(x) f(x)

f2(x)f(x)f(x)f(x)

f2(x) f(x)d[f(x)f(x) f(x)12

f(x)f(x)

C例

x 設(shè)

(x)

xx, xfx)11xx xfx)在(,)上連續(xù)

則必存在原函

F(x x

C1

xF(x)

xC2,

1

x x

C3

x又Fx)須lim(

C2)

(1x22

C1即1

2

C1lim(

C3)

lim(

C21

1C2聯(lián)立并令C1C,

1＋C,

C3

1Cx x

C

x

x

x1C2

1

x1. 2

1C

x一、選擇題

設(shè)F1xF2x)是區(qū)間I內(nèi)連續(xù)函數(shù)

fx)的兩個(gè)同的原函

f(x)

0,則在區(qū)間I內(nèi)必有（（A）F1(x)F2(x)C（B）F1(x)F2(x)C（C）F1(x)CF2(x)；（D）F1(x)F2(x)C若F'(x)f(x),則dF(x)=（

f(x)； f(x)C

F(x)；F(x)Cfx)在某區(qū)間內(nèi)具備了條件（）就可保證它的有極限存在 （B）連續(xù)有界 （D）有有限個(gè)間斷下列結(jié)論正確的是

A,

C函

f(x)

(x

x)2的一個(gè)原函數(shù)F

( （A）4x3; （B）4

x2;（C)3

x(x2

x2); （D）3

x2(xx)已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y這個(gè)函數(shù)是

2x

x1

y2,yx2Cyx21x2y

C2

x1下列積分能用初等函數(shù)表出的是 1x3ex2dx （B） 1x3 （C）1dx ln

lnxdxxfx)dxFxC,且

b,f(t)dt （A）F(x)C（B）F(t)C（C）a

F

b)C（D）F

b) 9．

lnxdxx2

（（A）1x（C）1x

xxxx

C C

1lnxx1lnxx

1Cx1Cx10．

(4x

（（A） C （B） C9(4x 36(4x（C） C；（D） C36(4x 36(4x二、求下列不定積分1．

x2

x2

2xln(xln(x 1x2)1x23.

dx 4.(1

x2)2dx1x2x25. ; 6. x1x2x21 ex(1e2x

x2x2arccosxdx(1(1x29.

x8

3

2

dxxln(1x2),x

f(x)

(x22x3)ex

x0，求

f(x)dx

f'(ex)

a

xbcosx,(ab

f(x).五、

0

fx)xf'(x)(1x2ex

f(

dx一、2.3.4.5.7.8.9.10.二、

sinx2

C

122

x1C2[ln(x11x

)

C1arctanx C21

21x11xarcs