（二）有關(guān)極限環(huán)的研究1(二)極限環(huán)的存在性定義設(shè)系統(tǒng)具有閉軌線C.假如在C的充分小鄰域中，除C之外，軌線全不是閉軌線，且這些非閉軌線當(dāng)或時(shí)趨近于閉軌線C，則說閉軌線C是孤立的，并稱之為(1)的一個(gè)極限環(huán)。2的非平衡點(diǎn)M作一個(gè)在每一點(diǎn)都與該系統(tǒng)的軌線不相切的直線段，即在每一點(diǎn)都與方向（P,Q）不同的直線段，我們稱這種線段為無切線段。無切線段：經(jīng)過系統(tǒng)3經(jīng)過系統(tǒng)⑴的非平衡點(diǎn)M作一個(gè)在每一點(diǎn)都與該系統(tǒng)的軌線不相切的直線段，即在每一點(diǎn)都與方向不同的直線段，我們稱這種線段為無切選段，記作L，取定一個(gè)方向后，給L上的點(diǎn)定義坐標(biāo)，取由點(diǎn)M沿L到該點(diǎn)的有向距離s為坐標(biāo)，得到函數(shù)關(guān)系：我們稱為后繼函數(shù)，有時(shí)也稱為后繼函數(shù)。4后繼函數(shù)的性質(zhì)與極限環(huán)存在，穩(wěn)定的關(guān)系⑴如果是后繼函數(shù)的不動點(diǎn)即是后繼函數(shù)的零點(diǎn)：則過以為坐標(biāo)的點(diǎn)的軌線是一個(gè)閉軌。5⑵如果又如果則是孤立閉軌，即是一個(gè)極限環(huán)。⑶如果若則是穩(wěn)定極限環(huán)；若則是不穩(wěn)定的極限環(huán)。61閉軌的不存在性⑴系統(tǒng)無平衡點(diǎn)⑶系統(tǒng)的平衡點(diǎn)任意組合后指數(shù)之和都不是+1。⑵系統(tǒng)只有一個(gè)平衡點(diǎn)，其指數(shù)7則系統(tǒng)（1）在

研究系統(tǒng)（1）的極限環(huán)的位置定理1（Bendixson判斷）如果在某單連通區(qū)域內(nèi)不變號，內(nèi)無閉軌。8證明：設(shè)系統(tǒng)（1）在內(nèi)有閉軌由格林公式有上面的是所圍之區(qū)域，于是因是系統(tǒng)（1）之軌線，所以上式右端曲線積分之被積函數(shù)從而曲線積分為零。由定理假設(shè)，左端重積分不為零。矛盾。9定理2(Dulac判斷)如果有函數(shù)連續(xù)，且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，使得在單連通區(qū)域D內(nèi)不變號，則系統(tǒng)（1）在D內(nèi)無閉軌。10注：分別用Bendixson判斷和Dulac判斷，則得系統(tǒng)在全平面上無閉軌例考慮系統(tǒng)即此系統(tǒng)有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即與112閉軌存在的充分條件Poincare—Bendixson定理：

若極限集非空、有界、不包含平衡點(diǎn)，則一定是一條閉軌線。12Poincare—Bendixson定理的應(yīng)用定理1

環(huán)形區(qū)域

的邊界上軌線自外向內(nèi)，又

內(nèi)無系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)，則在

內(nèi)只有有一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。13定理2如果系統(tǒng)（1）的軌線在區(qū)域D的邊界上總是自外向內(nèi)，又D內(nèi)除去系統(tǒng)（1）的不穩(wěn)定焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)之外無其他平衡點(diǎn)，則在D內(nèi)至少有一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。

14方法：根據(jù)定理4，構(gòu)造區(qū)域滿足條件，得到在該區(qū)域內(nèi)至少有一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。例證明Vanderpol方程⑵

存在穩(wěn)定的極限環(huán)。15（三）極限集的性質(zhì)：軌線的的極限點(diǎn)：若存在序列極限點(diǎn)：若存在序列，，使得使得則稱則稱為軌線為軌線的的極限點(diǎn)極限點(diǎn)軌線稱的所有極限點(diǎn)的集合為的極限集，記作類此地可以定義極限集16軌線的極限集可以刻畫出當(dāng)很大時(shí)軌線的狀態(tài)。二維系統(tǒng)的極限集比較簡單，三維系統(tǒng)的極限集就有很復(fù)雜的極限集的例子。下面給出一般的n維系統(tǒng)極限集的幾條性質(zhì)。先介紹不變集的概念。17定義：集合A稱為不變集，如果則對一切集合A稱為正（負(fù)）不變集，如果則對一切18命題：（1）任一整軌線都是一個(gè)不變集，正（負(fù)）半軌線是正（負(fù)）不變集；（2）任一不變集都是由一些整軌線組成的，正（負(fù)）不變集是由一些正（負(fù)）半軌線組成的。19n維系統(tǒng)極限集的性質(zhì)：性質(zhì)1極限集是n維空間中的閉集。性質(zhì)2極限集是不變集。因此是由整軌線組成的。性質(zhì)3極限集是空集的充要條件是：時(shí)，軌線趨向無窮性質(zhì)4極限集只有唯一一個(gè)點(diǎn)的充要條件是20性質(zhì)5有界區(qū)域內(nèi)的正半（負(fù)半）軌線的極限集是連通的。性質(zhì)6A是閉的不變集（特別地，A是一個(gè)極限集），若則21Hilbert第十六問題（后半部分）給定n次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)其中22希爾伯特第十六問題旨在研究由多項(xiàng)式定義出的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，及極限環(huán)的位置及最大個(gè)數(shù)，要解決這個(gè)問題，我們就要了解極限環(huán)的基本問題，包括極限環(huán)的存在性，個(gè)數(shù)及位置的估計(jì)等。23問題研究情況：n次系統(tǒng)極限環(huán)最大個(gè)數(shù)問題，有過系統(tǒng)的研究。我國在這方面的前輩有秦元?jiǎng)?、葉彥謙、董金柱等先生，在n=2的情形做出了很好的結(jié)果。比如，葉彥謙先生關(guān)于二次系統(tǒng)極限環(huán)的（2，2）分布之不可能情形研究，秦元?jiǎng)紫壬P(guān)于M(2)≤4的證明和給出M(n)的一個(gè)較好的上界估計(jì)等等。243極限環(huán)存在的充分條件一、Poincare—Bendixson定理及其應(yīng)用二、分支理論

25如果參數(shù)值發(fā)生很小變化，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)本質(zhì)不發(fā)生變化則稱為普通值。如果參數(shù)值發(fā)生很小變化，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生本質(zhì)變化，則出現(xiàn)分支，稱為分支值。26（一）Hopf分支（從中心型奇點(diǎn)產(chǎn)生極限環(huán)）以二維為例，Hopf分支理論研究在一定條件下，當(dāng)（0，0）是的中心型焦點(diǎn)，當(dāng)有很小變化時(shí)，產(chǎn)生極限環(huán)的理論。27所用的主要方法有：Lyapunov第二方法；Friedrich方法；后繼函數(shù)法28Lyapunov第二方法考慮系統(tǒng)，其中設(shè)參數(shù)系統(tǒng)以（0，0）為中心型穩(wěn)定（不穩(wěn)定）焦點(diǎn)；參數(shù)系統(tǒng)以（0，0）為中心型不穩(wěn)定（穩(wěn)定）焦點(diǎn)；則對充分小的系統(tǒng)在點(diǎn)（0，0）附近至少有一個(gè)穩(wěn)定（不穩(wěn)定）的極限環(huán)。29另外，相關(guān)的理論還有同宿軌道和異宿軌道。從吸引子的角度30（二）從閉軌產(chǎn)生極限環(huán)（在此不作詳細(xì)介紹）31幾何理論：研究系統(tǒng)的軌線在相空間的分布及系統(tǒng)相圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。通過前面的學(xué)習(xí)，研究了奇點(diǎn)、極限環(huán)、分支理論、混沌的一些基本理論。32研究意義：在現(xiàn)實(shí)生活中，很多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型都可以化為微分方程，尤其是非線性問題應(yīng)用更加廣泛。數(shù)學(xué)難題和猜想——數(shù)學(xué)皇冠上的