第二陣的行列 n階行列式的定§2方陣行列式的性§3展開(kāi)定理與行 nnn階行列式的引全排列及其逆序n階行列式的定設(shè)n階方陣Aaij)，an2an2為方陣A的行列式，記

A或detA行列式

n2個(gè)數(shù)的一種運(yùn)算，它可以不依賴于方A而存在，通常用D表示n用消元法解二元線性方程a11

a12

aa21

a22

b2

1a222a12

a12a21

a12a22a12a22

b2a12

類似地，消

當(dāng)

0

方程組的解x1

a a2a a2 a a 為了便 ，引進(jìn)二階行列

其結(jié)果依“對(duì)角則”計(jì)算D

a a

對(duì)則二階行列式的對(duì)則主對(duì)角副對(duì)角主對(duì)角副對(duì)角a11

a12

a對(duì)于二元線性方程組a

21

a22

b2若系數(shù)行列

D a11

a12

aa21

a22

b2D a12a11

a12

aa21

a22

b2D12

a12a11

a12

aa21

a22

b2Da11

a12

aa21

a22

b2D12

a12a11

a12

aa21

a22

b2D2

則二元線性方程組的解x1

D1D

2 2 xD注意分母都為原方程組的系數(shù)行列式例1求解二元線性方程組3x12

2x1

D

3

(4)

7D

2

D

x1

D1D

147

x2 DDD

217

同理，按“對(duì)角則”，三階行列式

a12a21a33

a11a23a32注意紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的由n個(gè)自然數(shù)1,2,…,n按照任何一種次序排成的有序數(shù)j1

jn稱為一個(gè)n級(jí)排列，簡(jiǎn)稱排列顯然不重復(fù)的n級(jí)排列共有n!個(gè)我們規(guī)定各元間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序,n個(gè)不同的自然1定 在一個(gè)排1

i

it

is

in

中，若it

則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序2例如排列32514中2逆 逆 逆定義一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)例如排列32514中532 532 逆序數(shù)為故此排列的逆序數(shù)為排列的奇偶方法分別計(jì)算出 面比它大的碼之和即分別算

n個(gè)元的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即排列的逆序數(shù)方法分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼序數(shù).例2求排列32514的逆序數(shù) 3排在首位,逆序數(shù)為2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)3,故逆序數(shù)為5的前面沒(méi)有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為1的前面比1大的數(shù)有3個(gè),故逆序數(shù)為4的前面比4大的數(shù)有1個(gè),故逆序數(shù)為32510 03于是排列32514的逆序數(shù)t01031例3計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性 98解98 1001t5

4

31此排列為偶排列

nt

n

2nn1,2當(dāng)n

4k,4k

時(shí)為偶排列當(dāng)n

4k

2,4k

時(shí)為奇排列 將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換例

a

b

b

b1bm

定理1.1一次對(duì)換必改變排列的奇偶性證明：先證相鄰對(duì)換的情形。設(shè)排列

b

對(duì)換a與

除a,b當(dāng)a

外，其它元素的逆序數(shù)不改變b時(shí)經(jīng)對(duì)換后

的逆序數(shù)增加1

b的逆序數(shù)不變當(dāng)a

b時(shí)經(jīng)對(duì)換

a的逆序數(shù)不變b的逆序數(shù)減少因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性再證一般情形設(shè)排列

a1alab1bmbc1cn

a

bc1m次相鄰對(duì)

a1

b

bmc1m

次相鄰對(duì)

b

a

2m1次相鄰對(duì)

a1

cn所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性nD

a22

a23

a13a21a32a31說(shuō)

a32

a33

a12a21a33三階行列式共有6項(xiàng)，即3!項(xiàng)每項(xiàng)都是位于不不同列的三個(gè)元素的乘積每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不不同列的三個(gè)

列標(biāo)排列的逆序t312

11

偶排

正

列標(biāo)排列的逆序t1321

奇排

(1)t

a2

1a3p1定義由

n階行列式等于所取自不不同列

n個(gè)元素的乘

(1)t

2

anpn記作D

a22

1a1

an2

det(aij

tD

a2n

an2

1 1tp1p2pn1

a2

p1p2說(shuō)2、

階行列式是

項(xiàng)的代數(shù)和3、n階行列式的每項(xiàng)都是位于不、不列n個(gè)元素的乘積，稱為行列式的一個(gè)均勻布項(xiàng)，簡(jiǎn)稱均布項(xiàng)14、a11

a2

的符號(hào)

1t2n5階行列2n

a

不要與絕對(duì)值記號(hào)相定理

階行列式也可定義D

其中

為行標(biāo)排列

p2

pn定理

階行列式也可定義D

p p其

是兩

級(jí)排列 為標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和例4試判

a14a23a31a42a56a65和

是否都是六階行列式中的項(xiàng)

下標(biāo)的逆序數(shù)t431265

01

22

01所以

是六階行列式中的項(xiàng)

下標(biāo)的逆序數(shù)所以

t452316

不是六階行列式中的項(xiàng)例5計(jì)算上三角行列

0

a2n12n 分12n

展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式

a2

pn

n

n

3,

2,

所以不為零的項(xiàng)

a11a22ann

a2n

1t12na

ann

a11a22ann1234042100512340421005600081000241000240032504168

33a44

145

同理可得下三角行列a21

a22

an1

an

an

a11a22ann例7證明對(duì)角行列1 n1 n

nn12

12n證明第一式是顯然的,下面證第二式若記

ai,ni11

則依行列式定

1t

nn12

12n 證例8計(jì)算對(duì)角行列解 3

0 0

001t

注意：“對(duì)角則”不適用于三階以上的行列式ak1akkD1

det(aij)

ak

,

det(bij)

證 DD1D2小二階與三階行列式的計(jì) 對(duì)角

a a