專題02全等三角形1．全等三角形定義能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等．（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)的中線、高、角平分線相等．（4）傳遞性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，則△ABC≌△MNP．3．全等三角形的判定（1）判定方法：=1\*GB3①依據(jù)定義．=2\*GB3②依據(jù)判定定理．（2）判定定理①三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為“SSS”）．②兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為“SAS”）．③兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為“ASA”）．④兩角分別相等且其中一角的對(duì)邊也相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為“AAS”）．⑤斜邊和一直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為“HL”）．（3）證明思路①②③（4）常用策略：添加輔助線法①連接兩點(diǎn)的線段．②過某點(diǎn)做某線的平行線，幫助找到相等的角，從而構(gòu)造出全等三角形．③作垂線，以出現(xiàn)直角、距離、高；題中若有角平分線、等腰三角形等條件時(shí)常作這樣的輔助線，便于找到相等線段或便于用三線合一定理．④題中出現(xiàn)垂直平分線條件時(shí)，向線段兩端點(diǎn)連線．⑤截取與某線段相等的線段，從而構(gòu)造出全等三角形．4．角的平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．幾何語言：∵OQ平分∠AOB，且QE⊥OB，QD⊥OA，∴QD=QE．5．角的平分線的判定定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上．幾何語言：∵QE⊥OB，QD⊥OA，且QD=QE，∴OQ平分∠AOB．6．尺規(guī)作圖（1）作已知角（課本P36）．（2）作角平分線（課本P48）．（3）作線段的垂直平分線（課本P63）．（4）作已知直線的垂線（課本P62）．①過已知直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線②過已知直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線考點(diǎn)一、全等三角形的性質(zhì)例1（2020淄博）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.AC=DEB.∠BAD=∠CAEC.AB=AED.∠ABC=∠AED.【答案】B【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE.故A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，故選：B.【名師點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二、全等三角形的判定例2（2020永州）如圖，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判斷△ABC≌△DCB的方法是（）A.SASB.AASC.SSSD.ASA【答案】A【解析】∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）故選：A.【名師點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)判定定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三、角平分線的性質(zhì)例3（2020懷化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，若BD=3，則DE的長(zhǎng)為（）A.3B.C.2D.6【答案】A．【解析】∵∠B=90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE=BD=3，故選：A．【名師點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四、角平分線的判定例4（2020焦作月考）已知，如圖，∠MON=60°，點(diǎn)A，B為射線OM，ON上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A，B不與點(diǎn)O重合），在∠MON的內(nèi)部、△AOB的外部有一點(diǎn)P.且AP=BP，∠APB=120°．求證：點(diǎn)P在∠MON的平分線上.【答案】見解析.【解析】如圖，過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S，PT⊥ON于點(diǎn)T，∴∠OSP=∠OTP=90°，在四邊形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，∴∠APB=∠SPT=120°∴∠APS=∠BPT，又∵∠ASP=∠BTP=90°AP=BP∴△APS≌△BPT∴PS=PT∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上.【名師點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和角平分線的判定定理，角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．用判定定理證明較為簡(jiǎn)單．題中角平分線的性質(zhì)定理和判定定理都要用到，注意書寫的規(guī)范，弄清每個(gè)定理需要的條件及得出的結(jié)論．考點(diǎn)五、尺規(guī)作圖例5（2020金昌）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，且.（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：①作的角平分線交于點(diǎn)；②作線段的垂直平分線交于點(diǎn).（2）連接，直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.【答案】見解析.【解析】（1）①如圖，BE即為所求；②如圖，線段DC的垂直平分線交DC于點(diǎn)F，（2）∵BD=BA，BE平分∠ABD，∴點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴EF是△ADC的中位線，∴線段EF和AC的數(shù)量關(guān)系為：EF=AC，位置關(guān)系為：EF∥AC.【名師點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．考點(diǎn)六、全等三角形的判定與性質(zhì)例6（2020南通）如圖，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A.B.2C.2D.3【答案】A【解析】如圖，過點(diǎn)C作CK⊥l于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，在Rt△AHB中，∵∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，AH=，在Rt△AHC中，∠ACB=45°，∴AC=，∵點(diǎn)B為BC中點(diǎn)，∴BD=CD，在△BFD與△CKD中，∠BFD=∠CKD=90°，∠BDF=∠CDK，BD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS）∴BD=CK，延長(zhǎng)AE，過點(diǎn)C作CN⊥AE于點(diǎn)N，可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在Rt△CAN中，AN<AC，當(dāng)直線l⊥AC時(shí)，最大值為.故選：A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.考點(diǎn)七、全等三角形的實(shí)際應(yīng)用例7（2020陜西）如圖所示，小明家與小華家同住在同一棟樓的同一單元，他倆想測(cè)算所住樓對(duì)面商業(yè)大廈的高M(jìn)N，他倆在小明家的窗臺(tái)B處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角∠1的度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測(cè)得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù).于是，他倆上樓來到小華家，在窗臺(tái)C處測(cè)得大廈底部的俯角∠2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)∠1與∠2恰好相等.已知A，B，C三點(diǎn)共線，CA⊥AM，NM⊥AM，AB=31m，BC=18m，試求商業(yè)大廈的高M(jìn)N．【答案】商業(yè)大廈的高M(jìn)N為80米.【解析】如圖，過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F，∴∠CEF=∠BFE=90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，CE⊥MN，BF⊥MN，∴CE=BF，AE=AC，∵∠1=∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF=EM=31+18=49，EF=CB=18，∴MN=NF+EM-EF=49+59-18=80（m）答：商業(yè)大廈的高M(jìn)N為80米.【名師點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義，構(gòu)造全等三角形解決問題.一、選擇題1．如圖，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出一個(gè)與書上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（）A．SSS B．SASC．AAS D．ASA【答案】D

【解析】根據(jù)題意，由于三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，因此，可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．故選D．2.（2020荊州一模）如圖，兩個(gè)三角形全等，則∠α的度數(shù)是（）A．50° B．58° C．72° D．60°【答案】A【解析】∵兩個(gè)三角形全等，∴∠α＝50°，故選：A．3．下列關(guān)于全等三角形的說法不正確的是（）A．全等三角形的大小相等 B．兩個(gè)等邊三角形一定是全等三角形C．全等三角形的形狀相同 D．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等【答案】B【解析】A、全等三角形的大小相等，說法正確，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、兩個(gè)等邊三角形，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，但邊長(zhǎng)不一定相等，所以不一定是全等三角形，故B選項(xiàng)正確；C、全等三角形的形狀相同，說法正確，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，說法正確，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．4.（2020鄂州期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB為斜邊，AC＝BD，BC，AD相交于點(diǎn)E，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．AD＝BC B．∠DAB＝∠CBA C．△ACE≌△BDE D．AC＝CE【答案】D【解析】在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠BAD＝∠ABC，AD＝BC，∴AE＝BE，又∵∠C＝∠D＝90°，∠AEC＝∠BED，∴△ACE≌△BDE．故選：D．5．如圖，P是∠BAC的平分線AD上一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列結(jié)論中不正確的是（）A． B．C．△APE≌△APF D．【答案】D【解析】∵P是∠BAC的平分線AD上一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴PE=PF，又有AP=AP，∴△APE≌△APF（HL），∴AE=AF，故選D．6．如圖，已知，則圖中全等三角形的總對(duì)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】直接數(shù)出圖中全等三角形的總對(duì)數(shù)為6對(duì)．故選D．7．如圖，，則（）A．45° B．55° C．35° D．65°【答案】B【解析】因?yàn)?，所以CF=BE，而，所以，所以．故選B．8．（2020通州一模）如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝FE，F(xiàn)C∥AB，若AB＝4，CF＝3，則BD的長(zhǎng)是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【解析】∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE和△FCE中∠A=∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝3，∵AB＝4，∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1，故選B．9．（2020焦作模擬）如圖，是的角平分線，，垂足為．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】是的角平分線，，，，，，，，，，，，在與中，，，，，故選．10．（2020鄂州）如圖，在△AOB和△CDO中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°.連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM.下列結(jié)論：①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.其中正確是結(jié)論個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A.4B.3C.2D.1【答案】B

【解析】∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正確.∵∠OAC=∠ODB，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，∴∠AMB=∠AOB=36°，故①正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，則∠OGA=∠OHB=90°，∵△AOS≌△BOD，∴OG=OH，∴MO平分∠AMD，故④正確；假設(shè)OM平分∠AOD，則∠DOM=∠AOM，在△AOM與△DMA中，∠AOM=∠DOM，OM=OM，∠AMO=∠DMO，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO=OD，OC=OD，而OA<OC，故③錯(cuò)誤；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；故選：B.11．（2020江西）如圖，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E，若∠EAC=49°，則∠BAE的度數(shù)為．

【答案】82°.【解析】∵AC平分∠DCB，∴∠BCA=∠DCA，又∵CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，（SAS），∴∠B=∠D，∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD，∵∠CAE=∠D+∠ACD=49°，∴∠B+∠ACB=49°，∴∠BAE=180°-∠B-∠ACB-∠CAE=82°故答案為：82°.12.（2020湘潭）如圖，點(diǎn)P是∠AOC的角平分線上一點(diǎn)，PD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，且PD=3，點(diǎn)M是射線OC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為．【答案】3.【解析】根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)PM⊥OC時(shí)，PM最小，當(dāng)PM⊥OC時(shí)，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD=3∴PM=PD=3，故答案為：3.13.如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)為______．【答案】130°

【解析】∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，∴∠ADC=360°-∠A-∠ABC-∠C=360°-80°-70°-80°=130°．故答案為：130°．14．（2020菏澤模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥BC，則△ABC的面積是．【答案】83．【解析】∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延長(zhǎng)CD到H使DH＝CD，∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，在△ADH與△BCD中，CD=DH∠ADH=∠BDC∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH=3AH＝43∴CD＝23，∴△ABC的面積＝2S△BCD＝2×12×4×23故答案為：83．15．（2020武漢模擬）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為40和28，則△EDF的面積為．【答案】6【解析】如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，DE=DG，DF=DH，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，設(shè)面積為S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）∴S△ADF＝S△ADH，即28+S＝40﹣S，解得S＝6．故答案為：6.16.（2020齊齊哈爾）如圖，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，若使△ABD≌△ABC，則還需添加的一個(gè)條件是．（只填一個(gè)即可）【答案】（或等）【解析】，可以添加，此時(shí)滿足；添加條件，此時(shí)滿足；添加條件，此時(shí)滿足，故答案為：（或等）．三、解答題17.（2020鞍山）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求證：CB=CD．【答案】見解析．【解析】證明：連接AC，在△AEC與△AFC中，AC=AC，CE=CF，AE=AF，∴△AEC≌△AFC（SSS），∠ACE＝∠CAF，∵∠B＝∠D=90°，∴CB=CD．18.（2020大連）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，BD=CE，求證：∠ADE=∠AED．【答案】見解析．【解析】證明：∵AB=AC，∴∠B＝∠C，在△ABD與△ACE中，AB=AC，∠B＝∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠ADE＝∠AED．19.（2020河池）（1）如圖（1），已知CE與AB交于點(diǎn)E，AC=BC，∠1=∠2.求證：△ACE≌△BCE．

（2）如圖（2），已知CD的延長(zhǎng)線與AB交于點(diǎn)E，AD=BC，∠3=∠4．探究AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】見解析．【解析】（1）證明：在△ACE和△BCE中，∵AC=BC，∠1=∠2，CE=CE，∴△ACE≌△BCE（SAS）；（2）AE=BE，理由如下：在CE上截取CF=DE，在△ADE和△BCF中，∵AD=CB，∠3=∠4，CF=DE，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE=BF，∠AED=∠CFB，∵∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB=180°，∴∠BEF=∠EFB，∴BE=BF，∴AE=BE.20．如圖，電信部門要在公路m，n之間的S區(qū)域修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔P．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔P到區(qū)域S內(nèi)的兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路m，n的距離也必須相等．發(fā)射塔P建在什么位置？在圖中用尺規(guī)作圖的方法作出它的位置并標(biāo)出（不寫作法但保留作圖痕跡）．【答案】如圖所示，點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn)．【解析】本題主要考查尺規(guī)作角平分線和尺規(guī)作垂直平分線．作線段AB的垂直平分線，再作直線m與n的夾角的角平分線，兩線的交點(diǎn)就是P點(diǎn)．21.（2020鎮(zhèn)江）如圖，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線，∠1=∠B，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，EB=CD，BE=CD，BF=CA，連接EF．

（1）求證：∠D=∠2；

（2）若EF∥AC，∠D=78°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠2=78°．【解析】（1）在與中，；（2）∵，∠D=78°，∴=78°，∵EF//AC，∴=78°．22.（2020瀘州一模