第二章運(yùn)動(dòng)學(xué)中的向量法

向量法是描述剛體運(yùn)動(dòng)的一種基本方法，可用直角坐標(biāo)，也可用極坐標(biāo)表示。§2-1復(fù)數(shù)矢量法(復(fù)極向量法)一、復(fù)數(shù)用兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y表示一個(gè)復(fù)數(shù)x、y分別稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，實(shí)部單位為“1”，略去不寫，虛部單位“i”有求法規(guī)則：第二章運(yùn)動(dòng)學(xué)中的向量法向量法是描述剛體運(yùn)動(dòng)的1對(duì)實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)也對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)：

則稱是z的共軛復(fù)數(shù)，定義為復(fù)數(shù)z的模記為：模等于1的復(fù)數(shù)稱為單位復(fù)數(shù)：θ稱為幅角，由Euler公式：對(duì)實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)也對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)：則稱是z的共軛復(fù)數(shù)，定義2二、復(fù)數(shù)矢量的表示如圖的自由矢量的表示為：，則該矢量可表示為：設(shè)在復(fù)平面上有一個(gè)單位矢量（2-1）于是矢量的分量分別為：二、復(fù)數(shù)矢量的表示如圖的自由矢量的表示為：，則該矢量可表示為3相當(dāng)于矢量轉(zhuǎn)過900。1）向量與單位矢量相乘：（2-2）表示向量逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一個(gè)角。與虛數(shù)單位i的乘積：2）向量（2-3）同理：轉(zhuǎn)過1800。相當(dāng)于矢量（2-4）相當(dāng)于矢量轉(zhuǎn)過900。1）向量與單位矢量相乘：（2-2）表示4是單位矢量的共軛矢量3）4）兩個(gè)有用公式（2-5）（2-6）（2-7）（2-8）是單位矢量的共軛矢量3）4）兩個(gè)有用公式（2-5）（2-6）55）復(fù)數(shù)矢量的微分等式右邊可看作二個(gè)復(fù)數(shù)矢量其中分別為它們的矢量大小（模），為單位方向矢。，表示某一點(diǎn)相對(duì)于固定參考系坐標(biāo)設(shè)矢量原點(diǎn)的位置，則一階導(dǎo)數(shù)：（2-9）二階導(dǎo)數(shù)：繼續(xù)求導(dǎo)可求出高階導(dǎo)數(shù)。（2-10）5）復(fù)數(shù)矢量的微分等式右邊可看作二個(gè)復(fù)數(shù)矢量其中分別為它們的6JIRO可寫成：則矢量為式中θ為矢量在復(fù)平面（O—RI平面）上的投影與J軸的夾角。與實(shí)軸R間夾角，三、空間矢量的復(fù)數(shù)表示R為實(shí)軸，I、J為虛軸，取坐標(biāo)系O—RIJ，矢量如圖，（2-11）可看成長度a與單位向量矢量由式2—11的乘積。則單位向量：（2-12）實(shí)虛虛JIRO可寫成：則矢量為式中θ為矢量在復(fù)平面（O—RI平面）7，其一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)為:

式中：（2-13）（2-14）（2-15），其一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)為:式中：（2-13）（2-14）（28§2-2利用復(fù)數(shù)向量進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析是在已知機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)和幾何尺寸的條件下，在原動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律給定時(shí)，確定從動(dòng)件任一運(yùn)動(dòng)變量的變化規(guī)律。運(yùn)動(dòng)分析包括：位置分析，速度和加速度分析。其中位置分析方程通常是非線性的，只有簡單的二級(jí)機(jī)構(gòu)才能列出輸出變量和輸入變量的顯函數(shù)表達(dá)式，而其他情況下，方程的求解就需要利用各種數(shù)值解法。

§2-2利用復(fù)數(shù)向量進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析機(jī)構(gòu)91、鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)建立封閉矢量方程，可有兩種形式：a、連續(xù)頭尾相接的封閉鏈；b、到達(dá)同一研究點(diǎn)的兩個(gè)不同途徑的兩個(gè)分支。雷文（Raven）稱為“獨(dú)立位置方程”法，這一方法對(duì)解決輸入和輸出構(gòu)件都繞各自固定點(diǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)的問題特別有效。一、平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析1、鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)一、平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析10如圖鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，假設(shè)各桿長度為r1、r2、r3、r4輸入角θ2已知，可列出獨(dú)立位置方程：位置分析的目的是求出θ3和θ4的值。（2-16）（1）位置分析？？解題思路：1）利用已知r1、r2和θ2，求出對(duì)角線矢量d。2）利用矢量d和r4求出矢量r3，解出θ3和θ4。如圖鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，假設(shè)各桿長度為r1、r2、11首先確定對(duì)角線d的長度：將式（2—17）移項(xiàng)后，分別求上它們各自的共軛復(fù)數(shù)：（2-17）或：

（2-18）首先確定對(duì)角線d的長度：將式（2—17）移項(xiàng)后，分別求上12將式（2—17）分解為實(shí)部和虛部，得：由此解得：所以：

（2-19）將式（2—17）分解為實(shí)部和虛部，得：由此解得：所以：（2-13由式（2—17）計(jì)算θd，很容易判別θd的象限，當(dāng)矢量可確定后，由于：?。?—21）實(shí)部得：（2-20）（2-21）移項(xiàng)，兩邊分別乘以各自的共軛復(fù)數(shù)：消去θ4由式（2—17）計(jì)算θd，很容易判別θd的象14有兩個(gè)可能解，根據(jù)連續(xù)條件確定一個(gè)。同樣，θ4有可能有2個(gè)解，根據(jù)連續(xù)條件加以確定。?。?—20）的虛部得：（2-22）有兩個(gè)可能解，根據(jù)連續(xù)條件確定一個(gè)。同樣，θ4有可能有2個(gè)解15（2）速度分析由位置方程進(jìn)行求導(dǎo)：

由于鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)中均為剛體，因此利用上式）矢量微分，將不包含徑向分量項(xiàng)，由此得：（2-23）（2）速度分析由位置方程16該式由相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度多邊形圖示說明為：分別表示的方向，它們是的方向轉(zhuǎn)過所得，是已知的。該式由相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度多邊形圖示說明為：分別表示的方向，它們是的17將上述矢量方程分解為實(shí)部分量和虛部分量：未知量左移：（2-24）最后，用Cramer（克萊姆）法則解（2—24）將上述矢量方程分解為實(shí)部分量和虛部分量：未知量左移：（2-218于是可得：類似可求得：

（2-25）（2-26）于是可得：類似可求得：（2-25）（2-26）19（3）加速度分析同樣方法對(duì)（2—16）進(jìn)行二次微分得：（2-27）將（2-27）分解為實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量，便可得含有未知數(shù)和的兩個(gè)方程：（3）加速度分析（2-27）將（2-27）分解為實(shí)數(shù)分量和虛20由此得：由此得：212、偏置曲柄滑塊機(jī)構(gòu)列出B點(diǎn)的獨(dú)立位置方程，再由位置方程一次、二次微分得速度。加速度方程。通過分離實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量的方法最終求出未知量：？？2、偏置曲柄滑塊機(jī)構(gòu)列出B點(diǎn)的獨(dú)立位置方程，再由223、擺動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)，求不同位置的已知：構(gòu)件1和構(gòu)件2長度為

r1、r2，構(gòu)件2（曲柄）的角速度和角加速度為（1）位置分析

獨(dú)立位置方程為：（2-27）？？3、擺動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)，求不同位置的已知：構(gòu)件1和構(gòu)件2長度為23分成實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量：兩式相除得：代入（2—28）：（2-28）（2-29）（2-30）分成實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量：兩式相除得：代入（2—28）：（2-24（2）速度分析兩邊乘以則：對(duì)（2—27）求導(dǎo)桿的速度方程：（2-31）將上式分成實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量得：（2）速度分析兩邊乘以則：對(duì)（2—27）求導(dǎo)桿的速度方程：（25（3）對(duì)位置方程二次微分得加速度方程：兩邊同乘得：取虛數(shù)分量：

（2-32）（2-33）（2-34）（3）對(duì)位置方程二次微分得加速度方程：兩邊同乘得：取虛數(shù)分量26因此：?。?—23）實(shí)數(shù)分量：因此得：（2-35）（2-36）因此：取（2—23）實(shí)數(shù)分量：因此得：（2-35）（2-3627如圖所示RSSR機(jī)構(gòu)，桿2在I—J平面旋轉(zhuǎn)，桿4在平衡R—J平面旋轉(zhuǎn)，已知：時(shí)桿3的位置角二、空間機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析求當(dāng)：？？？如圖所示RSSR機(jī)構(gòu)，桿2在I—J平面旋轉(zhuǎn)，桿4在平衡R—J28由于桿2在I—J平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以矢量與R軸夾角θ2=900，又由于桿4在平行于R—J平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，因此向量r4在I—R平面內(nèi)的投影與R軸夾角θ4=0。在I—R平面內(nèi)的投影對(duì)B點(diǎn)可列兩個(gè)獨(dú)立位置方程：(1)位置分析（2-37）矢量A0B0可表達(dá)為：A0B0＝a+ib+jc由于桿2在I—J平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以矢量與R軸夾角θ2=900，29展開：分別取R、I、J分量得：由（2）移項(xiàng)：（1）（2）（3）（4）代入得：展開：分別取R、I、J分量得：由（2）移項(xiàng)：（1）（230由（3）式移項(xiàng)得：（5）由（3）式移項(xiàng)得：（5）31可對(duì)（2—37）式一次微分后，分別取R、I、J分量，也可直接（1）、（2）、（3）一次微分得速度分量。求導(dǎo)時(shí)各長度尺寸為常數(shù)，角不變的。由此得：（2）速度分析由（6）式移項(xiàng)得：（6）（7）（8）由（7）式移項(xiàng)得：（9）（10）可對(duì)（2—37）式一次微分后，分別取R、I、J分32（11）（11）代入（8）得：由此得：（3）加速度分析（略）（11）（11）代入（8）得：由此得：（3）加速度分析（33三、復(fù)數(shù)矢量法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的綜合復(fù)數(shù)矢量法能夠方便的應(yīng)用于桿機(jī)構(gòu)的綜合，特別是平面機(jī)構(gòu)的綜合。如要綜合一平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，而該機(jī)構(gòu)在某一位置時(shí)各構(gòu)件必須滿足規(guī)定的角速度、角加速度，可用復(fù)數(shù)矢量法。三、復(fù)數(shù)矢量法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的綜合復(fù)數(shù)矢量34§2-3利用直角坐標(biāo)向量的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析一、直角坐標(biāo)向量標(biāo)記法、空間任意一點(diǎn)A的位置在直角坐標(biāo)系中可用向量來表示，直角坐標(biāo)系，若x、y、z方向上的單位向量為：，則我們可以將向量表示為：分別是向量在三個(gè)方向上的分量?！?-3利用直角坐標(biāo)向量的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析一、直角坐標(biāo)向35機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件36機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件37機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件38機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件39機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件40二、桿組分類法（阿蘇爾運(yùn)動(dòng)鏈）1、桿組的定義機(jī)構(gòu)可以認(rèn)為是由機(jī)架、主動(dòng)件和從動(dòng)件系統(tǒng)三部分組成。從動(dòng)件系統(tǒng)的自由度為零。因此，從動(dòng)件系統(tǒng)一定可以分解成一個(gè)或若干個(gè)不可再分解的自由度為零的運(yùn)動(dòng)鏈，這種運(yùn)動(dòng)鏈稱為桿組。機(jī)構(gòu)是由一個(gè)或若干個(gè)自由度為零的運(yùn)動(dòng)鏈依次聯(lián)接到機(jī)架和主動(dòng)件上而形成的。二、桿組分類法（阿蘇爾運(yùn)動(dòng)鏈）1、桿組的定義412、桿組的分類桿組的構(gòu)件數(shù)n與低副數(shù)p滿足：3n-2p=0運(yùn)動(dòng)副A、C為桿組的外副，B為內(nèi)副，外副若為轉(zhuǎn)動(dòng)副畫為實(shí)心圓，三個(gè)運(yùn)動(dòng)副為移動(dòng)副則失去桿組性質(zhì)。2、桿組的分類運(yùn)動(dòng)副A、C為桿組的外副，B為內(nèi)副，42n=4，p=6n=6，p=9桿組按其包含的封閉形是幾邊形進(jìn)行分級(jí)。桿組運(yùn)動(dòng)確定性：外副若與運(yùn)動(dòng)已知的構(gòu)件相聯(lián)，則桿組中每一構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)都是確定的。桿組靜力確定性：如桿組上作用的外力系已知，則桿組的各運(yùn)動(dòng)副中的約束反力未知數(shù)可由桿組本身各構(gòu)件的平衡方程式解出。n=4，p=6n=6，p=9桿組按其包含的封閉形是幾邊形進(jìn)行43三、Ⅱ級(jí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析平面連桿機(jī)構(gòu)利用拆組分析的方法，可以分為Ⅱ級(jí)機(jī)構(gòu)、Ⅲ級(jí)機(jī)構(gòu)、Ⅳ級(jí)機(jī)構(gòu)等。其中Ⅱ級(jí)機(jī)構(gòu)有五種基本桿組：RRR、RRP、RPR、PRP、RPP。1．RRRⅡ級(jí)組的分析平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)可以拆出如圖所示的RRRⅡ級(jí)組，它是由三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副A、B、C和兩個(gè)構(gòu)件1、2組合而成。在研究機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往把運(yùn)動(dòng)副看成一個(gè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)副A、C即為外點(diǎn)，外點(diǎn)分別與其它桿組的構(gòu)件i和j相連接，或其中之一與機(jī)架相鉸接。？？三、Ⅱ級(jí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析平面連桿機(jī)構(gòu)利用拆組分析的方法44機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件45機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件46機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件47機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件48機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件49機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件50機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件51機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件522．內(nèi)副為移動(dòng)副的RPRⅡ級(jí)組的分析P1、P2為運(yùn)動(dòng)已知點(diǎn)，其坐標(biāo)為P1(P1x、P1y)、P2(P2x、P2y)。矢量位置方程：向兩坐標(biāo)軸投影得：解得：？？？2．內(nèi)副為移動(dòng)副的RPRⅡ級(jí)組的分析向兩坐標(biāo)軸投影得：解得：53速度和加速度分析同前，得到：速度和加速度分析同前，得到：543．外副之一為移動(dòng)副的RRPⅡ級(jí)組的分析P4為運(yùn)動(dòng)已知點(diǎn)，待求運(yùn)動(dòng)點(diǎn)為P2?；瑝K在其上滑動(dòng)的構(gòu)件上的兩點(diǎn)P1和P3的運(yùn)動(dòng)為已知。？3．外副之一為移動(dòng)副的RRPⅡ級(jí)組的分析？55例：以飛剪機(jī)構(gòu)為例，構(gòu)件1、6為原動(dòng)件，當(dāng)原動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)給定后，構(gòu)件3、5組成的是三轉(zhuǎn)動(dòng)副的二級(jí)組，故可以調(diào)用RRR公式求解，構(gòu)件2、4組成的是一外副為移動(dòng)副的二級(jí)組，故可調(diào)用RRP公式求解。例：以飛剪機(jī)構(gòu)為例，構(gòu)件1、6為原動(dòng)件，當(dāng)原動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)給定后56四、復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的位置分析構(gòu)成機(jī)構(gòu)的最高級(jí)桿組為二級(jí)以上桿組的機(jī)構(gòu)稱為高級(jí)機(jī)構(gòu)或復(fù)雜機(jī)構(gòu)。n桿的基本組可以與相關(guān)構(gòu)件（圖中虛線，一般由機(jī)架和原動(dòng)件確定）組成n/2個(gè)獨(dú)立封閉形（圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示封閉形的序號(hào)）。每個(gè)封閉形可建立一個(gè)矢量環(huán)方程或兩個(gè)標(biāo)量方程。因而，n桿的基本組在運(yùn)動(dòng)分析中引入n個(gè)變量，可以建立n個(gè)獨(dú)立方程，在一般情況下可以得到確定解。封閉環(huán)矢量方程：標(biāo)量方程：四、復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的位置分析構(gòu)成機(jī)構(gòu)的最高級(jí)桿組為57如圖一六桿機(jī)構(gòu)，原動(dòng)件為l1，轉(zhuǎn)角φ1，該機(jī)構(gòu)可以拆分為一個(gè)四桿組，可以列出兩個(gè)獨(dú)立的位置方程：？？？？解位置方程得到關(guān)于φ4的一維非線性方程，可用數(shù)值法迭代求解。速度和加速度求解需把位置方程對(duì)時(shí)間求一、二階導(dǎo)數(shù)。如圖一六桿機(jī)構(gòu)，原動(dòng)件為l1，轉(zhuǎn)角φ1，該機(jī)構(gòu)可以拆分為一個(gè)58型轉(zhuǎn)換法數(shù)值迭代求解上述方法對(duì)不同的機(jī)構(gòu)都必須首先進(jìn)行公式推導(dǎo)，因此不具有通用性。型轉(zhuǎn)換法是把一個(gè)復(fù)雜的桿組通過轉(zhuǎn)化變成多個(gè)簡單的構(gòu)件或二桿組，然后直接調(diào)用求解二桿組的標(biāo)準(zhǔn)程序求解，適用于計(jì)算機(jī)求解，具有通用性。在阿蘇爾組中把部分外約束解除而在內(nèi)部運(yùn)動(dòng)鏈中輸入同樣數(shù)目的外約束，這樣阿蘇爾組內(nèi)部運(yùn)動(dòng)鏈分解，變成簡單的構(gòu)件和二桿組。整個(gè)求解過程是一個(gè)連續(xù)迭代求解過程。型轉(zhuǎn)換法數(shù)值迭代求解上述方法對(duì)不同的機(jī)構(gòu)都必59上述型轉(zhuǎn)換法最終把復(fù)雜的桿組都轉(zhuǎn)化成能夠直接求解的二級(jí)桿組，若將前面給出的平面機(jī)構(gòu)中二級(jí)桿組的求解公式編成子程序，則作各種機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析時(shí)就可以直接調(diào)用這些子程序而不必對(duì)每種機(jī)構(gòu)推導(dǎo)方程。上述型轉(zhuǎn)換法最終把復(fù)雜的桿組都轉(zhuǎn)化成能夠直接60§2-5其他方法簡介1、桿長逼近法解決用直角坐標(biāo)向量法分析基本桿組迭代次數(shù)多、費(fèi)時(shí)的問題。平面機(jī)構(gòu)簡圖都可以看作是封閉多邊形，而多邊形總可以分解成若干個(gè)單純形-三角形，若對(duì)各種三角形編成子程序，就可適應(yīng)各種平面機(jī)構(gòu)的求解。2、矢量單純形法3、約束法機(jī)構(gòu)是由若干個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)系，這些點(diǎn)受到一定的約束從而沿著一定的軌跡運(yùn)動(dòng)?？梢詫⒏黝惣s束方程編成通用子程序調(diào)用。4、單矢法把機(jī)構(gòu)簡圖分解成最小的單元—矢量，并將其編成子程序，對(duì)多干多環(huán)路機(jī)構(gòu)很方便?！?-5其他方法簡介1、桿長逼近法解決用直角61第二章運(yùn)動(dòng)學(xué)中的向量法

向量法是描述剛體運(yùn)動(dòng)的一種基本方法，可用直角坐標(biāo)，也可用極坐標(biāo)表示?！?-1復(fù)數(shù)矢量法(復(fù)極向量法)一、復(fù)數(shù)用兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y表示一個(gè)復(fù)數(shù)x、y分別稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，實(shí)部單位為“1”，略去不寫，虛部單位“i”有求法規(guī)則：第二章運(yùn)動(dòng)學(xué)中的向量法向量法是描述剛體運(yùn)動(dòng)的62對(duì)實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)也對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)：

則稱是z的共軛復(fù)數(shù)，定義為復(fù)數(shù)z的模記為：模等于1的復(fù)數(shù)稱為單位復(fù)數(shù)：θ稱為幅角，由Euler公式：對(duì)實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)也對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)：則稱是z的共軛復(fù)數(shù)，定義63二、復(fù)數(shù)矢量的表示如圖的自由矢量的表示為：，則該矢量可表示為：設(shè)在復(fù)平面上有一個(gè)單位矢量（2-1）于是矢量的分量分別為：二、復(fù)數(shù)矢量的表示如圖的自由矢量的表示為：，則該矢量可表示為64相當(dāng)于矢量轉(zhuǎn)過900。1）向量與單位矢量相乘：（2-2）表示向量逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一個(gè)角。與虛數(shù)單位i的乘積：2）向量（2-3）同理：轉(zhuǎn)過1800。相當(dāng)于矢量（2-4）相當(dāng)于矢量轉(zhuǎn)過900。1）向量與單位矢量相乘：（2-2）表示65是單位矢量的共軛矢量3）4）兩個(gè)有用公式（2-5）（2-6）（2-7）（2-8）是單位矢量的共軛矢量3）4）兩個(gè)有用公式（2-5）（2-6）665）復(fù)數(shù)矢量的微分等式右邊可看作二個(gè)復(fù)數(shù)矢量其中分別為它們的矢量大?。＃?，為單位方向矢。，表示某一點(diǎn)相對(duì)于固定參考系坐標(biāo)設(shè)矢量原點(diǎn)的位置，則一階導(dǎo)數(shù)：（2-9）二階導(dǎo)數(shù)：繼續(xù)求導(dǎo)可求出高階導(dǎo)數(shù)。（2-10）5）復(fù)數(shù)矢量的微分等式右邊可看作二個(gè)復(fù)數(shù)矢量其中分別為它們的67JIRO可寫成：則矢量為式中θ為矢量在復(fù)平面（O—RI平面）上的投影與J軸的夾角。與實(shí)軸R間夾角，三、空間矢量的復(fù)數(shù)表示R為實(shí)軸，I、J為虛軸，取坐標(biāo)系O—RIJ，矢量如圖，（2-11）可看成長度a與單位向量矢量由式2—11的乘積。則單位向量：（2-12）實(shí)虛虛JIRO可寫成：則矢量為式中θ為矢量在復(fù)平面（O—RI平面）68，其一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)為:

式中：（2-13）（2-14）（2-15），其一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)為:式中：（2-13）（2-14）（269§2-2利用復(fù)數(shù)向量進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析是在已知機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)和幾何尺寸的條件下，在原動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律給定時(shí)，確定從動(dòng)件任一運(yùn)動(dòng)變量的變化規(guī)律。運(yùn)動(dòng)分析包括：位置分析，速度和加速度分析。其中位置分析方程通常是非線性的，只有簡單的二級(jí)機(jī)構(gòu)才能列出輸出變量和輸入變量的顯函數(shù)表達(dá)式，而其他情況下，方程的求解就需要利用各種數(shù)值解法。

§2-2利用復(fù)數(shù)向量進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析機(jī)構(gòu)701、鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)建立封閉矢量方程，可有兩種形式：a、連續(xù)頭尾相接的封閉鏈；b、到達(dá)同一研究點(diǎn)的兩個(gè)不同途徑的兩個(gè)分支。雷文（Raven）稱為“獨(dú)立位置方程”法，這一方法對(duì)解決輸入和輸出構(gòu)件都繞各自固定點(diǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)的問題特別有效。一、平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析1、鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)一、平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析71如圖鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，假設(shè)各桿長度為r1、r2、r3、r4輸入角θ2已知，可列出獨(dú)立位置方程：位置分析的目的是求出θ3和θ4的值。（2-16）（1）位置分析？？解題思路：1）利用已知r1、r2和θ2，求出對(duì)角線矢量d。2）利用矢量d和r4求出矢量r3，解出θ3和θ4。如圖鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，假設(shè)各桿長度為r1、r2、72首先確定對(duì)角線d的長度：將式（2—17）移項(xiàng)后，分別求上它們各自的共軛復(fù)數(shù)：（2-17）或：

（2-18）首先確定對(duì)角線d的長度：將式（2—17）移項(xiàng)后，分別求上73將式（2—17）分解為實(shí)部和虛部，得：由此解得：所以：

（2-19）將式（2—17）分解為實(shí)部和虛部，得：由此解得：所以：（2-74由式（2—17）計(jì)算θd，很容易判別θd的象限，當(dāng)矢量可確定后，由于：?。?—21）實(shí)部得：（2-20）（2-21）移項(xiàng)，兩邊分別乘以各自的共軛復(fù)數(shù)：消去θ4由式（2—17）計(jì)算θd，很容易判別θd的象75有兩個(gè)可能解，根據(jù)連續(xù)條件確定一個(gè)。同樣，θ4有可能有2個(gè)解，根據(jù)連續(xù)條件加以確定。取（2—20）的虛部得：（2-22）有兩個(gè)可能解，根據(jù)連續(xù)條件確定一個(gè)。同樣，θ4有可能有2個(gè)解76（2）速度分析由位置方程進(jìn)行求導(dǎo)：

由于鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)中均為剛體，因此利用上式）矢量微分，將不包含徑向分量項(xiàng)，由此得：（2-23）（2）速度分析由位置方程77該式由相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度多邊形圖示說明為：分別表示的方向，它們是的方向轉(zhuǎn)過所得，是已知的。該式由相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度多邊形圖示說明為：分別表示的方向，它們是的78將上述矢量方程分解為實(shí)部分量和虛部分量：未知量左移：（2-24）最后，用Cramer（克萊姆）法則解（2—24）將上述矢量方程分解為實(shí)部分量和虛部分量：未知量左移：（2-279于是可得：類似可求得：

（2-25）（2-26）于是可得：類似可求得：（2-25）（2-26）80（3）加速度分析同樣方法對(duì)（2—16）進(jìn)行二次微分得：（2-27）將（2-27）分解為實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量，便可得含有未知數(shù)和的兩個(gè)方程：（3）加速度分析（2-27）將（2-27）分解為實(shí)數(shù)分量和虛81由此得：由此得：822、偏置曲柄滑塊機(jī)構(gòu)列出B點(diǎn)的獨(dú)立位置方程，再由位置方程一次、二次微分得速度。加速度方程。通過分離實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量的方法最終求出未知量：？？2、偏置曲柄滑塊機(jī)構(gòu)列出B點(diǎn)的獨(dú)立位置方程，再由833、擺動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)，求不同位置的已知：構(gòu)件1和構(gòu)件2長度為

r1、r2，構(gòu)件2（曲柄）的角速度和角加速度為（1）位置分析

獨(dú)立位置方程為：（2-27）？？3、擺動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)，求不同位置的已知：構(gòu)件1和構(gòu)件2長度為84分成實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量：兩式相除得：代入（2—28）：（2-28）（2-29）（2-30）分成實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量：兩式相除得：代入（2—28）：（2-85（2）速度分析兩邊乘以則：對(duì)（2—27）求導(dǎo)桿的速度方程：（2-31）將上式分成實(shí)數(shù)分量和虛數(shù)分量得：（2）速度分析兩邊乘以則：對(duì)（2—27）求導(dǎo)桿的速度方程：（86（3）對(duì)位置方程二次微分得加速度方程：兩邊同乘得：取虛數(shù)分量：

（2-32）（2-33）（2-34）（3）對(duì)位置方程二次微分得加速度方程：兩邊同乘得：取虛數(shù)分量87因此：取（2—23）實(shí)數(shù)分量：因此得：（2-35）（2-36）因此：?。?—23）實(shí)數(shù)分量：因此得：（2-35）（2-3688如圖所示RSSR機(jī)構(gòu)，桿2在I—J平面旋轉(zhuǎn)，桿4在平衡R—J平面旋轉(zhuǎn)，已知：時(shí)桿3的位置角二、空間機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析求當(dāng)：？？？如圖所示RSSR機(jī)構(gòu)，桿2在I—J平面旋轉(zhuǎn)，桿4在平衡R—J89由于桿2在I—J平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以矢量與R軸夾角θ2=900，又由于桿4在平行于R—J平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，因此向量r4在I—R平面內(nèi)的投影與R軸夾角θ4=0。在I—R平面內(nèi)的投影對(duì)B點(diǎn)可列兩個(gè)獨(dú)立位置方程：(1)位置分析（2-37）矢量A0B0可表達(dá)為：A0B0＝a+ib+jc由于桿2在I—J平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以矢量與R軸夾角θ2=900，90展開：分別取R、I、J分量得：由（2）移項(xiàng)：（1）（2）（3）（4）代入得：展開：分別取R、I、J分量得：由（2）移項(xiàng)：（1）（291由（3）式移項(xiàng)得：（5）由（3）式移項(xiàng)得：（5）92可對(duì)（2—37）式一次微分后，分別取R、I、J分量，也可直接（1）、（2）、（3）一次微分得速度分量。求導(dǎo)時(shí)各長度尺寸為常數(shù)，角不變的。由此得：（2）速度分析由（6）式移項(xiàng)得：（6）（7）（8）由（7）式移項(xiàng)得：（9）（10）可對(duì)（2—37）式一次微分后，分別取R、I、J分93（11）（11）代入（8）得：由此得：（3）加速度分析（略）（11）（11）代入（8）得：由此得：（3）加速度分析（94三、復(fù)數(shù)矢量法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的綜合復(fù)數(shù)矢量法能夠方便的應(yīng)用于桿機(jī)構(gòu)的綜合，特別是平面機(jī)構(gòu)的綜合。如要綜合一平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，而該機(jī)構(gòu)在某一位置時(shí)各構(gòu)件必須滿足規(guī)定的角速度、角加速度，可用復(fù)數(shù)矢量法。三、復(fù)數(shù)矢量法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的綜合復(fù)數(shù)矢量95§2-3利用直角坐標(biāo)向量的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析一、直角坐標(biāo)向量標(biāo)記法、空間任意一點(diǎn)A的位置在直角坐標(biāo)系中可用向量來表示，直角坐標(biāo)系，若x、y、z方向上的單位向量為：，則我們可以將向量表示為：分別是向量在三個(gè)方向上的分量?！?-3利用直角坐標(biāo)向量的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析一、直角坐標(biāo)向96機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件97機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件98機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件99機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件100機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件101二、桿組分類法（阿蘇爾運(yùn)動(dòng)鏈）1、桿組的定義機(jī)構(gòu)可以認(rèn)為是由機(jī)架、主動(dòng)件和從動(dòng)件系統(tǒng)三部分組成。從動(dòng)件系統(tǒng)的自由度為零。因此，從動(dòng)件系統(tǒng)一定可以分解成一個(gè)或若干個(gè)不可再分解的自由度為零的運(yùn)動(dòng)鏈，這種運(yùn)動(dòng)鏈稱為桿組。機(jī)構(gòu)是由一個(gè)或若干個(gè)自由度為零的運(yùn)動(dòng)鏈依次聯(lián)接到機(jī)架和主動(dòng)件上而形成的。二、桿組分類法（阿蘇爾運(yùn)動(dòng)鏈）1、桿組的定義1022、桿組的分類桿組的構(gòu)件數(shù)n與低副數(shù)p滿足：3n-2p=0運(yùn)動(dòng)副A、C為桿組的外副，B為內(nèi)副，外副若為轉(zhuǎn)動(dòng)副畫為實(shí)心圓，三個(gè)運(yùn)動(dòng)副為移動(dòng)副則失去桿組性質(zhì)。2、桿組的分類運(yùn)動(dòng)副A、C為桿組的外副，B為內(nèi)副，103n=4，p=6n=6，p=9桿組按其包含的封閉形是幾邊形進(jìn)行分級(jí)。桿組運(yùn)動(dòng)確定性：外副若與運(yùn)動(dòng)已知的構(gòu)件相聯(lián)，則桿組中每一構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)都是確定的。桿組靜力確定性：如桿組上作用的外力系已知，則桿組的各運(yùn)動(dòng)副中的約束反力未知數(shù)可由桿組本身各構(gòu)件的平衡方程式解出。n=4，p=6n=6，p=9桿組按其包含的封閉形是幾邊形進(jìn)行104三、Ⅱ級(jí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析平面連桿機(jī)構(gòu)利用拆組分析的方法，可以分為Ⅱ級(jí)機(jī)構(gòu)、Ⅲ級(jí)機(jī)構(gòu)、Ⅳ級(jí)機(jī)構(gòu)等。其中Ⅱ級(jí)機(jī)構(gòu)有五種基本桿組：RRR、RRP、RPR、PRP、RPP。1．RRRⅡ級(jí)組的分析平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)可以拆出如圖所示的RRRⅡ級(jí)組，它是由三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副A、B、C和兩個(gè)構(gòu)件1、2組合而成。在研究機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往把運(yùn)動(dòng)副看成一個(gè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)副A、C即為外點(diǎn)，外點(diǎn)分別與其它桿組的構(gòu)件i和j相連接，或其中之一與機(jī)架相鉸接。？？三、Ⅱ級(jí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析平面連桿機(jī)構(gòu)利用拆組分析的方法105機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件106機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件107機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件108機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件109機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件110機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件111機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件112機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)課件1132．內(nèi)副為移動(dòng)副的RPRⅡ級(jí)組的分析P1、P2為運(yùn)動(dòng)已知點(diǎn)，其坐標(biāo)為P1(P1x、P1y)、P2(P2x、P2y)。矢量位置方程：向兩坐標(biāo)軸投影得：解得：？？？2．內(nèi)副為移動(dòng)副的RPRⅡ級(jí)組的分析向兩坐標(biāo)軸投影得：解得：