第三節(jié)對(duì)稱要素的組合定理

對(duì)稱要素有時(shí)并不是孤立的，且對(duì)稱要素(操作)之組合也可導(dǎo)出新的對(duì)稱要素(操作)。對(duì)稱要素組合（共存）是有規(guī)律的，其規(guī)律是：必須遵循對(duì)稱要素的組合定理；

不符合對(duì)稱要素組合定理的共存形式不可能存在。對(duì)稱要素的組合問(wèn)題提出例如：立方體3L44L36L29PC

第三節(jié)對(duì)稱要素的組合定理對(duì)稱要素有時(shí)并不是孤立的，且對(duì)1

定理1

如果有一個(gè)L2垂直于Ln，則①必有n個(gè)L2垂直于Ln；②任意相鄰兩個(gè)L2的夾角為L(zhǎng)n的基轉(zhuǎn)角的一半。LnL2LnnL2L2與L2的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一半定理1如果有一個(gè)L2垂直于Ln，則LnL22逆定理

若兩L2相交，在交點(diǎn)并垂直兩L2必產(chǎn)生Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩L2夾角的兩倍，并在垂直于Ln平面內(nèi)導(dǎo)出n個(gè)L2。思考:兩個(gè)L2相交30°,交點(diǎn)處并垂直L2所在平面會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸?逆定理若兩L2相交，在交點(diǎn)并垂直兩L2必產(chǎn)生Ln，其基3定理2

若一對(duì)稱面P垂直于偶次軸Ln(偶)，其交點(diǎn)處必然存在對(duì)稱中心C。LnPLnP

C(n為偶數(shù))石膏定理2若一對(duì)稱面P垂直于偶次軸Ln(偶)，其交點(diǎn)處必然存4逆定理若有一偶次對(duì)稱軸Ln(偶)與對(duì)稱中心C共存，則過(guò)C且垂直該對(duì)稱軸必有一對(duì)稱面P；或若有一對(duì)稱面P與對(duì)稱中心C共存，則過(guò)C且垂直于P必有一個(gè)偶次對(duì)稱軸。該定理說(shuō)明：L2、P、C三者中任意兩者可產(chǎn)生第三者。PCL2PCLnCLnP

C(n為偶數(shù))逆定理若有一偶次對(duì)稱軸Ln(偶)與對(duì)稱中心C共存，則過(guò)C5定理3

若有一對(duì)稱面P包含對(duì)稱軸Ln，則①必有n個(gè)P包含Ln；②相鄰兩個(gè)P的夾角為L(zhǎng)n的基轉(zhuǎn)角的一半。Ln

P//LnnP//（P與P夾角為L(zhǎng)n基轉(zhuǎn)角的一半）例如：L6

P//L66P//（定理3與定理1對(duì)應(yīng)）紅鋅礦定理3若有一對(duì)稱面P包含對(duì)稱軸Ln，則LnP//L6逆定理

若有兩個(gè)對(duì)稱面相交，則對(duì)稱面的交線必為一對(duì)稱軸，其基轉(zhuǎn)角為相鄰兩對(duì)稱面夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他n個(gè)包含Ln的P。思考:兩個(gè)對(duì)稱面相交60°,交線處會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸?逆定理若有兩個(gè)對(duì)稱面相交，則對(duì)稱面的交線必為一對(duì)稱軸，其7定理4若有一L2垂直于Lin，或有一P包含Linn為奇數(shù)時(shí)——必有n個(gè)L2垂直于Lin和n個(gè)P包含Lin；n為偶數(shù)時(shí)——必有n／2個(gè)L2垂直于Lin和n／2個(gè)P包含Lin。LinP//=LinL2

Linn/2L2n/2P//

（n為偶數(shù)）LinnL2nP//（n為奇數(shù)）定理4若有一L2垂直于Lin，或有一P包含LinLin8第四節(jié)對(duì)稱型（點(diǎn)群）

1、對(duì)稱型的概念

晶體形態(tài)中，全部對(duì)稱要素的組合，稱為該晶體形態(tài)的對(duì)稱型或點(diǎn)群。

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)強(qiáng)調(diào)對(duì)稱要素時(shí)稱對(duì)稱型，強(qiáng)調(diào)對(duì)稱操作時(shí)稱點(diǎn)群。

根據(jù)晶體中可能存在的對(duì)稱要素及其組合規(guī)律，推導(dǎo)出晶體中可能出現(xiàn)的對(duì)稱型（點(diǎn)群）是非常有限的，僅有32個(gè)。那么，這32個(gè)對(duì)稱型怎么推導(dǎo)出來(lái)？

第四節(jié)對(duì)稱型（點(diǎn)群）1、對(duì)稱型的概念92、對(duì)稱型的推導(dǎo)依據(jù)：對(duì)稱型中高次軸數(shù)量多少：A類對(duì)稱型（高次軸不多于一個(gè)）B類對(duì)稱型（高次軸多于一個(gè)）（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)

1）對(duì)稱軸Ln單獨(dú)存在（原始式）：

可能的對(duì)稱型為L(zhǎng)1；L2；L3；L4；L6

。2、對(duì)稱型的推導(dǎo)10（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：2）對(duì)稱軸與對(duì)稱軸的組合（軸式）：

在這里我們只考慮Ln與垂直它的L2的組合。根據(jù)上節(jié)所述對(duì)稱要素組合規(guī)律LnL2→LnnL2，可能的對(duì)稱型為：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2

如果L2與Ln斜交有可能出現(xiàn)多于一個(gè)的高次軸，這時(shí)就不屬于A類對(duì)稱型了（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：11（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：

3）對(duì)稱軸Ln與垂直它的對(duì)稱面P的組合（中心式）：

根據(jù)組合規(guī)律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，則可能的對(duì)稱型為：L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。

（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：12（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：

4）對(duì)稱軸Ln與包含它的對(duì)稱面的組合（面式）：

根據(jù)組合規(guī)律Ln

P∥→LnnP，可能的對(duì)稱型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。

（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：13（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：

5）對(duì)稱軸Ln與垂直它的對(duì)稱面，以及包含它的對(duì)稱面的組合（軸面式）：

垂直Ln的P與包含Ln的P的交線，必為垂直Ln的L2，

即Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥=LnnL2(n+1)PC（偶數(shù)）

Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥=LnnL2nP（奇數(shù)）

可能的對(duì)稱型為：(L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：14（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：6）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨(dú)存在（倒轉(zhuǎn)式）：可能的對(duì)稱型為：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。7）旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin與垂直它的L2（或包含它的P）的組合（反伸面式）：根據(jù)組合規(guī)律：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)LinnL2nP，可能的對(duì)稱型為：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)Lin(n/2)L2(n/2)P，可能的對(duì)稱型為：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：15這樣推導(dǎo)出來(lái)的對(duì)稱型共有27個(gè)，見表4－2。還有5個(gè)是B類（高次軸多于一個(gè)）對(duì)稱型，不要求推導(dǎo)。這樣推導(dǎo)出來(lái)的對(duì)稱型共有27個(gè)，見表4－2。16例1：若晶體中有一L3，又有一L2垂直于它，據(jù)組合定理1，形成L33L2對(duì)稱型，石英晶體即為這種對(duì)稱型。推導(dǎo)實(shí)例例1：若晶體中有一L3，又有一L2垂直于它，據(jù)組合定理117例2：晶體中有一L4，又有一L2和一個(gè)P垂直L4

，則：L4×L2⊥→L44L2（定律1）L4×P⊥→L4PC（定律2）又同時(shí)垂直L4的L2和P必為包含關(guān)系，故：L2×P∥→L22P（定律3）這兩個(gè)P中，一個(gè)垂直L4包含L2，另一個(gè)包含L4垂直L2，包含L4的P則與L4組合：L4×P∥→L44P，最后產(chǎn)生對(duì)稱型L44L25PC，金紅石就是這種對(duì)稱型。推導(dǎo)實(shí)例例2：晶體中有一L4，又有一L2和一個(gè)P垂直L4，則：推導(dǎo)1832晶類低、中、高級(jí)晶族7大晶系屬于同一對(duì)稱型的晶體高次軸的有無(wú)及多少晶體第五節(jié)晶體的對(duì)稱分類32晶類低、中、高級(jí)晶族7大晶系屬于同一對(duì)高次軸的有晶體第五19三斜晶系單斜晶系正交晶系三方晶系四方晶系六方晶系等軸晶系晶體低級(jí)晶族中級(jí)晶族高級(jí)晶族4L31L61L41L3L2+P3無(wú)L2或PL2＋P<3三斜晶系單斜晶系正交晶系三方晶系四方晶系六方晶系晶低級(jí)晶族中20晶體的對(duì)稱分類晶體的對(duì)稱分類21chap4對(duì)稱要素組合定理及對(duì)稱型解讀課件22第三節(jié)對(duì)稱要素的組合定理

對(duì)稱要素有時(shí)并不是孤立的，且對(duì)稱要素(操作)之組合也可導(dǎo)出新的對(duì)稱要素(操作)。對(duì)稱要素組合（共存）是有規(guī)律的，其規(guī)律是：必須遵循對(duì)稱要素的組合定理；

不符合對(duì)稱要素組合定理的共存形式不可能存在。對(duì)稱要素的組合問(wèn)題提出例如：立方體3L44L36L29PC

第三節(jié)對(duì)稱要素的組合定理對(duì)稱要素有時(shí)并不是孤立的，且對(duì)23

定理1

如果有一個(gè)L2垂直于Ln，則①必有n個(gè)L2垂直于Ln；②任意相鄰兩個(gè)L2的夾角為L(zhǎng)n的基轉(zhuǎn)角的一半。LnL2LnnL2L2與L2的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一半定理1如果有一個(gè)L2垂直于Ln，則LnL224逆定理

若兩L2相交，在交點(diǎn)并垂直兩L2必產(chǎn)生Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩L2夾角的兩倍，并在垂直于Ln平面內(nèi)導(dǎo)出n個(gè)L2。思考:兩個(gè)L2相交30°,交點(diǎn)處并垂直L2所在平面會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸?逆定理若兩L2相交，在交點(diǎn)并垂直兩L2必產(chǎn)生Ln，其基25定理2

若一對(duì)稱面P垂直于偶次軸Ln(偶)，其交點(diǎn)處必然存在對(duì)稱中心C。LnPLnP

C(n為偶數(shù))石膏定理2若一對(duì)稱面P垂直于偶次軸Ln(偶)，其交點(diǎn)處必然存26逆定理若有一偶次對(duì)稱軸Ln(偶)與對(duì)稱中心C共存，則過(guò)C且垂直該對(duì)稱軸必有一對(duì)稱面P；或若有一對(duì)稱面P與對(duì)稱中心C共存，則過(guò)C且垂直于P必有一個(gè)偶次對(duì)稱軸。該定理說(shuō)明：L2、P、C三者中任意兩者可產(chǎn)生第三者。PCL2PCLnCLnP

C(n為偶數(shù))逆定理若有一偶次對(duì)稱軸Ln(偶)與對(duì)稱中心C共存，則過(guò)C27定理3

若有一對(duì)稱面P包含對(duì)稱軸Ln，則①必有n個(gè)P包含Ln；②相鄰兩個(gè)P的夾角為L(zhǎng)n的基轉(zhuǎn)角的一半。Ln

P//LnnP//（P與P夾角為L(zhǎng)n基轉(zhuǎn)角的一半）例如：L6

P//L66P//（定理3與定理1對(duì)應(yīng)）紅鋅礦定理3若有一對(duì)稱面P包含對(duì)稱軸Ln，則LnP//L28逆定理

若有兩個(gè)對(duì)稱面相交，則對(duì)稱面的交線必為一對(duì)稱軸，其基轉(zhuǎn)角為相鄰兩對(duì)稱面夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他n個(gè)包含Ln的P。思考:兩個(gè)對(duì)稱面相交60°,交線處會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸?逆定理若有兩個(gè)對(duì)稱面相交，則對(duì)稱面的交線必為一對(duì)稱軸，其29定理4若有一L2垂直于Lin，或有一P包含Linn為奇數(shù)時(shí)——必有n個(gè)L2垂直于Lin和n個(gè)P包含Lin；n為偶數(shù)時(shí)——必有n／2個(gè)L2垂直于Lin和n／2個(gè)P包含Lin。LinP//=LinL2

Linn/2L2n/2P//

（n為偶數(shù)）LinnL2nP//（n為奇數(shù)）定理4若有一L2垂直于Lin，或有一P包含LinLin30第四節(jié)對(duì)稱型（點(diǎn)群）

1、對(duì)稱型的概念

晶體形態(tài)中，全部對(duì)稱要素的組合，稱為該晶體形態(tài)的對(duì)稱型或點(diǎn)群。

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)強(qiáng)調(diào)對(duì)稱要素時(shí)稱對(duì)稱型，強(qiáng)調(diào)對(duì)稱操作時(shí)稱點(diǎn)群。

根據(jù)晶體中可能存在的對(duì)稱要素及其組合規(guī)律，推導(dǎo)出晶體中可能出現(xiàn)的對(duì)稱型（點(diǎn)群）是非常有限的，僅有32個(gè)。那么，這32個(gè)對(duì)稱型怎么推導(dǎo)出來(lái)？

第四節(jié)對(duì)稱型（點(diǎn)群）1、對(duì)稱型的概念312、對(duì)稱型的推導(dǎo)依據(jù)：對(duì)稱型中高次軸數(shù)量多少：A類對(duì)稱型（高次軸不多于一個(gè)）B類對(duì)稱型（高次軸多于一個(gè)）（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)

1）對(duì)稱軸Ln單獨(dú)存在（原始式）：

可能的對(duì)稱型為L(zhǎng)1；L2；L3；L4；L6

。2、對(duì)稱型的推導(dǎo)32（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：2）對(duì)稱軸與對(duì)稱軸的組合（軸式）：

在這里我們只考慮Ln與垂直它的L2的組合。根據(jù)上節(jié)所述對(duì)稱要素組合規(guī)律LnL2→LnnL2，可能的對(duì)稱型為：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2

如果L2與Ln斜交有可能出現(xiàn)多于一個(gè)的高次軸，這時(shí)就不屬于A類對(duì)稱型了（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：33（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：

3）對(duì)稱軸Ln與垂直它的對(duì)稱面P的組合（中心式）：

根據(jù)組合規(guī)律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，則可能的對(duì)稱型為：L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。

（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：34（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：

4）對(duì)稱軸Ln與包含它的對(duì)稱面的組合（面式）：

根據(jù)組合規(guī)律Ln

P∥→LnnP，可能的對(duì)稱型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。

（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：35（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：

5）對(duì)稱軸Ln與垂直它的對(duì)稱面，以及包含它的對(duì)稱面的組合（軸面式）：

垂直Ln的P與包含Ln的P的交線，必為垂直Ln的L2，

即Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥=LnnL2(n+1)PC（偶數(shù)）

Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥=LnnL2nP（奇數(shù)）

可能的對(duì)稱型為：(L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：36（1）A類對(duì)稱型的推導(dǎo)：6）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨(dú)存在（倒轉(zhuǎn)式）：可能的對(duì)稱型為：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。7）旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin與垂直它的L2（或包含它的P）的組合（反伸面式）：根據(jù)組合規(guī)律：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)LinnL2nP，可能的對(duì)稱型為：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)Lin(n/2)L2(n/2)P，可能的對(duì)稱型為：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L2