電子商務(wù)概論概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第2章

隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征隨機(jī)變量分布函數(shù)

離散型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布正態(tài)分布

隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第2章隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征隨機(jī)變量分布函數(shù)

2.1.1隨機(jī)變量

(RandomVariable)

為了更有效地研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，需要引入微積分作為工具，這就需要用變量的形式來(lái)表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象。先考察下列兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的例子

例2.1

某人拋擲一枚色子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。

試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式：出現(xiàn)1點(diǎn)；出現(xiàn)2點(diǎn)；出現(xiàn)3點(diǎn)；出現(xiàn)4點(diǎn)；出現(xiàn)5點(diǎn)；出現(xiàn)6點(diǎn)。如果令表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則的可能取值為

于是，試驗(yàn)結(jié)果的變量表示為：“出現(xiàn)1點(diǎn)”；“出現(xiàn)2點(diǎn)”“出現(xiàn)3點(diǎn)”；“出現(xiàn)4點(diǎn)”“出現(xiàn)5點(diǎn)”；“出現(xiàn)6點(diǎn)”§2.1隨機(jī)變量分布函數(shù)2.1.1隨機(jī)變量(RandomVariable例2.2

某人擲硬幣試驗(yàn)，觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式：

國(guó)徽面在上面；有字面在上面如果表示國(guó)徽面在上面，表示有字面在上面。則試驗(yàn)結(jié)果的變量表示為：“國(guó)徽面在上面”“有字面在上面”特點(diǎn)：試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化了，試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且變量取值隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化。例2.2某人擲硬幣試驗(yàn)，觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。定義1：

設(shè)是一隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為，如果對(duì)于中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，都有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，并且滿(mǎn)足：（1）是由唯一確定；（2）對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，集合都表示一個(gè)有概率的事件。則稱(chēng)為一隨機(jī)變量(RandomVariable)。電子商務(wù)概論概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

設(shè)為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則集合是隨機(jī)事件，隨著變化，事件也會(huì)變化。這說(shuō)明該事件是實(shí)變量的“函數(shù)”。

隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的變量有所不同。

（1）自變量的取值是可以在函數(shù)的定義域內(nèi)隨便指定，隨機(jī)變量的取值只能在其取值范圍內(nèi)由試驗(yàn)的具體結(jié)果確定，具有偶然性；

（2）的定義域是樣本空間，值域是實(shí)數(shù)軸。

隨機(jī)變量的本質(zhì)特性是其取值具有不確定性，在未試驗(yàn)之前無(wú)法確知它取哪個(gè)值。

設(shè)為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則集

隨機(jī)變量舉例與分類(lèi)

例2.3

某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的可能取值為。

例2.4

某個(gè)燈泡的使用壽命的可能取值為。

例2.5

一部電話(huà)總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)的可能取值為。

例2.6

為在區(qū)間上隨機(jī)移動(dòng)的點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)的可能取值為。

從隨機(jī)變量取值的有限無(wú)限個(gè)，及方式的可列不可列的角度來(lái)看，隨機(jī)變量可做如下分類(lèi)：隨機(jī)變量舉例與分類(lèi)隨機(jī)變量的分類(lèi)離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非連續(xù)型有限或無(wú)窮可列取值無(wú)窮且不可列取值隨機(jī)變量的分類(lèi)離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非連續(xù)型有

2.1.2分布函數(shù)(DistributionFunction)隨機(jī)變量的概率分布

定義2：

能反映隨機(jī)變量取值規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱(chēng)為隨機(jī)變量的概率分布律，簡(jiǎn)稱(chēng)概率分布。

概率分布的常用表達(dá)方式有：分布函數(shù)（“通用型”）；概率函數(shù)或概率密度函數(shù)（“針對(duì)型”）。分布函數(shù)概念

定義3：

設(shè)為隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，則稱(chēng)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，其定義域?yàn)椤?/p>

顯然，分布函數(shù)是一個(gè)特殊的隨機(jī)事件的概率。

是一個(gè)實(shí)函數(shù)！2.1.2分布函數(shù)(DistributionFunc

（1）對(duì)于任意，有（非負(fù)有界性）；

（2）（規(guī)范性）；

（3）對(duì)于任意有（非減性）；

（4）在每一點(diǎn)至少是右連續(xù)的（連續(xù)性）。

若已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則對(duì)于任意有分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)例2.7

已知隨機(jī)變量的所有可能取值為，取各值的概率分別為，試求隨機(jī)變量的分布函數(shù)并作其圖像。解：由題設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為0.30.30.4210由分布函數(shù)的定義有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。分布函數(shù)圖像如圖2.1所示圖2.1例2.7已知隨機(jī)變量的所有可能取值為§

2.2離散型隨機(jī)變量及其分布

2.2.1.離散型隨機(jī)變量

定義1：如果隨機(jī)變量所有可能取值為有限或無(wú)窮可列，則該隨機(jī)變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量。

定義2：設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取是，而取值的概率為，即有則稱(chēng)該式為隨機(jī)變量的概率函數(shù)。其也可以用下表表達(dá)：并稱(chēng)其為隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列。還可以通過(guò)作圖直觀表示，稱(chēng)為隨機(jī)變量的概率分布圖或概率函數(shù)圖。

§2.2離散型隨機(jī)變量及其分布2.2.1.離散型

圖中線(xiàn)的高度為取值于該點(diǎn)的概率值。

注意：離散型隨機(jī)變量的概率分布除用分布函數(shù)可以表示以外，還可以利用概率函數(shù)或分布列或分布圖表示，概率函數(shù)與分布列，分布圖是等效的，概率函數(shù)比分布列表示簡(jiǎn)便，而分布圖則更直觀。

概率函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì):

（1）（非負(fù)性）（2）（歸一性）。

例2.8

設(shè)袋中有五個(gè)球，3個(gè)白球2個(gè)黑球。從中任取兩球，以表示取到的黑球數(shù)。求其概率函數(shù)及其概率分布函數(shù)。解：的可能取值為分別表示事件“沒(méi)有取到黑球”、“取到一個(gè)黑球”、“取到兩個(gè)黑球”，則其概率函數(shù)

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，概率函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì):（1）

當(dāng)時(shí)，所以，的分布函數(shù)為概率函數(shù)和分布函數(shù)用于描述隨機(jī)變量的變化規(guī)律，它們之間的關(guān)系為：

已知概率函數(shù)求分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，概率函數(shù)和分布函數(shù)用于描述例2.9

設(shè)隨機(jī)變量的概率函數(shù)為。

求常數(shù)的值。

解：由于

故而

已知分布函數(shù)求概率函數(shù)例2.9設(shè)隨機(jī)變量的概率函數(shù)為。已知分布函數(shù)求概率函數(shù)

2.2.2常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布

引入隨機(jī)變量的概念以后，客觀世界中的許多隨機(jī)現(xiàn)象，如果拋開(kāi)其所涉及的具體內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上可以用同一個(gè)概率模型即概率分布來(lái)表達(dá)。1.等概分布設(shè)為離散型隨機(jī)變量，若其分布列為：則稱(chēng)服從等概分布。該分布滿(mǎn)足：(1)非負(fù)性：

(2)規(guī)范性：2.2.2常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布2.兩點(diǎn)分布（0-1分布）

若隨機(jī)變量的分布表為其中，則稱(chēng)服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布。記作。

兩點(diǎn)分布所能刻畫(huà)的隨機(jī)現(xiàn)象：

凡是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，都可以?xún)牲c(diǎn)分布作為其概率模型。例如：擲硬幣觀察正反面，產(chǎn)品是否合格，人口性別統(tǒng)計(jì)，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超負(fù)荷等等。

例如，投一枚均勻的骰子，觀察向上面的點(diǎn)數(shù)，用表示向上面的點(diǎn)數(shù)，則服從的等概分布。

2.兩點(diǎn)分布（0-1分布）例如，投一枚均勻的骰子

二項(xiàng)分布的概率函數(shù)就是二項(xiàng)式展開(kāi)式中的通項(xiàng)（這里），所以稱(chēng)之為二項(xiàng)分布。分布中，當(dāng)時(shí)，就是兩點(diǎn)分布，其概率函數(shù)為(1)非負(fù)性：則稱(chēng)服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布（Binomialdistribution），記為若離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為：3.二項(xiàng)分布

～顯然，二項(xiàng)分布的概率函數(shù)滿(mǎn)足：(2)規(guī)范性：

二項(xiàng)分布的概率函數(shù)就是二項(xiàng)式例2.10

設(shè)某學(xué)生在期末考試中，共有5門(mén)課程要考，已知該學(xué)生每門(mén)課程及格的概率為0.8。試求該學(xué)生恰好有3門(mén)課及格的概率和至少有3門(mén)課及格的概率。解:設(shè)表示該學(xué)生恰好有3門(mén)課及格；

表示該學(xué)生至少有3門(mén)課及格。顯然，這是一個(gè)5重貝努里概型，從而有

凡是重貝努里概型中隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)的概率分布規(guī)律都可用二項(xiàng)分布來(lái)刻畫(huà)。例2.10設(shè)某學(xué)生在期末考試中，共有5門(mén)課程要考，已知該學(xué)例2.11

某保險(xiǎn)公司以往資料顯示，索賠要求中有8%是因?yàn)楸槐I而提出來(lái)的?，F(xiàn)已知該公司某個(gè)月共收到10個(gè)索賠要求，試求其中包含4個(gè)以上被盜索賠要求的概率。解:設(shè)表示10個(gè)索賠要求中被盜索賠要求的個(gè)數(shù)，則于是，所求概率為即10各索賠要求中有4個(gè)以上被盜索賠要求的概率為0.00059通過(guò)該例題的求解，可以看出：二項(xiàng)分布當(dāng)參數(shù)很大，而很小時(shí)，有關(guān)概率的計(jì)算是相當(dāng)麻煩的。甚至有時(shí)借助于計(jì)算工具也難實(shí)現(xiàn)。為了解決這種情況下的二項(xiàng)分布有關(guān)概率計(jì)算問(wèn)題，1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家S.D.Poisson提出了以下定理。例2.11某保險(xiǎn)公司以往資料顯示，索賠要求中有8%是因?yàn)镻oisson定理

設(shè)隨機(jī)變量，若時(shí)，有，則有

證明：令，于是有對(duì)于固定的有所以電子商務(wù)概論概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

實(shí)際應(yīng)用中：當(dāng)較大,

較小，適中時(shí)，即可用泊松定理的結(jié)果對(duì)二項(xiàng)概率進(jìn)行近似計(jì)算。

例2.12

某人騎摩托車(chē)上街，出事故的概率為0.02，獨(dú)立重復(fù)上街400次，求至少出兩次事故的概率。解:400次上街400重Bernoulli概型；

記為出事故的次數(shù)，則。由于，所以由Poisson定理有

實(shí)際應(yīng)用中：當(dāng)較大,較小，適中時(shí)，即

4．泊松（Poisson）分布

若隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱(chēng)服從參數(shù)為的泊松分布，記為。

若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次，則該人成功的概率為。這表明隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，小概率事件是會(huì)發(fā)生的！顯然，泊松分布的概率函數(shù)滿(mǎn)足：：

(1)非負(fù)性：；

(2)規(guī)范性：4．泊松（Poisson）分布若隨機(jī)變泊松分布所能刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象：

服務(wù)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)；交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)；礦井在某段時(shí)間發(fā)生事故的次數(shù)；顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目；

單位時(shí)間內(nèi)市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)；

一本書(shū)中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)。

特別注意:體積相對(duì)較小的物質(zhì)，在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數(shù)

可以由觀測(cè)值的平均值求出。泊松分布所能刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象：這時(shí)，如果直接計(jì)算，計(jì)算量很大。由于很大，很小，可利用泊松分布（）近似計(jì)算。解：設(shè)患有該種疾病的人數(shù)為隨機(jī)變量，則故，例2.13

已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位現(xiàn)有職工5000人，問(wèn)該單位患有這種疾病的人數(shù)超過(guò)5人的概率有多大？～這時(shí)，如果直接計(jì)算，計(jì)算量很大。由于（設(shè)時(shí))(1)非負(fù)性：

都是正整數(shù)，且為參數(shù)，則稱(chēng)服從參數(shù)為的超幾何分布，記作。顯然，它的概率函數(shù)式滿(mǎn)足：設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為：

5．超幾何分布(2)規(guī)范性：（設(shè)時(shí))(1)非負(fù)性：成立，則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量。為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)密度函數(shù)。Def設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在非負(fù)的可積函數(shù)，使得對(duì)任意的，有§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

2.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量

可以證明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)具有如下兩條基本性質(zhì)：(1)(2)

成立，則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量。為連續(xù)型隨機(jī)概率密度函數(shù)還具有以下性質(zhì)：(3)對(duì)任意給定的，；(4)在的連續(xù)點(diǎn)處，總有；(5)連續(xù)型隨機(jī)變量取任一點(diǎn)的概率始終為零，即

證明：對(duì)任意的，令，則由，有由于是連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有所以。概率密度函數(shù)還具有以下性質(zhì)：

該性質(zhì)表明連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布不能用逐點(diǎn)取值的概率表達(dá)，而只能用概率密度來(lái)表達(dá)。由此，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，有如下的結(jié)果：設(shè)任意的實(shí)數(shù)，有該性質(zhì)表明連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布不能用逐點(diǎn)求①系數(shù)的值；②在區(qū)間內(nèi)取值的概率；③的分布函數(shù)。例2.14

設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為:解：①由概率密度函數(shù)性質(zhì)（2）知

所以求①系數(shù)的值；②在區(qū)間內(nèi)當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，③由式知②從而得當(dāng)時(shí)，

例2.15

設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求①系數(shù)；②在區(qū)間內(nèi)取值的概率；③的密度函數(shù)。解：①由，，有例2.15設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為

解得，。

②

③

注意：如果隨機(jī)變量具有以上形式的密度函數(shù)，則稱(chēng)服從柯西分布(Cauchydistribution)。解得，Def若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則稱(chēng)隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，記為

均勻分布所能刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象：

“等可能”地取區(qū)間中的值。這里的“等可能”理解為：落在區(qū)間中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的；或者說(shuō)它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴(lài)于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。這正是幾何概型的情形。

2.3.2幾個(gè)常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.均勻分布（UniformDistribution）Def若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為2.3.2幾個(gè)即，則對(duì)任意滿(mǎn)足的，總有這表明，落在的子區(qū)間上的概率，只與子區(qū)間的長(zhǎng)度有關(guān)（成正比），而與子區(qū)間在區(qū)間中的具體位置無(wú)關(guān)。均勻分布無(wú)論在理論上還是應(yīng)用上都非常有價(jià)值。例2.16

某市規(guī)定公共汽車(chē)每隔10分鐘發(fā)一趟班車(chē)，即每隔10分鐘就要有一輛公共汽車(chē)經(jīng)過(guò)公共汽車(chē)站。一位乘客隨機(jī)地來(lái)到一個(gè)公共汽車(chē)站，問(wèn)等車(chē)時(shí)間在5分鐘之內(nèi)的概率是多少？即，則對(duì)任意滿(mǎn)足解：設(shè)公共汽車(chē)均勻地來(lái)到車(chē)站，乘客的等車(chē)時(shí)間可以看作是區(qū)間上的均勻分布。則有

若用分布函數(shù)計(jì)算有解：設(shè)公共汽車(chē)均勻地來(lái)到車(chē)站，乘客的等車(chē)時(shí)間可以看作是區(qū)間

均勻分布的概率密度函數(shù)滿(mǎn)足(1)非負(fù)性：(2)規(guī)范性：其圖像為圖2.1均勻分布的概率密度函數(shù)滿(mǎn)足圖2.1均勻分布的分布函數(shù)為求解過(guò)程黑板演示。均勻分布的分布函數(shù)為

2.指數(shù)分布（ExponentialDistribution）

Def若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為

例2.17

設(shè)在上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。解:方程有實(shí)數(shù)根等價(jià)于，即；

所求概率為。2.指數(shù)分布（ExponentialDistribu

指數(shù)分布的概率密度函數(shù)滿(mǎn)足（1）非負(fù)性：；

（2）歸一性：

其圖像為：指數(shù)分布的概率密度函數(shù)滿(mǎn)足

指數(shù)分布的分布函數(shù)為：求解過(guò)程與均勻分布類(lèi)似，省略。

指數(shù)分布所能刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象：

隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間；電話(huà)的通話(huà)時(shí)間；無(wú)線(xiàn)電元件的壽命；動(dòng)植物的壽命。指數(shù)分布的分布函數(shù)為：

例2.18

設(shè)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，試寫(xiě)出它的密度函數(shù)并求。

解:的概率密度為

例2.19

多年統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)表明，某廠生產(chǎn)的電視機(jī)壽命（單位：萬(wàn)小時(shí)）。某人購(gòu)買(mǎi)了一臺(tái)該廠生產(chǎn)的電視機(jī)，問(wèn)其壽命超過(guò)4萬(wàn)小時(shí)的概率是多少？解：所求的概率為例2.18設(shè)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，試寫(xiě)出它其中，，為參數(shù)，分別為形狀、尺度和位置參數(shù)。則稱(chēng)服從威布爾分布（Weibulldistribution），記作。

若連續(xù)型隨機(jī)變量具有密度函數(shù)

3．威布爾分布

其中，，為參數(shù)，分別為

當(dāng)參數(shù)，時(shí)，變?yōu)闉榍懊娼榻B過(guò)的指數(shù)分布，這里參數(shù)。對(duì)于參數(shù)取不同的值，可以得出不同的曲線(xiàn)，其多樣性使威布爾分布的適應(yīng)性比較廣泛，在很多方面都有應(yīng)用，比如在農(nóng)林科學(xué)中可以用以描述樹(shù)高和胸徑的近似分布。

當(dāng)參數(shù)，時(shí)，變

其中參數(shù)滿(mǎn)足，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為。

§2.4正態(tài)分布（NormalDistribution）2.4.1正態(tài)分布

Def若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為其中參數(shù)滿(mǎn)足正態(tài)分布概率密度函數(shù)的圖像特點(diǎn)：

圖像呈單峰狀；

圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；圖像在點(diǎn)處有拐點(diǎn)；圖像以軸為水平漸近線(xiàn)。Gauss參數(shù)對(duì)密度曲線(xiàn)的影響

相同不同密度曲線(xiàn)情況位置參數(shù)變化正態(tài)分布概率密度函數(shù)的圖像特點(diǎn)：Gauss參數(shù)

相同不同密度曲線(xiàn)情況形狀參數(shù)變化

正態(tài)分布的密度函數(shù)滿(mǎn)足：（1）非負(fù)性（2）歸一性相同不同形狀參數(shù)變化正態(tài)分布的密度

正態(tài)分布的分布函數(shù)為其圖像是一條S型曲線(xiàn)，如下正態(tài)分布的分布函數(shù)為正態(tài)分布所能刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象：

若隨機(jī)變量受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，每一個(gè)別因素的影響都是微小的，而且這些影響具有加性特征則服從正態(tài)分布。例如：

各種測(cè)量的誤差；人的生理特征指標(biāo)；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線(xiàn)的抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績(jī)等等。正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，體現(xiàn)在以下方面：

⑴正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見(jiàn)的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的。事實(shí)上如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布。⑵正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布。⑶正態(tài)分布有許多其它分布所不具備的良好的性質(zhì)。正態(tài)分布所能刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象：2.4.2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

定義：在正態(tài)分布的概率密度函數(shù)中，如果時(shí)，即若隨機(jī)變量的概率密度為

則稱(chēng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（StandardNormalistrution），記作

其分布函數(shù)為

2.4.2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)圖為：由圖可以看出，該曲線(xiàn)為以軸為對(duì)稱(chēng)軸的單峰曲線(xiàn)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)圖為：

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算可以由分布函數(shù)與其密度函數(shù)的關(guān)系解決：

因?yàn)?，所以直接查?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表即可解決概率計(jì)算。

思考：一般正態(tài)分布的概率計(jì)算也可以制表解決么？為什么？

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算利用查表法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值

例2.20

設(shè)隨機(jī)變量，試求解:查表知

所以有利用查表法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值例2.2一般正態(tài)分布的概率計(jì)算（標(biāo)準(zhǔn)化變換）分布函數(shù)

在求解一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題時(shí)，先將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問(wèn)題，然后利用查表法可計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值，從而解決概率計(jì)算問(wèn)題。一般正態(tài)分布的概率計(jì)算（標(biāo)準(zhǔn)化變換）定理2.4.1

設(shè)，令，則也是一個(gè)隨機(jī)變量，且。證明：設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，概率密度函數(shù)為。由分布函數(shù)的定義知

定理2.4.1

由此，易知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

這恰好是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，所以。這里稱(chēng)變換為標(biāo)準(zhǔn)化變換。

若，則的分布函數(shù)為由此，易知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為從而有也就是說(shuō)，借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表即可解決一般正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率計(jì)算問(wèn)題。從而有例2.21

設(shè)，計(jì)算的值。解：例2.21設(shè)，計(jì)算例2.22若

，求的值，此處為常數(shù)。解：例2.22若，求由上例題可以得到，常用來(lái)作為質(zhì)量控制依據(jù)的“”準(zhǔn)則。即

據(jù)此認(rèn)為隨機(jī)變量落在之外幾乎不可能，因?yàn)槠涓怕蕛H為0.26%。

由上例題可以得到，常用來(lái)作為質(zhì)量控制依據(jù)的“”準(zhǔn)則。即

2.4.3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)

雙側(cè)分位數(shù)

Def設(shè)隨機(jī)變量，對(duì)于給定的，如果實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布關(guān)于的雙側(cè)分位數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)的意義如下圖所示。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)的計(jì)算：由定義可知

直接查附表即可。2.4.3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)統(tǒng)計(jì)中常用的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù)有

統(tǒng)計(jì)中常用的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù)有單側(cè)分位數(shù)設(shè)，若有滿(mǎn)足，則稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)。設(shè),若有滿(mǎn)足，則稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)分位數(shù)。

上下側(cè)分位數(shù)的意義如下圖所示。下側(cè)分位數(shù)上側(cè)分位數(shù)單側(cè)分位數(shù)下側(cè)分位數(shù)上側(cè)分位數(shù)上側(cè)分位數(shù)的計(jì)算：由定義知，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表即可得。或者可由雙側(cè)分位數(shù)與上側(cè)分位數(shù)之間的關(guān)系求得：即關(guān)于的上側(cè)分位數(shù)就等于關(guān)于的雙側(cè)分位數(shù)。下側(cè)分位數(shù)的計(jì)算：下側(cè)分位數(shù)就等于上側(cè)分位數(shù)的相反數(shù)。例如：

上側(cè)分位數(shù)的計(jì)算：一般正態(tài)分布的分位數(shù)計(jì)算：對(duì)一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量，要求的。先由

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得再由求得分位數(shù)一般正態(tài)分布的分位數(shù)計(jì)算：例2.23

某省高考采用標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)分方法，并認(rèn)為考生成績(jī)服從正態(tài)分布。如果錄取率為30.9%，問(wèn)錄取分?jǐn)?shù)線(xiàn)應(yīng)劃定在多少分以上？解：假設(shè)錄取分?jǐn)?shù)線(xiàn)應(yīng)劃定在分以上，由來(lái)確定

由于查正態(tài)分布表得

故例2.23某省高考采用標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)分方法，并認(rèn)為考生成績(jī)

2.5.1隨機(jī)變量函數(shù)的概念

§2.5

隨機(jī)變量函數(shù)的分布?Y=g(X)是復(fù)合映射；?Y=g(X)是隨機(jī)變量；?Y=g(X)類(lèi)型取決于X的類(lèi)型和實(shí)函數(shù)g(x)的性質(zhì)。本課程范圍內(nèi)主要討論g(x)為非常值連續(xù)函數(shù)的情況2.5.1隨機(jī)變量函數(shù)的概念§2.5隨機(jī)變量函數(shù)

2.5.2隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布求法

一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布求法已知隨機(jī)變量X的概率分布列為Xx1x2…xi…pip1p2…pi…g(x)是定義在(-∞,+∞)上實(shí)連續(xù)函數(shù)。則Y=g(X)是離散型隨機(jī)變量，且其概率函數(shù)為一般采用倒置分布列法求Y=g(X)的分布列。2.5.2隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布求法一、離散型隨機(jī)變量

例2.24

已知隨機(jī)變量X的分布列為-10120.20.30.10.4求Y1=2X和Y2=(X-1)2的概率分布。0.20.30.10.4-1012Y1-2024Y24101例2.24已知隨機(jī)變量X的分布列為-1-20240.20.30.10.40140.10.70.2-20240.20二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布求法1.分布函數(shù)法二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布求法1.分布函數(shù)法例2.25例2.25電子商務(wù)概論概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件電子商務(wù)概論概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件例2.25揭示了正態(tài)分布的一條重要性質(zhì)。即正態(tài)分布的線(xiàn)性變換依然服從正態(tài)分布。例2.25揭示了正態(tài)分布的一條重要性質(zhì)。即正態(tài)分布的線(xiàn)性變換例2.26例2.26電子商務(wù)概論概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件2.公式法2.公式法例2.27例2.27例2.28例2.28§2.6隨機(jī)變量的數(shù)字特征2.6.0隨機(jī)變量數(shù)字特征的概念1.背景2.隨機(jī)變量數(shù)字特征的定義能描述隨機(jī)變量分布某一特征的常數(shù)被稱(chēng)為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。諸如：數(shù)學(xué)期望、方差、矩等?！?.6隨機(jī)變量的數(shù)字特征2.6.0隨機(jī)變量數(shù)字特征的

2.6.1數(shù)學(xué)期望

以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均，反映了這7位同學(xué)高數(shù)成績(jī)的平均狀態(tài)。

1.引例

用7名學(xué)生的高數(shù)成績(jī)來(lái)考察高數(shù)的成績(jī)狀況。設(shè)某7學(xué)生的高數(shù)成績(jī)?yōu)?0,85,85,80,80,75,60，則他們7人的平均成績(jī)?yōu)?.6.1數(shù)學(xué)期望以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均，反映了這7

2.數(shù)學(xué)期望的定義

定義2.6.1(離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望)

設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱(chēng)的值為離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望或均值，記作。即若級(jí)數(shù)，則稱(chēng)的數(shù)學(xué)期望不存在。

2.數(shù)學(xué)期望的定義定義2.6.2(連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，若積分絕對(duì)收斂，則稱(chēng)的值為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望或均值，記作。即

若，則稱(chēng)X的數(shù)學(xué)期望不存在。定義2.6.2(連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望)3.隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望所反應(yīng)的意義隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反應(yīng)了隨機(jī)變量所有可能取值的平均值，是隨機(jī)變量所有可能取值的最佳代表。

例2.29

已知隨機(jī)變量的概率分布率為求.解：由離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望定義得

4561/41/21/43.隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望所反應(yīng)的意義4561/41/21/例2.30

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為求.解：由定義可得或利用奇函數(shù)的性質(zhì)

例2.30設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為例2.31例2.314.常用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

（1）兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為其中

則

（2）二項(xiàng)分布若，則其概率函數(shù)為4.常用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

其中

，故

所以其中（3）泊松分布若，則其概率函數(shù)為其中，于是所以。（3）泊松分布（4）超幾何分布若，則其概率函數(shù)為故

（4）超幾何分布（5）均勻分布若，則其概率密度函數(shù)為所以（5）均勻分布（6）指數(shù)分布若，則其概率密度函數(shù)為其中。所以

（6）指數(shù)分布（7）正態(tài)分布若，則其概率密度函數(shù)為

所以（7）正態(tài)分布5.一元隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的函數(shù)（1）離散型（2）連續(xù)型5.一元隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的函數(shù)（1）離電子商務(wù)概論概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.解：因?yàn)樵摴降闹匾栽谟?當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道

例2.33

已知的分布表如下，試求及的數(shù)學(xué)期望。解：例2.33已知的分布表如下，試求及

例2.34

已知隨機(jī)變量

，求

的數(shù)學(xué)期望。解：由定義計(jì)算例2.34已知隨機(jī)變量6.

隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的簡(jiǎn)單性質(zhì)6.隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的簡(jiǎn)單性質(zhì)數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用AnapplicationofExpectedValueinMedicine

考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個(gè)人一組，把這10個(gè)人的血液樣本混合起來(lái)進(jìn)行化驗(yàn)。如果結(jié)果為陰性，則10個(gè)人只需化驗(yàn)1次；若結(jié)果為陽(yáng)性，則需對(duì)10個(gè)人再逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問(wèn)：這種分組化驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比，是否能減少化驗(yàn)次數(shù)？分析：設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為X，需要計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普

化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律{X=1}=“10人都是陰性”{X=11}=“至少1人陽(yáng)性”結(jié)論：分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)。注意求X期望值的步驟！問(wèn)題的進(jìn)一步討論

1.概率p對(duì)是否分組的影響？2.概率p對(duì)每組人數(shù)n的影響?化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律{X數(shù)學(xué)期望在使用過(guò)程中也有不便之處，主要是由于①對(duì)于比較復(fù)雜的分布,計(jì)算上比較繁瑣；②對(duì)于有的分布，數(shù)學(xué)期望不存在；③用試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)學(xué)期望時(shí)，若試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)中有一些離群的數(shù)據(jù)（通常是指極大、極小的極端值），而又沒(méi)有充分根據(jù)剔除它們的時(shí)候，用數(shù)學(xué)期望來(lái)代表全體數(shù)據(jù)取值的平均水平不是很理想。為此，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，引入如下定義表達(dá)“平均值”的數(shù)字特征。數(shù)學(xué)期望在使用過(guò)程中也有不便之處，主要是由于①對(duì)于

中位數(shù)

定義2.6.3

設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得，則稱(chēng)實(shí)數(shù)為隨機(jī)變量的中位數(shù)，記作：說(shuō)明：直觀上，的中位數(shù)反映“取值比小及比大的可能性相等”這種意義下的“平均值”。

例2.37設(shè)，試求其中位數(shù)解：因?yàn)?，故，于?/p>

正態(tài)分布的中位數(shù)與數(shù)學(xué)期望一致。

中位數(shù)

2.6.2方差Variance

定義：設(shè)是一隨機(jī)變量，如果存在，則稱(chēng)為的方差，記作或方差的計(jì)算公式

與

有相同的量綱均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）

即2.6.2方差Variance定義：設(shè)離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為f(x)方差的統(tǒng)計(jì)意義

隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量所有可能取值偏離其均值的平均偏差程度。常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變1．二點(diǎn)分布

由前面知識(shí)可知，而所以2．二項(xiàng)分布

設(shè)，由前面知識(shí)可知，而1．二點(diǎn)分布由前面知識(shí)可知所以所以3.泊松分布

設(shè)由前面知識(shí)可知，而所以3.泊松分布設(shè)由4.超幾何分布設(shè)X~H（n，M，N），由前知識(shí)可知而4.超幾何分布設(shè)X~H（n，M，N），由前知識(shí)可知所以所以電子商務(wù)概論概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件5.均勻分布

設(shè)，由前面知識(shí)可知，，而所以5.均勻分布設(shè)，由前6.指數(shù)分布

設(shè)，由前面所學(xué)可知，，而（若參數(shù)為）。所以：6.指數(shù)分布設(shè)，由前面所學(xué)7．正態(tài)分布

設(shè)，則由前面知識(shí)可知，。7．正態(tài)分布設(shè)方差的性質(zhì)

1.設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0；

2.

推論：若a，b是常數(shù)，則

4.若，則

即在處取得惟一的最小。

3.方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0；

證明：因?yàn)?，則所以證明：

2.6.3矩、偏度和峭度

隨機(jī)變量的數(shù)字特征除了數(shù)學(xué)期望及方差之外，更一般地，還有中心矩及原點(diǎn)矩，以及由其衍生的一些數(shù)字特征，它們對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)變量概率分布都有一定的意義，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中都有重要的應(yīng)用。

隨機(jī)變量的原點(diǎn)矩與中心矩

Def

設(shè)X是隨機(jī)變量，若

存在，則稱(chēng)其為X的k階原點(diǎn)矩，存在，則稱(chēng)其為X的k階中心矩，2.6.3矩、偏度和峭度隨機(jī)變量的數(shù)原點(diǎn)矩與中心矩有如下關(guān)系

顯然，隨機(jī)變量1階原點(diǎn)矩是數(shù)學(xué)期望；2階中心矩是方差原點(diǎn)矩與中心矩有如下關(guān)系顯然，隨機(jī)變量1偏度（Measureofskewness）。設(shè)是隨機(jī)變量，稱(chēng)為隨機(jī)變量分布的偏斜系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)偏度。若稱(chēng)的分布是正偏的（不對(duì)稱(chēng)，向右偏）；若稱(chēng)的分布是負(fù)偏的（不對(duì)稱(chēng)，向左偏）；若稱(chēng)的分布是關(guān)于期望對(duì)稱(chēng)的。偏度的絕對(duì)值越大，表明偏斜程度愈大。所以偏度是描述隨機(jī)變量分布偏斜方向與偏斜大小的一個(gè)數(shù)字特征。偏度（Measureofskewness）。設(shè)峭度（Coeffcientofkurtosis）

設(shè)是隨機(jī)變量，稱(chēng)為隨機(jī)變量分布的峰態(tài)系數(shù)或陡峭系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)峰度或峭度。表示所研究分布曲線(xiàn)與正態(tài)分布曲線(xiàn)相比較的結(jié)果。

表明的分布曲線(xiàn)比正態(tài)分布曲線(xiàn)尖峭；表明的分布曲線(xiàn)比正態(tài)分布曲線(xiàn)平坦；表明的分布曲線(xiàn)與正態(tài)分布曲線(xiàn)陡峭度相同；峰度的絕對(duì)值愈大，表明隨機(jī)變量在尖峭與平坦這一特征上與正態(tài)分布的差別愈大。所以峰度是描述隨機(jī)變量分布與正態(tài)分布之間陡峭程度差異大小的一個(gè)數(shù)字特征。峭度（Coeffcientofkurtosis）電子商務(wù)概論概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第2章

隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征隨機(jī)變量分布函數(shù)

離散型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布正態(tài)分布

隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第2章隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征隨機(jī)變量分布函數(shù)

2.1.1隨機(jī)變量

(RandomVariable)

為了更有效地研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，需要引入微積分作為工具，這就需要用變量的形式來(lái)表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象。先考察下列兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的例子

例2.1

某人拋擲一枚色子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。

試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式：出現(xiàn)1點(diǎn)；出現(xiàn)2點(diǎn)；出現(xiàn)3點(diǎn)；出現(xiàn)4點(diǎn)；出現(xiàn)5點(diǎn)；出現(xiàn)6點(diǎn)。如果令表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則的可能取值為

于是，試驗(yàn)結(jié)果的變量表示為：“出現(xiàn)1點(diǎn)”；“出現(xiàn)2點(diǎn)”“出現(xiàn)3點(diǎn)”；“出現(xiàn)4點(diǎn)”“出現(xiàn)5點(diǎn)”；“出現(xiàn)6點(diǎn)”§2.1隨機(jī)變量分布函數(shù)2.1.1隨機(jī)變量(RandomVariable例2.2

某人擲硬幣試驗(yàn)，觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式：

國(guó)徽面在上面；有字面在上面如果表示國(guó)徽面在上面，表示有字面在上面。則試驗(yàn)結(jié)果的變量表示為：“國(guó)徽面在上面”“有字面在上面”特點(diǎn)：試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化了，試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且變量取值隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化。例2.2某人擲硬幣試驗(yàn)，觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。定義1：

設(shè)是一隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為，如果對(duì)于中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，都有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，并且滿(mǎn)足：（1）是由唯一確定；（2）對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，集合都表示一個(gè)有概率的事件。則稱(chēng)為一隨機(jī)變量(RandomVariable)。電子商務(wù)概論概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

設(shè)為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則集合是隨機(jī)事件，隨著變化，事件也會(huì)變化。這說(shuō)明該事件是實(shí)變量的“函數(shù)”。

隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的變量有所不同。

（1）自變量的取值是可以在函數(shù)的定義域內(nèi)隨便指定，隨機(jī)變量的取值只能在其取值范圍內(nèi)由試驗(yàn)的具體結(jié)果確定，具有偶然性；

（2）的定義域是樣本空間，值域是實(shí)數(shù)軸。

隨機(jī)變量的本質(zhì)特性是其取值具有不確定性，在未試驗(yàn)之前無(wú)法確知它取哪個(gè)值。

設(shè)為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則集

隨機(jī)變量舉例與分類(lèi)

例2.3

某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的可能取值為。

例2.4

某個(gè)燈泡的使用壽命的可能取值為。

例2.5

一部電話(huà)總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)的可能取值為。

例2.6

為在區(qū)間上隨機(jī)移動(dòng)的點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)的可能取值為。

從隨機(jī)變量取值的有限無(wú)限個(gè)，及方式的可列不可列的角度來(lái)看，隨機(jī)變量可做如下分類(lèi)：隨機(jī)變量舉例與分類(lèi)隨機(jī)變量的分類(lèi)離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非連續(xù)型有限或無(wú)窮可列取值無(wú)窮且不可列取值隨機(jī)變量的分類(lèi)離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非連續(xù)型有

2.1.2分布函數(shù)(DistributionFunction)隨機(jī)變量的概率分布

定義2：

能反映隨機(jī)變量取值規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱(chēng)為隨機(jī)變量的概率分布律，簡(jiǎn)稱(chēng)概率分布。

概率分布的常用表達(dá)方式有：分布函數(shù)（“通用型”）；概率函數(shù)或概率密度函數(shù)（“針對(duì)型”）。分布函數(shù)概念

定義3：

設(shè)為隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，則稱(chēng)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，其定義域?yàn)椤?/p>

顯然，分布函數(shù)是一個(gè)特殊的隨機(jī)事件的概率。

是一個(gè)實(shí)函數(shù)！2.1.2分布函數(shù)(DistributionFunc

（1）對(duì)于任意，有（非負(fù)有界性）；

（2）（規(guī)范性）；

（3）對(duì)于任意有（非減性）；

（4）在每一點(diǎn)至少是右連續(xù)的（連續(xù)性）。

若已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則對(duì)于任意有分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)例2.7

已知隨機(jī)變量的所有可能取值為，取各值的概率分別為，試求隨機(jī)變量的分布函數(shù)并作其圖像。解：由題設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為0.30.30.4210由分布函數(shù)的定義有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。分布函數(shù)圖像如圖2.1所示圖2.1例2.7已知隨機(jī)變量的所有可能取值為§

2.2離散型隨機(jī)變量及其分布

2.2.1.離散型隨機(jī)變量

定義1：如果隨機(jī)變量所有可能取值為有限或無(wú)窮可列，則該隨機(jī)變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量。

定義2：設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取是，而取值的概率為，即有則稱(chēng)該式為隨機(jī)變量的概率函數(shù)。其也可以用下表表達(dá)：并稱(chēng)其為隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列。還可以通過(guò)作圖直觀表示，稱(chēng)為隨機(jī)變量的概率分布圖或概率函數(shù)圖。

§2.2離散型隨機(jī)變量及其分布2.2.1.離散型

圖中線(xiàn)的高度為取值于該點(diǎn)的概率值。

注意：離散型隨機(jī)變量的概率分布除用分布函數(shù)可以表示以外，還可以利用概率函數(shù)或分布列或分布圖表示，概率函數(shù)與分布列，分布圖是等效的，概率函數(shù)比分布列表示簡(jiǎn)便，而分布圖則更直觀。

概率函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì):

（1）（非負(fù)性）（2）（歸一性）。

例2.8

設(shè)袋中有五個(gè)球，3個(gè)白球2個(gè)黑球。從中任取兩球，以表示取到的黑球數(shù)。求其概率函數(shù)及其概率分布函數(shù)。解：的可能取值為分別表示事件“沒(méi)有取到黑球”、“取到一個(gè)黑球”、“取到兩個(gè)黑球”，則其概率函數(shù)

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，概率函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì):（1）

當(dāng)時(shí)，所以，的分布函數(shù)為概率函數(shù)和分布函數(shù)用于描述隨機(jī)變量的變化規(guī)律，它們之間的關(guān)系為：

已知概率函數(shù)求分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，概率函數(shù)和分布函數(shù)用于描述例2.9

設(shè)隨機(jī)變量的概率函數(shù)為。

求常數(shù)的值。

解：由于

故而

已知分布函數(shù)求概率函數(shù)例2.9設(shè)隨機(jī)變量的概率函數(shù)為。已知分布函數(shù)求概率函數(shù)

2.2.2常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布

引入隨機(jī)變量的概念以后，客觀世界中的許多隨機(jī)現(xiàn)象，如果拋開(kāi)其所涉及的具體內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上可以用同一個(gè)概率模型即概率分布來(lái)表達(dá)。1.等概分布設(shè)為離散型隨機(jī)變量，若其分布列為：則稱(chēng)服從等概分布。該分布滿(mǎn)足：(1)非負(fù)性：

(2)規(guī)范性：2.2.2常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布2.兩點(diǎn)分布（0-1分布）

若隨機(jī)變量的分布表為其中，則稱(chēng)服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布。記作。

兩點(diǎn)分布所能刻畫(huà)的隨機(jī)現(xiàn)象：

凡是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，都可以?xún)牲c(diǎn)分布作為其概率模型。例如：擲硬幣觀察正反面，產(chǎn)品是否合格，人口性別統(tǒng)計(jì)，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超負(fù)荷等等。

例如，投一枚均勻的骰子，觀察向上面的點(diǎn)數(shù)，用表示向上面的點(diǎn)數(shù)，則服從的等概分布。

2.兩點(diǎn)分布（0-1分布）例如，投一枚均勻的骰子

二項(xiàng)分布的概率函數(shù)就是二項(xiàng)式展開(kāi)式中的通項(xiàng)（這里），所以稱(chēng)之為二項(xiàng)分布。分布中，當(dāng)時(shí)，就是兩點(diǎn)分布，其概率函數(shù)為(1)非負(fù)性：則稱(chēng)服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布（Binomialdistribution），記為若離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為：3.二項(xiàng)分布

～顯然，二項(xiàng)分布的概率函數(shù)滿(mǎn)足：(2)規(guī)范性：

二項(xiàng)分布的概率函數(shù)就是二項(xiàng)式例2.10

設(shè)某學(xué)生在期末考試中，共有5門(mén)課程要考，已知該學(xué)生每門(mén)課程及格的概率為0.8。試求該學(xué)生恰好有3門(mén)課及格的概率和至少有3門(mén)課及格的概率。解:設(shè)表示該學(xué)生恰好有3門(mén)課及格；

表示該學(xué)生至少有3門(mén)課及格。顯然，這是一個(gè)5重貝努里概型，從而有

凡是重貝努里概型中隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)的概率分布規(guī)律都可用二項(xiàng)分布來(lái)刻畫(huà)。例2.10設(shè)某學(xué)生在期末考試中，共有5門(mén)課程要考，已知該學(xué)例2.11

某保險(xiǎn)公司以往資料顯示，索賠要求中有8%是因?yàn)楸槐I而提出來(lái)的。現(xiàn)已知該公司某個(gè)月共收到10個(gè)索賠要求，試求其中包含4個(gè)以上被盜索賠要求的概率。解:設(shè)表示10個(gè)索賠要求中被盜索賠要求的個(gè)數(shù)，則于是，所求概率為即10各索賠要求中有4個(gè)以上被盜索賠要求的概率為0.00059通過(guò)該例題的求解，可以看出：二項(xiàng)分布當(dāng)參數(shù)很大，而很小時(shí)，有關(guān)概率的計(jì)算是相當(dāng)麻煩的。甚至有時(shí)借助于計(jì)算工具也難實(shí)現(xiàn)。為了解決這種情況下的二項(xiàng)分布有關(guān)概率計(jì)算問(wèn)題，1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家S.D.Poisson提出了以下定理。例2.11某保險(xiǎn)公司以往資料顯示，索賠要求中有8%是因?yàn)镻oisson定理

設(shè)隨機(jī)變量，若時(shí)，有，則有

證明：令，于是有對(duì)于固定的有所以電子商務(wù)概論概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

實(shí)際應(yīng)用中：當(dāng)較大,

較小，適中時(shí)，即可用泊松定理的結(jié)果對(duì)二項(xiàng)概率進(jìn)行近似計(jì)算。

例2.12

某人騎摩托車(chē)上街，出事故的概率為0.02，獨(dú)立重復(fù)上街400次，求至少出兩次事故的概率。解:400次上街400重Bernoulli概型；

記為出事故的次數(shù)，則。由于，所以由Poisson定理有

實(shí)際應(yīng)用中：當(dāng)較大,較小，適中時(shí)，即

4．泊松（Poisson）分布

若隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱(chēng)服從參數(shù)為的泊松分布，記為。

若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次，則該人成功的概率為。這表明隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，小概率事件是會(huì)發(fā)生的！顯然，泊松分布的概率函數(shù)滿(mǎn)足：：

(1)非負(fù)性：；

(2)規(guī)范性：4．泊松（Poisson）分布若隨機(jī)變泊松分布所能刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象：

服務(wù)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)；交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)；礦井在某段時(shí)間發(fā)生事故的次數(shù)；顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目；

單位時(shí)間內(nèi)市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)；

一本書(shū)中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)。

特別注意:體積相對(duì)較小的物質(zhì)，在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數(shù)

可以由觀測(cè)值的平均值求出。泊松分布所能刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象：這時(shí)，如果直接計(jì)算，計(jì)算量很大。由于很大，很小，可利用泊松分布（）近似計(jì)算。解：設(shè)患有該種疾病的人數(shù)為隨機(jī)變量，則故，例2.13

已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位現(xiàn)有職工5000人，問(wèn)該單位患有這種疾病的人數(shù)超過(guò)5人的概率有多大？～這時(shí)，如果直接計(jì)算，計(jì)算量很大。由于（設(shè)時(shí))(1)非負(fù)性：

都是正整數(shù)，且為參數(shù)，則稱(chēng)服從參數(shù)為的超幾何分布，記作。顯然，它的概率函數(shù)式滿(mǎn)足：設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為：

5．超幾何分布(2)規(guī)范性：（設(shè)時(shí))(1)非負(fù)性：成立，則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量。為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)密度函數(shù)。Def設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在非負(fù)的可積函數(shù)，使得對(duì)任意的，有§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

2.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量

可以證明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)具有如下兩條基本性質(zhì)：(1)(2)

成立，則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量。為連續(xù)型隨機(jī)概率密度函數(shù)還具有以下性質(zhì)：(3)對(duì)任意給定的，；(4)在的連續(xù)點(diǎn)處，總有；(5)連續(xù)型隨機(jī)變量取任一點(diǎn)的概率始終為零，即

證明：對(duì)任意的，令，則由