1第六章不等概率抽樣第一節(jié)不等概率抽樣概述第二節(jié)放回不等概率抽樣第三節(jié)不放回不等概率抽樣1第六章不等概率抽樣第一節(jié)不等概率抽樣概述12第一節(jié)不等概率抽樣概述

一、不等概率抽樣的必要性在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，總體(或?qū)?中的每個(gè)單元入樣的概率都相等。如果總體中的每個(gè)單元在該總體中的地位(或重要性)相差不多，則這種基于等概率的抽樣是理所當(dāng)然的選擇。等概率抽樣不僅實(shí)施簡(jiǎn)單，而且相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理公式也簡(jiǎn)單。但是在許多實(shí)際問題中，我們還需要使用不等概率抽樣(samplingwithunequalprobabilities)。2第一節(jié)不等概率抽樣概述一、不等概率抽樣的必要性23一種情況是調(diào)查的總體單元與抽樣總體的單元可能不一致。另一種需要用到不等概率抽樣的情況是，抽樣單元在總體中所占的地位不一致。最重要的一種不等概率抽樣乃是使每個(gè)單元入樣的概率與該單元的大小成比例的抽樣(samplingwithprobabilitiesproportionaltosizes，簡(jiǎn)稱PPS抽樣)。3一種情況是調(diào)查的總體單元與抽樣總體的單元可能不一致34第三種需用不等概率抽樣的情況是為了改善估計(jì)量的特性。每個(gè)可能的樣本若被抽的概率與樣本中單元的輔助變量之和成正比的話，則按此進(jìn)行不等概率抽樣所得到的樣本，用通常的比估計(jì)方法所得的估計(jì)量是無偏的。4第三種需用不等概率抽樣的情況是為了改善估計(jì)量的特性45總之，在實(shí)際工作中需要我們經(jīng)常采用不等概率抽樣。另外，從上面列舉的情況也可看到，凡需使用不等概率抽樣的場(chǎng)合，必須提供總體單元的某種輔助信息，例如每個(gè)單元的“大小”度量Mi或輔助變量Xi等。5總之，在實(shí)際工作中需要我們經(jīng)常采用不等概率抽樣。另56二、不等概率抽樣的主要分類不等概率抽樣可按多種原則進(jìn)行分類。鑒于不等概率抽樣同時(shí)會(huì)帶來目標(biāo)量估計(jì)及其方差估計(jì)的復(fù)雜性，可分為放回抽樣：每次在總體(或?qū)?中按一定概率抽取一個(gè)單元，抽取后放回總體，再進(jìn)行下一次抽樣，每次抽樣都是獨(dú)立的。不放回抽樣。其代價(jià)是：由于喪失了獨(dú)立性，無論是抽樣方法還是方差估計(jì)，都要比放回抽樣繁復(fù)得多。6二、不等概率抽樣的主要分類不等概率抽樣可按多種原則67另一種分類是：視每次抽樣(放回抽樣的情形)概率或每個(gè)單元的入樣概率(不放回抽樣的情形)是否嚴(yán)格地與單元的大小成比例。另外，看樣本量n是固定的還是隨機(jī)的。最重要的情形乃是當(dāng)n固定，且上述概率與單元大小嚴(yán)格成比例的不等概率抽樣。以后我們將這種情形的放回抽樣稱為PPS抽樣，稱相應(yīng)的不放回抽樣為πPS抽樣。7另一種分類是：視每次抽樣(放回抽樣的情形)概率或每78對(duì)于不放回抽樣，按其樣本單元抽取方式的不同又可分為以下幾種方法：1.逐個(gè)抽取法。每次從尚未入樣的單元中以一定概率抽取一個(gè)單元，這個(gè)概率通常與已經(jīng)入樣的單元有關(guān)，2.重抽法。以一定概率逐個(gè)進(jìn)行放回抽樣，若一旦抽到重復(fù)單元，則放棄所有已抽到的單元而重新抽取，直到抽到規(guī)定單元數(shù)且所有入樣單元都不同為止。Back8對(duì)于不放回抽樣，按其樣本單元抽取方式的不同又可分為893.系統(tǒng)抽取法。將總體單元按某種順序排列，且將規(guī)定的單元入樣（或其倍數(shù)）累計(jì)起來，并確定抽樣間隔，在這個(gè)范圍內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)以確定初始入樣單元，然后按上述抽樣間隔確定其余的樣本單元。4.全樣本方法。對(duì)每個(gè)可能樣本規(guī)定一個(gè)被抽中的概率，按這個(gè)概率一次抽取整個(gè)樣本。Back93.系統(tǒng)抽取法。將總體單元按某種順序排列，且將規(guī)定的910三、不等概率抽樣的特點(diǎn)不等概率抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)是由于使用了輔助信息，提高了抽樣策略的統(tǒng)計(jì)效率，與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣甚至與分層抽樣相比，能顯著地減少抽樣誤差。10三、不等概率抽樣的特點(diǎn)不等概率抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)是由1011不等概率抽樣有以下的缺點(diǎn)：抽樣框中的所有單元，都要有高質(zhì)量的、能用作大小度量的輔助信息；抽樣框的創(chuàng)建比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣成本高，更復(fù)雜，因?yàn)樾枰攘亢痛鎯?chǔ)總體中每一個(gè)單元的大??；并非在任何情況下都能使用，因?yàn)椴⒉皇敲恳粋€(gè)總體都有穩(wěn)定且與主要調(diào)查變量相關(guān)的有關(guān)大小或規(guī)模的度量；抽樣及估計(jì)（特別對(duì)不放回抽樣）相當(dāng)復(fù)雜；

當(dāng)單元大小度量不準(zhǔn)確或不穩(wěn)定時(shí)不適用，此時(shí)更好的辦法是將單元按大小分組并使用分層抽樣。Back11不等概率抽樣有以下的缺點(diǎn)：抽樣框中的所有單元，都1112第二節(jié)放回不等概率抽樣一、多項(xiàng)抽樣多項(xiàng)抽樣是一種最簡(jiǎn)單的不等概率抽樣。它是從容量為N的總體中有放回地進(jìn)行獨(dú)立抽樣，每次抽樣中，使抽到第i個(gè)單元的概率為Zi，i=1，2，…，N，，連續(xù)抽n次，從而抽到n個(gè)單元。12第二節(jié)放回不等概率抽樣一、多項(xiàng)抽樣1213若記為總體中第i個(gè)單元在n次抽樣中被抽到的次數(shù)，顯然對(duì)每個(gè)i都有：，且。作為隨機(jī)變量（，，…），它的聯(lián)合分布即是以下的多項(xiàng)分布：這就是多項(xiàng)抽樣這個(gè)術(shù)語的來源。13若記為總體中第i個(gè)單元在n次抽樣中被抽到的次數(shù)，1314根據(jù)多項(xiàng)分布的性質(zhì)，有當(dāng)每個(gè)單元具有一個(gè)說明其大小或規(guī)模的度量時(shí)，每個(gè)單元在每次抽樣中的入樣概率與單元大小成比例，稱這種特殊的多項(xiàng)抽樣為放回的與大小成比例的概率抽樣，簡(jiǎn)稱PPS抽樣。14根據(jù)多項(xiàng)分布的性質(zhì)，有1415二、PPS抽樣PPS抽樣是與大?。ɑ蛞?guī)模）成比例的概率抽樣，是一種使用輔助信息從而使入樣概率不相等的抽樣技術(shù)。如果總體單元的大小或規(guī)模變化很大，且這些大小是已知的，這樣的信息就可以用在抽樣中，以提高統(tǒng)計(jì)效率。如果單元大小的度量是準(zhǔn)確的，而且所研究的變量與單元的大小相關(guān)，PPS抽樣能極大地提高精度。但如果大小的度量不大準(zhǔn)確，最好按大小分組并使用分層抽樣。15二、PPS抽樣1516PPS抽樣的入樣概率。如上所述，PPS抽樣時(shí)可取為第i個(gè)單元的入樣概率，其中是總體中所有單元的“大小”之和，為第i個(gè)單元的大小。16PPS抽樣的入樣概率。如上所述，PPS抽樣時(shí)可取1617有時(shí)，關(guān)于單元的大小只是約略知道或這個(gè)“大小”并不是用單元所含的次級(jí)單元數(shù)來表示的，而是用其它有關(guān)尺度來計(jì)量。此時(shí)，設(shè)第i單元大小的計(jì)量尺度為，則有：

這時(shí)的PPS抽樣也稱作PPZ抽樣。17有時(shí)，關(guān)于單元的大小只是約略知道或這個(gè)“1718三、多項(xiàng)抽樣的實(shí)施方法如何抽取一個(gè)不等概率樣本呢？有三種主要方法：代碼法、系統(tǒng)法及隨機(jī)系統(tǒng)法。以下的討論以PPS抽樣為例，并假定單元大小皆為整數(shù)。18三、多項(xiàng)抽樣的實(shí)施方法1819（1）代碼法(累計(jì)和法，隨機(jī)法或漢森—赫維茨法)設(shè)N不太大，且（或）為第i單元大小的度量，且為整數(shù)，對(duì)總體中的每個(gè)單元計(jì)算累計(jì)大小，得到總體所有單元代碼的累計(jì)和，對(duì)總體中每個(gè)單元確定與它相對(duì)應(yīng)的代碼范圍；在1到總的累計(jì)大小范圍內(nèi)抽取一個(gè)隨機(jī)數(shù)，該隨機(jī)數(shù)相應(yīng)的代碼范圍中的單元即為入樣單元。重復(fù)上述步驟，直到抽得n個(gè)單元為止。19（1）代碼法(累計(jì)和法，隨機(jī)法或漢森—赫維茨法)1920PPS抽樣時(shí)，單元的代碼如下表：20PPS抽樣時(shí)，單元的代碼如下表：2021（2）拉希里法（二次抽樣法）代碼法要將累計(jì)，在N不太大時(shí)是適用的，但當(dāng)N很大時(shí)，就很不方便。此時(shí)可用Lahiri（拉希里）1951年提出的方法。令每次抽取一個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)及范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)m，若，則第單元入樣；否則,重抽。此時(shí)，第i個(gè)單元的入樣概率與成正比，從而。重復(fù)這一過程，直到抽夠所需的個(gè)單元。21（2）拉希里法（二次抽樣法）2122（3）系統(tǒng)PPS抽樣方法對(duì)總體中的每個(gè)單元，計(jì)算累計(jì)大?。粚?duì)總體中每個(gè)單元確定與它相對(duì)應(yīng)的代碼范圍；確定抽樣間隔k=總累計(jì)大小/n；在1和k的范圍內(nèi)確定一個(gè)隨機(jī)起點(diǎn)r；與代碼r，r+k，r+2k，…，r+（n-1）k所在范圍相對(duì)應(yīng)的單元入樣。注意，當(dāng)r+（n-1）k超過總累計(jì)大小時(shí)，應(yīng)使用圓形系統(tǒng)抽樣中的模余數(shù)法。22（3）系統(tǒng)PPS抽樣方法2223（4）隨機(jī)系統(tǒng)抽樣法在這種方法中，名錄在系統(tǒng)抽樣前要進(jìn)行隨機(jī)排序。如果完全按原來的排序，會(huì)把一些可能的樣本排除在外。在上面介紹的系統(tǒng)抽樣的例子中，不可能把單元3和4同時(shí)抽入同一個(gè)樣本。把名錄重新隨機(jī)排列后會(huì)增加潛在的可能抽到的樣本數(shù)量。實(shí)際上這些方法都有些問題。例如，對(duì)系統(tǒng)抽樣法或隨機(jī)系統(tǒng)抽樣法，一個(gè)大小大于抽樣間隔的單元，就有重復(fù)被抽中的可能。只有把這些大單元放入單獨(dú)的一個(gè)層，并獨(dú)立地對(duì)它們進(jìn)行抽樣，才能克服這個(gè)問題。另一個(gè)問題是估計(jì)值的抽樣方差估計(jì)比較困難。23（4）隨機(jī)系統(tǒng)抽樣法2324

四、估計(jì)量對(duì)于多項(xiàng)抽樣，由于抽樣是不等概率的，每個(gè)樣本單元的觀測(cè)值就不再是“平等的”，因此對(duì)于總體參數(shù)的估計(jì)與等概率抽樣不同。漢森—赫維茨提出，如果是按為入樣概率的多項(xiàng)抽樣抽得的樣本指標(biāo)值，相應(yīng)的為，則總體總和Y的無偏估計(jì)量如下：24四、估計(jì)量2425且若n〉1，則的無偏估計(jì)量為25且2526對(duì)于PPS抽樣，，所以有其中是第i個(gè)樣本單元的觀測(cè)值，例如商店的年銷售額，而是該單元的大小，例如商店的員工人數(shù)，則即是第i個(gè)商店人均年銷售額。對(duì)n個(gè)取平均即是樣本商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)人均年銷售額的平均，將此數(shù)乘以，即該地所有商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)的員工總數(shù)，即可獲得該地商業(yè)銷售總額的估計(jì)。26對(duì)于PPS抽樣，，所以有2627舉例：下表是某系統(tǒng)全部N=36個(gè)單位上一年職工人數(shù)及當(dāng)年職工人數(shù)的數(shù)據(jù)，以為單位大小的度量，對(duì)單位進(jìn)行PPS抽樣，n=6，估計(jì)全系統(tǒng)當(dāng)年職工總?cè)藬?shù)Y，并與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣做精度比較。27舉例：2728第三節(jié)不放回不等概率抽樣一、包含概率與πPS抽樣放回不等概率抽樣實(shí)施簡(jiǎn)單，數(shù)據(jù)處理也不復(fù)雜，在不等概率抽樣中占有一定的地位。但是由于放回抽樣有可能重復(fù)抽到同一單元，特別是個(gè)別大單元被重復(fù)抽到的可能性比較大，這就在一定程度上影響了樣本的代表性，降低了抽樣效率，也不易被實(shí)際工作者所接受。即使在相同樣本量下，放回抽樣的精度比不放回抽樣的差。因此，我們?nèi)杂斜匾芯坎环呕夭坏雀怕食闃印Ｊ聦?shí)上，由于不放回抽樣的樣本不是獨(dú)立的，因此無論是實(shí)施還是數(shù)據(jù)處理，特別是方差估計(jì)，都要比放回的多項(xiàng)抽樣復(fù)雜得多。28第三節(jié)不放回不等概率抽樣一、包含概率與πPS2829在放回的不等概率抽樣中，每個(gè)單元的入樣概率起著關(guān)鍵作用。在不放回抽樣中，每個(gè)單元被包含到樣本的概率也即入樣概率及任意兩個(gè)單元都包含到樣本的概率都起著十分重要的作用，它們通稱為包含概率。29在放回的不等概率抽樣中，每個(gè)單元的入樣概率起著關(guān)29對(duì)于固定的n包含概率滿足以下性質(zhì)：（1）（2）（3）對(duì)于固定的n包含概率滿足以下性質(zhì)：30其中性質(zhì)1是顯然的。性質(zhì)2是對(duì)每個(gè)已在樣本中的單元而言的，固定了這個(gè)特定單元，總體中其它N-1個(gè)單元在樣本中只可能有n-1個(gè)單元，因此其中最后一個(gè)等式利用了性質(zhì)1。性質(zhì)3則直接利用性質(zhì)2：其中性質(zhì)1是顯然的。性質(zhì)2是對(duì)每個(gè)已在樣本中的單元而言的，固31與放回的PPS抽樣類似，對(duì)于不放回不等概率抽樣，我們最感興趣的是與單元大小成比例的情形。若仍記，則由性質(zhì)1有：以后我們將這種不放回的與單元大小成比例的概率抽樣稱為πPS抽樣。與放回的PPS抽樣類似，對(duì)于不放回不等概率抽樣，我們32嚴(yán)格的πPS抽樣實(shí)施起來非常復(fù)雜。事實(shí)上，只有當(dāng)n=2時(shí)，才有一些簡(jiǎn)單且實(shí)用的方法。在不放回抽樣的情形，如果抽選的單元多于一個(gè)，要使入樣概率與單元大小成正比以及對(duì)調(diào)查估計(jì)值的誤差進(jìn)行估計(jì)都比較復(fù)雜。在用不放回πPS抽樣抽取多于兩個(gè)單元時(shí)，情況就更加復(fù)雜。實(shí)際上，這仍是一個(gè)需要進(jìn)行認(rèn)真研究的問題。除了實(shí)施方面的原因外，當(dāng)n大時(shí)，的計(jì)算也極其困難，而這對(duì)于方差估計(jì)是不可少的。嚴(yán)格的πPS抽樣實(shí)施起來非常復(fù)雜。事實(shí)上，只有當(dāng)n=33

二、霍維茨—湯普森估計(jì)量及其性質(zhì)對(duì)不放回的不等概率抽樣，總體總和Y的估計(jì)采用霍維茨（Horvitz）與湯普森（Thompson）提出的以下估計(jì)量：注意這個(gè)估計(jì)量與多項(xiàng)抽樣的漢森—赫維茨估計(jì)量非常相似。事實(shí)上，對(duì)于πPS抽樣，由于，與相應(yīng)PPS抽樣的完全一致。二、霍維茨—湯普森估計(jì)量及其性質(zhì)34霍維茨—湯普森估計(jì)量具有如下性質(zhì)：（1）若，則是Y的無偏估計(jì)，且它的方差為：當(dāng)n固定時(shí)，又有霍維茨—湯普森估計(jì)量具有如下性質(zhì)：35（2）若，則是的無偏估計(jì)。又當(dāng)n固定時(shí)，以下的耶茨（Yates）—格倫迪（Grundy）—森（Sen）估計(jì)量也是的無偏估計(jì)：（2）若3637

三、n=2的嚴(yán)格πPS抽樣對(duì)于πPS抽樣，由于作為總體總和的霍維茨—湯普森估計(jì)量的形式相當(dāng)簡(jiǎn)單，因此就應(yīng)用角度來說，是否便利主要在于它的實(shí)施方法以及的計(jì)算。當(dāng)n=2時(shí)，有幾種比較實(shí)用的方法（但在具體應(yīng)用中，n=2并不是一個(gè)十分嚴(yán)重的限制）。這些方法常用在對(duì)總體分層，在每層中抽取兩個(gè)樣本單元的情況。37三、n=2的嚴(yán)格πPS抽樣3738（1）布魯爾（Brewer）方法該方法要求對(duì)每個(gè)i，都滿足，即總體（層）中的最大單元必須小于全部單元大小總和的1/2（若不然可以將這個(gè)“特大”單元作為必調(diào)查的單元）。兩個(gè)樣本單元采用逐個(gè)抽取法抽取：第一個(gè)單元按與成比例的概率抽?。坏诙€(gè)單元?jiǎng)t在剩下的N-1個(gè)單元中按與成比例的概率抽取。38（1）布魯爾（Brewer）方法3839（2）德賓（Durbin）方法兩個(gè)樣本單元仍用逐個(gè)抽取法抽取。第一個(gè)樣本單元以概率抽取，設(shè)抽到的是單元i；第二個(gè)樣本單元?jiǎng)t按與成比例的概率抽取。由于此時(shí)的，且與布魯爾方法的相等，因此德賓方法與布魯爾方法實(shí)際上是等價(jià)的。應(yīng)用德賓方法也要求對(duì)每個(gè)i，都滿足。39（2）德賓（Durbin）方法3940四、n>2的嚴(yán)格πPS抽樣

n>2的嚴(yán)格πPS抽樣要比n=2的情況復(fù)雜得多，即使可以實(shí)現(xiàn)，的計(jì)算也相當(dāng)復(fù)雜。下面僅介紹三種方法。（1）水野（Midzuno）方法這也是一種逐個(gè)抽取方法，關(guān)鍵是第一個(gè)樣本單元的抽取，它是以概率抽取的。在抽取第一個(gè)單元以后，在剩下的N-1個(gè)單元中不放回地等概率抽取n-1個(gè)單元。40四、n>2的嚴(yán)格πPS抽樣4041（2）布魯爾（Brewer）方法這是n=2的布魯爾方法在n〉2情形的推廣，也采用逐個(gè)抽取法。第一個(gè)單元是以與成比例的概率抽取。在第r次抽取時(shí)，以與成比例的概率從當(dāng)時(shí)尚未入樣的單元中抽取一個(gè)單元。41（2）布魯爾（Brewer）方法4142（3）拉奧（Rao）—桑普福特（Sampford）方法這種方法是先以的概率抽取第一個(gè)樣本單元，然后以與成比例的概率有放回地抽取n-1個(gè)單元（設(shè)所有的）。一旦有單元被重復(fù)抽中，則放棄所有已經(jīng)抽到的單元重抽，直到抽中的n個(gè)單元都不同為止。這種方法的也比較復(fù)雜，需要通過計(jì)算機(jī)計(jì)算。42（3）拉奧（Rao）—桑普福特（Sampford4243五、n>2的兩種非嚴(yán)格的πPS抽樣當(dāng)n>2時(shí)，嚴(yán)格的πPS抽樣比較復(fù)雜，特別是在對(duì)包含概率的計(jì)算上。為此統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究了一些非嚴(yán)格的πPS抽樣方法。（1）莫蒂（Murthy）方法（2）拉奧（Rao）—哈特利（Hartley）—科克倫（Cochran）方法43五、n>2的兩種非嚴(yán)格的πPS抽樣43本章內(nèi)容講授結(jié)束本章內(nèi)容講授結(jié)束4445第六章不等概率抽樣第一節(jié)不等概率抽樣概述第二節(jié)放回不等概率抽樣第三節(jié)不放回不等概率抽樣1第六章不等概率抽樣第一節(jié)不等概率抽樣概述4546第一節(jié)不等概率抽樣概述

一、不等概率抽樣的必要性在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，總體(或?qū)?中的每個(gè)單元入樣的概率都相等。如果總體中的每個(gè)單元在該總體中的地位(或重要性)相差不多，則這種基于等概率的抽樣是理所當(dāng)然的選擇。等概率抽樣不僅實(shí)施簡(jiǎn)單，而且相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理公式也簡(jiǎn)單。但是在許多實(shí)際問題中，我們還需要使用不等概率抽樣(samplingwithunequalprobabilities)。2第一節(jié)不等概率抽樣概述一、不等概率抽樣的必要性4647一種情況是調(diào)查的總體單元與抽樣總體的單元可能不一致。另一種需要用到不等概率抽樣的情況是，抽樣單元在總體中所占的地位不一致。最重要的一種不等概率抽樣乃是使每個(gè)單元入樣的概率與該單元的大小成比例的抽樣(samplingwithprobabilitiesproportionaltosizes，簡(jiǎn)稱PPS抽樣)。3一種情況是調(diào)查的總體單元與抽樣總體的單元可能不一致4748第三種需用不等概率抽樣的情況是為了改善估計(jì)量的特性。每個(gè)可能的樣本若被抽的概率與樣本中單元的輔助變量之和成正比的話，則按此進(jìn)行不等概率抽樣所得到的樣本，用通常的比估計(jì)方法所得的估計(jì)量是無偏的。4第三種需用不等概率抽樣的情況是為了改善估計(jì)量的特性4849總之，在實(shí)際工作中需要我們經(jīng)常采用不等概率抽樣。另外，從上面列舉的情況也可看到，凡需使用不等概率抽樣的場(chǎng)合，必須提供總體單元的某種輔助信息，例如每個(gè)單元的“大小”度量Mi或輔助變量Xi等。5總之，在實(shí)際工作中需要我們經(jīng)常采用不等概率抽樣。另4950二、不等概率抽樣的主要分類不等概率抽樣可按多種原則進(jìn)行分類。鑒于不等概率抽樣同時(shí)會(huì)帶來目標(biāo)量估計(jì)及其方差估計(jì)的復(fù)雜性，可分為放回抽樣：每次在總體(或?qū)?中按一定概率抽取一個(gè)單元，抽取后放回總體，再進(jìn)行下一次抽樣，每次抽樣都是獨(dú)立的。不放回抽樣。其代價(jià)是：由于喪失了獨(dú)立性，無論是抽樣方法還是方差估計(jì)，都要比放回抽樣繁復(fù)得多。6二、不等概率抽樣的主要分類不等概率抽樣可按多種原則5051另一種分類是：視每次抽樣(放回抽樣的情形)概率或每個(gè)單元的入樣概率(不放回抽樣的情形)是否嚴(yán)格地與單元的大小成比例。另外，看樣本量n是固定的還是隨機(jī)的。最重要的情形乃是當(dāng)n固定，且上述概率與單元大小嚴(yán)格成比例的不等概率抽樣。以后我們將這種情形的放回抽樣稱為PPS抽樣，稱相應(yīng)的不放回抽樣為πPS抽樣。7另一種分類是：視每次抽樣(放回抽樣的情形)概率或每5152對(duì)于不放回抽樣，按其樣本單元抽取方式的不同又可分為以下幾種方法：1.逐個(gè)抽取法。每次從尚未入樣的單元中以一定概率抽取一個(gè)單元，這個(gè)概率通常與已經(jīng)入樣的單元有關(guān)，2.重抽法。以一定概率逐個(gè)進(jìn)行放回抽樣，若一旦抽到重復(fù)單元，則放棄所有已抽到的單元而重新抽取，直到抽到規(guī)定單元數(shù)且所有入樣單元都不同為止。Back8對(duì)于不放回抽樣，按其樣本單元抽取方式的不同又可分為52533.系統(tǒng)抽取法。將總體單元按某種順序排列，且將規(guī)定的單元入樣（或其倍數(shù)）累計(jì)起來，并確定抽樣間隔，在這個(gè)范圍內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)以確定初始入樣單元，然后按上述抽樣間隔確定其余的樣本單元。4.全樣本方法。對(duì)每個(gè)可能樣本規(guī)定一個(gè)被抽中的概率，按這個(gè)概率一次抽取整個(gè)樣本。Back93.系統(tǒng)抽取法。將總體單元按某種順序排列，且將規(guī)定的5354三、不等概率抽樣的特點(diǎn)不等概率抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)是由于使用了輔助信息，提高了抽樣策略的統(tǒng)計(jì)效率，與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣甚至與分層抽樣相比，能顯著地減少抽樣誤差。10三、不等概率抽樣的特點(diǎn)不等概率抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)是由5455不等概率抽樣有以下的缺點(diǎn)：抽樣框中的所有單元，都要有高質(zhì)量的、能用作大小度量的輔助信息；抽樣框的創(chuàng)建比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣成本高，更復(fù)雜，因?yàn)樾枰攘亢痛鎯?chǔ)總體中每一個(gè)單元的大??；并非在任何情況下都能使用，因?yàn)椴⒉皇敲恳粋€(gè)總體都有穩(wěn)定且與主要調(diào)查變量相關(guān)的有關(guān)大小或規(guī)模的度量；抽樣及估計(jì)（特別對(duì)不放回抽樣）相當(dāng)復(fù)雜；

當(dāng)單元大小度量不準(zhǔn)確或不穩(wěn)定時(shí)不適用，此時(shí)更好的辦法是將單元按大小分組并使用分層抽樣。Back11不等概率抽樣有以下的缺點(diǎn)：抽樣框中的所有單元，都5556第二節(jié)放回不等概率抽樣一、多項(xiàng)抽樣多項(xiàng)抽樣是一種最簡(jiǎn)單的不等概率抽樣。它是從容量為N的總體中有放回地進(jìn)行獨(dú)立抽樣，每次抽樣中，使抽到第i個(gè)單元的概率為Zi，i=1，2，…，N，，連續(xù)抽n次，從而抽到n個(gè)單元。12第二節(jié)放回不等概率抽樣一、多項(xiàng)抽樣5657若記為總體中第i個(gè)單元在n次抽樣中被抽到的次數(shù)，顯然對(duì)每個(gè)i都有：，且。作為隨機(jī)變量（，，…），它的聯(lián)合分布即是以下的多項(xiàng)分布：這就是多項(xiàng)抽樣這個(gè)術(shù)語的來源。13若記為總體中第i個(gè)單元在n次抽樣中被抽到的次數(shù)，5758根據(jù)多項(xiàng)分布的性質(zhì)，有當(dāng)每個(gè)單元具有一個(gè)說明其大小或規(guī)模的度量時(shí)，每個(gè)單元在每次抽樣中的入樣概率與單元大小成比例，稱這種特殊的多項(xiàng)抽樣為放回的與大小成比例的概率抽樣，簡(jiǎn)稱PPS抽樣。14根據(jù)多項(xiàng)分布的性質(zhì)，有5859二、PPS抽樣PPS抽樣是與大小（或規(guī)模）成比例的概率抽樣，是一種使用輔助信息從而使入樣概率不相等的抽樣技術(shù)。如果總體單元的大小或規(guī)模變化很大，且這些大小是已知的，這樣的信息就可以用在抽樣中，以提高統(tǒng)計(jì)效率。如果單元大小的度量是準(zhǔn)確的，而且所研究的變量與單元的大小相關(guān)，PPS抽樣能極大地提高精度。但如果大小的度量不大準(zhǔn)確，最好按大小分組并使用分層抽樣。15二、PPS抽樣5960PPS抽樣的入樣概率。如上所述，PPS抽樣時(shí)可取為第i個(gè)單元的入樣概率，其中是總體中所有單元的“大小”之和，為第i個(gè)單元的大小。16PPS抽樣的入樣概率。如上所述，PPS抽樣時(shí)可取6061有時(shí)，關(guān)于單元的大小只是約略知道或這個(gè)“大小”并不是用單元所含的次級(jí)單元數(shù)來表示的，而是用其它有關(guān)尺度來計(jì)量。此時(shí)，設(shè)第i單元大小的計(jì)量尺度為，則有：

這時(shí)的PPS抽樣也稱作PPZ抽樣。17有時(shí)，關(guān)于單元的大小只是約略知道或這個(gè)“6162三、多項(xiàng)抽樣的實(shí)施方法如何抽取一個(gè)不等概率樣本呢？有三種主要方法：代碼法、系統(tǒng)法及隨機(jī)系統(tǒng)法。以下的討論以PPS抽樣為例，并假定單元大小皆為整數(shù)。18三、多項(xiàng)抽樣的實(shí)施方法6263（1）代碼法(累計(jì)和法，隨機(jī)法或漢森—赫維茨法)設(shè)N不太大，且（或）為第i單元大小的度量，且為整數(shù)，對(duì)總體中的每個(gè)單元計(jì)算累計(jì)大小，得到總體所有單元代碼的累計(jì)和，對(duì)總體中每個(gè)單元確定與它相對(duì)應(yīng)的代碼范圍；在1到總的累計(jì)大小范圍內(nèi)抽取一個(gè)隨機(jī)數(shù)，該隨機(jī)數(shù)相應(yīng)的代碼范圍中的單元即為入樣單元。重復(fù)上述步驟，直到抽得n個(gè)單元為止。19（1）代碼法(累計(jì)和法，隨機(jī)法或漢森—赫維茨法)6364PPS抽樣時(shí)，單元的代碼如下表：20PPS抽樣時(shí)，單元的代碼如下表：6465（2）拉希里法（二次抽樣法）代碼法要將累計(jì)，在N不太大時(shí)是適用的，但當(dāng)N很大時(shí)，就很不方便。此時(shí)可用Lahiri（拉希里）1951年提出的方法。令每次抽取一個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)及范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)m，若，則第單元入樣；否則,重抽。此時(shí)，第i個(gè)單元的入樣概率與成正比，從而。重復(fù)這一過程，直到抽夠所需的個(gè)單元。21（2）拉希里法（二次抽樣法）6566（3）系統(tǒng)PPS抽樣方法對(duì)總體中的每個(gè)單元，計(jì)算累計(jì)大??；對(duì)總體中每個(gè)單元確定與它相對(duì)應(yīng)的代碼范圍；確定抽樣間隔k=總累計(jì)大小/n；在1和k的范圍內(nèi)確定一個(gè)隨機(jī)起點(diǎn)r；與代碼r，r+k，r+2k，…，r+（n-1）k所在范圍相對(duì)應(yīng)的單元入樣。注意，當(dāng)r+（n-1）k超過總累計(jì)大小時(shí)，應(yīng)使用圓形系統(tǒng)抽樣中的模余數(shù)法。22（3）系統(tǒng)PPS抽樣方法6667（4）隨機(jī)系統(tǒng)抽樣法在這種方法中，名錄在系統(tǒng)抽樣前要進(jìn)行隨機(jī)排序。如果完全按原來的排序，會(huì)把一些可能的樣本排除在外。在上面介紹的系統(tǒng)抽樣的例子中，不可能把單元3和4同時(shí)抽入同一個(gè)樣本。把名錄重新隨機(jī)排列后會(huì)增加潛在的可能抽到的樣本數(shù)量。實(shí)際上這些方法都有些問題。例如，對(duì)系統(tǒng)抽樣法或隨機(jī)系統(tǒng)抽樣法，一個(gè)大小大于抽樣間隔的單元，就有重復(fù)被抽中的可能。只有把這些大單元放入單獨(dú)的一個(gè)層，并獨(dú)立地對(duì)它們進(jìn)行抽樣，才能克服這個(gè)問題。另一個(gè)問題是估計(jì)值的抽樣方差估計(jì)比較困難。23（4）隨機(jī)系統(tǒng)抽樣法6768

四、估計(jì)量對(duì)于多項(xiàng)抽樣，由于抽樣是不等概率的，每個(gè)樣本單元的觀測(cè)值就不再是“平等的”，因此對(duì)于總體參數(shù)的估計(jì)與等概率抽樣不同。漢森—赫維茨提出，如果是按為入樣概率的多項(xiàng)抽樣抽得的樣本指標(biāo)值，相應(yīng)的為，則總體總和Y的無偏估計(jì)量如下：24四、估計(jì)量6869且若n〉1，則的無偏估計(jì)量為25且6970對(duì)于PPS抽樣，，所以有其中是第i個(gè)樣本單元的觀測(cè)值，例如商店的年銷售額，而是該單元的大小，例如商店的員工人數(shù)，則即是第i個(gè)商店人均年銷售額。對(duì)n個(gè)取平均即是樣本商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)人均年銷售額的平均，將此數(shù)乘以，即該地所有商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)的員工總數(shù)，即可獲得該地商業(yè)銷售總額的估計(jì)。26對(duì)于PPS抽樣，，所以有7071舉例：下表是某系統(tǒng)全部N=36個(gè)單位上一年職工人數(shù)及當(dāng)年職工人數(shù)的數(shù)據(jù)，以為單位大小的度量，對(duì)單位進(jìn)行PPS抽樣，n=6，估計(jì)全系統(tǒng)當(dāng)年職工總?cè)藬?shù)Y，并與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣做精度比較。27舉例：7172第三節(jié)不放回不等概率抽樣一、包含概率與πPS抽樣放回不等概率抽樣實(shí)施簡(jiǎn)單，數(shù)據(jù)處理也不復(fù)雜，在不等概率抽樣中占有一定的地位。但是由于放回抽樣有可能重復(fù)抽到同一單元，特別是個(gè)別大單元被重復(fù)抽到的可能性比較大，這就在一定程度上影響了樣本的代表性，降低了抽樣效率，也不易被實(shí)際工作者所接受。即使在相同樣本量下，放回抽樣的精度比不放回抽樣的差。因此，我們?nèi)杂斜匾芯坎环呕夭坏雀怕食闃?。事?shí)上，由于不放回抽樣的樣本不是獨(dú)立的，因此無論是實(shí)施還是數(shù)據(jù)處理，特別是方差估計(jì)，都要比放回的多項(xiàng)抽樣復(fù)雜得多。28第三節(jié)不放回不等概率抽樣一、包含概率與πPS7273在放回的不等概率抽樣中，每個(gè)單元的入樣概率起著關(guān)鍵作用。在不放回抽樣中，每個(gè)單元被包含到樣本的概率也即入樣概率及任意兩個(gè)單元都包含到樣本的概率都起著十分重要的作用，它們通稱為包含概率。29在放回的不等概率抽樣中，每個(gè)單元的入樣概率起著關(guān)73對(duì)于固定的n包含概率滿足以下性質(zhì)：（1）（2）（3）對(duì)于固定的n包含概率滿足以下性質(zhì)：74其中性質(zhì)1是顯然的。性質(zhì)2是對(duì)每個(gè)已在樣本中的單元而言的，固定了這個(gè)特定單元，總體中其它N-1個(gè)單元在樣本中只可能有n-1個(gè)單元，因此其中最后一個(gè)等式利用了性質(zhì)1。性質(zhì)3則直接利用性質(zhì)2：其中性質(zhì)1是顯然的。性質(zhì)2是對(duì)每個(gè)已在樣本中的單元而言的，固75與放回的PPS抽樣類似，對(duì)于不放回不等概率抽樣，我們最感興趣的是與單元大小成比例的情形。若仍記，則由性質(zhì)1有：以后我們將這種不放回的與單元大小成比例的概率抽樣稱為πPS抽樣。與放回的PPS抽樣類似，對(duì)于不放回不等概率抽樣，我們76嚴(yán)格的πPS抽樣實(shí)施起來非常復(fù)雜。事實(shí)上，只有當(dāng)n=2時(shí)，才有一些簡(jiǎn)單且實(shí)用的方法。在不放回抽樣的情形，如果抽選的單元多于一個(gè)，要使入樣概率與單元大小成正比以及對(duì)調(diào)查估計(jì)值的誤差進(jìn)行估計(jì)都比較復(fù)雜。在用不放回πPS抽樣抽取多于兩個(gè)單元時(shí)，情況就更加復(fù)雜。實(shí)際上，這仍是一個(gè)需要進(jìn)行認(rèn)真研究的問題。除了實(shí)施方面的原因外，當(dāng)n大時(shí)，的計(jì)算也極其困難，而這對(duì)于方差估計(jì)是不可少的。嚴(yán)格的πPS抽樣實(shí)施起來非常復(fù)雜。事實(shí)上，只有當(dāng)n=77

二、霍維茨—湯普森估計(jì)量及其性質(zhì)對(duì)不放回的不等概率抽樣，總體總和Y的估計(jì)采用霍維茨（Horvitz）與湯普森（Thompson）提出的以下估計(jì)量：注意這個(gè)估計(jì)量與多項(xiàng)抽樣的漢森—赫維茨估計(jì)量非常相似。事實(shí)上，對(duì)于πPS抽樣，由于，與相應(yīng)PPS抽樣的完全一致。二、霍維茨—湯普森估計(jì)量及其性質(zhì)78霍維茨—湯普森估計(jì)量具有如下性質(zhì)：（1）若，則是Y的無偏估計(jì)，且它的方差為：當(dāng)n固定時(shí)，又有霍維茨—湯普森估計(jì)量具有如下性質(zhì)：79（2）若，則是的無偏估計(jì)。又當(dāng)n固定時(shí)，以下的耶茨（Yates）—格倫迪（