第二章一維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)隨機(jī)變量第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第二章一維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)隨機(jī)變量

概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)學(xué)分析的方法來研究，因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計算，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化．當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時，就建立起了隨機(jī)變量的概念．1.為什么引入隨機(jī)變量?第一節(jié)隨機(jī)變量概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了2.隨機(jī)變量的引入實(shí)例1

在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色.S={紅色、白色}

非數(shù)量將S數(shù)量化可采用下列方法紅色白色2.隨機(jī)變量的引入實(shí)例1在一裝有紅球、白球的袋中任摸即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這樣便將非數(shù)量的S={紅色，白色}數(shù)量化了.即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這實(shí)例2

拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).S={1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有實(shí)例2拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).S={1，2，3，4，1.定義設(shè)X＝X(w)是定義在樣本空間W上的實(shí)值函數(shù)，稱X＝X(w)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量通常用大寫字母X，Y，Z，W，...等表示或希臘字母,η,ζ,….等表示。下圖給出樣本點(diǎn)w與實(shí)數(shù)X＝X(w)對應(yīng)的示意圖

Wx二、隨機(jī)變量的概念1.定義設(shè)X＝X(w)是定義在樣本空間W上的實(shí)值函數(shù)實(shí)例3

擲一個硬幣,觀察出現(xiàn)的面,共有兩個結(jié)果:若用X表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則有即X是一個隨機(jī)變量.實(shí)例3擲一個硬幣,觀察出現(xiàn)的面,共有兩個若用實(shí)例4

在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個樣本點(diǎn):若用X表示該家女孩子的個數(shù)時,則有可得隨機(jī)變量X=實(shí)例4在有兩個孩子的家庭中,考慮若用X表示該家女實(shí)例5

設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一個隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:實(shí)例6

觀察某城市的120急救電話臺一晝夜接到的呼叫次數(shù)．如果用X表示呼叫次數(shù)，那么表示一隨機(jī)事件，顯然也表示一隨機(jī)事件．實(shí)例5設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是實(shí)例7

某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機(jī)的,則是一個隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:實(shí)例7某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量是一個函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).2.說明(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個范圍更廣的概念之內(nèi).或者說:隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則是從動態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象.(3)隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系

隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定，隨機(jī)變量的某種取值都對應(yīng)一個隨機(jī)事件；而隨機(jī)變量的取值概率即為所對應(yīng)的隨機(jī)事件的概率。

隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個范圍更廣的概念之內(nèi).或者說:3.隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變量的可能取值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機(jī)變量.

觀察擲一個骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變量X

的可能取值是:隨機(jī)變量連續(xù)型實(shí)例11,2,3,4,5,6.非離散型其它3.隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變量的可能取值是實(shí)例2

若隨機(jī)變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時的射擊次數(shù)”,則X

的可能取值是:實(shí)例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機(jī)變量X記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,

則X

的所有可能取值為:實(shí)例2若隨機(jī)變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時實(shí)例1

隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機(jī)變量所取的可能值是某個區(qū)間上的任意一個實(shí)數(shù),叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為實(shí)例2

在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)地投點(diǎn)，隨機(jī)變量X為“點(diǎn)的位置（坐標(biāo)）”。則X的取值范圍為[0，1]實(shí)例1隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型X取各個可能值的概率，即事件的概率為（2.1）則稱（2.1）式為離散型隨機(jī)變量X的分布律。定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取值為第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律X取各個可能值的概率，即事件分布律也可以直觀地用下面的表格來表示：

由概率的定義知，分布律中的應(yīng)滿足以下條件：

隨機(jī)變量X的所有取值隨機(jī)變量X的各個取值所對應(yīng)的概率分布律也可以直觀地用下面的表格來表示：由概率的定義知，分布補(bǔ)例

設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，，試確定常數(shù)。解：補(bǔ)例設(shè)隨機(jī)變量的分布律為

補(bǔ)例

某系統(tǒng)有兩臺機(jī)器相互獨(dú)立地運(yùn)轉(zhuǎn)．設(shè)第一臺與第二臺機(jī)器發(fā)生故障的概率分別為0.1，0.2，以X表示系統(tǒng)中發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)，求X的分布律。

解（1）確定r.v.X的所有可能取值；（2）求X取各個可能值的概率，即求所對應(yīng)的隨機(jī)事件的概率。X=0,1,2補(bǔ)例某系統(tǒng)有兩臺機(jī)器相互獨(dú)立地運(yùn)轉(zhuǎn)．設(shè)第一臺與第二臺故X的分布律為：

故X的分布律為：解：例1X的可能取值為：0，1，2，3，4則有解：例1X的可能取值為：0，1，2，3，4則有概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件補(bǔ)例某盒產(chǎn)品中恰有8件正品，2件次品，每次從中不放回的任取一件進(jìn)行檢查，直到取到正品為止，ξ表示抽取次數(shù)，求ξ的分布律。解：ξ的可能取值為：1，2，3“第一次取到正品”

“第一次取到次品，第二次取到正品”

“前兩次均取到次品，第三次取到正品”補(bǔ)例某盒產(chǎn)品中恰有8件正品，2件次品，每次從中不放思考：

將“無放回”改成“有放回”，求ξ的分布律。

故

ξ的分布律為ξ的可能取值為：1，2，3，…思考：將“無放回”改成“有放回”，求ξ的分布律（一）（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值，它的分布律是則稱X服從（0－1）分布或兩點(diǎn)分布．

（0－1）分布的分布律也可寫成

拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面H還是反面T，正面X＝0,反面X＝1TH（一）（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值，對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即，我們總能在W上定義一個服從（0－1）分布的隨機(jī)變量．

來描述這個隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。

檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，對新生嬰兒的性別進(jìn)行登記，檢驗(yàn)種子是否發(fā)芽以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗(yàn)都可以用（0-1）分布的隨機(jī)變量來描述．對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即引例數(shù)學(xué)考試中有5個問題。這些問題可以看成是相互獨(dú)立的。某人能以0.8的概率解出每一道題目。則他能解出所有的5道題的概率是多少？他能解出5道題中的三道的概率是多少？引例數(shù)學(xué)考試中有5個問題。這些問題可以看成是相互獨(dú)立的。某人解答他能解出所有的5道題的概率是多少？能以0.8的概率解出每一道題目問題可以看成是相互獨(dú)立的解答他能解出所有的5道題的概率是多少？能以0.8的概率解出每解答能解出5道題中的三道的概率是多少？

恰能解出5道題中的前面三道的概率

恰能解出5道題中的后面三道的概率解答能解出5道題中的三道的概率是多少？ 恰能解出5道題中的前解答能解出5道題中的三道的概率是多少？1.從5道題中選出三道，可能的選法有2.他恰能解出所選出的三道的概率為能解出5道題中的三道的概率解答能解出5道題中的三道的概率是多少？1.從5道題中選出三伯努利試驗(yàn)是一種非常重要的概率模型，它是“在同樣條件下獨(dú)立地進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)或觀察”的一種數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用．設(shè)試驗(yàn)

只有兩個可能結(jié)果：及,則稱為伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)．設(shè)，此時

,將E獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).

（二）伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布伯努利試驗(yàn)是一種非常重要的概率模型，它是“在同樣條件下獨(dú)立地現(xiàn)在求Ｘ的分布律

．現(xiàn)在求Ｘ的分布律．這種項(xiàng)共有個，而且兩兩互不相容．

由試驗(yàn)的獨(dú)立性，得

同理可得上式右邊各項(xiàng)所對應(yīng)的概率均為

這種項(xiàng)共有個，而且兩兩互不相容．由試驗(yàn)的獨(dú)立性，得即

利用概率的有限可加性知

即利用概率的有限可加性知顯然

注意到剛好是二項(xiàng)式的展開式中出

～二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布顯然注意到剛好是二項(xiàng)式的展解因此例3解因此例3

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.分析例2這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)解解作出上表的圖形，如下圖所示

作出上表的圖形，如下圖所示例4

設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨(dú)立的發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法,其一是由四人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺；其二是由3人共同維護(hù)臺80。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。解按第一種方法發(fā)生故障時不能及時維修”,而不能及時維修的概率為則知80臺中發(fā)生故障以X記“一個人維護(hù)的20臺中同時發(fā)生故障的臺數(shù)”,例4設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨(dú)立的發(fā)生故障的故有即有故有即有

按第二種方法故80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為按第二種方法故80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為（三）泊松分布（三）泊松分布

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及二項(xiàng)分布

泊松分布泊松定理當(dāng)n很大，p很小（np=λ）時，有以下近似式二項(xiàng)分布

設(shè)1000只產(chǎn)品中的次品數(shù)為X,則可利用泊松定理計算所求概率為解例5

有計算機(jī)硬件公司制造某種特殊型號的微型芯片，次品率達(dá)0.1%，各芯片成為次品相互獨(dú)立。求在1000只產(chǎn)品中至少有2只次品的概率。設(shè)1000只產(chǎn)品中的次品數(shù)為X,則可實(shí)例

在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)地投點(diǎn)，隨機(jī)變量X為“點(diǎn)的位置（坐標(biāo)）”.則連續(xù)型r.v.X的取值范圍為[0，1]任取一實(shí)數(shù)01x幾何概率沒有多大的意義實(shí)例在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)地投點(diǎn)，則連續(xù)型r.v.X

為了對離散型和連續(xù)型r.v.以及其它類型的r.v.給出一種統(tǒng)一的描述方法，我們考慮一個r.v.的取值落在區(qū)間的概率。為了對離散型和連續(xù)型r.v.以及其它類型的rF(x)是r.vX取值不大于x的概率；在幾何上，它表示r.v.X的取值落在區(qū)間(-,x]的概率。第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義

其定義域是整個實(shí)數(shù)軸．F(x)是一個普通的函數(shù)，F(xiàn)(x)是r.vX取值不大于x的概率；在幾何上，它表1.2.3.對任意實(shí)數(shù)x1<x2，r.v.X的取值落在區(qū)間（

x1,x2]

的概率為：分布函數(shù)的基本性質(zhì)：

1.2.3.對任意實(shí)數(shù)x1<x2，r.v.X的取值落在區(qū)間例

拋一枚均勻硬幣,令求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解例拋一枚均勻硬幣,令求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件離散型r.v.的分布函數(shù)0110.5離散型r.v.的分布函數(shù)0110.5解例1解例1概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件也可表示為一般地，設(shè)離散型r.v.X的分布律為也可表示為一般地，設(shè)離散型r.v.X的分布律為

離散型r.v.的分布函數(shù)是一種概率的累加，是分段函數(shù)，它的圖形是階梯狀曲線，在處有跳躍，其跳躍值為。

離散型r.v.的分布函數(shù)是.例2

一個靶子是半徑為2m的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解.例2一個靶子是半徑為2m的圓盤,設(shè)擊中靶上任解于是故X的分布函數(shù)為其圖形為一連續(xù)曲線于是故X的分布函數(shù)為其圖形為一連續(xù)曲線

注意

兩類隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖形的特點(diǎn)不一樣。離散型r.v.的分布函數(shù)是分段函數(shù)；連續(xù)型r.v.的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。注意兩類隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖形的特點(diǎn)不一樣。離散型第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量定義第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量定義性質(zhì)(1),(2)是兩個最基本的性質(zhì)1性質(zhì)(1),(2)是兩個最基本的性質(zhì)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件補(bǔ)例

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度補(bǔ)例設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度0200解：0200解：概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件例1例1解解概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件注意對于任意可能值a,連續(xù)型隨機(jī)變量取a的概率等于零.即證明由此可得連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)注意對于任意可能值a,連續(xù)型隨機(jī)變量取a的概注意若X為離散型隨機(jī)變量,若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率為0的事件不一定是不可能事件概率為1的事件不一定是必然事件注意若X為離散型隨機(jī)變量,若X是連續(xù)型隨（一）均勻分布滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性質(zhì)（一）均勻分布滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性質(zhì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件解由題意,R的概率密度為故有例2

設(shè)電阻值R是一個隨機(jī)變量，均勻分布在

~1100．求R的概率密度及R落在950~1050的概率．解由題意,R的概率密度為故有例2設(shè)電阻值R是一個隨機(jī)補(bǔ)例

設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上服從均勻分布，現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測。求至少有兩次觀測值大于3的概率。設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測其測值大于3的次數(shù)，則

解：

X的概率密度函數(shù)為補(bǔ)例設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上服從均勻分布，現(xiàn)對X進(jìn)行三滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性質(zhì)（二）指數(shù)分布滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性質(zhì)（二）指數(shù)分布指數(shù)分布的概率密度及分布函數(shù)分別如圖所示

應(yīng)用某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線電元件的壽命、電力設(shè)備的壽命、動物的壽命等都服從指數(shù)分布.指數(shù)分布的概率密度及分布函數(shù)分別如圖所示應(yīng)用補(bǔ)例設(shè)某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為θ=2000的指數(shù)分布(單位:小時).(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時以上的概率.(2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000小時以上,求還能使用1000小時以上的概率.

X的分布函數(shù)為解補(bǔ)例設(shè)某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為X的分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性”.見書P46指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性”.見書P46（三）正態(tài)分布(或高斯分布)滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性質(zhì)（三）正態(tài)分布(或高斯分布)滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如正態(tài)分正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征即曲線以x軸為漸近線正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征即曲線以x軸為漸近線故稱μ為位置參數(shù)故稱μ為位置參數(shù)故稱σ為形狀參數(shù)故稱σ為形狀參數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)但正態(tài)分布的分布函數(shù)但標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函解補(bǔ)例

查p382標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表正態(tài)分布下的概率計算解補(bǔ)例查p382標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表正態(tài)分布下的概率計算概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件補(bǔ)例設(shè)X~N(0,1)，求P(|X|<1.96)解

P(|X|<1.96)=P(-1.96<X<1.96)

=2×0.975-1=0.95=Ф(1.96)-[1-Ф(1.96)]=2Ф(1.96)-1=Ф(1.96)-Ф(-1.96)補(bǔ)例設(shè)X~N(0,1)，求P(|X|<1.96解例

解例例

解例解(1)所求概率為解例3(1)所求概率為解例3概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題ＸP-10120.20.30.10.4一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例1ＸP-10120.20.30.10.4一、離散型隨機(jī)變量的函YP-20240.20.30.10.4解YP-20240.20.30.10.4解ZP0140.10.70.2ZP0140.10.70.2離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布Y的分布律為練習(xí)設(shè)解Y的分布律為練習(xí)設(shè)解

第一步

先求Y=2X+8的分布函數(shù)解二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例2第一步先求Y=2X+8的分布函數(shù)解二第二步

由分布函數(shù)求概率密度.第二步由分布函數(shù)求概率密度.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件例3解例3解概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件例4證明例4證明概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件證明X的概率密度為例4證明X的概率密度為例4概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件

解例5解例5概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布方法2注意“單調(diào)”這一條件.方法1注意y的取值范圍的確定。連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布方法2注意“單調(diào)”這一條件.方法1一、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、主要內(nèi)容三、典型例題第二章隨機(jī)變量及其分布

習(xí)

題

課一、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、主要內(nèi)容三、典型例題第二章隨機(jī)變量及其分一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)離散型r.v的分布律連續(xù)性r.v.的概率密度函數(shù)2.難點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量（的函數(shù)）的分布計算分布函數(shù)根據(jù)分布求r.v.落在某個區(qū)間的概率常用的離散型和連續(xù)型分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)離散型r.v的分布律連續(xù)性r.v.二、主要內(nèi)容隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)分布律密度函數(shù)均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定義二、主要內(nèi)容隨機(jī)變量離散型連續(xù)型隨機(jī)變量分布

隨機(jī)變量是一個函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同隨機(jī)變量隨機(jī)變量是一個函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著

隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律(3)隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系

隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個范圍更廣的概念之內(nèi).或者說:隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則是從動態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象.隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非離散型其它隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非離散型其它隨機(jī)變量所離散型隨機(jī)變量的分布律(1)定義離散型隨機(jī)變量的分布律(1)定義(2)說明(2)說明設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律為則稱X服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布.兩點(diǎn)分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律為則稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布(2)說明隨機(jī)變量的分布函數(shù)(1)定義分布函數(shù)主要研究隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況.(2)說明隨機(jī)變量的分布函數(shù)(1)定義分布函數(shù)主要研究隨即任一分布函數(shù)處處右連續(xù).(3)性質(zhì)即任一分布函數(shù)處處右連續(xù).(3)性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)(4)重要公式離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)(4)重要公式連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度(1)定義連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度(1)定義(2)性質(zhì)(2)性質(zhì)均勻分布(1)定義均勻分布(1)定義(2)分布函數(shù)(2)分布函數(shù)分布函數(shù)指數(shù)分布分布函數(shù)指數(shù)分布正態(tài)分布(或高斯分布)(1)定義正態(tài)分布(或高斯分布)(1)定義(2)分布函數(shù)(2)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為(3)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為(3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形(4)重要公式(4)重要公式隨機(jī)變量的函數(shù)的分布(1)離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布(1)離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理定理[思路]

首先根據(jù)概率分布的性質(zhì)求出常數(shù)a的值,然后確定概率分布律的具體形式,最后再計算條件概率.

利用概率分布律的性質(zhì)解三、典型例題例1[思路]首先根據(jù)概率分布的性質(zhì)求出常數(shù)a的利因此X的分布律為因此X的分布律為從而從而例2

袋中有球10個，7紅3黑，逐個隨機(jī)抽取，若取出黑球，則放入紅球取代，依次進(jìn)行，直到取到紅球?yàn)橹埂Ｇ螅?）抽取次數(shù)N的分布律；（2）N的分布函數(shù)。解N的分布律為例2袋中有球10個，7紅3黑，逐個隨機(jī)抽取，若取出黑球[思路]

首先利用分布函數(shù)的性質(zhì)求出常數(shù)a,b,再用已確定的分布函數(shù)來求分布律.解例3[思路]首先利用分布函數(shù)的性質(zhì)求出常數(shù)a,b,解概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件從而X的分布律為從而X的分布律為解例4解例4

所以X的分布函數(shù)為所以X的分布函數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件(4)或(4)或例5例5故有解(1)因?yàn)閄是連續(xù)型隨機(jī)變量,故有解(1)因?yàn)閄是連續(xù)型隨機(jī)變量,概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件[思路]例6[思路]例6解解概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件從而所求概率為從而所求概率為第二章一維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)隨機(jī)變量第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第二章一維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)隨機(jī)變量

概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)學(xué)分析的方法來研究，因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計算，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化．當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時，就建立起了隨機(jī)變量的概念．1.為什么引入隨機(jī)變量?第一節(jié)隨機(jī)變量概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了2.隨機(jī)變量的引入實(shí)例1

在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色.S={紅色、白色}

非數(shù)量將S數(shù)量化可采用下列方法紅色白色2.隨機(jī)變量的引入實(shí)例1在一裝有紅球、白球的袋中任摸即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這樣便將非數(shù)量的S={紅色，白色}數(shù)量化了.即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這實(shí)例2

拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).S={1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有實(shí)例2拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).S={1，2，3，4，1.定義設(shè)X＝X(w)是定義在樣本空間W上的實(shí)值函數(shù)，稱X＝X(w)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量通常用大寫字母X，Y，Z，W，...等表示或希臘字母,η,ζ,….等表示。下圖給出樣本點(diǎn)w與實(shí)數(shù)X＝X(w)對應(yīng)的示意圖

Wx二、隨機(jī)變量的概念1.定義設(shè)X＝X(w)是定義在樣本空間W上的實(shí)值函數(shù)實(shí)例3

擲一個硬幣,觀察出現(xiàn)的面,共有兩個結(jié)果:若用X表示擲一個硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則有即X是一個隨機(jī)變量.實(shí)例3擲一個硬幣,觀察出現(xiàn)的面,共有兩個若用實(shí)例4

在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個樣本點(diǎn):若用X表示該家女孩子的個數(shù)時,則有可得隨機(jī)變量X=實(shí)例4在有兩個孩子的家庭中,考慮若用X表示該家女實(shí)例5

設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一個隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:實(shí)例6

觀察某城市的120急救電話臺一晝夜接到的呼叫次數(shù)．如果用X表示呼叫次數(shù)，那么表示一隨機(jī)事件，顯然也表示一隨機(jī)事件．實(shí)例5設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是實(shí)例7

某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機(jī)的,則是一個隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:實(shí)例7某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量是一個函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).2.說明(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個范圍更廣的概念之內(nèi).或者說:隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則是從動態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象.(3)隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系

隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定，隨機(jī)變量的某種取值都對應(yīng)一個隨機(jī)事件；而隨機(jī)變量的取值概率即為所對應(yīng)的隨機(jī)事件的概率。

隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個范圍更廣的概念之內(nèi).或者說:3.隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變量的可能取值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機(jī)變量.

觀察擲一個骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變量X

的可能取值是:隨機(jī)變量連續(xù)型實(shí)例11,2,3,4,5,6.非離散型其它3.隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變量的可能取值是實(shí)例2

若隨機(jī)變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時的射擊次數(shù)”,則X

的可能取值是:實(shí)例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機(jī)變量X記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,

則X

的所有可能取值為:實(shí)例2若隨機(jī)變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時實(shí)例1

隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機(jī)變量所取的可能值是某個區(qū)間上的任意一個實(shí)數(shù),叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為實(shí)例2

在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)地投點(diǎn)，隨機(jī)變量X為“點(diǎn)的位置（坐標(biāo)）”。則X的取值范圍為[0，1]實(shí)例1隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型X取各個可能值的概率，即事件的概率為（2.1）則稱（2.1）式為離散型隨機(jī)變量X的分布律。定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取值為第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律X取各個可能值的概率，即事件分布律也可以直觀地用下面的表格來表示：

由概率的定義知，分布律中的應(yīng)滿足以下條件：

隨機(jī)變量X的所有取值隨機(jī)變量X的各個取值所對應(yīng)的概率分布律也可以直觀地用下面的表格來表示：由概率的定義知，分布補(bǔ)例

設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，，試確定常數(shù)。解：補(bǔ)例設(shè)隨機(jī)變量的分布律為

補(bǔ)例

某系統(tǒng)有兩臺機(jī)器相互獨(dú)立地運(yùn)轉(zhuǎn)．設(shè)第一臺與第二臺機(jī)器發(fā)生故障的概率分別為0.1，0.2，以X表示系統(tǒng)中發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)，求X的分布律。

解（1）確定r.v.X的所有可能取值；（2）求X取各個可能值的概率，即求所對應(yīng)的隨機(jī)事件的概率。X=0,1,2補(bǔ)例某系統(tǒng)有兩臺機(jī)器相互獨(dú)立地運(yùn)轉(zhuǎn)．設(shè)第一臺與第二臺故X的分布律為：

故X的分布律為：解：例1X的可能取值為：0，1，2，3，4則有解：例1X的可能取值為：0，1，2，3，4則有概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件補(bǔ)例某盒產(chǎn)品中恰有8件正品，2件次品，每次從中不放回的任取一件進(jìn)行檢查，直到取到正品為止，ξ表示抽取次數(shù)，求ξ的分布律。解：ξ的可能取值為：1，2，3“第一次取到正品”

“第一次取到次品，第二次取到正品”

“前兩次均取到次品，第三次取到正品”補(bǔ)例某盒產(chǎn)品中恰有8件正品，2件次品，每次從中不放思考：

將“無放回”改成“有放回”，求ξ的分布律。

故

ξ的分布律為ξ的可能取值為：1，2，3，…思考：將“無放回”改成“有放回”，求ξ的分布律（一）（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值，它的分布律是則稱X服從（0－1）分布或兩點(diǎn)分布．

（0－1）分布的分布律也可寫成

拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面H還是反面T，正面X＝0,反面X＝1TH（一）（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值，對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即，我們總能在W上定義一個服從（0－1）分布的隨機(jī)變量．

來描述這個隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。

檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，對新生嬰兒的性別進(jìn)行登記，檢驗(yàn)種子是否發(fā)芽以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗(yàn)都可以用（0-1）分布的隨機(jī)變量來描述．對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即引例數(shù)學(xué)考試中有5個問題。這些問題可以看成是相互獨(dú)立的。某人能以0.8的概率解出每一道題目。則他能解出所有的5道題的概率是多少？他能解出5道題中的三道的概率是多少？引例數(shù)學(xué)考試中有5個問題。這些問題可以看成是相互獨(dú)立的。某人解答他能解出所有的5道題的概率是多少？能以0.8的概率解出每一道題目問題可以看成是相互獨(dú)立的解答他能解出所有的5道題的概率是多少？能以0.8的概率解出每解答能解出5道題中的三道的概率是多少？

恰能解出5道題中的前面三道的概率

恰能解出5道題中的后面三道的概率解答能解出5道題中的三道的概率是多少？ 恰能解出5道題中的前解答能解出5道題中的三道的概率是多少？1.從5道題中選出三道，可能的選法有2.他恰能解出所選出的三道的概率為能解出5道題中的三道的概率解答能解出5道題中的三道的概率是多少？1.從5道題中選出三伯努利試驗(yàn)是一種非常重要的概率模型，它是“在同樣條件下獨(dú)立地進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)或觀察”的一種數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用．設(shè)試驗(yàn)

只有兩個可能結(jié)果：及,則稱為伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)．設(shè)，此時

,將E獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).

（二）伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布伯努利試驗(yàn)是一種非常重要的概率模型，它是“在同樣條件下獨(dú)立地現(xiàn)在求Ｘ的分布律

．現(xiàn)在求Ｘ的分布律．這種項(xiàng)共有個，而且兩兩互不相容．

由試驗(yàn)的獨(dú)立性，得

同理可得上式右邊各項(xiàng)所對應(yīng)的概率均為

這種項(xiàng)共有個，而且兩兩互不相容．由試驗(yàn)的獨(dú)立性，得即

利用概率的有限可加性知

即利用概率的有限可加性知顯然

注意到剛好是二項(xiàng)式的展開式中出

～二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布顯然注意到剛好是二項(xiàng)式的展解因此例3解因此例3

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.分析例2這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)解解作出上表的圖形，如下圖所示

作出上表的圖形，如下圖所示例4

設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨(dú)立的發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法,其一是由四人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺；其二是由3人共同維護(hù)臺80。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。解按第一種方法發(fā)生故障時不能及時維修”,而不能及時維修的概率為則知80臺中發(fā)生故障以X記“一個人維護(hù)的20臺中同時發(fā)生故障的臺數(shù)”,例4設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨(dú)立的發(fā)生故障的故有即有故有即有

按第二種方法故80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為按第二種方法故80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為（三）泊松分布（三）泊松分布

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及二項(xiàng)分布

泊松分布泊松定理當(dāng)n很大，p很?。╪p=λ）時，有以下近似式二項(xiàng)分布

設(shè)1000只產(chǎn)品中的次品數(shù)為X,則可利用泊松定理計算所求概率為解例5

有計算機(jī)硬件公司制造某種特殊型號的微型芯片，次品率達(dá)0.1%，各芯片成為次品相互獨(dú)立。求在1000只產(chǎn)品中至少有2只次品的概率。設(shè)1000只產(chǎn)品中的次品數(shù)為X,則可實(shí)例

在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)地投點(diǎn)，隨機(jī)變量X為“點(diǎn)的位置（坐標(biāo)）”.則連續(xù)型r.v.X的取值范圍為[0，1]任取一實(shí)數(shù)01x幾何概率沒有多大的意義實(shí)例在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)地投點(diǎn)，則連續(xù)型r.v.X

為了對離散型和連續(xù)型r.v.以及其它類型的r.v.給出一種統(tǒng)一的描述方法，我們考慮一個r.v.的取值落在區(qū)間的概率。為了對離散型和連續(xù)型r.v.以及其它類型的rF(x)是r.vX取值不大于x的概率；在幾何上，它表示r.v.X的取值落在區(qū)間(-,x]的概率。第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義

其定義域是整個實(shí)數(shù)軸．F(x)是一個普通的函數(shù)，F(xiàn)(x)是r.vX取值不大于x的概率；在幾何上，它表1.2.3.對任意實(shí)數(shù)x1<x2，r.v.X的取值落在區(qū)間（

x1,x2]

的概率為：分布函數(shù)的基本性質(zhì)：

1.2.3.對任意實(shí)數(shù)x1<x2，r.v.X的取值落在區(qū)間例

拋一枚均勻硬幣,令求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解例拋一枚均勻硬幣,令求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件離散型r.v.的分布函數(shù)0110.5離散型r.v.的分布函數(shù)0110.5解例1解例1概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件也可表示為一般地，設(shè)離散型r.v.X的分布律為也可表示為一般地，設(shè)離散型r.v.X的分布律為

離散型r.v.的分布函數(shù)是一種概率的累加，是分段函數(shù)，它的圖形是階梯狀曲線，在處有跳躍，其跳躍值為。

離散型r.v.的分布函數(shù)是.例2

一個靶子是半徑為2m的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解.例2一個靶子是半徑為2m的圓盤,設(shè)擊中靶上任解于是故X的分布函數(shù)為其圖形為一連續(xù)曲線于是故X的分布函數(shù)為其圖形為一連續(xù)曲線

注意

兩類隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖形的特點(diǎn)不一樣。離散型r.v.的分布函數(shù)是分段函數(shù)；連續(xù)型r.v.的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。注意兩類隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖形的特點(diǎn)不一樣。離散型第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量定義第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量定義性質(zhì)(1),(2)是兩個最基本的性質(zhì)1性質(zhì)(1),(2)是兩個最基本的性質(zhì)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件補(bǔ)例

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度補(bǔ)例設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度0200解：0200解：概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件例1例1解解概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件注意對于任意可能值a,連續(xù)型隨機(jī)變量取a的概率等于零.即證明由此可得連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)注意對于任意可能值a,連續(xù)型隨機(jī)變量取a的概注意若X為離散型隨機(jī)變量,若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率為0的事件不一定是不可能事件概率為1的事件不一定是必然事件注意若X為離散型隨機(jī)變量,若X是連續(xù)型隨（一）均勻分布滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性質(zhì)（一）均勻分布滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性質(zhì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件解由題意,R的概率密度為故有例2

設(shè)電阻值R是一個隨機(jī)變量，均勻分布在

~1100．求R的概率密度及R落在950~1050的概率．解由題意,R的概率密度為故有例2設(shè)電阻值R是一個隨機(jī)補(bǔ)例

設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上服從均勻分布，現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測。求至少有兩次觀測值大于3的概率。設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測其測值大于3的次數(shù)，則

解：

X的概率密度函數(shù)為補(bǔ)例設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上服從均勻分布，現(xiàn)對X進(jìn)行三滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性質(zhì)（二）指數(shù)分布滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性質(zhì)（二）指數(shù)分布指數(shù)分布的概率密度及分布函數(shù)分別如圖所示

應(yīng)用某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線電元件的壽命、電力設(shè)備的壽命、動物的壽命等都服從指數(shù)分布.指數(shù)分布的概率密度及分布函數(shù)分別如圖所示應(yīng)用補(bǔ)例設(shè)某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為θ=2000的指數(shù)分布(單位:小時).(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時以上的概率.(2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000小時以上,求還能使用1000小時以上的概率.

X的分布函數(shù)為解補(bǔ)例設(shè)某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為X的分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性”.見書P46指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性”.見書P46（三）正態(tài)分布(或高斯分布)滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性質(zhì)（三）正態(tài)分布(或高斯分布)滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個最基本性

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如正態(tài)分正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征即曲線以x軸為漸近線正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征即曲線以x軸為漸近線故稱μ為位置參數(shù)故稱μ為位置參數(shù)故稱σ為形狀參數(shù)故稱σ為形狀參數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)但正態(tài)分布的分布函數(shù)但標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函解補(bǔ)例

查p382標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表正態(tài)分布下的概率計算解補(bǔ)例查p382標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表正態(tài)分布下的概率計算概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件補(bǔ)例設(shè)X~N(0,1)，求P(|X|<1.96)解

P(|X|<1.96)=P(-1.96<X<1.96)

=2×0.975-1=0.95=Ф(1.96)-[1-Ф(1.96)]=2Ф(1.96)-1=Ф(1.96)-Ф(-1.96)補(bǔ)例設(shè)X~N(0,1)，求P(|X|<1.96解例

解例例

解例解(1)所求概率為解例3(1)所求概率為解例3概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題ＸP-10120.20.30.10.4一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例1ＸP-10120.20.30.10.4一、離散型隨機(jī)變量的函YP-20240.20.30.10.4解YP-20240.20.30.10.4解ZP0140.10.70.2ZP0140.10.70.2離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布Y的分布律為練習(xí)設(shè)解Y的分布律為練習(xí)設(shè)解

第一步

先求Y=2X+8的分布函數(shù)解二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例2第一步先求Y=2X+8的分布函數(shù)解二第二步

由分布函數(shù)求概率密度.第二步由分布函數(shù)求概率密度.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件例3解例3解概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件例4證明例4證明概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件證明X的概率密度為例4證明X的概率密度為例4概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件

解例5解例5概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課件連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布方法2注意“單調(diào)”這一條件.