全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）求二項(xiàng)式展開后的某項(xiàng)一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、二項(xiàng)式Q+b＞,Gn*）展開式+Cran-rbr+ +Cnbn，從恒等式中我們nn可以發(fā)現(xiàn)這樣幾個(gè)特點(diǎn)（1）（a+b＞完全展開后的項(xiàng)數(shù)為（n+1）（2）展開式按照a的指數(shù)進(jìn)行降冪排列，對(duì)于展開式中的每一項(xiàng)，a,b的指數(shù)呈此消彼長(zhǎng)的特點(diǎn)。指數(shù)和為n（3）在二項(xiàng)式展開式中由于按a的指數(shù)進(jìn)行降冪排列，所以規(guī)定“+”左邊的項(xiàng)視為a，右邊的項(xiàng)為b，比如：（x+1＞與（1+辦雖然恒等，但是展開式卻不同，前者按x的指數(shù)降幕排列，后者按1的指數(shù)降幕排列。如果是（a-b＞，則視為［a+（-b）］n進(jìn)行展開（4）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式T「Cran-rbr（注意是第r+1項(xiàng)）2、二項(xiàng)式系數(shù)：項(xiàng)前面的C0,c1,,Cn稱為二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的nn n和為2n …二項(xiàng)式系數(shù)的來源：多項(xiàng)式乘法的理論基礎(chǔ)是乘法的運(yùn)算律（分配律，交換律，結(jié)合律），所以在展開時(shí)有這樣一個(gè)特征：每個(gè)因式都必須出項(xiàng)，并且只能出一項(xiàng)，將每個(gè)因式所出的項(xiàng)乘在一起便成為了展開時(shí)中的某項(xiàng)。對(duì)于（a+b）可看作是n個(gè)（a+b）相乘，對(duì)于an-rbr意味著在這n個(gè)（a+b）中，有（n-r）個(gè)式子出a，剩下r個(gè)式子出b，那么這種出法一共有c,種。所以二項(xiàng)式展開式的每一項(xiàng)都可看做是一個(gè)組合問題。而二項(xiàng)式系數(shù)便是這個(gè)組合問題的結(jié)果。全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）3、系數(shù)：是指該項(xiàng)經(jīng)過化簡(jiǎn)后項(xiàng)前面的數(shù)字因數(shù)注：（1）在二項(xiàng)式定理中要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)。二項(xiàng)式系數(shù)是展開式通項(xiàng)公式中的0，對(duì)于確定的一個(gè)二項(xiàng)式，二項(xiàng)式系數(shù)只由,決定。而系數(shù)是指展開并化簡(jiǎn)后最后項(xiàng)前面的因數(shù)，其構(gòu)成一方面是二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)還有項(xiàng)本身的系數(shù)。例如：（2X+11展開式中第三項(xiàng)為T=02.（2J.12，其中02為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而T=02.（2J.12=80X3353535化簡(jiǎn)后的結(jié)果80為該項(xiàng)的系數(shù)（2）二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念不同，但在某些情況下可以相等：當(dāng)二項(xiàng)式中每項(xiàng)的系數(shù)均為1時(shí)（排除項(xiàng)本身系數(shù)的干擾），則展開后二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同。例如（X+1）5展開式的第三項(xiàng)為T3=052.（x）3.12，可以計(jì)算出二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)均為103、有理項(xiàng)：系數(shù)為有理數(shù)，次數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)，比如2x2,1就是有理項(xiàng)，5x而3X，五x就不是有理項(xiàng)。4、（a+b）與（a-b）的聯(lián)系：首先觀察他們的通項(xiàng)公式：(a+b>：T=Can-rbrr+1 n(a-b)n：T,=Cran-(a+b>：T=Can-rbrr+1 n兩者對(duì)應(yīng)項(xiàng)的構(gòu)成是相同的，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)。其絕對(duì)值相等。所以在考慮（a-b＞系數(shù)的絕對(duì)值問題時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為求（a+b）n系數(shù)的問題5、二項(xiàng)式系數(shù)的最大值：在C0,C1,,Cn中，數(shù)值最大的位于這列數(shù)的

nn n中間位置。若n為奇數(shù)（共有偶數(shù)項(xiàng)）則最大值為中間兩個(gè)，例如n二5時(shí)，最大項(xiàng)為C廠C;若n為偶數(shù)（共有奇數(shù)數(shù)項(xiàng)），則最大值為中間項(xiàng)，例如n=6時(shí)，最大項(xiàng)為C36

全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）證明：在c0,C1,,C，中的最大項(xiàng)首先要比相鄰的兩項(xiàng)大，所以不妨設(shè)最nn n大項(xiàng)為Cr，則有nC大項(xiàng)為Cr，則有nCr>Cr-1Cr>Cr+1r!(n-r)!(r-1)!「n-(r-1)]!n!n!>r!(n-r)!(r+1)![n-(r+1)]!’1 1—> rn+1-rnV'>上、n—rr+1r<"1所以解得：J2即n-i<r<"1n--1 2——2r> [2所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)（n=2k-1）,不等式變?yōu)閗-1<r<k，即r=k-1或r=k為中間項(xiàng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)（n=2k）,不等式變?yōu)閗-1<r<k+1，即r=k為中間項(xiàng)2 26、系數(shù)的最大值：由于系數(shù)受二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)自身系數(shù)影響，所以沒有固定的結(jié)論，需要計(jì)算所得，大致分為兩種情況：（_+_>型：不妨設(shè)項(xiàng)/^的系數(shù)為P+1，則理念與二項(xiàng)式系數(shù)最值類似，最大值首先要比相鄰項(xiàng)大，所以有!P+1>P ，再根據(jù)通項(xiàng)公式代入解1P+1>P+2不等式即可（_-_）n型：其展開式的特點(diǎn)為項(xiàng)的符號(hào)有正有負(fù)，所以在解決此類問題時(shí)有兩種方法：一種是只選取其中的正項(xiàng)進(jìn)行比較，但序數(shù)相隔。即|P+1>P-1，在運(yùn)算上較為復(fù)雜；一種是先考慮系數(shù)絕對(duì)值的最大值，IP>Prr+1r+3從而把問題轉(zhuǎn)化為（_+_>的最大值問題，然后在考慮符號(hào)確定系數(shù)最大值。例1:二項(xiàng)式f±-AT展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 （2妖）

全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）方法一：思路：考慮先求出此二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，金的指數(shù)為0，求出廠的值再代入計(jì)算即可解：T =解：T =Crr+1 8一廠3IJ(1丫一(DCX8-r.廠3r依題意可得：8一一，=0nr=63?(-1>C6=78方法二：思路：對(duì)（x一」T中的8個(gè)（X一X]因式所出的項(xiàng)進(jìn)行分配，126J 12亦J若最后結(jié)果為常數(shù)項(xiàng)，則需要兩個(gè)式子出x，六個(gè)式子出一X相乘，2 3x所以常數(shù)項(xiàng)為：C2（X]2（一-X]6=7812乂/J答案：7小煉有話說：通過本題說明求二項(xiàng)式展開式中某項(xiàng)的兩種主流方法：一是通過通項(xiàng)公式，先化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，再利用題目中所求項(xiàng)的特征求出r的值，進(jìn)而求解；二是分析展開式中每一項(xiàng)構(gòu)成的本質(zhì)，即每一個(gè)因式僅出一項(xiàng)，然后相乘得到，從而將尋找所求項(xiàng)需要的出項(xiàng)方案，將其作為一個(gè)組合問題求解。例2：在（x2+1]6的展開式中，x3的系數(shù)是 I xJ思路一：考慮二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式=Crx12-3r6T二Cr(x2)6-r(x_1：T二Crx2(=Crx12-3r6由所求可得：12-3r=3nr=3 ;.T=C3x3=20x3

全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編(附詳解)思路二：可將其視為6個(gè)因式出項(xiàng)的問題，若要湊成X3,需要3個(gè)X2,3個(gè)1X所以該項(xiàng)為：03Q)fU=20X36IX)答案：20小煉有話說：利用二項(xiàng)式定理求某項(xiàng)，通常兩種思路：一種是利用二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件求出廠的值再求出該項(xiàng)；另一種是將問題轉(zhuǎn)化為因式如何安排出項(xiàng)的問題。例3:若二項(xiàng)式fX-117的展開式中的第四項(xiàng)等于 7，則X的值是IX)思路：條件中涉及到項(xiàng)的序數(shù)，那么只能考慮利用通項(xiàng)公式：T =T =CrX7-rr+1 7，第四項(xiàng)中r=3答案：X=-15例4:已知fx+工]9Iax例4:已知fx+工]9Iax)的展開式中X3項(xiàng)的系數(shù)為-21,則實(shí)數(shù)a的值為思路：先利用通項(xiàng)公式求出X3的項(xiàng)，在利用系數(shù)的條件求出a的值即可解：——f1￥二.T=C3—X34 91a)84=—X3

a384X9-2r答案：a=-2全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編(附詳解)例5:已知二項(xiàng)式(%+2)n的展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是16，則展開X式中的常數(shù)項(xiàng)是—思路：要想求得展開式的某項(xiàng)，首先要先確定n的取值，先利用二項(xiàng)式系數(shù)和求出n：2n=16即n=4，再求(X+2)4展開式的常數(shù)項(xiàng)為X(2丫…C2X2—=244IX)答案：24例6：(1+%+X2)(1.x)的展開式中，X4項(xiàng)的系數(shù)為思路：已知表達(dá)式展開式中的每一項(xiàng)由兩部分相乘而成，要想湊得X4，不妨從其中一個(gè)式子切入進(jìn)行分類討論(以(1+X+X2)為例)1：(1+X+X2)出1，則(1.x)出X4，該項(xiàng)為：1.C4-1-(-X>=5X42：(1+X+X2)出X，則(1-x)出X3，該項(xiàng)為：X.C3.12?(-X)=-10X43：(1+X+X2)出X2，則(1-x)出X2，該項(xiàng)為：X2.C2.13.(-X)2=10X45綜上所述：合并后的X4項(xiàng)的系數(shù)為5例7：(x2-X+1)0展開式中X3項(xiàng)的系數(shù)為( )A.-210 B.210 C.30D.-30思路：本題不利于直接展開所有項(xiàng)，所以考慮將其轉(zhuǎn)化為10個(gè)因式如何分配所出項(xiàng)的問題：若要湊成X3有以下幾種可能：(1)：1個(gè)x2，1個(gè)(-x)，8個(gè)1，所得項(xiàng)為：q0x2C(-x).C;18=-90X3(2)：3個(gè)(-x)，7個(gè)1，所得項(xiàng)為：C3(-X卜C717=-120X310 7所以X3項(xiàng)的系數(shù)為-210

全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）答案：AA.324展開式中，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（A.324展開式中，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（B.4）項(xiàng)C.5D.7思路：有理項(xiàng)是指變量的指數(shù)是整數(shù)，所以考慮從通項(xiàng)公式入手：241=Cr X424241=Cr X424—r24V需要讓6-3reZJ，則r=Crx6-4r，其中r=0,1,2,,24,r的取值只24r=0,4,8,12,16,20,24，所以共有7個(gè)有理項(xiàng)小煉有話說：在整理通項(xiàng)公式時(shí)可將x的根式（或倒數(shù)）轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，方便進(jìn)行化簡(jiǎn)。例9：二項(xiàng)式（2X+1＞展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為思路：考慮（2X+1）8展開式的通項(xiàng)公式為T=28-rCrX8-r，其系數(shù)設(shè)為Pr+1rr+1即P+「即P+「28-（；，若要P+1最大，則首先要大于相鄰項(xiàng)，即＜P>Pr+1 rP>Pr+1 r+2，代入解得r的范圍即可確定出r的值，從而求出該項(xiàng)解：T]=Cr(2X)8-r.1r=28-rCrX8-r設(shè)T1項(xiàng)的系數(shù)為P=28-rCr若P+最大，則｛r+128-r若P+最大，則｛r+128-rCr>28-(r-1)Cr-128-r288!r!(8—r)!8!r!(8-r)!>29>27r+28!28-rCr>28-(r+1)Cr+1(r-1)!(9-r)!nv8!(r+1)!(7-r)!’1、2r~9-r3>JL〔8-rr+1解得：2<r<3全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編(附詳解),經(jīng)檢驗(yàn)：系數(shù)最大的項(xiàng)為T=74=1792元5答案：1792x5aio10TOC\o"1-5"\h\z例10:已知式?=a+axbax+0 1 2aio10(1+X)(1-2x)9=(1_%)10式%)+h(x)，則a9=( )A.0B.10義219 C,-10義218 D.A.0-3義218思路：由條件中恒等式的特點(diǎn)可得對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等在(1-x)0g(x)中，與a9相關(guān)的最高次項(xiàng)為x19，故以此為突破口求a9，等式左邊x19的系數(shù)為(-2)9+%(-2)8，而右邊x19的系數(shù)為4+a10.C,B，所以a9+%。.C(11P(=2-19很R」,只需再求出a10即可，同樣選