全等三角形難題(含答案)全等三角形難題(含答案)全等三角形難題(含答案)全等三角形難題(含答案)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:全等三角形難題(含答案)已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求ADAADBC解：延長(zhǎng)AD到E,使AD=DE∵D是BC中點(diǎn)∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=2已知：D是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，求證：DADABC∵DP=DC,DA=DB∴ACBP為平行四邊形又∠ACB=90∴平行四邊形ACBP為矩形∴AB=CP=1/2AB已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：∠1=∠2

ABABCDEF21∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF(邊角邊)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF連接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF?！摺螦BC=∠AED?！唷螦BE=∠AEB。∴AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。

∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。已知：∠1=∠2，CD=DE，EFBACDF21EA如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠BACDF21EA在BC上截取BF=AB，連接EF∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∵AB知：ABDCDCBAFEABCDP是∠BAC平分線AD上一點(diǎn)，AC>AB，求證：PC-PB<AC-ABPPDACB在AC上取點(diǎn)E，

使AE＝AB。

∵AE＝AB

AP＝AP

∠EAP＝∠BAE，

∴△EAP≌△BAP

∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE

∴PC＜（AC－AE）＋PB

∴PC－PB＜AC－AB。已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE證明：

在AC上取一點(diǎn)D，使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；

∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

∴AB=AD

∴AC–AB=AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分線，

∴AE垂直BD

∵BE⊥AE

∴點(diǎn)E一定在直線BD上，

在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD

∴點(diǎn)E也是BD的中點(diǎn)

∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB

∴AC-AB=2BE已知，E是AB中點(diǎn)，AF=BD，BD=5，AC=7，求DCFAEDCB

∵作AG∥BD交DE延長(zhǎng)線于G

∴AGE全等BDE

∴AG=BD=5

∴AGF∽CDFFAEDCB18．如圖，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求證：AD⊥BC．解：延長(zhǎng)AD至BC于點(diǎn)E,

∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形

∴∠DBC=∠DCB

又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2

即∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等腰三角形

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

｛AB=AC

∠1=∠2

BD=DC

∴△ABD和△ACD是全等三角形（邊角邊）

∴∠BAD=∠CAD

∴AE是△ABC的中垂線

∴AE⊥BC

∴AD⊥BC19．如圖，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B為垂足，AB交OM于點(diǎn)N．求證：∠OAB=∠OBA證明：∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵M(jìn)A⊥OP，MB⊥OQ∴∠MAO＝∠MBO＝90∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM（AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON∴△AON≌△BON（SAS）∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB20．（5分）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．做BE的延長(zhǎng)線，與AP相交于F點(diǎn)，∵PA27、（10分）如圖：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中點(diǎn)。求證：BD⊥AC?！摺鰽BD和△BCD的三條邊都相等

∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD

∴∠ADB=∠CDB=90°

∴BD⊥AC28、（10分）AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證：BF=CF在△ABD與△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF與△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29、（12分）如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。∵AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE30.公園里有一條“Z”字形道路ABCD，如圖所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BE＝CF，M在BC的中點(diǎn)，試說明三只石凳E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上.證明：連接EF

∵AB∥CD

∴∠B=∠C

∵M(jìn)是BC中點(diǎn)

∴BM=CM

在△BEM和△CFM中

BE=CF

∠B=∠C

BM=CM

∴△BEM≌△CFM（SAS）

∴CF=BE

31．已知：點(diǎn)A、F、E、C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．∵AF=CE,FE=EF.

∴AE=CF.

∵DF知：如圖所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分別是DC、BC的中點(diǎn)，求證：AE＝AF。DDBCcAFE連接BD；

∵AB=ADBC=D

∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;兩角相加，∠ADC=∠ABC；

∵BC=DCE\F是中點(diǎn)

∴DE=BF；

∵AB=ADDE=BF

∠ADC=∠ABC

∴AE=AF。

33．如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，求證:∠5=∠6．證明：在△ADC，△ABC中∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA∴△ADC≌△ABC（兩角加一邊）∵AB=AD，BC=CD在△DEC與△BEC中∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD∴△DEC≌△BEC（兩邊夾一角）∴∠DEC=∠BEC34．∵AD=DF

∴AC=DF

∵ABACBDEFAEBDCF知：如圖,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BCACBDEFAEBDCFDDCBAE∵AD⊥AB

∴∠BAC=∠ADE

又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E

根據(jù)三角形角度之和等于180度

∴∠ABC=∠DAE

∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）

∴AD=AB=538．如圖：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC證明：

∵AB=AC∴∠B=∠C∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥AC∴∠BEM=∠CFM=90°在△BME和△CMF中∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF∴△BME≌△CMF（AAS）∴MB=MC．39.如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：①②③④⑤．請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的結(jié)論（只需寫出一種情況），并加以證明．已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA

求證：△DAB≌△CBA

證明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA

又∵AB=AB

∴△DAB≌△CBA40．在△ABC中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①≌②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說明理由.（1）

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE41．如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BFAAEBMCF（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF；（2）如圖，根據(jù)（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（對(duì)頂角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．42．如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。證明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN43．如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EF在△ABF和△CDE中,AB=DE∠A=∠DAF=CD∴△ABF≡△CDE（邊角邊）∴FB=CE在四邊形BCEF中FB=CEBC=EF∴四邊形BCEF是平行四邊形∴BC‖EF44．如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎請(qǐng)說明理由在AB上取點(diǎn)N,使得AN=AC∵∠CAE=∠EAN

∴AE為公共,

∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN∵BE為公共邊

∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD45、（10分）如圖,已知:AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．證明：

∵AD是△ABC的中線

BD=CD

∵DF=DE（已知）

∠BDE=∠FDC

∴△BDE≌△FDC

則∠EBD=∠FCD

∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。46、(10分)已知：如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，．求證：．AADECBF證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠CED=∠AFB=90o又∵AB=CD，BF=DE∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）∴AF=CE∠BAF=∠DCE∴ABACACEDBCE>DE。當(dāng)∠AEB越小，則DE越小。證明：過D作AE平行線與AC交于F，連接FB由已知條件知AFDE為平行四邊形，ABEC為矩形，且△DFB為等腰三角形。RT△BAE中，∠AEB為銳角，即∠AEB<90°∵DFAABECD∵AB=DC,AC=DB，BC=BC∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB又∵BE=CE，AB=