第十章概率10.1隨機事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件素養(yǎng)目標?定方向素養(yǎng)目標學(xué)法指導(dǎo).理解樣本點和有限樣本空間的含義.(數(shù)學(xué)抽象).理解隨機事件與樣本點的關(guān)系.(邏輯推理).類比集合的有關(guān)概念來認識樣本空間..類比集合與集合之間的關(guān)系來認識隨機事件.必備知識?探新知知識點1隨機試驗及樣本空間1．隨機試驗的概念和特點(1)隨機試驗：我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E來表示.(2)隨機試驗的特點：①試驗可以在相同條件下—重復(fù)—進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個;③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果2．樣本點和樣本空間定義字母表示樣本點我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點用_w__表示樣本點樣本空間全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間用__Q_表示樣本空間有限樣本空間如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果w1,w2，…，wn，則稱樣本空間Q={w1,w2，…，wn}為有限樣本Q={w1,w2，…，wn}n}空間知識點2三種事件的定義隨機 我們將樣本空間Q的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含事件個__樣本點的事件稱為基本事件，隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示.在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生必然事件Q作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以?？倳l(fā)生，我們稱。為必然事件不可能事件空集0不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱0為不可能事件［知識解讀］1.隨機試驗的三個特點(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.2．關(guān)于樣本點和樣本空間(1)樣本點是指隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間；(2)只討論樣本空間為有限集的情況，即有限樣本空間.3．事件與基本事件(1)隨機事件是樣本空間的子集.隨機事件是由若干個基本事件構(gòu)成的，當(dāng)然，基本事件也是隨機事件.(2)必然事件與不可能事件不具有隨機性，是隨機事件的兩個極端情形.關(guān)鍵能力?攻重難題型探究題型一事件類型的判斷■典例1在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機事件？(1)如果a、b都是實數(shù)，那么a+b=b+a；(2)從分別標有1,2,3,4,5,6的6張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，得?號簽；(3)沒有水分，種子發(fā)芽；(4)某電話總機在60秒內(nèi)接到至少15個電話；(5)在標準大氣壓下，水的溫度達到50℃時會沸騰；(6)同性電荷相互排斥.［分析］依據(jù)事件的分類及其定義，在給出的條件下，判斷事件是否發(fā)生.［解析］結(jié)合必然事件、不可能事件、隨機事件的定義可知.(1)對任意實數(shù)，都滿足加法的交換律，故此事件是必然事件.(2)從6張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼玫?號簽，此事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故此事件是隨機事件.(3)適宜的溫度和充足的水分，是種子萌發(fā)不可缺少的兩個條件，沒有水分，種子就不可能發(fā)芽，故此事件是不可能事件.(4)電話總機在60秒內(nèi)接到至少15個電話，此事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故此事件是隨機事件.(5)在標準大氣壓下，水的溫度達到100℃時，開始沸騰，水溫達到50℃，水不會沸騰，故此事件是不可能事件.(6)根據(jù)“同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引”的原理判斷，該事件是必然事件.［歸納提升］判斷一個事件是隨機事件、必然事件還是不可能事件，首先一定要看條件，其次是看在該條件下所研究的事件是一定發(fā)生(必然事件)、不一定發(fā)生(隨機事件)，還是一定不發(fā)生(不可能事件).【對點練習(xí)】?指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機事件：(1)我國東南沿海某地明年將受到3次冷空氣的侵襲；(2)拋擲硬幣10次，至少有一次正面向上；(3)同一門炮向同一目標發(fā)射多枚炮彈，其中50%的炮彈擊中目標.［解析］(1)我國東南沿海某地明年可能受到3次冷空氣侵襲，也可能不是3次，是隨機事件.(2)拋擲硬幣10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是隨機事件.(3)同一門炮向同一目標發(fā)射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是隨機事件.題型二確定試驗的樣本空間■典例2下列隨機事件中，一次試驗各指什么？試寫出試驗的樣本空間.(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣多次；(2)從集合A={a,b,c,d}中任取3個元素；(3)從集合A={a,b,c,d}中任取2個元素.［解析］(1)一次試驗是指“先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次”，試驗的樣本空間為：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}.(2)一次試驗是指“從集合A中一次選取3個元素組成集合”，試驗的樣本空間為：{(a,b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}.⑶一次試驗是指“從集合A中一次選取2個元素”，試驗的樣本空間為：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.［歸納提升］不重不漏地列舉試驗的所有樣本點的方法(1)結(jié)果是相對于條件而言的，要弄清試驗的結(jié)果，必須首先明確試驗中的條件.(2)根據(jù)日常生活經(jīng)驗，按照一定的順序列舉出所有可能的結(jié)果，可應(yīng)用畫樹狀圖、列表等方法解決.【對點練習(xí)】?袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球，分別寫出以下隨機試驗的條件和樣本空間.(1)從中任取1球；(2)從中任取2球.［解析］ (1)條件為：從袋中任取1球.樣本空間為{紅，白，黃，黑}.(2)條件為：從袋中任取2球.若記(紅，白)表示一次試驗中，取出的是紅球與白球，樣本空間為{(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)}.題型三隨機事件的表示■典例3-個口袋內(nèi)裝有除顏色外完全相同的5個球，其中3個白球，2個黑球，從中一次摸出2個球.(1)一共有多少個樣本點？(2)寫出“2個球都是白球”這一事件的集合表示.［解析］(1)分別記白球為1,2,3號，黑球為4,5號，則這個試驗的樣本點為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個［其中(1,2)表示摸到1號球和2號球］.(2)記A表示“2個球都是白球”這一事件，則A={(1,2),(1,3),(2,3)}.［歸納提升］1．判隨機事件的結(jié)果是相對于條件而言的，要確定樣本空間，(1)必須明確事件發(fā)生的條件；(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出所有樣本點.特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機會是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏.2．試驗中當(dāng)試驗的結(jié)果不唯一時，一定要將各種可能都要考慮到，尤其是有順序和無順序的情況最易出錯.【對點練習(xí)】 做拋擲紅、藍兩枚骰子的試驗，用(%，y)表示結(jié)果，其中％表示紅色骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示藍色骰子出現(xiàn)的點數(shù).寫出：(1)這個試驗的樣本空間；(2)這個試驗的結(jié)果的個數(shù)；(3)指出事件A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}的含義;(4)寫出“點數(shù)之和大于8”這一事件的集合表示.［解析］(1)這個試驗的樣本空間Q為{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.(2)這個試驗的結(jié)果的個數(shù)為36．⑶事件A的含義為拋擲紅、藍兩枚骰子，擲出的點數(shù)之和為7.(4)記B=”點數(shù)之和大于8"，則B={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4)，(6,5)，(6,6)}.易錯警示忽視試驗結(jié)果與順序的關(guān)系而致誤■典例4已知集合M={—2,3},N={—4,5,6},從這兩個集合中各取一個元素分別作為點的橫、縱坐標.(1)寫出這個試驗的基本事件空間；(2)求這個試驗的基本事件的總數(shù).［錯解］(1)這個試驗的基本事件空間Q={(—2,—4),(—2,5),(—2,6),(3,—4),(3,5),(3,6)}.(2)這個試驗的基本事件的總數(shù)是6．［錯因分析］題中要求從兩個集合中各取一個元素分別作為點的橫、縱坐標，所以集合N中的元素也可以作為橫坐標，錯解中少了以下基本事件：(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3)，(6，－2)，(6,3).［正解］⑴這個試驗的基本事件空間Q={(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5)，(3,6)，(-4，-2)，(-4,3)，(5，-2)，(5,3)，(6，-2)，(6,3)}.(2)這個試驗的基本事件的總數(shù)是12．【對點練習(xí)】 同時拋擲兩枚大小相同的骰子，用(x,y)表示結(jié)果，記A為“所得點數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點的個數(shù)是(D)A．3 B．4C．5 D．6［解析］(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6個樣本點.10.1.2事件的關(guān)系和運算素養(yǎng)目標?定方向素養(yǎng)目標學(xué)法指導(dǎo).理解事件的關(guān)系與運算.(邏輯推理).理解互斥事件和對立事件的概念.(數(shù)學(xué)抽象)本部分內(nèi)容要類比集合的關(guān)系和運算來理解事件的關(guān)系和運算.必備知識?探新知知識點1事件的運算定義表示法圖示并事件事件4與事件B至少有一個發(fā)生，稱這個事件為__4UB（或 4+B）

事件A與事件B的并事件（或和事件）父事件事件A與事件B同時發(fā)生，稱這樣一個事件為事件A與事件B的父事件（或積事件）__AnB(或AB)知識點2事件的關(guān)系定義表示法圖示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）互斥如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互B±A(^或A±B)若—AnB=0.__,則A與B互事件對立事件斥（且互不相容）如果事件A和事件B在任何一次試驗中 有且僅有一個發(fā)生__，稱事件A與事件B互為對斥若—AnB=0__,且AUB=Q則A與B對立立，事件A的對立事件記為A［知識解讀］1．互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系⑴區(qū)別：兩個事件4與B是互斥事件，包括如下三種情況：①若事件4發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；②若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；③事件A，B都不發(fā)生.而兩個事件A,B是對立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對立事件，則AUB是必然事件，但若A與B是互斥事件，則不一定是必然事件，即事件A的對立事件只有一個，而事件A的互斥事件可以有多個.（2）聯(lián)系：互斥事件和對立事件在一次試驗中都不可能同時發(fā)生，而事件對立是互斥的特殊情況，即對立必互斥，但互斥不一定對立.2．從集合的角度理解互斥事件與對立事件⑴幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集（2）事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.關(guān)鍵能力?攻重難題型探究題型一互斥事件、對立事件的判定■典例1(1)(2020.河南省南陽市期中)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(A)A.兩次都中靶 B.至少有一次中靶C.兩次都不中靶 D.只有一次中靶(2)(2020.湖南省懷化市期末)一個人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對立事件是(D)A.恰有一次擊中 B.三次都沒擊中C.三次都擊中 D.至多擊中一次［解析］(1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“兩次都不中靶”，因此不會與其同時發(fā)生的事件是“兩次都中靶”.(2)根據(jù)題意，一個人連續(xù)射擊三次，事件“至少擊中兩次”包括“擊中兩次”和“擊中三次”兩個事件，其對立事件為“一次都沒有擊中和擊中一次”，即“至多擊中一次”.［歸納提升］判斷事件間關(guān)系的方法(1)要考慮試驗的前提條件，無論是包含、相等，還是互斥、對立其發(fā)生的條件都是一樣的.(2)考慮事件間的結(jié)果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對較難判斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進行分析.【對點練習(xí)】?有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”是(A)A.互斥但非對立事件 B.對立事件C.非互斥事件 D.以上都不對［解析］由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件.題型二事件的運算■典例2在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件.例如，事件q=｛出現(xiàn)1點｝，事件。2=｛出現(xiàn)2點｝，事件C3=｛出現(xiàn)3點｝，事件C4=｛出現(xiàn)4點｝，事件C5=｛出現(xiàn)5點｝，事件C6=｛出現(xiàn)6點｝，事件。1=｛出現(xiàn)的點數(shù)不大于1｝,事件。2=｛出現(xiàn)的點數(shù)大于3｝,事件。3=｛出現(xiàn)的點數(shù)小于5｝,事件E=｛出現(xiàn)的點數(shù)小于7｝,事件F=｛出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)｝，事件G=｛出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)｝，請根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題：(1)請舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；(2)利用和事件的定義,判斷上述哪些事件是和事件.［解析］(1)因為事件C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以。尸D3，C2=D3，C盧D3，C產(chǎn)D3.同理可得，事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6；事件4包含事件C4,C5,C6；事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.且易知事件C1與事件q相等，即C1=D1.(2)因為事件D2=｛出現(xiàn)的點數(shù)大于3｝=｛出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點｝,所以D2=C4UC5UC6(或％=C4+C5+C6).同理可得，D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5．［歸納提升］事件運算應(yīng)注意的2個問題(1)進行事件的運算時,一是要緊扣運算的定義,二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進行分析.(2)在一些比較簡單的題目中,需要判斷事件之間的關(guān)系時,可以根據(jù)常識來判斷.但如果遇到比較復(fù)雜的題目,就得嚴格按照事件之間關(guān)系的定義來推理.【對點練習(xí)】?盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設(shè)事件A=｛3個球中有1個紅球2個白球｝，事件B=｛3個球中有2個紅球1個白球｝，事件C=｛3個球中至少有1個紅球｝，事件D=｛3個球中既有紅球又有白球｝.問：(1)事件D與A,B是什么樣的運算關(guān)系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？(3)設(shè)事件E=｛3個紅球｝，事件F=｛3個球中至少有1個白球｝，那么事件C與B,E是什么運算關(guān)系？C與F的交事件是什么？［解析］⑴對于事件D，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故D=AUB.(2)對于事件C，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球或3個均為紅球，故CnA=A.⑶由事件C包括的可能結(jié)果有1個紅球2個白球，2個紅球1個白球，3個紅球三種情況，故BUC,EM，而事件F包括的可能結(jié)果有1個白球2個紅球，2個白球1個紅球，3個白球，所以CnF=｛1個紅球2個白球，2個紅球1個白球｝=D.題型三用集合運算表示隨機事件■典例3設(shè)A,B,C表示三個隨機事件，試將下列事件用A,B,C表示出來.(1)三個事件都發(fā)生；(2)三個事件至少有一個發(fā)生；(3)A發(fā)生，B,C不發(fā)生；(4)A,B都發(fā)生，C不發(fā)生；(5)A,B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生；(6)A,B,C中恰好有兩個發(fā)生.［解析］(1)ABC(2)AUBUC(3)ABC(4)ABC(5)(AUB)C(6)ABCUABCUABC［歸納提升］利用隨機事件的運算與集合運算的對應(yīng)關(guān)系，可以有效地解決此類問題.【對點練習(xí)】?從某大學(xué)數(shù)學(xué)系圖書室中任選一本書.設(shè)A表示事件“任選一本書，這本書為數(shù)學(xué)書”B表示事件“任選一本書，這本書為中文版的書”C表示事件“任選一本書，這本書為2000年后出版的書”.問：(1)ABC表示什么事件？(2)在什么條件下有ABC=A?(3)CUB表示什么意思？［解析］(1)ABC表示事件“任選一本書，這本書為2000年或2000年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書”.(2)在“圖書室中所有數(shù)學(xué)書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有ABC=A.C旦B表示2000年或2000年前出版的書全是中文版的.不能正確區(qū)分對立事件和互斥事件致錯典例4進行拋擲一枚骰子的試驗，有下列各組事件：“出現(xiàn)1點”與“出現(xiàn)2點”(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”；(3)“出現(xiàn)大于3的點”與“出現(xiàn)大于4的點”.其中是對立事件的組數(shù)是(B)A．0 B．1C．2 D．3［錯解］C［錯因分析］錯解混淆了互斥事件與對立事件，誤將互斥事件當(dāng)作了對立事件.只有(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”是對立事件，而(1)中“出現(xiàn)1點”與“出現(xiàn)2點”是互斥事件，但不是對立事件，(3)中“出現(xiàn)大于3的點”與“出現(xiàn)大于4的點”不是互斥事件，所以也不是對立事件.［正解］B［誤區(qū)警示］對立事件一定是互斥事件，而互斥事件卻不一定是對立事件.忽略互斥事件與對立事件之間的區(qū)別與聯(lián)系，對“恰”“至少”“都”等詞語理解不透徹.判斷兩個事件是否互斥，就要看它們是否能同時發(fā)生；判斷兩個互斥事件是否對立，就要看它們是否有一

個必然發(fā)生.（2020?廣東省茂名市期末（2020?廣東省茂名市期末）若干人站成一排，其中為互斥事件的是（A）“甲站排頭”與“乙站排頭”“甲站排頭”與“乙站排尾”“甲站排頭”與“乙不站排頭”“甲不站排頭”與“乙不站排頭”［解析］根據(jù)互斥事件不能同時發(fā)生，判斷A是互斥事件；B,C,D中兩事件能同時發(fā)生，故不是互斥事件.10.1.3古典概型素養(yǎng)目標?定方向?qū)W法指導(dǎo)素養(yǎng)目標學(xué)法指導(dǎo)古典概型的計算方法.（數(shù)學(xué)抽象）運古典概型的計算方法.（數(shù)學(xué)抽象）運用古典概型計算概率.（數(shù)學(xué)運算）在實際問題中建立古典概型模型.（數(shù)學(xué)建模）.明確古典概型的基本特征，根據(jù)實際問題構(gòu)建概率模型，解決簡單的實際問題..注意區(qū)分有放回抽取每次抽取之后被抽取的物體總數(shù)不變）與無放回抽?。看纬槿≈蟊怀槿〉奈矬w總數(shù)減少）.必備知識?探新知知識點1隨機事件的概率對隨機事件發(fā)生—可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.知識點2古典概型一般地，若試驗E具有以下特征：（1）有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；（2）等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性__相等_.稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型知識點3古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Q包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P（A尸_k__=__±=__nn［知識解讀］（1）隨機試驗E中的樣本點①任何兩個樣本點都是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成某些樣本點的和.（2）求解古典概型問題的一般思路①明確試驗的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆枺ㄗ帜?、?shù)字、數(shù)組等）表示試驗的樣本點（借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有樣本點；②根據(jù)實際問題情景判斷樣本點的等可能性；③計算樣本點總個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率.關(guān)鍵能力?攻重難題型探究題型一古典概型的判斷■典例1下列試驗是古典概型的是①②④.①從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中可能性大小相等；②同時擲兩顆骰子，點數(shù)和為6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.［分析］緊扣古典概型的兩大特征一有限性與等可能性進行判斷.［解析］①②④是古典概型，因為符合古典概型的特征③不是古典概型，因為不符合等可能性，降雨受多方面因素影響.［歸納提升］判斷試驗是不是古典概型，關(guān)鍵看是否符合兩大特征一有限性和等可能性.【對點練習(xí)】 下列是古典概型的是（C）A.任意擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和作為基本事件時B.求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將去除的正整數(shù)作為基本事件時C從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率D.拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止［解析］A項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項中的基本事件是無限的，故B不是；C項滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項中基本事件可能會無限個，故D不是.題型二古典概型的概率計算■典例2 甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率.［分析］(1)要求2名教師性別相同的概率，應(yīng)先寫出所有可能的結(jié)果，可以采用列舉法求解.(2)要求選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率，應(yīng)先求出2名教師來自同一所學(xué)校的基本事件.［解析］(1)甲校2名男教師分別用A,B表示，1名女教師用C表示；乙校1名男教師用D表示，2名女教師分別用E,F表示.從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為：(A,D),(A,E),(A,F),(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共9種.從中選出2名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共4種，4所以選出的2名教師性別相同的概率為P=.9(2)從甲校和乙校報名的6名教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為：(A,B),(A,C),(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D,E),(D,F),(E,F)，共15種.從中選出2名教師來自同一所學(xué)校的結(jié)果有：(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,62F),(E,F)，共6種，所以選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率為P=二.155［歸納提升］1.對于古典概型，任何事件A的概率為：A包含的基本事件的個數(shù)nP(A尸 .基本事件的總數(shù)n2．求古典概型概率的步驟為：(1)判斷是否為古典概型；(2)算出基本事件的總數(shù)n；(3)算出事件A中包含的基本事件個數(shù)m；n(4)算出事件A的概率，即P(A尸.n在運用公式計算時，關(guān)鍵在于求出m、n.在求n時，應(yīng)注意這n種結(jié)果必須是等可能的，在這一點上比較容易出錯.3．對于事件總數(shù)較多的情況，在解題時，沒有必要一一列舉出來，只將我們解題需要的列舉出來分析即可.【對點練習(xí)】 某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游.

(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A/但不包括B1的概率.［解析］(1)由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共15個.所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的樣本點有：{(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共3個，3 1則所求事件的概率為p==.155(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點有：{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3,B3)},共9個.包括A1但不包括B1的事件所包含的樣本點有：{(A1,B2),(A1,B3)},共2個，則所求事件的概率為p二題型三較復(fù)雜的古典概型的概率計算典例3某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為％，y獎勵規(guī)則如下：拮制①若孫W3,則獎勵玩具一個；②若孫三8,則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個區(qū)域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.［解析］用數(shù)對(％,y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間n與點集S={(X,y)1xEN,y￡N,1WxW4,1WyW4}——對應(yīng).因為S中元素的個數(shù)是4X4=16,所以基本事件總數(shù)n=16.⑴記“xyW3”為事件A,則事件A包含的基本事件共5個，即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).

所以P(A尸J_，即小亮獲得玩具的概率為J_.16 16(2)記“孫三8”為事件B,“3<xy<8”為事件C.則事件B包含的基本事件共6個，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，63所以P(B)==.168事件C包含的基本事件共5個，即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),5所以P(C)二,1635因為>，816所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.［歸納提升］解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點和其計算公式.但是這類問題的解法多樣，技巧性強，在解決此類題時需要注意以下兩個問題：(1)試驗必須具有古典概型的兩大特征——有限性和等可能性.(2)計算基本事件的數(shù)目時，須做到不重不漏，常借助坐標系、表格及樹狀圖等列出所有基本事件.【對點練習(xí)】甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.⑴設(shè)(，一)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出試驗的樣本空間；(2)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝.你認為此游戲是否公平？說明你的理由.［解析］⑴方片4用4,表示，試驗的樣本空間為Q={(2,3),(2,4),(2,4,),(3,2),(3,4),(3,4,),g(4,3),(4,4,),(Q,2),<4—3),(4,,4)},則樣本點的總數(shù)為12.(2)不公平.甲抽到牌的牌面數(shù)字比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(4,,2),(4,,3)5種，5 7 57甲勝的概率為P=，乙勝的概率為P?= << ，所以此游戲不公平.1 2，因為12 12 1212易錯警示對“有序”與“無序”判斷不準而致錯典例4甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5道不同的題目，其中3道選擇題，2道填空題，甲、乙兩人依次抽取1道題.求甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率.［錯解］因為通過列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結(jié)果有6個，且甲、6乙兩人依次抽取1道題的可能結(jié)果有10個，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為=103.5［錯因分析］錯解中忽略了甲、乙兩人依次抽取1道題與順序有關(guān)，甲從5道題中任抽1道題有5種方法，乙從剩下的4道題中任抽1道題有4種方法，所以基本事件總數(shù)應(yīng)為20．正解］因為通過列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結(jié)果有6個，而甲、6乙兩人依次抽取1道題的可能結(jié)果有20個，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為=203.10［誤區(qū)警示］在計算基本事件的總數(shù)時，若分不清“有序”和“無序”，將會出現(xiàn)“重算”或“漏算”的錯誤.突破這一思維障礙的方法是交換次序，看是否對結(jié)果造成影響，有影響是“有序”，無影響是“無序”.【對點練習(xí)】小李在做一份調(diào)查問卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共3道，另一種是填空題，共2道.（1）小李從中任選2道題解答，每一次選1題（不放回），求所選的題不是同一種題型的概率；（2）小李從中任選2道題解答，每一次選1題（有放回），求所選的題不是同一種題型的概率.［解析］將3道選擇題依次編號為1,2,；32道填空題依次編號為4,．5（1從5道題中任選2道題解答，每一次選1題不放回），則樣本空間留=｛（1,2）（1,3）（1,4，）（1,5，）（2,1，）（2,3，）（2,4，）（2,5，）（3,1，）（3,2，）（3,4，）（3,5，）（4,1，）（4,2，）（4,3，）（4,5，）（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）｝共20個樣本點，而且這些樣本點發(fā)生的可能性是相等的.設(shè)事件A=“所選的題不是同一種題型”，則事件A=｛（1,4）（1,5）（2,4）（2,5）（3,4）12⑶5）（4,1）（4,2）（4,3）（5,1）（5,2）（5,3）｝共12個樣本點，所以P（A）==0.620（2從5道題中任選2道題解答，每一次選1題（有放回），則樣本空間與=｛（1,1）（1,2）（1,3，）（1,4，）（1,5，）（2,1，）（2,2，）（2,3，）（2,4，）（2,5，）（3,1，）（3,2，）（3,3，）（3,4，）（3,5，）（4,1，）（4,2，）（4,3，）（4,4，）（4,5，）（5,1，）（5,2，）（5,3，）（5,4，）（5,5），｝共25個樣本點，而且這些樣本點發(fā)生的可能性是相等的.設(shè)事件B=“所選的題不是同一種題型”，由（1知所選題不是同一種題型的樣本點共1212個，所以P（B）==0.482510.1.4概率的基本性質(zhì)素養(yǎng)目標?定方向素養(yǎng)目標學(xué)法指導(dǎo).熟練掌握性質(zhì)1,性質(zhì)2.(數(shù)學(xué)抽象).會判斷兩個事件的互斥與對立關(guān)系.(邏輯推理).能夠利用性質(zhì)3(互斥事件的概率公式)，性質(zhì)4(對立事件的概率公式)求解概率問題.(數(shù)學(xué)運算).能夠解決實際生活中的概率問題.(數(shù)據(jù)分析)當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時，可轉(zhuǎn)化為求幾個互斥事件的概率之和或其對立事件的概率，體驗了正難則反的思想.必備知識?探新知知識點概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意的事件A,都有P(A)三0.性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Q)=，,P(0)=0.性質(zhì)3如果事件A和事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)= 1—P(B).性質(zhì)5如果AcB，那么P(A)WP(B).性質(zhì)6設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)-p(anB).［知識解讀］1．概率的加法公式(1)當(dāng)A與B互斥(即AB=0)時，有P(AUB尸P(A)+P(B)，這稱為互斥事件的概率加法公式.(2)一般地，如果A1A2，…Am是兩兩互斥的事件，貝P(A1UA2U-UAm)=P(A1)+P(A2)+…+P(A).(3)P(A)＋P(－A)=1．2．求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率.關(guān)鍵能力?攻重難題型探究題型一互斥事件概率公式的應(yīng)用■典例1(1)拋擲一個骰子，觀察出現(xiàn)的點，設(shè)事件A為“出現(xiàn)1點”，B為“出1現(xiàn)2點”.已知P(A)=P(B)=，求出現(xiàn)1點或2點的概率.6(2)盒子里裝有6只紅球，4只白球，從中任取3只球.設(shè)事件A表示“3只球中有1只紅1球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只紅球，1只白球”.已知P(A尸，P(B尸，10 2求這3只球中既有紅球又有白球的概率.［解析］⑴設(shè)事件C為“出現(xiàn)1點或2點”，因為事件A、B是互斥事件，由C=AUB111 1可得P(。=P(A)+P(B)=+=，所以出現(xiàn)1點或出現(xiàn)2點的概率是.314(2)因為A,B是互斥事件，所以P(AUB尸P(A)+P(B尸 +=，所以這3只球中既1025有紅球又有白球的概率是.［歸納提升］⑴公式P(AUB)=P(A)+P(B)，只有當(dāng)A、B兩事件互斥時才能使用，如的意義.果A、B不互斥，就不能應(yīng)用這一公式；(2)解決本題的關(guān)鍵是正確理解“AUB的意義.【對點練習(xí)】經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下：排隊人數(shù)0 1 2 3 4 5人及5人以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？(2)至少3人排隊等候的概率是多少？［解析］記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A,B,C,D,E,F兩兩互斥.⑴記“至多2人排隊等候”為事件G，貝UG=AUBUC,所以P(G)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)法一：記“至少3人排隊等候”為事件H，則H=DUEUF,所以P(H)=P(DUEUF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.法二:記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)=1-P(G)=0.44．題型二概率一般加法公式(性質(zhì)6)的應(yīng)用典例2甲、乙、丙、丁四人參加4X100米接力賽，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.［解析］設(shè)事件A為“甲跑第一棒”，事件B為“乙跑第四棒”，貝UP(A)=1,P(B尸1.4 4記甲跑第1棒，乙跑第y棒，則結(jié)果可記為(x,y)，共有12種等可能結(jié)果：(1,2),(1,3),(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一種可能.即(1,4).1故p(Anb)=.12所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”用概率 111 5P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)=+- =.441212［歸納提升］(1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制條件上的區(qū)別：在公式P(AUB)=P(A)+P(B)中，事件A,B是互斥事件；在公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)中，事件A,B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助圖形理解.(2)利用概率的一般加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)求解的關(guān)鍵在于理解兩個事件A,B的交事件AnB的含義，準確求出其概率.【對點練習(xí)】在對200家公司的最新調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，40%的公司在大力研究廣告效果，50%的公司在進行短期銷售預(yù)測，而30%的公司在從事這兩項研究.假設(shè)從這200家公司中任選一家，記事件A為“該公司在研究廣告效果”，記事件B為“該公司在進行短期銷售預(yù)測”，求P(A),P(B),P(AUB).［解析］P(A)=40%=0.4,P(B)=50%=0.5，又已知P(AnB)=30%=0.3，所以P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)=0.4+0.5-0.3=0.6.題型三利用互斥與對立的概率公式多角度求解典例3如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，那么抽取到紅心11(事件A)的概率是，取到方塊(事件B)的概率是，求取到黑色牌(事件。)的概率.44［分析］先確定事件D的對立事件。(取到紅色牌)，也就是事件C就是所求事件D的對立事件，而事件C包含A和B兩個彼此互斥的事件，故可直接利用互斥事件加法公式求解；然后根據(jù)對立事件概率公式求解.［解析］記“取出的是紅色牌”為事件C，則C=AUB，且A與B不會同時發(fā)生，所以事件A與事件B互斥.1根據(jù)概率的加法公式得P(C)=P(A)+P(B)=.一 2又因為事件C與事件D互斥，且CUD為必然事件，因此事件C與事件D是對立事件，1所以P(D)=1-P(C)=.2［歸納提升］對于較復(fù)雜事件的概率在求解時通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求對立事件的概率，進而再求所求事件的概率.【對點練習(xí)】?某射擊運動員在一次射擊比賽中，每次射擊比賽成績均計整數(shù)環(huán)且不超過10環(huán)，其中射擊一次命中各環(huán)數(shù)概率如表：命中環(huán)數(shù)6及以下78910概率0.100.120.180.280.32求該射擊運動員射擊一次.(1)命中9環(huán)及10環(huán)的概率.(2)命中不足7環(huán)的概率.［解析］記“射擊一次命中k環(huán)”的事件為Ak(k￡N,kW10)，則事件Ak彼此互斥.⑴記“射擊一次命中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，則當(dāng)A9或A10之一發(fā)生時，事件A發(fā)生，由互斥事件的概率公式，得P(A尸P(A9)+p(a10).因此命中9環(huán)或10環(huán)的概率為0.60.(2)方法一：由于事件“射擊一次命中不足7環(huán)”是“射擊一次至少命中7環(huán)”的對立事件，故所求的概率為P=1-(0.12+0.18+0.28+0.32)=0.10，因此命中不足7環(huán)的概率為0.10．方法二：由題意可知“命中環(huán)數(shù)不足7環(huán)”即“命中環(huán)數(shù)為6環(huán)及以下”，故P二0.10．易錯警示忽略概率加法公式的應(yīng)用前提沖^■典例4投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點，2點，3點，4點，15點，6點的概率都是，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B”向上的點數(shù)不超過3”,則P(A62TOC\o"1-5"\h\zUB尸 .3 -- -- 一一31 31 11［錯解］因為P(A)==,P(B)==，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=+=1.62 62 22［錯因分析］造成錯解的原因在于忽略了“事件和”概率公式P(A+B尸P(A)+P(B)的使用前提：事件4,B彼此互斥.此題的兩個事件A工不是互斥事件，如出現(xiàn)的點數(shù)為1或3時，事件A,B同時發(fā)生，故此題應(yīng)用性質(zhì)6.31 31 21［正解］因為P(A尸二P(B尸二P(AB尸二，所以P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)62 62 631112二+-二.2233［誤區(qū)警示］在使用公式P(AUB尸P(A)+P(B)時，一定要注意公式成立的前提，即事件A與事件B互斥.若事件A,B不互斥，則應(yīng)用公式P(AUB尸P(A)+P(B)-P(AB).【對點練習(xí)】?甲、乙兩人各射擊一次，命中率分別為0.8和0.5,兩人都命中的概率為0.4，求甲、乙兩人至少有一人命中的概率.［解析］至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”這兩個事件的并事件.設(shè)事件A為“甲命中”，事件B為“乙命中”，則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件AUB，所以P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)=0.8+0.5-0.4=0.9.10.2事件的相互獨立性素養(yǎng)目標?定方向素養(yǎng)目標學(xué)法指導(dǎo).弄清相互獨立事件的概念與意義.(數(shù)學(xué)抽象).能夠利用相互獨立事件的概率公式求解簡單的概率問題.(數(shù)學(xué)運算).能夠解決實際問題中的概率問題.(數(shù)學(xué)建模).在概率論中，獨立性也是極其重要的概念，它的主要作用是簡化概率計算..注意區(qū)分兩個事件相互獨立與兩個事件互斥這兩個概念..學(xué)會并掌握如何用事件的獨立性計算隨機事件的概率.必備知識?探新知知識點1相互獨立事件的定義對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.知識點2相互獨立事件的性質(zhì)當(dāng)事件A,B相互獨立時，則事件_A_與事件_B_相互獨立，事化A—與事件_B__相互獨立，事件A與事件B—相互獨立.［知識解讀］1.公式的推廣如果事件4,A2，…，A〃相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2．兩個事件獨立與互斥的區(qū)別兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響.一般地，兩個事件不可能既互斥又相互獨立，因為互斥事件不可能同時發(fā)生，而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提.3．相互獨立事件與互斥事件的概率計算概率A,B互斥A,B相互獨立P(AUB)P(A)+P(B)1-P(A)P(B)P(AB)0P(A)P(B)P(AB)1-[P(A)+P(B)]P(A)P(B)P(ABUAB)P(A)+P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)―說明：①(AB)U(AB)，表示的是AB與AB的和，實際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說就是A與B中恰有一個發(fā)生.②同數(shù)的加、減、乘、除混合運算一樣，事件的混合運算也有優(yōu)先級，我們規(guī)定：求積運算的優(yōu)先級高于求和運算，因此(AB)U(AB)可簡寫為ABUAB.關(guān)鍵能力?攻重難題型探究題型一相互獨立事件的判斷典例1下列每對事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互獨立事件？(1)1000張有獎銷售的獎券中某張獎券是一等獎與該張獎券是二等獎；(2)甲，乙兩人同時購買同一期的雙色球彩票各一張，甲中獎與乙中獎；(3)甲組3名男生、2名女生，乙組2名男生、3名女生，現(xiàn)從甲，乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(4)容器內(nèi)盛有5個白球和3個黃球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”.［解析］(1)一張獎券不可能既是一等獎又是二等獎，即這兩個事件不可能同時發(fā)生，故它們是互斥事件.(2)由雙色球的中獎規(guī)則可知，甲是否中獎對乙是否中獎沒有影響，反之亦然，故它們是相互獨立事件.(3)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，反之亦然，所以它們是相互獨立事件.5(4)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為，若前一事件發(fā)生了，則“從84剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為」若前一事件沒有發(fā)生，則后75一事件發(fā)生的概率為.可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者7不是相互獨立事件，也不是互斥事件.［歸納提升］兩種方法判斷兩事件是否具有獨立性(1)定義法：直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.(2)公式法：檢驗P(AB)=P(A)P(B)是否成立.【對點練習(xí)】 (1)甲、乙兩名射手同時向一目標射擊，設(shè)事件A：“甲擊中目標”，事件B：“乙擊中目標”，則事件A與事件B(A)A.相互獨立但不互斥 B.互斥但不相互獨立C.相互獨立且互斥 D.既不相互獨立也不互斥(2)擲一枚正方體骰子一次，設(shè)事件A:“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B：”出現(xiàn)3點或6點”，則事件A,B的關(guān)系是(B)A.互斥但不相互獨立 B.相互獨立但不互斥C.互斥且相互獨立 D.既不相互獨立也不互斥［解析］(1)對同一目標射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標是互不影響的，所以事件!與事件B相互獨立；對同一目標射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標，也就是說事件A與事件B可能同時發(fā)生，所以事件A與事件B不是互斥事件.(2)事件A={2,4,6}，事件B={3,6}，事件AB={6},樣本點空間Q={1,2,3,4,5,6}.31 21 111所以P(A)==,P(B尸二,P(AB)==X,62 63 623即P(AB尸P(A)P(B)，因此，事件A與B相互獨立.當(dāng)“出現(xiàn)6點”時，事件A,B同時發(fā)生，所以A,B不是互斥事件.題型二相互獨立事件的概率計算典例2甲、乙、丙3位大學(xué)生同時應(yīng)聘某個用人單位的職位，3人能被選中231的概率分別為，，，且各自能否被選中互不影響.543(1)求3人同時被選中的概率；(2)求3人中至少有1人被選中的概率；(3)求3人均未被選中的概率. — 一_ 2 3［解析］設(shè)甲、乙、丙能被選中的事件分別為A,B,C，則P(A尸,P(B尸,P(。二54.3(1)3人同時被選中的概率231 1P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= ,XX二54310(2)3人中有2人被選中的概率P2=P(ABCUABCUABC)2312)X1、2312)X1、3123

)j二一X一.54X43603人中只有1人被選中的概率P3=P(ABC)P3=P(ABC)UABCUABC)二X1－3)+(1-5)X3)+1X1－5－5X1－4312故3人中至少有1人被選中的概率為TOC\o"1-5"\h\zP1+P2+PJ ….1 2 3 + + =10601210(3)法一：三人均未被選中的概率2 3 11P=P(ABC)P=P(ABC)=5)X4)X-310法二：由例2(2)知，9三人至少有1人被選中的概率為1091「.P=1-=.1010［歸納提升］1．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟：(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；(2)確定這些事件可以同時發(fā)生；(3)求出每個事件的概率，再求積.2．使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們同時發(fā)生.3．明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.【對點練習(xí)】 某機械廠制造一種汽車零件，已知甲機床的正品率是0.96，乙機床的次品率是0.05，現(xiàn)從它們制造的產(chǎn)品中各任意抽取一件，試求：(1)兩件產(chǎn)品都是正品的概率；(2)恰有一件是正品的概率；(3)至少有一件是正品的概率.［解析］用A表示“從甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽得正品”，用B表示“從乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽得正品”，用C表示“抽得的兩件產(chǎn)品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的兩件產(chǎn)品中至少有一件正品"，則C=(AB)U(AB),D=CU(AB).(1)由題意知，A與B是相互獨立事件，P(B)=1-P(B)=1-0.05=0.95,P(A)=0.96,所以兩件都是正品的概率為P(AB)=P(A)P(B)=0.96X0.95=0.912.(2)由于事件AB與AB互斥，所以恰有一件是正品的概率為P(C)=P[(AB)U(AB)]=P(AB)+P(AB)=P(A)P(－B)＋P(－A)P(B)=0.96X0.05＋0.04X0.95=0.086．(3)由于事件AB與C互斥，所以P(D)=P[(AB)UC]=P(AB)+P(C)=0.912+0.086=0.998．題型三相互獨立事件概率的綜合應(yīng)用典例3計算機考試分理論考試與實際操作兩部分進行，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”，并頒發(fā)合格證書.432甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實際操作考試中“合格”的543125概率依次為一,一,一，所有考試是否合格相互之間沒有影響.236(1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性最大？(2)這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率.[解析]⑴記“甲獲得合格證書”為事件A，“乙獲得合格證書”為事件B，“丙獲得合格證書”為事件C，則412P(A)=X=，525321P(B)=X=,432255P(C)=X=.369因為P(C)>P(B)>P(A)，所以丙獲得合格證書的可能性最大.(2)設(shè)“三人考試后恰有兩人獲得合格證書”為事件D,由題易知三人是否獲得合格證書相互獨立，則P(D)=P(AB－C)+P(A－BC)+P(－ABC)21421531511=XX+XX+XX=.52952952930［歸納提升］求較為復(fù)雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎荆?2)理清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對立，或者是相互獨立)，列出關(guān)系式；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準確選取概率公式進行計算；(4)當(dāng)直接計算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時，可先間接地計算對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率.133【對點練習(xí)】 三個元件T1,T2,T3正常工作的概率分別為1 2 3 ，，，將它們中某兩個244元件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，它們是否正常工作相互獨立.在如圖所示的電路I中，電路不發(fā)生故障的概率是多少？ 丁?「鼻-T~h— ——1—II-?［解析］記T1正常工作為事件A,T2正常工作為事件B,T3正常工作為事件C,13則P(A)=,P(B尸P(。二,24電路不發(fā)生故障，即T1正常工作且T2,T3至少有一個正常工作，T2,T3至少有一個正常工作的概率3 3 15P1=1~'-)(4二4)X(1-16所以整個電路不發(fā)生故障的概率為11515P=P(A)XP1二X二21632易錯警示混淆互斥事件和獨立事件的概念典例4甲投籃的命中率為0.8，乙投籃的命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？［錯解］記A="甲恰好命中2次”，B="乙恰好命中2次”，則P(兩人恰好都命中2次)=P(A)+P(B)=3X0.82X0.2+3X0.72X0.3=0.825.［錯因分析］錯誤地把相互獨立事件當(dāng)成互斥事件來考慮，將“兩人恰好都命中2次的概率”理解成A二“甲恰好命中2次”與B二“乙恰好命中2次”的概率之和.［正解］記A="甲恰好命中2次”，B二“乙恰好命中2次”，A,B為相互獨立事件，兩人恰好都命中2次的概率為P(AB),則P(AB)=P(A)P(B)二3X0.82X0.2X3X0.72X0.3心0.169.［誤區(qū)警示］首先理解清楚互斥事件與相互獨立事件的概念，并且區(qū)分計算概率的公式.A,B為互斥事件時，有概率公式為P(AUB尸P(A)+P(B),A,B為獨立事件時，有概率公式為P(AB)=P(A)P(B).【對點練習(xí)】 打靶時甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次.若兩人同時射擊一個目標，則它們都中靶的概率是(D)TOC\o"1-5"\h\z3 3A． B．丁 4~12 14C. D.25 257［解析］由題意知甲中靶的概率為，乙中靶的概率為，兩人打靶相互獨立，同時中104714靶的概率P二X二.故選D.51025 10.3 頻率與概率10.3.1頻率的穩(wěn)定性10.3.2隨機模擬素養(yǎng)目標?定方向素養(yǎng)目標.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性.(數(shù)學(xué)抽素養(yǎng)目標.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性.(數(shù)學(xué)抽象).理解概率的意義，利用概率知識正確求解現(xiàn)實生活中的實際問題.(數(shù)學(xué)運算).理解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.(邏輯推理).能夠利用古典概型或蒙特卡洛法進行求解.(數(shù)據(jù)分析)學(xué)法指導(dǎo).體會試驗次數(shù)對頻率的影響，感受頻率的隨機性..感受隨著次數(shù)增加頻率趨于穩(wěn)定的特點..把握頻率估計概率的特征.必備知識?探新知知識點頻率的穩(wěn)定性與隨機模擬1．頻率的穩(wěn)定性大量的試驗證明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有—隨機性.一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).2.隨機數(shù)的產(chǎn)生(1)標號：把n個大小、形狀相同的小球分別標上1,2,3,…，n.⑵攪拌：放入一個袋中，把它們充分攪拌⑶摸取：從中摸出一個.這個球上的數(shù)就稱為從1?n之間的隨機整數(shù)，簡稱隨機數(shù).3．偽隨機數(shù)的產(chǎn)生(1)規(guī)則：依照確定的算法.(2)特點：具有周期性(周期很長).(3)性質(zhì)：它們具有類似隨機數(shù)的性質(zhì).計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)并不是真正的隨機數(shù)，我們稱為偽隨機數(shù).4．產(chǎn)生隨機數(shù)的常用方法①用計算器產(chǎn)生：②用計算機產(chǎn)生：③抽簽法.5．隨機模擬方法(蒙特卡洛方法)利用計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)來做模擬試驗，通過模擬試驗得到的頻率來估計概率，這種用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡洛方法［知識解讀］1．頻率與概率的關(guān)系概率可以通過頻率來“測量”或者說頻率是概率的一個近似，概率從數(shù)量上反映了一個事件發(fā)生的可能性的大小.說明：(1)頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗得到事件的頻率會不同.而概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗無關(guān).(2)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率.2．用隨機模擬法估計概率(1)隨機模擬法估計概率的思想隨機模擬法是通過將一次試驗所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)字化，用計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)來替代每次試驗的結(jié)果.其基本思想是，用產(chǎn)生整數(shù)值的隨機數(shù)的頻率估計事件發(fā)生的概率.(2)隨機模擬法的優(yōu)點不需要對試驗進行具體操作，是一種簡單、實用的科研方法，可以廣泛地應(yīng)用到生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域中去.(3)隨機模擬法的步驟①建立概率模型；②進行模擬試驗(可用計算器或計算機進行)；③統(tǒng)計試驗結(jié)果.關(guān)鍵能力?攻重難題型探究題型一頻率與概率的關(guān)系典例1下列說法正確的是(A)①頻率反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性的大??；m②做n次隨機試驗，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率P(A)=；n③含百分比的數(shù)是頻率，但不是概率；④頻率是不能脫離n次隨機試驗的試驗值，而概率是脫離隨機試驗的客觀值；⑤概率是頻率的穩(wěn)定值.A.①④⑤ B.①②C.②③ D.②③⑤［解析］根據(jù)頻率與概率的定義，可知①正確；概率不是頻率，而②中所給的是事彳件4發(fā)生的頻率，因此②錯誤；概率是一個數(shù)值，可以是百分數(shù)也可以是小數(shù)，因此③錯誤；根據(jù)概率的定義可知，概率是一個客觀值，頻率是一個試驗值，因此④正確，⑤正確.故選A．［歸納提升］(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率.(2)頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定.(3)概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，在試驗前已經(jīng)確定，與試驗次數(shù)無關(guān).【對點練習(xí)】 下列說法一定正確的是(D)一名籃球運動員，號稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會出現(xiàn)三投都不中的情況1一個骰子擲一次得到2的概率是，則擲6次一定會出現(xiàn)一次26C.若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元D.隨機事件發(fā)生的概率與試驗次數(shù)無關(guān)［解析］A錯誤，概率小不代表一定不發(fā)生；B錯誤，概率不等同于頻率；C