線性表示介Linear線性表示:對于代數(shù)系統(tǒng)E(為群,環(huán),域,代數(shù)等的線性變換a將E中元a看作(對應(yīng)到 線性表示介Linear線性表示:對于代數(shù)系統(tǒng)E(為群,環(huán),域,代數(shù)等的線性變換a將E中元a看作(對應(yīng)到a對應(yīng)到(表示為)Aa一般要保相應(yīng)的運算“表示論”是重要的 論、方法例6.4.將復(fù)數(shù)表示為矩陣每個z是V(視為上線性空間)線性變換z(x)zzz保加法、乘法(注意zz(x)(zz)xzxzz(x)(zz)x取V的基{1,i},zabi z(i)ai-b故z的方陣表示))-baIbJA az-1的性質(zhì)很像i -1J-1J 這個對應(yīng)保加法、乘法、數(shù)乘(因后半是代數(shù)同構(gòu)書上還有許多例子,將群、四元數(shù)等表示為矩陣介紹了置換表示、正則表示等重要表示法(課外閱讀材料1End()M2()abi a -baI a :End()M2()z :EEnd(V)Mn(F)a 某線性空間2 Invariant從本節(jié)開始2 Invariant從本節(jié)開始設(shè)定V是F上線性空間, 是V的線性變換定義6.4.V的子空間W稱為A AWW Aw (wW例6.9.(1)考慮“用矩陣A乘 在F(n取自然基{ n2A= 7 6 為15 07A0 0 A1 6 WFx軸),即形如*向量集,是不變子空間 0(2)一般地, A= A 2A為n階方陣,A1為r階方陣x5x+7yAy 6 A(x)A:F(n)F(n)xA3*3*W1F1++Fr,即形如0向量集,是不變子空間0而且,A30,則W2Fr+1++Fn是不變子空間例6.10.0V(平凡子空間例.考慮FX中的微商(求導(dǎo))則F[X]n(次數(shù)小于n的多項式集)是不變子空間.例6.11.kerA ImA都是A的不變子空間.例6.12.任一向量V生成的循環(huán)子空間,是A的不變子空間引理6.1.(1)A的任二和仍為其不變子(2)A的任意多不變子空間的交仍為其不變子空間引理6.2.設(shè)V的子空間W為 的不變子空間Aw:WW,A(restrictionofA,也記AwA A:V/WV/WAA是線性變(inducedby 定理6.8.設(shè)V是F上線性空間,A 是V的線性變換.設(shè)1,,n是V的基,W1WF1Fr W2Fr+1++FnA(A1為r階方陣“1為A的不變子空間A40此時,A1是AW1的方陣AW1A在W1限制“2為A的不變子空間A30此時,A2是AW2的方陣 A3A= A 2A1A2的方陣A2A在VW2的誘導(dǎo).W1為AAj 的后n-rA1A2的方陣A2A在VW2的誘導(dǎo).W1為AAj 的后n-r個坐標(biāo)為零(1jAj列后n-r(1j(因A的第j列為Aj坐標(biāo)列此時(對基1,,r故A1是AW1的方陣表示而故A的最后一列( 2(對基{r+1,故A2A的方陣表示(2)與(1)同理系.W1,W2是AV=W1W2取W1的基1,,rW2的基r+1,,n合為的基則AiAiAWi的方陣表示在對基1,,n的方陣如上形反之,若W1F1Fr是不變子空間VW1W2.注記:定理6.8中W1F1Fr是不變子空間相當(dāng)于A40.是豎看.要點在于W1為不變子空間A的第1,,r列尾部為零“不變子空間”相當(dāng)于:矩陣相應(yīng)列位有零如果基中向量次序改變則方陣A的形狀會改變4A1,,AA A 2A(nA(n)Ana(r+1)nr+1Ana1n1AjAW1j的坐標(biāo)A5設(shè)1,,5設(shè)1,,n是V的(有序)基,WFs+1Fs+t則W.這是因為W不變 屬于 坐標(biāo)只有W中分量例6.13.若兩線性變換AB可交換,kerA,ImAB的不變子空間.證明(1)若kerA,要